Duração dos dias e das noites

O dia solar é definido como o tempo decorrido entre duas transições consecutivas do Sol sobre o mesmo lado do meridiano do lugar relativamente ao horizonte. Define-se o início do dia quando o Sol passa sobre o meridiano perto do nadir. O meio-dia é atingido, portanto, quando a passagem pelo meridiano se verifica perto do zénite.

O dia natural corresponde ao período em que o Sol se encontra acima do horizonte. Durante a noite, por seu turno, o Sol encontra-se abaixo do horizonte e não pode ser observado a partir do lugar. Já foi atrás referido que, na esfera recta, a duração dos dias iguala a duração das noites. No caso da esfera oblíqua, tal acontece apenas quando o Sol se encontra em um dos equinócios. Pretende-se, portando, dada a declinação \(\delta\) do Sol, de onde se pode obter a sua posição na eclíptica, determinar a duração do dia e da noite.

Para o efeito, considere-se um referencial no centro da esfera celeste cujo eixo das abcissas toma a direcção da intersecção  do equador com o meridiano. A direcção das ordenadas é definida pelos pontos \(A\) e \(B\) da intersecção do horizonte com o equador. O eixo das cotas tem a direcção dos polos celestes.

O círculo \(FCD\) representa a órbita solar aparente onde a declinação  é dada pelo ângulo \(EOF\). Note-se que este ângulo não varia quando se considera uma rotação do referencial em torno do eixo das cotas. A equação do plano da órbita é dada por

\[z=\sin\delta\]

considerando que a esfera celeste tem raio unitário. A equação do plano do horizonte é da forma

\[x\cos\varphi+z\sin\varphi=0\]

onde \(\varphi\) é a latitude do lugar. A intersecção do plano do horizonte com o plano da órbita aparente resulta na recta

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\z=\sin\delta\end{array}\right.\]

A intersecção da recta com a esfera celeste \(x^2+y^2+z^2=1\), considerada como tendo raio unitário, proporciona, em geral, dois pontos \(C\) e \(D\) com coordenadas

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\ y=\pm\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta}\\ z=\sin\delta\end{array}\right.\]

Resta determinar o valor do arco \(FC\). Ora, o ponto \(F\) tem coordenadas \(\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\) e o centro da órbita aparente é o ponto de coordenadas \(\left(0,0,\sin\delta\right)\). Pretende-se, portanto, determinar o ângulo compreendido entre os vectores

\[\left(-\tan\varphi\sin\delta,\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta},0\right)\]

e

\[\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\]

Denotando esse ângulo por \(\psi\), a fórmula do produto escalar permite obter

\[\cos\psi=-\tan\varphi\tan\delta\]

O ângulo total que o Sol se encontra acima do horizonte calcula-se como

\[\left\lbrace\begin{array}{ll}2\arccos\left(-\tan\varphi\tan\delta\right), & \left\vert \frac{\pi}{2}-\vert\delta\vert\right\vert\le\left\vert\varphi\right\vert\le\left\vert \frac{\pi}{2}+\vert\delta\vert\right\vert\\ 0, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}+\delta\\ 2\pi, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}-\delta\end{array}\right.\]

É claro da fórmula que o ângulo correspondente ao arco da órbita solar visível é sempre igual a \(\pi\) no equador independentemente do valor da declinação \(\delta\). Por outro lado, como \(\vert\delta\vert\le\varepsilon\), torna-se evidente que o arco da órbita solar corresponde à volta completa ou é nulo se o lugar em questão se encontrar no interior dos círculos polares. Sendo a velocidade de transição igual a \(\pi/12\) radianos por hora, a duração do dia vale

\[t=\frac{12}{\pi}\psi\]

dado em horas equinociais.