sábado, 16 de abril de 2011

Resolução de um problema de mecânica (por H. N. Abel)

Seja \(BDMA\) uma curva qualquer. Seja a linha \(BC\) horizontal e a linha \(CA\) vertical. Suponhamos que um ponto colocado em movimento pela acção da gravidade se move sob esta curva sendo \(D\) o seu ponto de partida. Seja \(\tau\) o tempo que demorou o móvel a atingir o ponto \(A\) e seja \(a\) a altura \(EA\). O tempo \(\tau\) é então uma função da altura \(a\) que dependerá da forma da curva. Reciprocamente, a forma da curva irá depender desta função. Vamos analisar como, com o auxílio de um integral definido, podemos encontrar a equação da curva para a qual \(\tau\) é uma função contínua da altura \(a\).
Seja \(AM=s\), \(AP=x\) e \(t\) o tempo que o móvel leva a percorrer o arco \(DM\). Com base nas regras da mecânica temos \(-\frac{ds}{dt}=\sqrt{a-x}\), donde vem \(dt=-\frac{ds}{\sqrt{a-x}}\). Segue-se daqui que, integrando de \(x=a\) até \(x=0\),
\[\tau=-\int_a^0{\frac{ds}{\sqrt{a-s}}}=+\int_0^a{\frac{ds}{\sqrt{a-s}}}\]
O sinal \(\int_\alpha^\beta{}\) indica que os limites de integração são para ser tomados entre \(x=\alpha\) e \(x=\beta\). Seja entretanto
\[\tau=\varphi(\alpha)\]
a função procurada para termos
\[\varphi(a)=\int_0^a{\frac{ds}{\sqrt{a-x}}}\]
Nesta equação, \(s\) deve ser encontrado em \(x\). Em vez de considerarmos esta equação, consideraremos uma mais geral,
\[\varphi(a)=\int_0^a{\frac{ds}{\left(a-x \right )^n}}\]
da qual procuraremos \(s\) em \(x\). Designemos por \(\Gamma(\alpha)\) a função
\[\Gamma(\alpha)=\int_0^1{dx\left(\log{\frac{1}{x}} \right )^{\alpha-1}}\]
e temos, como é já conhecido,
\[\int_0^1{y^{\alpha-2}(1-y)^{\beta-1}dy}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\]
onde \(\alpha\) e \(\beta\) são superiores a zero.
Seja \(\beta=1-n\), encontramos
\[\int_0^1{\frac{y^{\alpha-1}}{\left(1-y \right )^n}dy}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}\]
donde tiramos, fazendo \(z=ay\)
\[\int_0^1{\frac{z^{\alpha-1}}{\left(a-z \right )^n}dz}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}a^{\alpha-n}\]
Multiplicando por \(\frac{da}{(x-a)^{1-n}}\) e integrando desde \(a=0\) até \(a=x\), encontramos:
\[\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}\int_0^x{\frac{a^{\alpha-n}da}{(x-a)^{1-n}}}\]
Fazendo \(a=xy\), temos
\[\int_0^x{\frac{a^{\alpha-n}da}{(x-a)^{1-n}}}=x^\alpha\int_0^1{\frac{y^{\alpha-n}dy}{(1-y)^{1-n}}}=x^\alpha\frac{\Gamma(\alpha-n+1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+1)}\]
então
\[\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+1)}x^\alpha\]
Ora, da famigerada fórmula da função gama, temos
\[\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\]
Temos, então, por substituição
\[\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\frac{x^\alpha}{\alpha}\Gamma(n)\Gamma(1-n)\]
Multiplicando por \(\alpha\varphi(\alpha)d\alpha\) e integrando em ordem a α obtemos
\[\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{\left(\int{\varphi(\alpha)\alpha x^{\alpha-1} d\alpha } \right )dx}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)\int{\varphi\alpha x^\alpha d\alpha}\]
Seja \(\int{\varphi(\alpha)x^\alpha d\alpha}=f(x)\), tiramos, por derivação,
\[\int{\varphi(\alpha)\alpha x^{\alpha-1} d\alpha}=f'(x)\]
então
\[\int{\varphi(\alpha)\alpha z^{\alpha-1} d\alpha}=f'(z)\]
Por consequência:
\[\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)f(x)\]
ou porque
\[\Gamma(n)\Gamma(1-n)=\frac{\pi}{\sin n\pi}\]
se tem
\[f(x)=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}}\]
Com o auxílio desta equação será fácil extrair o valor de \(s\) da equação
\[\varphi(\alpha)=\int_0^a{\frac{ds}{(a-s)^n}}\]
Pois que, se multiplicarmos esta equação por \(\frac{\sin n\pi}{\pi}\frac{da}{(x-a)^{1-n}}\) e tomarmos os limites de integração desde \(a=0\) até \(a=x\), teremos
\[\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi\alpha d\alpha}{(x-a)^{1-n}}}=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{dx}{(a-x)^n}}\]
Com base na equação desenvolvida anteriormente, vemos que
\[s=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi(\alpha)d\alpha}{(x-a)^{1-n}}}\]
Seja entretanto \(n=1/2\), obteremos
\[\varphi(a)=\int_0^x{\frac{ds}{\sqrt{a-x}}}\]
e
\[s=\frac{1}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi(\alpha)d\alpha}{\sqrt{x-\alpha}}}\]
Esta equação dá-nos o arco \(s\) para a abcissa \(x\) e, por conseguinte, a curva fica inteiramente determinada.
[...]

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