quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011

Determinação do potencial criado por uma distribuição esférica de carga com densidade constante

O estudo matemático rigoroso do electromagnetismo foi iniciado por Poisson na sua memória «Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs», o qual estendeu as principais ideias da mecânica celeste sobre a teoria do potencial aos fenómenos da electrostática. De facto, a forma para o potencial eléctrico criado por uma carga num ponto do espaço de acordo com a lei de Coulomb é semelhante em forma ao potencial gravítico criado por uma massa, satisfazendo a lei da atracção de Newton. Neste contexto, Poisson calculou o potencial criado por uma distribuição de carga em qualquer ponto do espaço, incluindo os pontos sobre os quais se situa essa distribuição. A partir desse cálculo, conseguiu generalizar a equação de Laplace naquela que hoje recebe o seu nome. Neste texto, apresento o cálculo do potencial de uma esfera uniformemente carregada em qualquer ponto do espaço, incluindo aqueles no interior e superfície da esfera.
Começamos por considerar uma esfera de raio R carregada com densidade de carga constante e um ponto P no espaço. Consideramos um referencial cuja origem coincide com o centro da esfera alinhado de modo que o ponto P esteja contido no eixo do Z. Neste referencial, o ponto P tem coordenadas (0,0,z).
O potencial criado pela esfera no ponto P é dado pelo integral triplo, sobre a esfera
onde ρ corresponde à densidade de carga. Queremos efectuar a integração sobre o conjunto de pontos que satisfazem a condição . Para o efeito, como é habitual, consideramos as coordenadas esféricas
De modo que as novas coordenadas cubram a esfera - com excepção do centro (notar que apenas um ponto não contribui para o valor de um integral) - r terá de variar entre 0 e r, φ terá de variar entre 0 e 2π e θ terá de variar entre 0 e π. O determinante do jacobiano, isto é, o elemento de volume é dado por . O integral, nestas coordenadas, pode ser reiterado do seguinte modo:
Resolvemos o integral interior, vindo
Determinamos a primitiva
Quando o valor de z é superior a R, a expressão no denominador do integrando é sempre positivo e nunca se anula, uma vez que . Para este caso, obtemos o potencial
onde Q representa a carga total da esfera, dada pelo produto do volume pela densidade de carga.
Por outro lado, quando z está no interior da esfera, temos de dividir a expressão para o potencial do seguinte modo:


Na primeira parcela temos z>r e na segunda temos r>z. Logo, para o primeiro caso vem

Quanto à outra parcela, temos

Substituímos no integral reiterado para obtermos o potencial

Se dissermos que r é a distância do ponto P ao centro da esfera, então o potencial V(r) criado em P vale

Como , facilmente verificamos que e . Daqui resulta que, no exterior da esfera temos e no interior temos .
Se estivermos na presença de uma distribuição arbitrária de carga, em cada ponto dessa distribuição é possível arranjar uma esfera cujo raio podemos fazer tão pequeno quanto queiramos. Fora dessa pequena esfera, o laplaciano do potencial por ela criado é nulo. No entanto, no seu interior, a densidade pode ser considerada constante e o laplaciano toma o valor calculado. Foi este o argumento de Poisson para afirmar que a equação diferencial para o potencial é válida para qualquer distribuição de carga.

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