Paralaxe

Os sistemas de coordenadas são considerados relativamente ao centro da Terra. Porém, as medições são apenas possíveis à sua superfície. A aproximação do horizonte por um plano paralelo sobre o centro é apenas válida no caso de estrelas muito distantes. Alguns dos astros, a Lua em particular, estão suficientemente próximos da Terra para que o erro cometido na aproximação não seja negligenciável.

Seja \(A\) o ponto à superfície onde é realizada a medição, \(Z\) o zénite, \(C\) o centro, \(H\) o ponto onde a estrela cruza o horizonte à altura zero e \(I\) um ponto genérico onde a estrela se pode encontrar num outro instante. Como \(ZAI+IAC=\pi\) por se tratar de ângulos suplementares e

\[AIC+ICA+CAI=\pi\]

segue-se que\(AIC=ZAI-CAI\). O erro cometido por paralaxe é dado pelo ângulo \(AIC\). Do mesmo modo,

\[AHC=ZAH-CAH=\frac{\pi}{2}-CAH\]

De modo a simplificar a notação, denota-se por \(\zeta_I\) e \(\zeta_H\) os ângulos \(ZAI\) e \(ZAH\) respectivamente, isto é, as distâncias ao zénite das posições dadas por \(I\) e \(H\) medidas à superfície. Denota-se por \(\sigma_I\) e \(\sigma_H\) os ângulos de paralaxe \(AIC\) e \(AHC\). Da lei dos senos aplicada ao triângulo \(AIC\) obtém-se

\[\frac{\sin\left(\pi-\zeta_I\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_I}{AC}\]

Do mesmo modo, também vale a identidade

\[\frac{\sin\left(\pi-\zeta_H\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_H}{AC}\]

Segue-se daqui que

\[\frac{\sin\sigma_H}{\sin\zeta_H}=\frac{\sin\sigma_I}{\sin\zeta_I}\]

Como \(\zeta_H=\pi/2\), tem-se

\[\sin\sigma_I=\sin\zeta_I\sin\sigma_H\]

Assim, sendo conhecida a paralaxe horizontal \(\sigma_H\) e a distância ao zénite \(\zeta_I\) do astro medida à superfície, calcula-se o erro de paralaxe \(\sigma_I\) cometido. É interessante observar que, sendo \(R\) o raio da Terra e \(D\) a distância ao astro, se tem

\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]

Resta, portanto, medir o valor da paralaxe horizontal. Para o efeito, sejam realizadas medições da distância ao zénite de um mesmo astro no ponto \(I\) em duas localizações \(A\) e \(A'\) situadas no mesmo meridiano afastados entre si de um ângulo de latitude igual a \(\varphi\).

Denota-se por \(\zeta_A\) e \(\zeta_{A'}\) as distâncias aos zénites \(Z\) e \(Z'\) medidas nas posições \(A\) e \(A'\). Como  e a soma dos ângulos internos do quadrilátero \(ACA'I\) é igual a \(2\pi\), segue que

\[AIA'=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi\]

Utilizando a notação \(\psi=AIA'\), tem-se, portanto, \(\psi=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi\) obtido por medição. Por outro lado, sabe-se que \(\psi=\sigma_A+\sigma_{A'}\) é igual à soma dos erros de paralaxe. A fórmula para a soma dos senos permite escrever

\[\sin\psi=\sin\sigma_A\cos\sigma_{A'}+\sin\sigma_{A'}\cos\sigma_A\]

que, atendendo às relações entre os erros de paralaxe num ponto arbitrário e a paralaxe horizontal, se reduz a

\[\sin\psi=\sin\sigma_H\left(\sin\zeta_A\cos\sigma_{A'}+\sin\zeta_{A'}\cos\sigma_A\right)\]

Como os erros de paralaxe são muito pequenos, tem-se \(\cos\sigma_{A'}\approx 1\) e \(\cos\sigma_A\approx 1\) e, portanto,

\[\sin\sigma_H=\frac{\sin\psi}{\sin\zeta_A+\sin\zeta_{A'}}\]

de onde se pode extrair o valor da paralaxe horizontal. O método apresentado para a determinação da paralaxe requer a determinação da diferença de latitude de dois lugares situados no mesmo meridiano, isto é, à mesma longitude e a utilização de instrumentos diferentes. É claro que, na determinação da diferença de latitudes é importante considerar a altura de uma estrela que se possa considerar situada no infinito, ao invés do método expostos atrás sujeito ao erro inerente à paralaxe solar.

Um método alternativo para a determinação da paralaxe que recorre à utilização do mesmo telescópio descreve-se do seguinte modo. Seja \(A\) o astro, situado à distância \(D\) do qual se pretende obter o valor da paralaxe horizontal, isto é, do ângulo \(\sigma_H\) tal que

\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]

Trace-se, sobre uma lâmina de vidro situada no foco comum da objectiva e ocular de um telescópio, duas linhas perpendiculares entre si e alinhe-se a imagem de uma delas com a trajectória definida pelo astro \(A\) no seu movimento diário. O mesmo efeito pode ser obtido com um micrómetro filar. Num determinado instante, dispõe-se o telescópio de modo a que a intersecção das duas linhas traçadas na ocular esteja sobre o astro \(A\). Encontre-se uma estrela \(E\) que poderá ser considerada a uma distância infinita e que se encontre sobre a linha vertical, alinhada com \(A\). No final de aproximadamente seis horas, alinhe-se novamente o telescópio com o astro \(A\). Devido à paralaxe, a estrela \(E\) encontrar-se-á agora desalinhada com \(A\). Mede-se o tempo que \(E\) leva até se encontrar alinhada com a recta vertical traçada na ocular. A fracção do tempo de alinhamento de \(E\) relativamente ao tempo medido entre duas passagens de \(E\) sobre o meridiano proporciona o ângulo \(\alpha\) como fracção equivalente da volta completa.

Suponha-se que o astro é observado no plano do equador em \(K\) a \(\pi/2\) radianos medidos a partir do meridiano.

Suponha-se que a estrela que pode ser considerada à distância infinita é observada sobre a linha traçada na lâmina do telescópio, perpendicular à direcção do seu movimento, no instante em que o astro se encontra em \(K\). A projecção da posição da estrela no plano do equador é dada pelo ponto \(E\) na mesma direcção em que o ponto \(K\) é observado a partir do ponto \(B\).

Ao fim de um determinado intervalo de tempo \(t\), a posição do astro é determinada pelo observador em \(B\) no ponto \(T\) situado no meridiano. A estrela será, portanto, observada em  \(F\)de modo a que sejam iguais os ângulos \(KPT\) e \(EPF\). Ao fim do instante adicional \(\delta t\) a estrela encontrar-se-á sobre o meridiano. Se \(T\) for o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas da estrela pelo meridiano, tem-se

\[FBZ=2\pi\frac{\delta t}{T}\]

Mas como \(ZPF=KPE\) e, dado que a estrela é considerada a uma distância infinita, \(PE\) é paralelo a \(BE\), seguindo-se que \(KPE=BKP\). A medição do tempo de transição  permite determinar o ângulo

\[\sigma_H=BKP\]

que proporciona a paralaxe horizontal, uma vez que

\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]

Se o alinhamento do astro com a estrela se desse quando este se encontrasse no ponto \(Y\), o mesmo mecanismo permitiria determinar o ângulo \(\sigma_Y=BYP\), de onde se obteria a paralaxe horizontal por intermédio da relação

\[\sin\sigma_Y=\sin\sigma_H\sin\alpha\]

onde \(\alpha=TBY\), que resulta da aplicação da lei dos senos ao triângulo \(BYP\).

Supondo que o observador se encontra em \(A\) num lugar à superfície da Terra com latitude \(\varphi\) e observa o astro em \(G\), situado sobre o equador, de modo que \(PAG\) seja um ângulo recto.

Suponha-se que, apontando o telescópio para o astro em \(G\), se observa a estrela sobre a linha horária traçada no foco comum do telescópio. A estrela encontra-se, portanto, no plano \(EBF\). O astro encontrar-se-á em \(H\), sobre o meridiano, ao fim do tempo \(t\). Após um intervalo de tempo \(\delta t\), a estrela estará a cruzar a linha horária do telescópio quando este se encontra apontado para \(H\), isto é, a estrela estará alinhada com a posição do zénite em termos de ascensão recta. O valor do arco percorrido durante o interval \(\delta t\) proporciona o ângulo \(FPG\) onde \(F\) corresponde à projecção do ponto \(E\) sobre o plano do equador. Porém, \(FPG=PGB\) dado que a estrela se encontra a uma distância infinita, sendo paralelas as rectas \(BF\) e \(PF\). Aqui, \(B\) corresponde à projecção de \(A\) sobre o plano do equador.

Fazendo \(\sigma_0=PGB\), tem-se

\[\sin\sigma_0=\frac{PB}{PG}=\frac{R\cos\varphi}{D}=\sin\varphi_H\cos\varphi\]

Se o astro se encontrar a uma declinação \(\delta\), então o mesmo mecanismo permite determinar

\[\sin\sigma_0=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\]

já que \(PG=D\cos\delta\) neste caso.

Na prática, convém usar uma forma mais geral do método descrito para a determinação da paralaxe horizontal. Suponha-se que o astro é observado em \(K\) e, no mesmo instante, a estrela é observada em \(E\) cujas projecções no equador são dadas respectivamente pelos pontos \(M\) e \(F\).

Se \(R\) for a projecção do lugar \(Q\) à superfície da Terra no plano do equador, a estrela será observada na linha horária associada ao astro em \(K\) quando a sua projecção sobre o equador se encontrar em \(A\), alinhada com \(M\) quando vista do ponto \(R\).

O tempo \(\delta t_1\) que a estrela leva até cruzar a linha horária do telescópio associada à posição de \(K\) permite determinar o ângulo \(FPA\). Ao fim de um intervalo de tempo \(t_1\), o astro encontra-se em \(L\) e a sua projecção sobre o equador, em \(N\). A projecção da estrela sobre o equador, partindo de \(A\) leva o mesmo intervalo de tempo \(t_1\) até chegar a \(G\). O intervalo de tempo que a estrela leva até se encontrar alinhada com a linha horária associada ao astro em \(L\) permite determinar o valor do ângulo \(GPB\) que corresponde à paralaxe.

Assim, alinhando o telescópio com o astro em \(L\), mede-se o intervalo de tempo \(\delta t_2\) que leva até à estrela cruzar a linha horária que lhe está associada. O intervalo de tempo \(\delta t_2\) permite determinar o ângulo

\[\frac{2\pi}{T}\delta t_2=FPA+GPB\]

onde \(T\) é o tempo que leva entre duas passagens consecutivas da estrela sobre o meridiano. A paralaxe \(\sigma\) assim determinada vem dada por

\[\sigma=GPB=\frac{2\pi}{T}\left(\delta t_2-\delta t_1\right)\]

Note-se que poderá ser necessária a determinação da variação do ângulo horário entre a estrela e o planeta ao longo de um intervalo de tempo suficientemente grande de modo a determinar a correcção média a ser aplicada à paralaxe determinada de modo a contemplar o seu movimento de translação.

Determinam-se os ângulos \(\alpha_1=API\) e \(\alpha_2=BPI\), medindo o tempo de transição da estrela entre os instantes em que cruza as respectivas linhas horárias e a sua passagem pelo meridiano. Ora, \(APM=GPN\) uma vez que os lados de um dos ângulos se obtêm dos lados do outro por intermédio da mesma rotação. Por seu turno, \(APM=PMR\) já que os lados \(PA\) e \(RA\) podem ser considerados como sendo paralelos entre si. Do mesmo modo, \(BPN=PNR\). Usando a notação \(\sigma_1=PMR\) e \(\sigma_2=PNR\), tem-se

\[\sigma=\sigma_1-\sigma_2\]

Por outro lado, como os lados \(RA\) e \(PA\) podem ser considerados como sendo paralelos, pode-se concluir que \(\alpha_1=ARI\). Do mesmo modo, \(\alpha_2=BRI\). A lei dos senos aplicada aos triângulos \(PMR\) e \(PNR\) resulta nas equações

\[\frac{\sin\sigma_1}{\sin\alpha_1}=\frac{\sin\sigma_2}{\sin\alpha_2}=\frac{R\cos\varphi}{D\cos\delta}=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\]

Também

\[\sin\sigma=\sin\sigma_1\cos\sigma_2-\sin\sigma_2\cos\sigma_1\approx\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)\]

dado que os valores das paralaxes são ínfimos. Tem-se, finalmente, para a paralaxe horizontal,

\[\sigma_H=\frac{\cos\delta}{\cos\varphi\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)}\]