sábado, 16 de abril de 2011

Resolução de um problema de mecânica (por H. N. Abel)

Seja BDMA uma curva qualquer. Seja a linha BC horizontal e a linha CA vertical. Suponhamos que um ponto colocado em movimento pela acção da gravidade se move sob esta curva sendo D o seu ponto de partida. Seja τ o tempo que demorou o móvel a atingir o ponto A e seja a a altura EA. O tempo τ é então uma função da altura a que dependerá da forma da curva. Reciprocamente, a forma da curva irá depender desta função. Vamos analisar como, com o auxílio de um integral definido, podemos encontrar a equação da curva para a qual τ é uma função contínua da altura a.
Seja AM=s, AP=x e t o tempo que o móvel leva a percorrer o arco DM. Com base nas regras da mecânica temos , donde vem . Segue-se daqui que, integrando de x=a até x=0,
.
indica que os limites de integração são para ser tomados entre x=α x e x=β. Seja entretanto
τ=φ(a)
a função procurada para termos
Nesta equação, s deve ser encontrado em x. Em vez de considerarmos esta equação, consideraremos uma mais geral,
da qual procuraremos s em x. Designemos por Г(α) a função
e temos, como é já conhecido,
onde α e β são superiores a zero.
Seja β=1-n, encontramos
donde tiramos, fazendo z=ay
Multiplicando por e integrando desde a=0 até a=x, encontramos:
Fazendo a=xy, temos
então
Ora, da famigerada fórmula da função gama, temos
Temos, então, por substituição
Multiplicando por αϕ(α)dα e integrando em ordem a α obtemos
Seja , tiramos, por derivação,
então
Por consequência:
ou porque
,
Com o auxílio desta equação será fácil extrair o valor de s da equação
Pois que, se multiplicarmos esta equação por e tomarmos os limites de integração desde a=0 até a=x, teremos
Com base na equação desenvolvida anteriormente, vemos que
Seja entretanto n=1/2, obteremos
e
Esta equação dá-nos o arco s para a abcissa x e, por conseguinte, a curva fica inteiramente determinada.
[...]

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