De acordo com o princípio dos trabalhos virutais, se um sistema de pontos \(P_i\), cada um sujeito a um sistema de forças \(\vec{F}_{ij}\), se encontrar em equilíbrio num determinado instante, então
\[\sum_{ij}{\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
qualquer que seja o deslocamento infinitesimal \(\delta\vec{r}_i\), consistente com as condições aplicadas ao sistema nesse instante. Na determinação da variação infinitesimal denotada por \(\delta\), o tempo \(t\) é considerado como constante, em contraste com a variação infinitesimal total \(d\). De facto, quaisquer que sejam as direcções dos movimentos infinitesimais que possam ser aplicados ao sistema, a resultante das forças aplicadas segundo essas direcções deverá anular-se para que o sistema se encontre em equilíbrio estático no intervalo de tempo considerado.
De acordo com a lei da inércia, se a parte de um sistema que se encontre em movimento rectilíneo e uniforme não for actuado por uma causa externa então irá manter esse movimento rectilíneo e uniforme. A intensidade da causa externa determina-se, portanto, considerando a variação da sua quantidade de movimento. Se uma partícula for actuada por uma força externa ao longo de uma mesma direcção, a intensidade da força deverá ser determinada, em parte, pela variação da sua velocidade. Porém, dado que, considerando que tal partícula é divisível em partículas idênticas mais elementares, a quantidade de movimento deverá ser proporcional ao número dessas partículas. A constante de proporcionalidade é designada por massa inercial e é denotada por \(m\). Se \(\vec{v}\) for a velocidade da partícula ao longo de uma determinada direcção e \(m\) a sua massa, então a sua quantidade de movimento será dada por \(\vec{p}=m\vec{v}\). Se a partícula for submetida a uma causa externa, a sua intensidade é medida pela variação dessa quantidade de movimento, isto é,
\[\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}\]
De acordo com o princípio da sobreposição dos movimentos, o movimento de uma partícula que seja submetida a um conjunto de forças é dado pela soma dos movimentos rectilíneos resultantes da aplicação independente de cada uma das forças. Em partícular, se um conjunto de forças aplicadas a uma partícula se equilibrarem, a soma das variações dos respectivos movimentos anular-se-á e a partícula encontrar-se-á em repouso ou mover-se-á com velocidade constante ao longo de uma linha recta.
Suponha-se que um sistema de forças \(F_{ij}\) é aplicado sobre um conjunto de partículas \(i\) de massa \(m_i\), segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_{ij}\) durante um instante infinitesimal. Defina-se uma direcção ao longo da qual o sistema se pode mover durante esse instante dada pelos vectores infinitesimais \(\delta\vec{r}_i\). Ora, a variação do movimento da partícula \(i\) devido à força \(\vec{F}_{ij}\) pode ser decomposto na soma de dois movimentos, um segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e o outro segundo uma direcção que lhe seja perpendicular. A força \(\vec{F}_{ij}\) fica determinada, neste caso, pela soma das forças, uma segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e a outra segundo a direcção perpendicular. Após formulação tem-se
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i=0\]
Aqui \(s_{ij}\) representa a distância percorrida pela partícula \(i\), segundo a direcção da força, \(\vec{u}_{ij}\), considerando apenas o movimento devido à sua acção. A soma sobre todas as forças e partículas resulta na seguinte expressão para o princípio dos trabalhos virtuais no seu caso mais geral, nomeadamente,
\[\sum_{ij}{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Como no instante em que é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais o movimento é considerada rectilíneo, \(\vec{u}_{ij}\) deverá ser considerado como constante, advindo
\[\sum_j{\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)\vec{u}_{ij}}=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d}{dt}\sum_j{s_{ij}\vec{u}_ij}\right)=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)\]
onde
\[\vec{r}_i=\sum_j{s_{ij}\vec{u}_{ij}}\]
O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se na forma equivalente como
\[\sum_i{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\sum_j{F_{ij}\vec{u}_{ij}}\right)\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Esta é a forma habitualmente usada na resolução de problemas de Dinâmica. Se se pretender que o o sistema se encontre em equilíbrio, é suficiente observar que se deve ter \(\vec{r}_i=0\), reduzindo a expressão anterior ao caso da Estática.
Suponha-se que se pretende determinar a força que está na origem da trajectória de uma partícula de massa \(m\) dada por \(\vec{r}(t)\), supondo que não são aplicadas quaisquer restrições. Neste caso, \(\delta\vec{r}\) será um vector arbitrário advindo, do princípio dos trabalhos virtuais,
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\vec{F}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]
Como \(\delta\vec{r}\) é arbitrário, então
\[m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-\vec{F}=0\]
que corresponde à conhecida lei da Dinâmica para o caso de partículas livres. Se se assumir que a partícula de massa constante \(m\) se pode mover apenas ao longo de uma linha dada por \(\vec{r}(s)\) então
\[\delta\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{ds}ds\]
e o princípio dos trabalhos virtuais advém da forma
\[\left(-m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\vec{F}\right)\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}ds=0\]
o que conduz à equação
\[\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
isto é,
\[m\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}+m\frac{d^2s}{dt^2}\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
que, como \(\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=1\) e, consequentemente,
\[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
se reduz a
\[m\frac{d^2s}{dt^2}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
Segue-se daqui que a componente da força segundo a tangente à curva sob a qual a partícula está limitada a mover-se é medida pela alteração da quantidade de movimento ao longo dessa tangente.
O mesmo argumento serve para determinar as equações que determinam o movimento de uma partícula que esteja restrita a mover-se sobre a superfície determinada por \(\vec{r}\left(u^1,u^2\right)\), onde \(u^i\) são parâmetros cujos índices são sobrescritos, em conformidade com as notações de geometria diferencial. Se se definirem os vectores tangentes
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^1}\\ \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^2}\end{array}\right.\]
então
\[\delta\vec{r}=\vec{e}_1du^1+\vec{e}_2du^2\]
Definem-se os coeficientes \(g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j\) e \(\Gamma_{ij}^k\) que satisfazem
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\Gamma_{ij}^1\vec{e}_1+\Gamma_{ij}^2\vec{e}_2+\kappa\vec{n}\]
em que \(\vec{n}\) corresponde ao vector normal à superfície.
Dado que
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial u^i}\]
devido à igualdade das derivadas cruzadas, segue-se que \(\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k\).
Tem-se, para uma trajectória arbitrária sobre a superfície,
\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{du^1}{dt}\vec{e}_1+\frac{du^2}{dt}\vec{e}_2\]
e, aplicando nova derivação,
\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_1+\\ +\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_2+\kappa'\vec{n}\end{array}\]
Suponha-se ainda que a força \(\vec{F}\) se escreve, na nova base, como
\[\vec{F}=F^1\vec{e}_1+F^2\vec{e}_2+F^N\vec{n}\]
Considerando as expressões anteriores no princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{i=1}^2g_{1i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\\ \sum_{i=1}^2g_{2i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\end{array}\right.\]
O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como
\[GP=0\]
onde \(G=\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\) é a matriz constituída pelos coeficientes métricos e \(P\) é o vector coluna cujas entradas são dadas por
\[\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\]
Dado que a matriz \(G\), sendo as suas entradas dadas pelos produtos escalares dos vectores da base, é invertível, o sistema anterior é equivalente a
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^1\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^1=0\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^2\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^2=0\end{array}\right.\]
Segue-se da equação anterior, fazendo \(F^i=0\), que se a projecção da força sobre o plano tangente à superfície for nula, isto é, se a força for normal à superfície, então a partícula, sendo animada de uma velocidade inicial, terá a sua trajectória contida numa geodésica.
A combinação linear das equações anteriores permite escrever
\[\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{2}g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m^2\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{2}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}-F^i\right)=0\]
Dado que
\[\Gamma_{kl}^i=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^2g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial u^m}+\frac{\partial g_{lm}}{\partial u^k}\right)\]
onde \(\left\lbrack g^{ij}\right\rbrack\) é a matriz inversa de \(\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\), isto é,
\[\sum_{i=1}^2g_{ij}g^{im}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & j=m\\ 0, & j\ne m\end{array}\right.\]
segue-se que
\[\sum_{ij,k,l=1}^2g_{ij}\frac{du^j}{dt}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\frac{1}{2}\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
A troca da ordem da soma em \(k\) e\(j\) permite concluir que
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
isto é,
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k=1}^{2}\frac{dg_{jk}}{dt}\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}\]
A expressão atrás considerada que resulta da combinação linear das equações das geodésicas adquire a forma
\[\sum_{i,j=1}^{2}\left(g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+\frac{1}{2}\frac{dg_{ij}}{dt}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}-g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i\right)=0\]
Não é difícil verificar que a equação anterior reduz a
\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(g_{ij}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}\right)-\sum_{i,j=1}^2g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i=0\]
Porém, a expressão compreendida sob o sinal de diferencial corresponde à norma \(p\) do momento da quantidade de movimento da partícula. Se a projecção da força sobre a superfície for nula, será constante o módulo do momento da quantidade de movimento. No caso em que a projecção é nula e a massa é constante, a partícula, estando animada de uma velocidade inicial, irá mover-se sobre a geodésica com velocidade constante.
Considerem-se agora duas partículas, \(A\) e \(B\), de massas \(m_A\) e \(m_B\). Ambas as partículas movem-se, mantendo constante a distância entre si. A partícula \(A\) move-se com aceleração constante ao longo de uma linha horizontal. Ambas as partículas encontram-se sujeitas à força gravítica, considerada constante, segundo a direcção vertical. O princípio dos trabalhos virtuais constitui uma forma simples de determinar as equações que descrevem tal movimento.
Seja \(\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)\) e \(\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)\) os vectores que determinam a posição das partículas \(A\) e \(B\) num determinado referencial. Suponha-se que, nesse referencial, a partícula \(A\) esteja limitada a mover-se sobre a recta horizontal de equação \(y_A=h\). Se se denotar por \(a\) a aceleração constante da partícula \(A\) ao longo da recta considerada e por \(v\) a sua velocidade inicial, então a sua trajectória é dada pelas equações paramétricas, no referencial em que a partícula se encontra em repouso no instante inicial sobre a origem, a uma altura \(h\) do plano \(xOy\),
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_A=\frac{1}{2}at^2\\ y_A=0\\ z_A=h\end{array}\right.\]
Dado que, no decurso do movimento do sistema, a distância entre as partículas se pretende constante, isto é
\[\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}=l\]
as coordenadas da partícula \(B\) poderão ser escritas na forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_B=\frac{1}{2}at^2+l\cos\varphi\sin\theta\\ y_B=l\sin\varphi\\ z_B=h-l\cos\varphi\cos\theta\end{array}\right.\]
\[\sum_{ij}{\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
qualquer que seja o deslocamento infinitesimal \(\delta\vec{r}_i\), consistente com as condições aplicadas ao sistema nesse instante. Na determinação da variação infinitesimal denotada por \(\delta\), o tempo \(t\) é considerado como constante, em contraste com a variação infinitesimal total \(d\). De facto, quaisquer que sejam as direcções dos movimentos infinitesimais que possam ser aplicados ao sistema, a resultante das forças aplicadas segundo essas direcções deverá anular-se para que o sistema se encontre em equilíbrio estático no intervalo de tempo considerado.
De acordo com a lei da inércia, se a parte de um sistema que se encontre em movimento rectilíneo e uniforme não for actuado por uma causa externa então irá manter esse movimento rectilíneo e uniforme. A intensidade da causa externa determina-se, portanto, considerando a variação da sua quantidade de movimento. Se uma partícula for actuada por uma força externa ao longo de uma mesma direcção, a intensidade da força deverá ser determinada, em parte, pela variação da sua velocidade. Porém, dado que, considerando que tal partícula é divisível em partículas idênticas mais elementares, a quantidade de movimento deverá ser proporcional ao número dessas partículas. A constante de proporcionalidade é designada por massa inercial e é denotada por \(m\). Se \(\vec{v}\) for a velocidade da partícula ao longo de uma determinada direcção e \(m\) a sua massa, então a sua quantidade de movimento será dada por \(\vec{p}=m\vec{v}\). Se a partícula for submetida a uma causa externa, a sua intensidade é medida pela variação dessa quantidade de movimento, isto é,
\[\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}\]
De acordo com o princípio da sobreposição dos movimentos, o movimento de uma partícula que seja submetida a um conjunto de forças é dado pela soma dos movimentos rectilíneos resultantes da aplicação independente de cada uma das forças. Em partícular, se um conjunto de forças aplicadas a uma partícula se equilibrarem, a soma das variações dos respectivos movimentos anular-se-á e a partícula encontrar-se-á em repouso ou mover-se-á com velocidade constante ao longo de uma linha recta.
Suponha-se que um sistema de forças \(F_{ij}\) é aplicado sobre um conjunto de partículas \(i\) de massa \(m_i\), segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_{ij}\) durante um instante infinitesimal. Defina-se uma direcção ao longo da qual o sistema se pode mover durante esse instante dada pelos vectores infinitesimais \(\delta\vec{r}_i\). Ora, a variação do movimento da partícula \(i\) devido à força \(\vec{F}_{ij}\) pode ser decomposto na soma de dois movimentos, um segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e o outro segundo uma direcção que lhe seja perpendicular. A força \(\vec{F}_{ij}\) fica determinada, neste caso, pela soma das forças, uma segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e a outra segundo a direcção perpendicular. Após formulação tem-se
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i=0\]
Aqui \(s_{ij}\) representa a distância percorrida pela partícula \(i\), segundo a direcção da força, \(\vec{u}_{ij}\), considerando apenas o movimento devido à sua acção. A soma sobre todas as forças e partículas resulta na seguinte expressão para o princípio dos trabalhos virtuais no seu caso mais geral, nomeadamente,
\[\sum_{ij}{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Como no instante em que é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais o movimento é considerada rectilíneo, \(\vec{u}_{ij}\) deverá ser considerado como constante, advindo
\[\sum_j{\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)\vec{u}_{ij}}=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d}{dt}\sum_j{s_{ij}\vec{u}_ij}\right)=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)\]
onde
\[\vec{r}_i=\sum_j{s_{ij}\vec{u}_{ij}}\]
O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se na forma equivalente como
\[\sum_i{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\sum_j{F_{ij}\vec{u}_{ij}}\right)\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Esta é a forma habitualmente usada na resolução de problemas de Dinâmica. Se se pretender que o o sistema se encontre em equilíbrio, é suficiente observar que se deve ter \(\vec{r}_i=0\), reduzindo a expressão anterior ao caso da Estática.
Suponha-se que se pretende determinar a força que está na origem da trajectória de uma partícula de massa \(m\) dada por \(\vec{r}(t)\), supondo que não são aplicadas quaisquer restrições. Neste caso, \(\delta\vec{r}\) será um vector arbitrário advindo, do princípio dos trabalhos virtuais,
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\vec{F}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]
Como \(\delta\vec{r}\) é arbitrário, então
\[m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-\vec{F}=0\]
que corresponde à conhecida lei da Dinâmica para o caso de partículas livres. Se se assumir que a partícula de massa constante \(m\) se pode mover apenas ao longo de uma linha dada por \(\vec{r}(s)\) então
\[\delta\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{ds}ds\]
e o princípio dos trabalhos virtuais advém da forma
\[\left(-m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\vec{F}\right)\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}ds=0\]
o que conduz à equação
\[\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
isto é,
\[m\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}+m\frac{d^2s}{dt^2}\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
que, como \(\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=1\) e, consequentemente,
\[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
se reduz a
\[m\frac{d^2s}{dt^2}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
Segue-se daqui que a componente da força segundo a tangente à curva sob a qual a partícula está limitada a mover-se é medida pela alteração da quantidade de movimento ao longo dessa tangente.
O mesmo argumento serve para determinar as equações que determinam o movimento de uma partícula que esteja restrita a mover-se sobre a superfície determinada por \(\vec{r}\left(u^1,u^2\right)\), onde \(u^i\) são parâmetros cujos índices são sobrescritos, em conformidade com as notações de geometria diferencial. Se se definirem os vectores tangentes
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^1}\\ \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^2}\end{array}\right.\]
então
\[\delta\vec{r}=\vec{e}_1du^1+\vec{e}_2du^2\]
Definem-se os coeficientes \(g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j\) e \(\Gamma_{ij}^k\) que satisfazem
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\Gamma_{ij}^1\vec{e}_1+\Gamma_{ij}^2\vec{e}_2+\kappa\vec{n}\]
em que \(\vec{n}\) corresponde ao vector normal à superfície.
Dado que
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial u^i}\]
devido à igualdade das derivadas cruzadas, segue-se que \(\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k\).
Tem-se, para uma trajectória arbitrária sobre a superfície,
\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{du^1}{dt}\vec{e}_1+\frac{du^2}{dt}\vec{e}_2\]
e, aplicando nova derivação,
\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_1+\\ +\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_2+\kappa'\vec{n}\end{array}\]
Suponha-se ainda que a força \(\vec{F}\) se escreve, na nova base, como
\[\vec{F}=F^1\vec{e}_1+F^2\vec{e}_2+F^N\vec{n}\]
Considerando as expressões anteriores no princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{i=1}^2g_{1i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\\ \sum_{i=1}^2g_{2i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\end{array}\right.\]
O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como
\[GP=0\]
onde \(G=\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\) é a matriz constituída pelos coeficientes métricos e \(P\) é o vector coluna cujas entradas são dadas por
\[\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\]
Dado que a matriz \(G\), sendo as suas entradas dadas pelos produtos escalares dos vectores da base, é invertível, o sistema anterior é equivalente a
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^1\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^1=0\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^2\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^2=0\end{array}\right.\]
Segue-se da equação anterior, fazendo \(F^i=0\), que se a projecção da força sobre o plano tangente à superfície for nula, isto é, se a força for normal à superfície, então a partícula, sendo animada de uma velocidade inicial, terá a sua trajectória contida numa geodésica.
A combinação linear das equações anteriores permite escrever
\[\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{2}g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m^2\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{2}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}-F^i\right)=0\]
Dado que
\[\Gamma_{kl}^i=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^2g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial u^m}+\frac{\partial g_{lm}}{\partial u^k}\right)\]
onde \(\left\lbrack g^{ij}\right\rbrack\) é a matriz inversa de \(\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\), isto é,
\[\sum_{i=1}^2g_{ij}g^{im}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & j=m\\ 0, & j\ne m\end{array}\right.\]
segue-se que
\[\sum_{ij,k,l=1}^2g_{ij}\frac{du^j}{dt}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\frac{1}{2}\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
A troca da ordem da soma em \(k\) e\(j\) permite concluir que
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
isto é,
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k=1}^{2}\frac{dg_{jk}}{dt}\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}\]
A expressão atrás considerada que resulta da combinação linear das equações das geodésicas adquire a forma
\[\sum_{i,j=1}^{2}\left(g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+\frac{1}{2}\frac{dg_{ij}}{dt}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}-g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i\right)=0\]
Não é difícil verificar que a equação anterior reduz a
\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(g_{ij}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}\right)-\sum_{i,j=1}^2g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i=0\]
Porém, a expressão compreendida sob o sinal de diferencial corresponde à norma \(p\) do momento da quantidade de movimento da partícula. Se a projecção da força sobre a superfície for nula, será constante o módulo do momento da quantidade de movimento. No caso em que a projecção é nula e a massa é constante, a partícula, estando animada de uma velocidade inicial, irá mover-se sobre a geodésica com velocidade constante.
Considerem-se agora duas partículas, \(A\) e \(B\), de massas \(m_A\) e \(m_B\). Ambas as partículas movem-se, mantendo constante a distância entre si. A partícula \(A\) move-se com aceleração constante ao longo de uma linha horizontal. Ambas as partículas encontram-se sujeitas à força gravítica, considerada constante, segundo a direcção vertical. O princípio dos trabalhos virtuais constitui uma forma simples de determinar as equações que descrevem tal movimento.
Seja \(\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)\) e \(\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)\) os vectores que determinam a posição das partículas \(A\) e \(B\) num determinado referencial. Suponha-se que, nesse referencial, a partícula \(A\) esteja limitada a mover-se sobre a recta horizontal de equação \(y_A=h\). Se se denotar por \(a\) a aceleração constante da partícula \(A\) ao longo da recta considerada e por \(v\) a sua velocidade inicial, então a sua trajectória é dada pelas equações paramétricas, no referencial em que a partícula se encontra em repouso no instante inicial sobre a origem, a uma altura \(h\) do plano \(xOy\),
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_A=\frac{1}{2}at^2\\ y_A=0\\ z_A=h\end{array}\right.\]
Dado que, no decurso do movimento do sistema, a distância entre as partículas se pretende constante, isto é
\[\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}=l\]
as coordenadas da partícula \(B\) poderão ser escritas na forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_B=\frac{1}{2}at^2+l\cos\varphi\sin\theta\\ y_B=l\sin\varphi\\ z_B=h-l\cos\varphi\cos\theta\end{array}\right.\]
Denotando por \(\vec{r}=\left(x_B,y_B,z_B\right)\), determina-se, por derivação,
\[\begin{array}{l}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=a\vec{i}+\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\vec{e}_\varphi+\\ +\frac{1}{\cos\varphi}\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)\vec{e}_\theta\end{array}\]
onde \(\vec{i}\) é o versor alinhado com o eixo das abcissas e
\[\begin{array}{ll}\vec{e}_\varphi=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}, & \vec{e}_\theta=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}\end{array}\]
são os vectores que assumem a direcção das tangentes ao vector de posição quando se varia apenas uma das coordenadas. Os pesos aplicados a cada uma das partículas \(A\) e \(B\) são, respectivamente, \(P_A=-m_Ag\vec{k}\) e \(P_B=-m_Bg\vec{k}\), em que \(g\) representa a aceleração gravítica considerada constante e \(\vec{k}\) é o versor que assume a direcção do eixo das cotas.
Dado ser conhecido o movimento da partícula \(A\), esta pode ser removida do princípio dos trabalhos virtuais por já se encontrar em equilíbrio. Assim,
\[\left(m_B\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+m_Bg\vec{j}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]
Considerando, sucessivamente, a variação apenas em ordem a \(\varphi\) e depois em ordem a \(\theta\), tem-se, em primeiro lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\varphi d\varphi\) e, em segundo lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\theta d\theta\). A sua consideração no princípio dos trabalhos virtuais permite obter o sistema de equações
\[\left\lbrace\begin{array}{l}l\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)+\left(g\cos\theta-a\sin\theta\right)\sin\varphi=0\\ l\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)+g\sin\theta+a\cos\theta=0\end{array}\right.\]
A massa \(B\) ficará, portanto, sujeita a um movimento pendular sobre a qual actuam a força gravítica e a força inercial dada pela sua ligação à massa \(A\). O ponto de equilíbrio do pêndulo será dado por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\) que satisfaz a relação
\[g\sin\theta_0+a\cos\theta_0=0\]
uma vez que, nestas condições, a solução das equações é dada por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\). Isto deve-se ao facto das projecções da força gravítica e da força inercial devida à aceleração sobre a tangente ao movimento permitido do pêndulo se anularem, como seria de esperar.
