Uma forma de adicionar fórmulas no blogger e a qual tenho vindo a utilizar centra-se no recurso ao editor do codcogs. A introdução de código LaTeX permite gerar imagens com as fórmulas que representam. Além disso, é possível encontrar ao fundo da página uma pequena secção onde surge o código html pronto a ser directamente imbuído na página.
Numa pesquisa que realizei há pouco tempo, encontrei aqui um método diferente baseado no motor desenvolvido por uma parceria entre a AMS e a SIAM designado por MathJax. Para o instalar é suficiente, no esquema da página do blogue, escolher a opção Adicionar uma miniaplicação, indicando o tipo html/javascript e depois introduzir o código
Numa pesquisa que realizei há pouco tempo, encontrei aqui um método diferente baseado no motor desenvolvido por uma parceria entre a AMS e a SIAM designado por MathJax. Para o instalar é suficiente, no esquema da página do blogue, escolher a opção Adicionar uma miniaplicação, indicando o tipo html/javascript e depois introduzir o código
<script type="text/x-mathjax-config;executed=true">
MathJax.Hub.Config({
TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
O que se segue trata-se de um pequeno texto onde apresento algumas fórmulas matemáticas no âmbito do simples problema do lançamento de projécteis.
O problema do lançamento dos projécteis
O problema do lançamento dos projécteis resume-se à determinação do movimento de translação de uma partícula que se encontra sujeita a uma força constante com direcção vertical e sentido de cima para baixo. Esta força consiste no peso, a qual é representada por \(\vec{P}\). Desta força aplicada à partícula resulta uma aceleração constante \(\vec{g}\). Se definirmos os versores \(\vec{i}\) horizontal (abcissas) e \(\vec{j}\) vertical (ordenadas), podemos escrever
\[\vec{g}=-g\vec{j}\]
uma vez que esta assume a direcção da força que lhe dá origem. Integrando a equação
\[\vec{g}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\]
onde \(\vec{r}=(x,y)\) representa a posição ocupada pela partícula em cada instante \(t\) obtemos o sistema de equações para cada uma das coordenadas,
\[\left\{\begin{matrix}
x=x_0+v_{0x}t\\
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
\end{matrix}\right.\]
onde \(v_{0x}=\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}\) e \(v_{0y}=\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}\) são as velocidades iniciais ao longo do eixo das abcissas e o eixo das ordenadas respectivamente. As quantidades \(x_0\) e \(y_0\) definem a posição da partícula no instante \(t=0\) e, juntamente com as velocidades iniciais, constituem o conjunto de constantes de integração.
Ora, resolvendo a primeira equação em ordem a \(t\), vem
\[t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}\]
Da sua substituição na segunda equação advém
\[y-y_0=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\left(x-x_0\right)-\frac{1}{2}g\frac{\left(x-x_0\right)^2}{v_{0x}^2}\]
Vemos imediatamente que se trata de uma equação quadrática em \(x\) e descreve, portanto, uma parábola sempre que \(v_{0x}\ne 0\). Quando \(v_{0x}=0\), a parábola degenera numa recta vertical. Construindo o caso notável, podemos escrever a equação anterior como
\[y=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2}\left(x-x_0-\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}\right)^2+\frac{v_{0y}^2}{2g}+y_0\]
Verificamos imediatamente que a parábola tem a concavidade voltada para baixo e o vértice é dado pelas coordenadas
\[V=\left(x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g},y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\right )\]
Vemos imediatamente que a altura máxima é dada por
\[y_m=y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\]
a qual é atingida quando
\[x=x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}\]
Mas como \(x-x_0=v_{0x}t\), vemos que a altura máxima se atinge no instante \(t_m=\frac{v_{0y}}{g}\), sendo \(t_m\gt0\) quando a velocidade vertical no instante inicial é positiva. A mesma equação permite-nos determinar os zeros como
\[x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}\pm\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
Concluímos que o projéctil atinge o solo no ponto com abcissa
\[x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
e, como \(t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}\), o seu tempo de vôo é igual a
\[t_v=\frac{1}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
O método analítico relacionado com os máximos e mínimos permite-nos chegar aos mesmos resultados. Como a abordagem geométrica me parece ser a menos abordada, decidi apresentar este tema simples nesta forma.
\[\vec{g}=-g\vec{j}\]
uma vez que esta assume a direcção da força que lhe dá origem. Integrando a equação
\[\vec{g}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\]
onde \(\vec{r}=(x,y)\) representa a posição ocupada pela partícula em cada instante \(t\) obtemos o sistema de equações para cada uma das coordenadas,
\[\left\{\begin{matrix}
x=x_0+v_{0x}t\\
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
\end{matrix}\right.\]
onde \(v_{0x}=\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}\) e \(v_{0y}=\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}\) são as velocidades iniciais ao longo do eixo das abcissas e o eixo das ordenadas respectivamente. As quantidades \(x_0\) e \(y_0\) definem a posição da partícula no instante \(t=0\) e, juntamente com as velocidades iniciais, constituem o conjunto de constantes de integração.
Ora, resolvendo a primeira equação em ordem a \(t\), vem
\[t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}\]
Da sua substituição na segunda equação advém
\[y-y_0=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\left(x-x_0\right)-\frac{1}{2}g\frac{\left(x-x_0\right)^2}{v_{0x}^2}\]
Vemos imediatamente que se trata de uma equação quadrática em \(x\) e descreve, portanto, uma parábola sempre que \(v_{0x}\ne 0\). Quando \(v_{0x}=0\), a parábola degenera numa recta vertical. Construindo o caso notável, podemos escrever a equação anterior como
\[y=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2}\left(x-x_0-\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}\right)^2+\frac{v_{0y}^2}{2g}+y_0\]
Verificamos imediatamente que a parábola tem a concavidade voltada para baixo e o vértice é dado pelas coordenadas
\[V=\left(x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g},y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\right )\]
Vemos imediatamente que a altura máxima é dada por
\[y_m=y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\]
a qual é atingida quando
\[x=x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}\]
Mas como \(x-x_0=v_{0x}t\), vemos que a altura máxima se atinge no instante \(t_m=\frac{v_{0y}}{g}\), sendo \(t_m\gt0\) quando a velocidade vertical no instante inicial é positiva. A mesma equação permite-nos determinar os zeros como
\[x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}\pm\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
Concluímos que o projéctil atinge o solo no ponto com abcissa
\[x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
e, como \(t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}\), o seu tempo de vôo é igual a
\[t_v=\frac{1}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)\]
O método analítico relacionado com os máximos e mínimos permite-nos chegar aos mesmos resultados. Como a abordagem geométrica me parece ser a menos abordada, decidi apresentar este tema simples nesta forma.
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