O princípio de Fermat e a lei de Snell-Descartes

A luz não se propaga à mesma velocidade no seio dos meios materiais. A velocidade da luz no vazio vale \(c=299792458 m/s\), velocidade essa que é tomada aproximadamente como sendo \(300000 Km/s\). A sua velocidade na água vale sensivelmente \(\nu=124000 Km/s\), menos de metade da velocidade da luz no vazio. À quantidade \(n=c/\nu\), razão entre a velocidade da luz no vazio e a sua velocidade no meio dá-se a designação de índice de refracção do meio. O índice de refracção dum meio pode depender da cor da luz (luzes de cores diferentes movem-se com velocidades diferentes – este fenómeno permite decompor a luz em várias cores). Dizemos que a luz é monocromática quando não pode ser decomposta em outras cores.

Suponhamos que um raio monocromático é emitido do ponto \(A\) num meio com índice de refracção \(n_1\) e observado no ponto \(B\) cujo índice de refracção do meio envolvente é \(n_2\) como ilustrado na figura:

Consideramos que a fronteira entre os dois meios é a recta \(r\). Os pontos \(A'\) e \(B'\) correspondem às projecções ortogonais dos pontos \(A\) e \(B\) respectivamente sobre a fronteira entre os meios.

O princípio de Fermat lê-se: o caminho percorrido por um raio de luz entre dois pontos é tal que o tempo de percurso é o menor possível.

Ora, como \(t=d/\nu\), onde \(d\) é o espaço percorrido, \(\nu\) é a velocidade da luz e \(t\) é o tempo que a luz demora a percorrer a distância \(d\), se o raio se propaga sempre no mesmo meio, facilmente constatamos que o caminho mais curto corresponde ao segmento de recta que une os dois pontos (uma vez que a velocidade é constante e a recta constitui o caminho mais curto entre dois pontos no plano). Deste modo, o raio de luz propagar-se-á em linha recta em cada um dos meios, alterando a direcção na fronteira. Consideramos que o raio atinge a fronteira no ponto \(C\) a uma distância \(x\) do ponto \(A'\). Pelo teorema de Pitágoras, vemos que

\[\overline{AC}=\sqrt{x^2+h_1^2}\\ \overline{BC}=\sqrt{\left(s-x\right)^2+h_2^2}\]

O tempo que a luz leva a ir de \(A\) até \(B\) é dado por

\[t(x)=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{c}n_1+\frac{\sqrt{\left(s-x\right)^2+h_2^2}}{c}n_2\]

Sabemos que se esta função tem um mínimo então a sua derivada nesse ponto é nula. Derivamos então a função e igualamos a zero, vindo

\[\frac{dt}{dx}=\frac{x}{c\sqrt{x^2+h_1^2}}n_1+\frac{x-s}{c\sqrt{\left(s-x\right)^2+h_2^2}}n_2=0\]

Mas, sendo \(\theta_i\) e \(theta_r\) respectivamente os ângulos de incidência e refracção, temos, de acordo com a definição geométrica das razões trigonométricas,

\[\sin\theta_i=\frac{x}{\sqrt{x^2+h_1^2}}\\ \sin\theta_r=\frac{s-x}{\sqrt{\left( s-x\right)^2+h_2^2}}\]

Então, do princípio de Fermat resulta a famigerada lei de Snell-Descartes, nomeadamente

\[n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_r\]

Será o ponto \(C\) para o qual é satisfeita a lei de Snell-Descartes um mínimo para a função \(t(x)\)? Mais uma vez nos recorremos das ideias de análise. Calculemos a segunda derivada que nos permite indicar o valor da concavidade da função em cada ponto. Assim,

\[\frac{d^2t}{dx^2}=\frac{1}{c}\left\lbrack\frac{h_1^2}{\left(x^2+h_1^2\right)^{\frac{3}{2}}}n_1+\frac{h_2^2}{\left(\left(s-x\right)^2+h_2^2\right)^{\frac{3}{2}}}n_2\right\rbrack\]

Trata-se de uma função que toma valores sempre superiores ou iguais a zero. Deste modo, a concavidade da função \(t(x)\) é sempre voltada para cima e o ponto \(C\) é um mínimo global.