sábado, 4 de agosto de 2012

A equação de onda

A equação de onda é uma equação diferencial parcial de segunda ordem e linear cuja importância em física é amplamente conhecida. Historicamente, foi primeiramente escrita por D'Alembert aquando das suas investigações sobre o problema das cordas vibrantes mas encontra aplicações na descrição de fenómenos de propagação em campos como acústica, óptica e dinâmica dos fluidos. O problema das cordas vibrantes foi também estudado por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange, estando na base de uma das mais interessantes disputas, a meu ver, na história da matemática. Na contenda estavam em jogo dois conceitos que viriam a ser cruciais no desenvolvimento da análise do século seguinte: a noção de função e continuidade de uma função, e as séries trigonométricas. No que se segue pretendo apenas apresentar o método que conduziu D'Alembert à sua solução.
Supunhamos que submetemos uma corda que se encontra esticada entre as suas duas extremidades a um pequeno deslocamento. Se a soltarmos, verificamos que esta irá entrar em vibração motivada pelas forças elásticas que tendem a contrariar essa perturbação. Assumindo que escolhemos um referencial rectangular de tal modo que a corda se encontre esticada ao longo do eixo das abcissas, então representaremos por y(x,t) a ordenada do ponto da corda com abcissa x no instante t. A equação fica da forma

Para a resolvermos, começamos por notar que onde e . Admintindo que y é uma função com todas as derivadas de segunda ordem contínuas temos
 
 Com base nestas novas variáveis escrevemos a equação de onda como
Escrevemos os diferenciais de cada uma das novas funções introduzidas como
Combinando o sistema de equações anterior com a equação de onda e a igualdade entre as derivadas cruzadas em p e q, obtemos
Somamos e subtraímos cada uma das equações anteriores para ficarmos com
Segue-se daqui que e , de onde vem
Porém, lembrando que , vem
Fazemos a mudança óbvia de coordenadas
cujo determinante do jacobiano vale -2c e é diferente de zero caso c também o seja. Reduzimos a equação de onda à forma . Como também
estamos portanto na presença de um diferencial total d(cy). Os métodos habituais de integração permite-nos facilmente concluir que
Vemos que a solução geral da equação de onda se pode considerar como a sobreposição de duas ondas que se movem em sentidos opostos. O método aqui apresentado para obter a solução, excluindo a aplicação da notação mais moderna, aproxima-se bem daquele que foi utilizado originalmente.

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