As equações do oscilador harmónico simples são dadas por
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]
onde
\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]
De modo a obter a equação de onda, faz-se
\[p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\]
e determina-se a quantidade \(H(x,p)=px'-L\) em função de \(x\) e \(p\), nomeadamente,
\[H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2\]
As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema
\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.\]
isto é, as já conhecidas equações da mola
\[\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.\]
A equação de onda é escrita na forma
\[H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]
isto é,
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]
Aplica-se o método da separação, fazendo \(\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)\). Daqui segue-se que
\[\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}\]
onde \(E\) é uma constante. A função \(\psi(x)\) satisfaz a equação diferencial
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi\]
que pode ser colocada na forma
\[\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0\]
onde
\[\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}\]
Faz-se
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.\]
obtendo-se a equação diferencial
\[\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0\]
Considera-se a solução \(\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}\). A equação de \(u\) fica
\[\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0\]
A equação possui soluções polinomiais \(H_n(y)\) quando \(\varepsilon\alpha-1=2n\) onde \(n\) é um número inteiro. As restantes soluções, quando \(n\) não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando \(y\to\infty\) e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem
\[\alpha\varepsilon=2n+1\]
que corresponde aos valores para a energia
\[E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\]
em que
\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]
As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma
\[\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}\]
onde
\[(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}\]
são polinómios.
