A lei da gravitação e as séries trigonométricas

No texto As coordenadas esféricas e a lei da gravitação expus a utilização das coordenadas esféricas na resolução de um dos mais importantes problemas da mecânica celeste. Se considerarmos \(\phi\) constante e ignorarmos a força \(F_\phi\), vemos que o problema geral da dinâmica de uma partícula em coordenadas polares é descrito pela equação

\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r\\
r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=F_\theta
\end{array}
\right.
\]

Consideramos aqui que o sistema de unidades de massa é tal que a massa da partícula é unitária. Se multiplicarmos por \(r\) a segunda equação obtemos

\[
\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)=rF_\theta
\]

cujo integral é dado por

\[
r^2\frac{d\theta}{dt}=f+\int{rF_\theta dt}
\]

onde \(f\) é a constante de integração. Multiplicamos a equação anterior por \(rF_\theta\) para ficarmos com

\[
r^3F_\theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\left\lbrack f\int{rF_\theta dt}+\frac{1}{2}\left(\int{rF_\theta dt}\right)^2\right\rbrack
\]

cujo integral se pode reduzir a

\[
f+\int{rF_\theta dt}=\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}
\]

A consideração do primeiro integral obtido permite concluir a identidade

\[
\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}}{r^2}
\]

Vemos que é possível determinar o valor do ângulo \(\theta\) como função do parâmetro \(t\), resolvendo esta equação diferencial. Se fizermos, para abreviar, \(\rho=\int{r^3F_\theta d\theta}\), segue-se que

\[
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{f\sqrt{1+2\rho}}{r^2}\frac{dr}{d\theta}
\]

Derivamos a equação anterior em ordem ao tempo e introduzimos na equação radial, nomeadamente,

\[
\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r
\]

para obtermos

\[
\frac{f^2}{r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{2f^2}{r^5}\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2-\frac{f^2}{r^3}=\frac{F_r-\frac{F_\theta}{r}\frac{dr}{d\theta}}{\sqrt{1+2\rho}}
\]

após algumas simplificações e de notar que \(\frac{d\rho}{d\theta}=\frac{r^3F_\theta}{f^2}\). Multiplicamos ambos os membros da equação por \(r^2\) e aplicamos a regra do produto para escrevermos

\[
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{f^2}{r^2}\frac{dr}{d\theta}\right)-\frac{f^2}{r}=\frac{r^2F_r-F_\theta r\frac{dr}{d\theta}}{1+2\rho}
\]

A transformação

\[
u=\frac{f^2}{r}
\]

reduz a equação anterior a

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}-\frac{f^2F_\theta}{1+2\rho}\frac{du}{d\theta}+u=-\frac{r^2F_r}{1+2\rho}
\]

É útil notar que, se fizermos \(F_\theta=0\) e \(F_r=-\frac{\psi}{r^2}\) obtemos a equação do movimento harmónico simples

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\psi
\]

cuja solução se pode escrever na forma

\[
u=\psi+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)
\]

isto é,

\[
r=\frac{\frac{f^2}{\psi}}{1+\frac{A}{\psi\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}
\]

que constitui a equação da elipse, como seria de esperar.

A resolução do problema tal como aqui se encontra apresentada foi exposta por Clairaut na sua Théorie de la Lune deduite du seul principe de l'attraction reciproquement proportionelle aux carrés des distances. O mesmo autor voltou ao assunto uns anos mais tarde, na sua Mémoire sur l'orbite apparent du Soleil onde considerou a equação da órbita na forma

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\Omega
\]

sendo \(\Omega\) dada pela série

\[
\Omega(\theta)=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k\cos(n\theta)}
\]

Nesse trabalho surgiu, pela primeira vez, um método geral para determinar o valor das constantes \(a_k\), conhecidos os valores da função \(\Omega\) em pontos equidistantes no intervalo \(\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack\). A consideração de séries semelhantes tinha sido anteriormente levada a cabo por Euler e por D'Alembert. O autor considerou que, sendo infinito o número \(n\) de subdivisões do intervalo \(\left\lbrack 0,2\pi\right\rbrack\), então os coeficientes são dados pelas famosas expressões integrais conhecidas da teoria das séries trigonométricas para o caso dos co-senos. Resta notar que as séries discretas para os senos foram estudadas por Lagrange no decurso da apresentação da sua teoria do som e as séries mais gerais, por Gauss. Mais tarde, Fourier desenvolveu a teoria para o caso de um número infinito de subdivisões do intervalo, considerando simultaneamente as séries de senos e co-senos.