Lagrange introduziu a noção da função potencial com o intuito de simplificar a dedução de algumas propriedades afins ao problema matemático da dinâmica do movimento de corpos que se atraem mutuamente (ver A Teoria do Potencial de Lagrange). Na sua obra Méchanique Analytique elabora as ideias fundamentais de modo a reduzir a determinação das equações diferenciais do movimento à aplicação de operações diferenciais bem definidas sobre um única função - por intermédio das equações que receberam o nome de equações de Euler-Lagrange.
No entanto, apesar da generalidade do método no que concerne à obtenção das equações válidas, não fornece qualquer pista intuitiva sobre os seus integrais intermédios e integrais finais. Com isto em mente, Hamilton estendeu a teoria de modo a contemplar, com o auxílio de uma função que designou por característica (previamente aplicada à óptica), obter os integrais intermédios e finais das equações diferenciais do movimento. Esta função é solução de um sistema de duas equações quadráticas diferenciais parciais nas variáveis iniciais e variáveis finais de primeira ordem.
Os seus resultados aplicados à dinâmica foram apresentados numa série de dois artigos cuja extensão é considerável. Apresento a tradução dum texto que serviu como resumo das suas ideias em Aplicação à dinâmica de um método previamente aplicado à óptica Sobre a aplicação à dinâmica de um método matemático geral privaiamente aplicado à óptica.
O Méchanique Analytique está disponível no Google Books:
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