De acordo com o princípio da relatividade, dois observadores que se movam entre si com um movimento uniforme ao longo de uma linha recta irão descrever o mesmo fenómeno físico pela mesma lei. Do ponto de vista teórico, tal significa que, após a aplicação da transformação que permita converter numericamente as observações de um observador nas de outro, a lei matemática que se estabelece sobre elas será a mesma se estes se moverem entre si com uma velocidade rectilínea e constante. Em particular, ambos os observadores deverão descrever o mesmo campo electromagnético do mesmo modo. Observou-se na posta enlinha Uma visão alternativa da transformação que deixa invariante as equações do electromagnetismo que as equações do electromagnetismo são invariantes mediante a transformação linear da que satisfaz
\[\left\lbrack\begin{array}{l}\vec{r}'\\ ct'\end{array}\right\rbrack=M\left\lbrack\begin{array}{l}\vec{r}\\ ct\end{array}\right\rbrack\]
em que a matriz \(M\) satisfaz
\[M^T\Lambda M=\Lambda\]
onde
\[\Lambda=\left\lbrack\begin{array}{cc}-I_3 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right\rbrack\]
\(\vec{r}\) é o vector que proporciona a posição da partícula e \(I_3\) é a matriz identidade. Note-se que aqui se considerou o sinal negativo na submatriz \(I_3\) da matriz \(\Lambda\) para que, sendo
\[\vec{u}=\left\lbrack\begin{array}{c}v_xt\\ v_y t\\ v_z t\\ ct\end{array}\right\rbrack\]
o vector cuja extremidade é a origem de \(R\) em \(t=0\) e a outra extremidade é o ponto definido pelo término do movimento de uma partícula ao fim do tempo \(t\), se, partindo da origem em \(t=0\) se mover com velocidade uniforme \(\vec{v}\) cujas componentes são \(v_x\), \(v_y\) e \(v_z\), este tenha norma positiva de acordo com o produto interno associado a \(\Lambda\). No referencial dado por \(R'\) que se move com a partícula, esta encontrar-se-á sempre na origem e, portanto,
\[M\left\lbrack\begin{array}{c}v_x\\ v_y\\ v_z\\ ct\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{\gamma} ct\end{array}\right\rbrack\]
onde \(\gamma\) é uma constante que se pretende determinar, considerando que a norma do vector de acordo com a métrica definida por \(\Lambda\) se mantém constante. Segue-se que
\[\gamma ct=ct\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_x^2-v_y^2-v_z^2}{c^2}}}\]
e, portanto,
\[\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_x^2-v_y^2-v_z^2}{c^2}}}\]
O tempo \(t'\) medido no referencial \(R'\) satisfaz \(ct'=\gamma ct\). A constante \(\gamma\) foi considerada em denominador para se coadunar com o que é habitualmente apresentado na literatura.
O momento, por seu turno, é dado por
\[\vec{p}'=m\frac{d\vec{x}'}{dt'}=m\left\lbrack\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ c\end{array}\right\rbrack\]
no referencial \(R'\). No referencial \(R\), terá a forma
\[\vec{p}=m\varepsilon\left\lbrack\begin{array}{c}v_x\\ v_y\\ v_z\\ c\end{array}\right\rbrack\]
A norma do vector deverá manter-se e, portanto,
\[\varepsilon=\gamma\]
ou
\[\vec{p}=m\gamma\left\lbrack\begin{array}{c}v_x\\ v_y\\ v_z\\ c\end{array}\right\rbrack\]
Ora, tanto é necessário o vector posição, como o vector momento para descrever o estado de uma partícula. Com relação a estes dois vectores, constrói-se o invariante
\[\vec{p}\cdot x=m\gamma\left\lbrack\begin{array}{cccc}v_x & v_y & v_z & c\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0& & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ ct\end{array}\right\rbrack\]
isto é,
\[\vec{p}\cdot\vec{x}=mc\gamma\left(ct-\frac{v_x x+v_y y+v_z z}{c}\right)\]
O invariante assim construído lembra o argumento da solução para a equação de onda como descrito em A equação de onda que descreve uma onda que se move no sentido da partícula. Considera-se, portanto, a função
\[F\left(\frac{mc\gamma}{\alpha}\left(ct-\beta_x x-\beta_y y-\beta_z z\right)\right)\]
onde \(\alpha\) é uma constante com dimensões \(ML^2T^{-1}=[E]T\) e permite tornar adimensional o argumento da função, e
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\beta_x=\frac{v_x}{c}\\ \beta_y=\frac{v_y}{c}\\ \beta_z=\frac{v_z}{c}\end{array}\right.\]
No caso da onda plana, tem-se
\[F\left(\frac{mc\gamma}{\alpha}\left(ct-\beta_x x-\beta_y y-\beta_z z\right)\right)=\sin\left(\frac{mc\gamma}{\alpha}\left(ct-\beta_x x-\beta_y y-\beta_z z\right)\right)\]
que, quando comparada com a função
\[F=\sin\left(\omega t-k_x x-k_y y- k_z z\right)\]
permite constatar que a frequência angular é dada por
\[\omega = \frac{mc^2\gamma}{a}\]
e o vector de onda, por
\[\vec{k}=\frac{mc\gamma}{a}\left\lbrack\begin{array}{c}\beta_x\\ \beta_y\\ \beta_z\end{array}\right\rbrack\]
Notando que, da teoria quântica, se estipulou a relação
\[E=mc^2\gamma=h\nu\]
que explicou com grande sucesso certos resultados experimentais sobre radiação, obtém-se
\[\alpha=\frac{h}{2\pi}\]
A velocidade de fase é dada por
\[v_\varphi=\frac{\omega}{\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}}=\frac{c}{\sqrt{\beta_x^2+\beta_y^2+\beta_z^2}}\]
Tratando-se de uma velocidade superior a \(c\), a velocidade de fase não será considerada na descrição de alguma realidade física. No entanto, a velocidade de grupo é dada por
\[\sqrt{\left(\frac{\partial\omega}{\partial k_x}\right)^2+\left(\frac{\partial\omega}{\partial k_y}\right)^2+\left(\frac{\partial\omega}{\partial k_z}\right)^2}=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=v\]
e proporciona a velocidade física da partícula.
