No artigo A função característica para o oscilador harmónico simples foi calculada a função característica para o caso particular do oscilador, conhecidas as respectivas soluções. Aí foi observado que as equações de movimento se obtêm de determinado modo se essa função for conhecida. No que se segue, será apresentada a teoria que subjaz as observações feitas.
Se a condição de um sistema mecânico for dado por um conjunto de parâmetros \(\theta_1,\cdots,\theta_n\) e as forças envolvidas se possam obter de funções potenciais, o movimento do sistema será descrito pelas equações
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_i}=0\]
sendo \(L=T-U\), \(T\) a energia cinética, função dos \(\theta_i\) e dos \(\theta_i'\) e \(U\) a função potencial de onde se obtêm as forças intervenientes por derivação, como foi mostrado no artigo Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais. Aqui usa-se a notação \(\theta_i'\) para representar a derivada de \(\theta_i\) em ordem ao tempo e que está associada à componente correspondente da velocidade. Note-se que os parâmetros de condição \(\theta_i\) devem ser funções das coordenadas rectangulares \(x_i,y_i,z_i\) de todas as partículas.
As equações de movimento escritas em termos de \(L\) coincidem com as equações que se obtêm do problema variacional de determinar os extremos do funcional dado pela integral
\[\delta\int_{t_0}^t{L\left(\theta_1,\cdots,\theta_n,\theta_1',\cdots,\theta_n'\right)dt}=0\]
A solução do sistema de equações diferenciais, no instante \(t_1\), são habitualmente dadas por
\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta_1^0\right)',\cdots,\left(\theta_n^0\right)'\right)\]
Tratam-se de funções de \(t-t_0\) porque a transformação \(t\to t-t_0\) deixa as equações invariantes. Ora, sendo \(\theta_i^1\) o valor da função em \(t=t_1\), o sistema de equações
\[\theta_i^1=\theta_i\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta'_1\right)^0,\cdots,\left(\theta'_n\right)^0\right)\]
permite determinar
\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)\]
Define-se a função
\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\int_{t_0}^{t_1}{L\left(\theta_i,\theta_i',t-t_0\right)dt}\]
Note-se que
\[\left(\theta_i\right)'=\frac{\partial \theta_i}{\partial t}\]
são também função de \(t-t_0\), bem como \(\theta_i^0\) e \(\theta_i^1\). Segue-se daqui que
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}+\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\frac{\partial \theta^j}{\partial \theta_i^0}}dt}\]
Aplica-se o método de integração por partes, notando que
\[\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right)\]
para obter
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}{\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\left(\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\right)}\]
Usa-se a notação de derivada parcial em ordem ao tempo para enfatizar o facto de que se tratam de funções que envolvem outros parâmetros. Lembrando as equações do movimento, facilmente se determina que
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}\]
Por seu turno, como
\[\theta_j^0=\left\lbrack\theta_j\right\rbrack_{t=t_0}\]
e as variáveis, sendo independentes,
\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_0}=\frac{\partial \theta_j^0}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & i=j\\ 0, & i\ne j\end{array}\right.\]
Por outro lado,
\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_1}=0\]
uma vez que são independentes as variáveis \(\theta_j^0\) e \(\theta_j^1\). Conclui-se, portanto, que
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_0}\]
Do mesmo modo se determina que
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_1}\]
Se se designar por momento o vector
\[\vec{p}=\vec{\nabla}_{\theta_i'}L\]
de componentes
\[p_i=\frac{\partial L}{\partial x_i'}\]
então
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}_{\theta_i^0}V=-\vec{p}^0\\ \vec{\nabla}_{\theta_i^1}V=\vec{p}^1\end{array}\right.\]
Do ponto de vista geométrico, a função \(V\) é tal que a família de superfícies definida pela equação
\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\nu\left(t-t_0\right)\]
é perpendicular aos vectores momentos nos instantes respectivos. Por seu turno, da definição de \(V\) obtém-se
\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=\left\lbrack L\right\rbrack_{t=t_1}+\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)+\frac{\partial L}{\partial \theta_i}\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)}dt}\]
A integração por partes e subsequente consideração das equações do movimento conduzem à expressão
\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=L\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\left(\theta_1'\right)^1,\cdots,\left(\theta'_n\right)^1\right)-\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1}\]
onde \(\left(\theta'_i\right)^1=\left\lbrack \theta'_i\right\rbrack_{t=t_1}\). Dado que a função \(L\) é homogénea de segundo grau relativamente às variáveis \(x_i'\), é possível determinar estas variáveis como função dos \(p_i\). Se se definir a função
\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1 }-L\]
pode-se escrever
\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]
Como
\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\]
deverá valer a equação diferencial às derivadas parciais da forma
\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^1},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^1}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]
Do mesmo modo,
\[H\left(0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^0},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^0}\right)=\frac{\partial V}{\partial t_0}\]
Conclui-se, portanto, que, conhecidas as soluções das equações às derivadas parciais assim definidas, é possível determinar, por intermédio das quadraturas
\[\begin{array}{cc}\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-p_i^0, & \frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\end{array}\]
as soluções das equações do movimento.
