A função característica é dada por
\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\int_{t_0}^{t_1}{Ldt}\]
Trata-se de uma função das variáveis \(x_0\) e \(x_1\) que correspondem aos pontos inicial e final da situação do sistema. Com efeito, no caso do oscilador harmónico simples,
\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]
Considera-se aqui \(x'\) como constituindo a derivada da função \(x\) em ordem ao tempo. As equações do movimento do sistema descrito por esta função são dadas por
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]
isto é,
\[\frac{d}{dt}\left(mx'\right)+kx=0\]
Se se fizer
\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]
a solução da equação diferencial é dada por (trata-se de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes)
\[x=x_0\cos\omega\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t-t_0\right)\]
Se se denotar por \(x_1\) a posição que a partícula ocupará no instante \(t_1\), tem-se
\[x_1=x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t_1-t_0\right)\]
de onde se segue
\[x'_0=\omega\frac{x_1-x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]
A substituição permite escrever a solução na forma
\[x=-\frac{\sin\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\frac{\sin\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]
A sua derivada permite obter
\[x'=-\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]
A substituição na expressão para \(L\) conduz a
\[L=\frac{k\left(x_0^2\cos 2\omega\left(t-t_1\right)-2x_0x_1\cos\omega\left(2t-t_0t_1\right)+x_1^2\cos 2\omega\left(t-t_0\right)\right)}{2\sin^2\omega\left(t_1-t_0\right)}\]
Se se integrar em ordem ao tempo entre os instantes \(t_0\) e \(t_1\) obtém-se finalmente
\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\frac{m\omega\left(x_0^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1+x_1^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\right)}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]
Pode-se efectivamente verificar que
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x_0}=m\omega\frac{x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_1}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=-mx_0'\\ \frac{\partial V}{\partial x_1}=m\omega\frac{x_1\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_0}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=mx_1'\end{array}\right.\]
Tratam-se das equações do movimento quando é conhecida a função característica \(V\). Por seu turno, não é tarefa árdua verificar que a função \(V\) assim determinada satisfaz as equações diferenciais às derivadas parciais da forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{-\partial V}{\partial x_0}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_0^2=\frac{\partial V}{\partial t_0}\end{array}\right.\]
Uma forma de determinar a função \(V\) a partir da equação diferencial parcial
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]
pode ser realizada do seguinte modo. Começa-se por considerar
\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=W\left(x_0,x_1,E\right)-E\left(t_1-t_0\right)\]
onde \(E\) é uma constante. A substituição na equação às derivadas parciais permite obter a equação diferencial ordinária em \(W\) na forma
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{d W}{d x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=E\]
Observa-se que \(E\) deverá ser função de \(x_0\), \(x_1\) e \(t_1-t_0\). Uma vez que \(V\) não depende explicitamente de \(E\), tem-se
\[\frac{\partial W}{\partial E}=t_1-t_0\]
A solução da equação diferencial para \(W\) é dada pela integral
\[W=\int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]
A derivada parcial de \(W\) em ordem a \(E\) é, portanto, dada por
\[\frac{\partial W}{\partial E}=\int_{x_0}^{x_1}{\frac{m}{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]
que proporciona a quadratura
\[\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}=\omega\left(t_1-t_0\right)\]
da qual resulta
\[\left\lbrace\begin{array}{l}X_0X_1+\chi_0\chi_1=\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\\ \chi_1X_0-\chi_0X_1=\sin\omega\left(t_0-t_1\right)\end{array}\right.\]
onde se fez
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\chi_0=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_0\\ \chi_1=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_1\\ X_0=\sqrt{1-\chi_0^2}\\ X_1=\sqrt{1-\chi_1^2}\end{array}\right.\]
As expressões assim obtidas permitem escrever \(E\) como função de \(t_1-t_0\). Por seu turno, se se calcular a integral que permite determinar \(W\), obtém-se
\[W=\frac{E}{\omega}\left(\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}+X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]
Uma das expressões anteriores permite ainda escrever
\[W=E\left(t_1-t_0\right)+\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]
e, portanto,
\[V=\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]
Então
\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)X_1X_0-\chi_0\chi_1\left(X_1^2+X_0^2\right)\right)\]
ou, simplificando \(X_0^2\) e \(X_1^2\),
\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)\left(X_0X_1+\chi_0\chi_1\right)-2x_0x_1\right)\]
isto é,
\[V=\frac{m\omega}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\left(\left(x_0^2+x_1^2\right)\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1\right)\]
que corresponde à função característica determinada a partir da integral de \(L\) e que se mostrou ser solução da equação diferencial parcial. Do ponto de vista das soluções do problema mecânico, não é muito importante determinar a função \(V\), na medida em que as equações do movimento se seguem directamente da função \(W\), considerando a equação adicional que permite relacionar \(E\) com \(t_1-t_0\).
