sexta-feira, 14 de Janeiro de 2011

O princípio de Fermat e a lei de Snell-Descartes

A luz não se propaga à mesma velocidade no seio dos meios materiais. A velocidade da luz no vazio vale c=299792458m/s, velocidade essa que é tomada aproximadamente como sendo 300000Km/s. A sua velocidade na água vale sensivelmente v=124000Km/s, menos de metade da velocidade da luz no vazio. À quantidade n=c/v, razão entre a velocidade da luz no vazio e a sua velocidade no meio dá-se a designação de índice de refracção do meio. O índice de refracção dum meio pode depender da cor da luz (luzes de cores diferentes movem-se com velocidades diferentes – este fenómeno permite decompor a luz em várias cores). Dizemos que a luz é monocromática quando não pode ser decomposta em outras cores.
Suponhamos que um raio monocromático é emitido do ponto A num meio com índice de refracção e observado no ponto B cujo índice de refracção do meio envolvente é como ilustrado na figura:

Consideramos que a fronteira entre os dois meios é a recta r. Os pontos A' e B' correspondem às projecções ortogonais dos pontos A e B respectivamente sobre a fronteira entre os meios.
O princípio de Fermat lê-se: o caminho percorrido por um raio de luz entre dois pontos é tal que o tempo de percurso é o menor possível.
Ora, como t=d/v, onde d é o espaço percorrido, v é a velocidade da luz e t é o tempo que a luz demora a percorrer a distância d, se o raio se propaga sempre no mesmo meio, facilmente constatamos que o caminho mais curto corresponde ao segmento de recta que une os dois pontos (uma vez que a velocidade é constante e a recta constitui o caminho mais curto entre dois pontos no plano). Deste modo, o raio de luz propagar-se-á em linha recta em cada um dos meios, alterando a direcção na fronteira. Consideramos que o raio atinge a fronteira no ponto C a uma distância x do ponto A'. Pelo teorema de Pitágoras, vemos que
O tempo que a luz leva a ir de A até B é dado por
Sabemos que se esta função tem um mínimo então a sua derivada nesse ponto é nula. Derivamos então a função e igualamos a zero, vindo
Mas, sendo θi e θr respectivamente os ângulos de incidência e refracção, temos, de acordo com a definição geométrica das razões trigonométricas,
Então, do princípio de Fermat resulta a famigerada lei de Snell-Descartes, nomeadamente
Será o ponto C para o qual é satisfeita a lei de Snell-Descartes um mínimo para a função t(x)? Mais uma vez nos recorremos das ideias de análise. Calculemos a segunda derivada que nos permite indicar o valor da concavidade da função em cada ponto. Assim,
Trata-se de uma função que toma valores sempre superiores ou iguais a zero. Deste modo, a concavidade da função t(x) é sempre voltada para cima e o ponto C é um mínimo global.

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