domingo, 27 de março de 2011

A Teoria do Potencial de Lagrange

De modo a expor os teorema de D'Alembert sobre o movimento de muitos corpos sob a acção de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado das distâncias, no seu artigo "Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps qui s'attirent mutuellement en raison inverse des carrées des distances", Lagrange introduz uma função Ω, da qual obtém as equações dinâmicas do sistema por intermédio de processos de derivação. Esta função receberá mais tarde, por intermédio de Green, a designação de potencial.
Elaborei uma tradução com o título Observações gerais sobre o movimento de muitos corpos que se atraem mutuamente na razão inversa dos quadrados das distâncias. Neste artigo, o autor demonstra, com base na função que introduz, que tanto as coordenadas do centro de massa como a energia (forças vivas) são integrais de movimento. Também mostra que se verifica a lei das áreas para o caso em que o número de corpos é superior a dois. De facto, o integral de movimento associado ao centro de massa deve-se à invariância do potencial aquando de uma translação. Por seu turno, a lei das áreas resulta da invariância do potencial após uma rotação. O seu método, de certo modo, antecipa o Teorema de Noether.
Para resolver, numa aproximação de primeira ordem, o problema de vários grupos de corpos afastados entre si de grandes distâncias, faz uso da desigualdade triangular, nomeadamente,
para mostrar que, nesta aproximação, os grupos de corpos se movem como um único ponto colocado no centro de massa e cuja massa seja igual à soma das massas desses corpos. Esta igualdade viria a ser posteriormente conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz e trata-se de uma das desigualdades mais importantes em matemática.
No entanto, foi Laplace quem observou que esta função satisfaz uma equação diferencial em derivadas parciais de segunda ordem, iniciando-se aí o estudo das funções harmónicas.

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