sábado, 4 de agosto de 2012

A equação de onda

A equação de onda é uma equação diferencial parcial de segunda ordem e linear cuja importância em física é amplamente conhecida. Historicamente, foi primeiramente escrita por D'Alembert aquando das suas investigações sobre o problema das cordas vibrantes mas encontra aplicações na descrição de fenómenos de propagação em campos como acústica, óptica e dinâmica dos fluidos. O problema das cordas vibrantes foi também estudado por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange, estando na base de uma das mais interessantes disputas, a meu ver, na história da matemática. Na contenda estavam em jogo dois conceitos que viriam a ser cruciais no desenvolvimento da análise do século seguinte: a noção de função e continuidade de uma função, e as séries trigonométricas. No que se segue pretendo apenas apresentar o método que conduziu D'Alembert à sua solução.
Supunhamos que submetemos uma corda que se encontra esticada entre as suas duas extremidades a um pequeno deslocamento. Se a soltarmos, verificamos que esta irá entrar em vibração motivada pelas forças elásticas que tendem a contrariar essa perturbação. Assumindo que escolhemos um referencial rectangular de tal modo que a corda se encontre esticada ao longo do eixo das abcissas, então representaremos por \(y(x,t)\) a ordenada do ponto da corda com abcissa \(x\) no instante \(t\). A equação fica da forma

\[\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=0\]
Para a resolvermos, começamos por notar que \(dy=pdx+qdy\) onde \(p=\frac{\partial y}{\partial x}\)  e \(q=\frac{\partial y}{\partial t}\). Admintindo que \(y\) é uma função com todas as derivadas de segunda ordem contínuas temos
\[\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial x}\]
 Com base nestas novas variáveis escrevemos a equação de onda como
\[\frac{\partial q}{\partial t} = c^2 \frac{\partial p}{\partial x}\]
Escrevemos os diferenciais de cada uma das novas funções introduzidas como
\[\left\lbrace\begin{matrix} dp & = & \frac{\partial p}{\partial x}dx + \frac{\partial p}{\partial y}dy\\ dq & = & \frac{\partial q}{\partial x}dx + \frac{\partial q}{\partial y}dy \end{matrix}\right.
\]
Combinando o sistema de equações anterior com a equação de onda e a igualdade entre as derivadas cruzadas em p e q, obtemos
\[\left\lbrace\begin{matrix} d(cp) & = & \frac{\partial (cp)}{\partial x}dx + \frac{\partial p}{\partial t}d(ct)\\ dq & = & \frac{\partial p}{\partial t}dx + \frac{\partial (cp)}{\partial x}d(ct) \end{matrix}\right.\]
Somamos e subtraímos cada uma das equações anteriores para ficarmos com
\[\left\lbrace\begin{matrix} d(cp+q) & = & \left\lbrack\frac{\partial (cp)}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial t}\right\rbrack d(x+ct)\\ d(cp-q) & = & \left\lbrack\frac{\partial p}{\partial t} - \frac{\partial (cp)}{\partial x}\right\rbrack d(x-ct) \end{matrix}\right.\]
Segue-se daqui que \(cp+q=f_1(x+ct)\) e \(cp-q=f_2(x-ct)\), de onde vem
\[\left\{\begin{matrix} cp & = & f_1(x+ct) + f_2(x-ct)\\ d(cp-q) & = & f_1(x+ct) + f_2(x-ct) \end{matrix}\right.\]
Porém, lembrando que \(dy=pdx+qdt\), vem
\[d(cy)=f_1(x+ct)d(x+ct)+f_2(x-ct)d(x-ct)\]
Fazemos a mudança óbvia de coordenadas
\[\left\{\begin{matrix} u & = & x + ct\\ v & = & x - ct \end{matrix}\right.\]
cujo determinante do jacobiano vale \(-2c\) e é diferente de zero caso \(c\) também o seja. Reduzimos a equação de onda à forma \(d(cy)=f_1(u)du+f_2(v)dv\). Como também
\[\frac{\partial f_1}{\partial v}=0=\frac{\partial f_2}{\partial u}\]
estamos portanto na presença de um diferencial total \(d(cy)\). Os métodos habituais de integração permite-nos facilmente concluir que
\[y(x,t)=F_1(x+ct)+F_2(x-ct)\]
Vemos que a solução geral da equação de onda se pode considerar como a sobreposição de duas ondas que se movem em sentidos opostos. O método aqui apresentado para obter a solução, excluindo a aplicação da notação mais moderna, aproxima-se bem daquele que foi utilizado originalmente.

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