As equações do movimento em mecânica obtêm-se da função \(L=T-U\) onde \(T\) é a energia cinética e \(U\) é a função potencial de onde se podem obter, por derivação, as forças. Estas escrevem-se na forma
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\]
em que
\[x_i'=\frac{dx_i}{dt}\]
Por exemplo, a função \(L\) para o caso de um conjunto de \(N\) partículas livres é dada por
\[L=\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{2}m_j\left(x_{3j-2}'^2+x_{3j-1}'^2+x_{3j}'^2\right)}\]
em que as coordenadas rectangulares da partícula \(j\) de massa \(m_j\) são dadas por \(\left(x_{3j-2},x_{3j-1},x_{3j}\right)\) de onde resultam as equações
\[m_j\frac{d^2x_j}{dt^2}=0\]
cujas soluções indicam que as partículas percorrem linhas rectas com velocidades constantes.
Considere-se um sistema mecânico descrito por \(n\) coordenadas \(x_1,\cdots,x_n\) e seja a função
\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\frac{df\left(x_1,\cdots,x_n\right)}{dt}\]
A regra da derivação permite escrever
\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\sum_i^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}x_i'}\]
e, portanto,
\[\frac{\partial F}{\partial x_i'}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\]
Se se derivar a equação anterior em ordem ao tempo obtém-se
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{j=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_j}x_j'}=\frac{\partial F}{\partial x_i}\]
isto é,
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial F}{\partial x_i}=0\]
Observa-se que o sistema definido pelas equações
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0\]
descreve o mesmo sistema mecânico. Multiplicando as equações anteriores por \(x_i'\) e somando obtém-se
\[\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0}\]
A regra da derivada do produto permite determinar a equação equivalente
\[\sum_{i=1}^n{\frac{d}{dt}\left(x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=0\]
Porém,
\[\sum_{i=1}^n{x''_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x'_i}+x'_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=\frac{d(L+F)}{dt}-\frac{\partial L}{\partial t}\]
A substituição na fórmula anterior permite obter
\[\frac{d}{dt}\left\lbrack-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}\right\rbrack=-\frac{\partial L}{\partial t}\]
Se \(L\) não depender explicitamente do tempo então conserva-se a quantidade
\[E=-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=-L+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial L}{\partial x_i'}}\]
No caso do oscilador harmónico simples a uma dimensão, por exemplo, tem-se
\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]
cuja equação do movimento se escreve como
\[m\frac{d^2x}{dt^2}-kx=0\]
De acordo com o que foi atrás determinado, dado que \(L\) não depende explicitamente do tempo, conserva-se a quantidade
\[E=\frac{1}{2}mx'^2+\frac{1}{2}kx\]
Considere-se a família de tranformações invertíveis definidas pelas expressões
\[x_i=x_i\left(\chi_1,\cdots,\chi_n,\theta\right)\]
onde \(\theta\) é o parâmetro da família de tal modo que
\[\chi_i\left(x_1,\cdots,x_n,0\right)=x_i\]
Suponha-se ainda que, após a transformação na função \(L\), esta não dependa desse parâmetro, isto é,
\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\]
Ora,
\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial x'_i}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial \theta}\right)}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)}\]
onde se consideraram as equações do movimento. A derivada em ordem a \(t\) foi aqui considerada como parcial relativamente ao parâmetro \(\theta\). A regra do produto permite determinar que
\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}=0\]
É, portanto, conservada a quantidade
\[\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}\]
que é função dos \(\chi_i\) e respectivas derivadas temporais. Quando \(\theta=0\) tem-se \(\chi_i=x_i\) e, neste caso, a quantidade depende dos \(x_i\) e suas derivadas temporais. Se a função \(L\) mantiver a mesma forma após as transformações, as equações em \(\chi_i\), nomeadamente
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \chi_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial\chi_i}=0\]
terão a mesma forma que as equações correspondentes em \(x_i\), podendo variar as constantes de integração e a quantidade que se conserva no tempo não depende do parâmetro \(\theta\). Designando a quantidade por \(k\), resulta que, sendo a solução do sistema nas coordenadas originais dado pelas funções
\[x_i\left(x_1^0,\cdots,x_n^0,\left(x_1'\right)^0,\cdots,\left(x_n'\right)^0,t-t_0\right)\]
A constante \(k\) dependerá dos \(x_i^0\) bem como dos \(\left(x_i'\right)^0\). Sem perda de generalidade, pode-se assumir que se pode escrever \(\left(x_n'\right)^0\) como função das restantes constantes e de \(k\). Segue-se que
\[\chi_i=x_i\left(\chi_1^0,\cdots,\chi_n^0,\left(\chi_1'\right)^0,\cdots,k,t-t_0\right)\]
em que as constantes \(\chi_i^0\) e \(\left(\chi_i'\right)^0\) se obtêm das suas congéneres a partir das transformações.
De modo a ilustrar o que foi apresentado, considere-se a função \(L\) para o caso de uma partícula livre que se move a uma dimensão,
\[L=\frac{1}{2}mx'^2\]
A função mantém a mesma forma se se considerar a família de transformações
\[x=\chi+\theta\]
das quais resulta
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_0=\chi_0+\theta\\ x_0'=\chi_0'\end{array}\right.\]
isto é,
\[L=\frac{1}{2}m\chi'^2\]
De acordo com o que foi atrás exposto, conservar-se a quantidade
\[k=mx'=m\chi'\]
A solução do problema é dada, em cada sistema de coordenadas, por
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x\left(x_0,k\right)=x_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\\ \chi\left(\chi_0,k\right)=\chi_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\end{array}\right.\]
Observa-e que, de facto,
\[\chi=x\left(\chi^0,k,t-t_0\right)\]
Considere-se agora o movimento de uma partícula num campo central de forças descrito pela função
\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2+z'^2\right)-U\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\]
A transformação de coordenadas da forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\chi\cos\theta+\eta\sin\theta\\ y=-\chi\sin\theta+\eta\cos\theta\\ z=\zeta\end{array}\right.\]
considerando que
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\chi'\cos\theta+\eta'\sin\theta\\ y'=-\chi'\sin\theta+\eta'\cos\theta\\ z'=\zeta'\end{array}\right.\]
reduz \(L\) à mesma forma, nomeadamente,
\[L=\frac{1}{2}m\left(\chi'^2+\eta'^2+\zeta'^2\right)-U\left(\sqrt{\chi^2+\eta^2+\zeta^2}\right)\]
De acordo com o que foi atrás discutido, conserva-se a quantidade
\[l_3=\frac{\partial L}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial y'}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial z'}\frac{\partial z}{\partial\theta}\]
onde se faz \(\theta=0\), advindo, neste caso, \(\chi=x\) e \(\eta=y\) após a derivação. Conserva-se a quantidade
\[l_3=x'y-y'x=\chi'\eta-\eta'\chi\]
Observa-se que a transformação considerada corresponde a uma rotação em torno do eixo das quotas. Se se considerarem as rotações em torno dos eixos das ordenadas e das abcissas, dado que a forma de \(L\) se mantém nesses casos, verifica-se que são invariantes as quantidades
\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y\\ l_2=z'x-x'z\\ l_3=x'y-y'x\end{array}\right.\]
Trata-se das componentes do vector momento angular que se conservam no caso de uma partícula que se move num campo central de forças. Uma solução geral do problema mecânico é dada por
\[\vec{r}=\vec{r}\left(\vec{r}_0,\vec{l}_0,t-t_0\right)\]
onde \(\vec{r}=(x,y,z)\) e \(\vec{l}=\left(l_1,l_2,l_3\right)\), uma vez que as velocidades iniciais podem ser escritas como função dos invariantes e das posições iniciais. Da invariância de \(L\) mediante uma rotação segue-se que, sendo \(R\) o operador rotação então, se \(\vec{r}\) for uma solução do problema, \(R\vec{r}\) é outra solução do problema e, portanto,
\[R\vec{r}=\vec{r}\left(R\vec{r}_0,R\vec{l},t-t_0\right)\]
uma vez que uma rotação de \(\vec{r}\) corresponde a uma rotação de \(\vec{l}\). Se se determinar as soluções gerais para o caso em que \(l_1=l_2=0\) então as demais soluções constroem-se a partir destas por intermédio da aplicação de uma rotação. As condições consideradas implicam, em particular, que \(z=0\) e as soluções a determinar são aquelas que se dão sobre o plano horizontal.
