tag:blogger.com,1999:blog-91729381925168263712024-02-19T12:08:35.589+00:00Física AborrecidaAqui são apresentados aqueles aspectos realmente aborrecidos da física.Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.comBlogger94125tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-11551737551102149362024-02-02T09:46:00.001+00:002024-02-02T09:46:16.398+00:00A função característica em mecânica<p style="text-align: justify;">No artigo <a href="https://fisica-aborrecida.blogspot.com/2023/12/a-funcao-caracteristica-para-o.html" target="_blank">A função característica para o oscilador harmónico simples</a> foi calculada a função característica para o caso particular do oscilador, conhecidas as respectivas soluções. Aí foi observado que as equações de movimento se obtêm de determinado modo se essa função for conhecida. No que se segue, será apresentada a teoria que subjaz as observações feitas.</p><p style="text-align: justify;">Se a condição de um sistema mecânico for dado por um conjunto de parâmetros \(\theta_1,\cdots,\theta_n\) e as forças envolvidas se possam obter de funções potenciais, o movimento do sistema será descrito pelas equações</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">sendo \(L=T-U\), \(T\) a energia cinética, função dos \(\theta_i\) e dos \(\theta_i'\) e \(U\) a função potencial de onde se obtêm as forças intervenientes por derivação, como foi mostrado no artigo <a href="https://fisica-aborrecida.blogspot.com/2022/07/uma-simplificacao-do-principio-dos.html" target="_blank">Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais</a>. Aqui usa-se a notação \(\theta_i'\) para representar a derivada de \(\theta_i\) em ordem ao tempo e que está associada à componente correspondente da velocidade. Note-se que os parâmetros de condição \(\theta_i\) devem ser funções das coordenadas rectangulares \(x_i,y_i,z_i\) de todas as partículas.</p><p style="text-align: justify;">As equações de movimento escritas em termos de \(L\) coincidem com as equações que se obtêm do problema variacional de determinar os extremos do funcional dado pela integral</p><p style="text-align: center;">\[\delta\int_{t_0}^t{L\left(\theta_1,\cdots,\theta_n,\theta_1',\cdots,\theta_n'\right)dt}=0\]</p><p style="text-align: justify;">A solução do sistema de equações diferenciais, no instante \(t_1\), são habitualmente dadas por</p><p style="text-align: center;">\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta_1^0\right)',\cdots,\left(\theta_n^0\right)'\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Tratam-se de funções de \(t-t_0\) porque a transformação \(t\to t-t_0\) deixa as equações invariantes. Ora, sendo \(\theta_i^1\) o valor da função em \(t=t_1\), o sistema de equações</p><p style="text-align: center;">\[\theta_i^1=\theta_i\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta'_1\right)^0,\cdots,\left(\theta'_n\right)^0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">permite determinar</p><p style="text-align: center;">\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Define-se a função</p><p style="text-align: center;">\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\int_{t_0}^{t_1}{L\left(\theta_i,\theta_i',t-t_0\right)dt}\]</p><p style="text-align: justify;">Note-se que</p><p style="text-align: center;">\[\left(\theta_i\right)'=\frac{\partial \theta_i}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">são também função de \(t-t_0\), bem como \(\theta_i^0\) e \(\theta_i^1\). Segue-se daqui que</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}+\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\frac{\partial \theta^j}{\partial \theta_i^0}}dt}\]</p><p style="text-align: justify;">Aplica-se o método de integração por partes, notando que</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right)\]</p><p style="text-align: justify;">para obter</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}{\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\left(\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">Usa-se a notação de derivada parcial em ordem ao tempo para enfatizar o facto de que se tratam de funções que envolvem outros parâmetros. Lembrando as equações do movimento, facilmente se determina que</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}\]</p><p style="text-align: justify;">Por seu turno, como</p><p style="text-align: center;">\[\theta_j^0=\left\lbrack\theta_j\right\rbrack_{t=t_0}\]</p><p style="text-align: justify;">e as variáveis, sendo independentes,</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_0}=\frac{\partial \theta_j^0}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & i=j\\ 0, & i\ne j\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Por outro lado,</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_1}=0\]</p><p style="text-align: justify;">uma vez que são independentes as variáveis \(\theta_j^0\) e \(\theta_j^1\). Conclui-se, portanto, que</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_0}\]</p><p style="text-align: justify;">Do mesmo modo se determina que</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_1}\]</p><p style="text-align: justify;">Se se designar por momento o vector</p><p style="text-align: center;">\[\vec{p}=\vec{\nabla}_{\theta_i'}L\]</p><p style="text-align: justify;">de componentes</p><p style="text-align: center;">\[p_i=\frac{\partial L}{\partial x_i'}\] </p><p style="text-align: justify;">então</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}_{\theta_i^0}V=-\vec{p}^0\\ \vec{\nabla}_{\theta_i^1}V=\vec{p}^1\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Do ponto de vista geométrico, a função \(V\) é tal que a família de superfícies definida pela equação</p><p style="text-align: center;">\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\nu\left(t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">é perpendicular aos vectores momentos nos instantes respectivos. Por seu turno, da definição de \(V\) obtém-se</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=\left\lbrack L\right\rbrack_{t=t_1}+\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)+\frac{\partial L}{\partial \theta_i}\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)}dt}\]</p><p style="text-align: justify;">A integração por partes e subsequente consideração das equações do movimento conduzem à expressão</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=L\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\left(\theta_1'\right)^1,\cdots,\left(\theta'_n\right)^1\right)-\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1}\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\left(\theta'_i\right)^1=\left\lbrack \theta'_i\right\rbrack_{t=t_1}\). Dado que a função \(L\) é homogénea de segundo grau relativamente às variáveis \(x_i'\), é possível determinar estas variáveis como função dos \(p_i\). Se se definir a função</p><p style="text-align: center;">\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1 }-L\]</p><p style="text-align: justify;">pode-se escrever</p><p style="text-align: center;">\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]</p><p style="text-align: justify;">Como</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\]</p><p style="text-align: justify;">deverá valer a equação diferencial às derivadas parciais da forma</p><p style="text-align: center;">\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^1},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^1}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]</p><p style="text-align: justify;">Do mesmo modo,</p><p style="text-align: center;">\[H\left(0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^0},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^0}\right)=\frac{\partial V}{\partial t_0}\]</p><p style="text-align: justify;">Conclui-se, portanto, que, conhecidas as soluções das equações às derivadas parciais assim definidas, é possível determinar, por intermédio das quadraturas</p><p style="text-align: center;">\[\begin{array}{cc}\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-p_i^0, & \frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\end{array}\]</p><p style="text-align: justify;">as soluções das equações do movimento.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-73756322520989766612023-12-04T15:00:00.000+00:002023-12-04T15:00:01.118+00:00A função característica para o oscliador harmónico simples<p style="text-align: justify;"> A função característica é dada por</p><p style="text-align: center;">\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\int_{t_0}^{t_1}{Ldt}\]</p><p style="text-align: justify;">Trata-se de uma função das variáveis \(x_0\) e \(x_1\) que correspondem aos pontos inicial e final da situação do sistema. Com efeito, no caso do oscilador harmónico simples,</p><p style="text-align: center;">\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]</p><p style="text-align: justify;">Considera-se aqui \(x'\) como constituindo a derivada da função \(x\) em ordem ao tempo. As equações do movimento do sistema descrito por esta função são dadas por</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dt}\left(mx'\right)+kx=0\]</p><p style="text-align: justify;">Se se fizer</p><p style="text-align: center;">\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]</p><p style="text-align: justify;">a solução da equação diferencial é dada por (trata-se de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes)</p><p style="text-align: center;">\[x=x_0\cos\omega\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Se se denotar por \(x_1\) a posição que a partícula ocupará no instante \(t_1\), tem-se</p><p style="text-align: justify;"><span style="text-align: center;">\[x_1=x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t_1-t_0\right)\]</span></p><p style="text-align: justify;">de onde se segue</p><p style="text-align: center;">\[x'_0=\omega\frac{x_1-x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição permite escrever a solução na forma</p><p style="text-align: center;">\[x=-\frac{\sin\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\frac{\sin\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]</p><p style="text-align: justify;">A sua derivada permite obter</p><p style="text-align: center;">\[x'=-\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição na expressão para \(L\) conduz a</p><p style="text-align: center;">\[L=\frac{k\left(x_0^2\cos 2\omega\left(t-t_1\right)-2x_0x_1\cos\omega\left(2t-t_0t_1\right)+x_1^2\cos 2\omega\left(t-t_0\right)\right)}{2\sin^2\omega\left(t_1-t_0\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">Se se integrar em ordem ao tempo entre os instantes \(t_0\) e \(t_1\) obtém-se finalmente</p><p style="text-align: center;">\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\frac{m\omega\left(x_0^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1+x_1^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\right)}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">Pode-se efectivamente verificar que</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x_0}=m\omega\frac{x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_1}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=-mx_0'\\ \frac{\partial V}{\partial x_1}=m\omega\frac{x_1\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_0}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=mx_1'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Tratam-se das equações do movimento quando é conhecida a função característica \(V\). Por seu turno, não é tarefa árdua verificar que a função \(V\) assim determinada satisfaz as equações diferenciais às derivadas parciais da forma</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{-\partial V}{\partial x_0}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_0^2=\frac{\partial V}{\partial t_0}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Uma forma de determinar a função \(V\) a partir da equação diferencial parcial</p><p style="text-align: center;">\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]</p><p style="text-align: justify;">pode ser realizada do seguinte modo. Começa-se por considerar</p><p style="text-align: center;">\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=W\left(x_0,x_1,E\right)-E\left(t_1-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(E\) é uma constante. A substituição na equação às derivadas parciais permite obter a equação diferencial ordinária em \(W\) na forma</p><p style="text-align: center;">\[\frac{1}{2m}\left(\frac{d W}{d x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=E\]</p><p style="text-align: justify;">Observa-se que \(E\) deverá ser função de \(x_0\), \(x_1\) e \(t_1-t_0\). Uma vez que \(V\) não depende explicitamente de \(E\), tem-se</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial W}{\partial E}=t_1-t_0\]</p><p style="text-align: justify;">A solução da equação diferencial para \(W\) é dada pela integral</p><p style="text-align: center;">\[W=\int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]</p><p style="text-align: justify;">A derivada parcial de \(W\) em ordem a \(E\) é, portanto, dada por</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\partial W}{\partial E}=\int_{x_0}^{x_1}{\frac{m}{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]</p><p style="text-align: justify;">que proporciona a quadratura</p><p style="text-align: center;">\[\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}=\omega\left(t_1-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">da qual resulta</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}X_0X_1+\chi_0\chi_1=\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\\ \chi_1X_0-\chi_0X_1=\sin\omega\left(t_0-t_1\right)\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">onde se fez</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\chi_0=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_0\\ \chi_1=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_1\\ X_0=\sqrt{1-\chi_0^2}\\ X_1=\sqrt{1-\chi_1^2}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">As expressões assim obtidas permitem escrever \(E\) como função de \(t_1-t_0\). Por seu turno, se se calcular a integral que permite determinar \(W\), obtém-se</p><p style="text-align: center;">\[W=\frac{E}{\omega}\left(\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}+X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Uma das expressões anteriores permite ainda escrever</p><p style="text-align: center;">\[W=E\left(t_1-t_0\right)+\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">e, portanto,</p><p style="text-align: center;">\[V=\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Então</p><p style="text-align: center;">\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)X_1X_0-\chi_0\chi_1\left(X_1^2+X_0^2\right)\right)\]</p><p style="text-align: justify;">ou, simplificando \(X_0^2\) e \(X_1^2\),</p><p style="text-align: center;">\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)\left(X_0X_1+\chi_0\chi_1\right)-2x_0x_1\right)\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: center;">\[V=\frac{m\omega}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\left(\left(x_0^2+x_1^2\right)\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1\right)\]</p><p style="text-align: justify;">que corresponde à função característica determinada a partir da integral de \(L\) e que se mostrou ser solução da equação diferencial parcial. Do ponto de vista das soluções do problema mecânico, não é muito importante determinar a função \(V\), na medida em que as equações do movimento se seguem directamente da função \(W\), considerando a equação adicional que permite relacionar \(E\) com \(t_1-t_0\).</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-58928405318060245442023-08-09T10:29:00.002+01:002023-08-09T10:30:18.651+01:00Invarintes nas equações do movimento<p style="text-align: justify;"> As equações do movimento em mecânica obtêm-se da função \(L=T-U\) onde \(T\) é a energia cinética e \(U\) é a função potencial de onde se podem obter, por derivação, as forças. Estas escrevem-se na forma</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">em que</p><p style="text-align: justify;">\[x_i'=\frac{dx_i}{dt}\]</p><p style="text-align: justify;">Por exemplo, a função \(L\) para o caso de um conjunto de \(N\) partículas livres é dada por</p><p style="text-align: justify;">\[L=\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{2}m_j\left(x_{3j-2}'^2+x_{3j-1}'^2+x_{3j}'^2\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">em que as coordenadas rectangulares da partícula \(j\) de massa \(m_j\) são dadas por \(\left(x_{3j-2},x_{3j-1},x_{3j}\right)\) de onde resultam as equações</p><p style="text-align: justify;">\[m_j\frac{d^2x_j}{dt^2}=0\]</p><p style="text-align: justify;">cujas soluções indicam que as partículas percorrem linhas rectas com velocidades constantes.</p><p style="text-align: justify;">Considere-se um sistema mecânico descrito por \(n\) coordenadas \(x_1,\cdots,x_n\) e seja a função</p><p style="text-align: justify;">\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\frac{df\left(x_1,\cdots,x_n\right)}{dt}\]</p><p style="text-align: justify;">A regra da derivação permite escrever</p><p style="text-align: justify;">\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\sum_i^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}x_i'}\]</p><p style="text-align: justify;">e, portanto,</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{\partial F}{\partial x_i'}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\]</p><p style="text-align: justify;">Se se derivar a equação anterior em ordem ao tempo obtém-se</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{j=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_j}x_j'}=\frac{\partial F}{\partial x_i}\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial F}{\partial x_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Observa-se que o sistema definido pelas equações</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">descreve o mesmo sistema mecânico. Multiplicando as equações anteriores por \(x_i'\) e somando obtém-se</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0}\]</p><p style="text-align: justify;">A regra da derivada do produto permite determinar a equação equivalente</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\frac{d}{dt}\left(x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Porém,</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{x''_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x'_i}+x'_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=\frac{d(L+F)}{dt}-\frac{\partial L}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição na fórmula anterior permite obter</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left\lbrack-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}\right\rbrack=-\frac{\partial L}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">Se \(L\) não depender explicitamente do tempo então conserva-se a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[E=-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=-L+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial L}{\partial x_i'}}\]</p><p style="text-align: justify;">No caso do oscilador harmónico simples a uma dimensão, por exemplo, tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]</p><p style="text-align: justify;">cuja equação do movimento se escreve como</p><p style="text-align: justify;">\[m\frac{d^2x}{dt^2}-kx=0\]</p><p style="text-align: justify;">De acordo com o que foi atrás determinado, dado que \(L\) não depende explicitamente do tempo, conserva-se a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[E=\frac{1}{2}mx'^2+\frac{1}{2}kx\]</p><p style="text-align: justify;">Considere-se a família de tranformações invertíveis definidas pelas expressões</p><p style="text-align: justify;">\[x_i=x_i\left(\chi_1,\cdots,\chi_n,\theta\right)\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\theta\) é o parâmetro da família de tal modo que</p><p style="text-align: justify;">\[\chi_i\left(x_1,\cdots,x_n,0\right)=x_i\]</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se ainda que, após a transformação na função \(L\), esta não dependa desse parâmetro, isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Ora,</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial x'_i}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial \theta}\right)}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)}\]</p><p style="text-align: justify;">onde se consideraram as equações do movimento. A derivada em ordem a \(t\) foi aqui considerada como parcial relativamente ao parâmetro \(\theta\). A regra do produto permite determinar que</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}=0\]</p><p style="text-align: justify;">É, portanto, conservada a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}\]</p><p style="text-align: justify;">que é função dos \(\chi_i\) e respectivas derivadas temporais. Quando \(\theta=0\) tem-se \(\chi_i=x_i\) e, neste caso, a quantidade depende dos \(x_i\) e suas derivadas temporais. Se a função \(L\) mantiver a mesma forma após as transformações, as equações em \(\chi_i\), nomeadamente</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \chi_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial\chi_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">terão a mesma forma que as equações correspondentes em \(x_i\), podendo variar as constantes de integração e a quantidade que se conserva no tempo não depende do parâmetro \(\theta\). Designando a quantidade por \(k\), resulta que, sendo a solução do sistema nas coordenadas originais dado pelas funções</p><p style="text-align: justify;">\[x_i\left(x_1^0,\cdots,x_n^0,\left(x_1'\right)^0,\cdots,\left(x_n'\right)^0,t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">A constante \(k\) dependerá dos \(x_i^0\) bem como dos \(\left(x_i'\right)^0\). Sem perda de generalidade, pode-se assumir que se pode escrever \(\left(x_n'\right)^0\) como função das restantes constantes e de \(k\). Segue-se que</p><p style="text-align: justify;">\[\chi_i=x_i\left(\chi_1^0,\cdots,\chi_n^0,\left(\chi_1'\right)^0,\cdots,k,t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">em que as constantes \(\chi_i^0\) e \(\left(\chi_i'\right)^0\) se obtêm das suas congéneres a partir das transformações.</p><p style="text-align: justify;">De modo a ilustrar o que foi apresentado, considere-se a função \(L\) para o caso de uma partícula livre que se move a uma dimensão,</p><p style="text-align: justify;">\[L=\frac{1}{2}mx'^2\]</p><p style="text-align: justify;">A função mantém a mesma forma se se considerar a família de transformações</p><p style="text-align: justify;">\[x=\chi+\theta\]</p><p style="text-align: justify;">das quais resulta</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_0=\chi_0+\theta\\ x_0'=\chi_0'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[L=\frac{1}{2}m\chi'^2\]</p><p style="text-align: justify;">De acordo com o que foi atrás exposto, conservar-se a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[k=mx'=m\chi'\]</p><p style="text-align: justify;">A solução do problema é dada, em cada sistema de coordenadas, por</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x\left(x_0,k\right)=x_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\\ \chi\left(\chi_0,k\right)=\chi_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Observa-e que, de facto,</p><p style="text-align: justify;">\[\chi=x\left(\chi^0,k,t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Considere-se agora o movimento de uma partícula num campo central de forças descrito pela função</p><p style="text-align: justify;">\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2+z'^2\right)-U\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\]</p><p style="text-align: justify;">A transformação de coordenadas da forma</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\chi\cos\theta+\eta\sin\theta\\ y=-\chi\sin\theta+\eta\cos\theta\\ z=\zeta\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">considerando que</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\chi'\cos\theta+\eta'\sin\theta\\ y'=-\chi'\sin\theta+\eta'\cos\theta\\ z'=\zeta'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">reduz \(L\) à mesma forma, nomeadamente,</p><p style="text-align: justify;">\[L=\frac{1}{2}m\left(\chi'^2+\eta'^2+\zeta'^2\right)-U\left(\sqrt{\chi^2+\eta^2+\zeta^2}\right)\]</p><p style="text-align: justify;">De acordo com o que foi atrás discutido, conserva-se a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[l_3=\frac{\partial L}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial y'}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial z'}\frac{\partial z}{\partial\theta}\]</p><p style="text-align: justify;">onde se faz \(\theta=0\), advindo, neste caso, \(\chi=x\) e \(\eta=y\) após a derivação. Conserva-se a quantidade</p><p style="text-align: justify;">\[l_3=x'y-y'x=\chi'\eta-\eta'\chi\]</p><p style="text-align: justify;">Observa-se que a transformação considerada corresponde a uma rotação em torno do eixo das quotas. Se se considerarem as rotações em torno dos eixos das ordenadas e das abcissas, dado que a forma de \(L\) se mantém nesses casos, verifica-se que são invariantes as quantidades</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y\\ l_2=z'x-x'z\\ l_3=x'y-y'x\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Trata-se das componentes do vector momento angular que se conservam no caso de uma partícula que se move num campo central de forças. Uma solução geral do problema mecânico é dada por</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{r}=\vec{r}\left(\vec{r}_0,\vec{l}_0,t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\vec{r}=(x,y,z)\) e \(\vec{l}=\left(l_1,l_2,l_3\right)\), uma vez que as velocidades iniciais podem ser escritas como função dos invariantes e das posições iniciais. Da invariância de \(L\) mediante uma rotação segue-se que, sendo \(R\) o operador rotação então, se \(\vec{r}\) for uma solução do problema, \(R\vec{r}\) é outra solução do problema e, portanto,</p><p style="text-align: justify;">\[R\vec{r}=\vec{r}\left(R\vec{r}_0,R\vec{l},t-t_0\right)\]</p><p style="text-align: justify;">uma vez que uma rotação de \(\vec{r}\) corresponde a uma rotação de \(\vec{l}\). Se se determinar as soluções gerais para o caso em que \(l_1=l_2=0\) então as demais soluções constroem-se a partir destas por intermédio da aplicação de uma rotação. As condições consideradas implicam, em particular, que \(z=0\) e as soluções a determinar são aquelas que se dão sobre o plano horizontal.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com03880 Ovar, Portugal40.8596399 -8.625331312.549406063821152 -43.7815813 69.169873736178843 26.5309187tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-342272642830567382023-06-05T07:52:00.002+01:002023-08-09T10:29:45.441+01:00Conceitos da filosofia natural que predatou a física<p style="text-align: justify;">A arte surge quando se forma um juízo geral que possa ser referido a casos particulares semelhantes. Por exemplo, a triangularidade é um juízo geral que pode referir todos os objectos particulares que têm forma geométrica triangular. Diz-se que cada objecto triangular é um particular e o juízo geral que caracteriza todos os objectos com a propriedade de terem forma geométrica triangular é um universal, a triangularidade. O juízo geral que se forma a partir de experiências particulares é, portanto, um universal. É universal na medida em que é partilhado por vários particulares, no sentido em que o universal a eles pode ser relacionado de algum modo. A experiência consiste no conhecimento dos particulares e a arte consiste no conhecimento dos universais.</p><p style="text-align: justify;">Os empíricos puros, aqueles que se baseiam na experiência, tendem a conhecer apenas o dado de facto puro mas não a sua razão de ser. São capazes de determinar, por exemplo, que um objecto pesado cai mas desconhecem a respectiva causa. De modo a possuir a capacidade de ensinar, é necessário possuir o conhecimento das causas, em especial das causas primeiras. Além das causas das coisas, é necessário possuir também o conhecimento das suas partes e, mais importante, dos elementos, no caso das coisas corpóreas, ou princípios, no caso das coisas em geral, que as constituem. Os que possuem um conhecimento prático possuem um conhecimento adaptado à situação mas não possuem um conhecimento eterno. Não é possível conhecer a verdade sem conhecer a causa.</p><p style="text-align: justify;">A formação de um juízo geral a partir das experiências particulares comporta um problema. Com efeito, parece ser impossível formar juízos gerais dos objectos sensíveis, na medida em que estes se encontram em constante mudança. Um homem, por exemplo, não é sempre o mesmo e um rio não é sempre constituído pela mesma água. De modo a procurar uma solução para este problema, é necessário começar pelas várias noções de substância que é a essência intemporal de um objecto e o que pode ser assimilado pelo intelecto.</p><p style="text-align: justify;">A substância diz-se dos corpos simples. É substância o que não pode ser predicado de um substracto mas tudo o resto é dela predicado. Por exemplo, bípede pode ser predicado de homem, dado que a sentença "aquele homem é bípede" faz sentido, indicando um homem que é bípede e, deste modo, bípede diz-se predicado de homem. Por seu turno, na sentença "bípede é homem", bípede é desprovido do seu sentido. Mantendo o significado de bípede, homem não pode ser dele predicado. No entanto, dado que a sentença "o bípede tem duas pernas" porta significado, mantendo o conceito de bípede, é possível predicar algo de bípede. Bípede é substância segunda na medida em que dele se pode predicar algo mas ele próprio também pode ser predicado de alguma coisa. As substâncias são aquelas que não podem predicar nada. Substância é a essência de uma coisa, isto é, a sua definição. A definição é uma noção que exprime algo que é primeiro e algo é primeiro quando nada predica.</p><p style="text-align: justify;">A substância é imanente às coisas que não se predicam de um substracto e são causa do seu ser. Da substância dizem-se as partes imanentes a uma coisa e que a delimitam, cuja destruição implica a destruição da própria coisa. Por exemplo, a superfície de um corpo é parte da substâcia sempre que a destruição da superfície implicar a destruição do próprio corpo.</p><p style="text-align: justify;">Substância, ainda, é aquilo que, sendo algo determinado, pode ser separável, como a estrutura e a forma da coisa. Não se entende por forma, o formato geométrico da coisa, mas o conjunto das propriedades que a caracterizam, tais como o formato geométrico, a cor ou a textura. O sínolo é constituído pela união da forma e da matéria e está sujeito à geração e corrupção ao passo que a forma não. Não se gera a essência de uma casa mas apenas o seu ser. A matéria é substância em potência (a matéria tem a capacidade de se tornar substância) e a forma é a substância em acto (é, de facto, substância). Uma substância pode ter potência para existir e não exista em acto. Forma é mais natureza do que matéria, uma vez que cada coisa é mais quando em acto do que quando em potência.</p><p style="text-align: justify;">A substância não possui nenhum contrário, isto é, não há o contrário de substância do mesmo modo que bom é contrário de mau. Uma substância não é mais nem menos do que ela própria, considerada em si, ou em instantes diferentes. O homem não é mais ou menos homem do que era antes e o rio não é mais ou menos rio do que era antes. Apesar de ser numericamente una, a substância é capaz de receber contrários. Por exemplo, a cor não pode ser branca e preta simultaneamente ou uma acção não pode ser simultaneamente má ou boa. O homem, por seu turno, pode ser quente ou frio, claro ou escuro, mau ou bom. É possível formar um juízo geral da forma, já que esta, por si só, não é sujeita à geração e corrupção.</p><p style="text-align: justify;">Três conceitos são importantes nesta filosofia, nomeadamente, o movimento, o tempo e o lugar. São conceitos intimamente ligados e difíceis de definir. É útil iniciar pela definição de movimento. Convém observar que o que deve ser entendido por movimento não se cinge àquilo que vulgarmente se designa por locomoção, que se decompõe nos movimentos de translação e de rotação. O movimento pode também ser entendido como alteração das coisas, como arrefecer, isto é, passar do quente ao frio, ou o resultado de uma reacção química na qual os sínolos dos reagentes se corrompem, dando origem aos sínolos dos produtos da reacção. A própria aprendizagem é um movimento na medida em que aquele que aprende passa de um estado de desconhecimento de alguma coisa para o seu conhecimento.</p><p style="text-align: justify;">Algumas coisas são em acto e outras em potência. Um sínolo que se gera, gera-se a partir de um sínolo que se corrompe. Para que isso aconteça, o sínolo que se corrompe tem de ser o sínolo que se gera em potência. Por exemplo, as tábuas de madeira são uma cama em potência. Somente quando estas são trabalhadas numa cama é que se obtém uma cama em acto, isto é, uma cama propriamente dita. O movimento é o acto daquilo que é em potência enquanto potência. Por exemplo, o acto do que é alterável enquanto alterável é a alteração e alteração é movimento. O acto do que é transportável enquanto transportável é locomoção. Quando o construtível se encontra em acto, está a ser construído, isso é construção. É o acto do que é potencial quando já está actualizado e opera, não como si próprio, mas como móvel, que é o movimento. Por exemplo, bronze é potencialmente uma estátua. Mas não é o acto de bronze como bronze que é o movimento. Porque ser bronze e ser uma determinada potencialidade não é a mesma coisa. O movimento ocorre quando a própria acção de tornar a potência em acto ocorre. A actualidade do construtível enquanto construtível é o processo de construção. Quando cessa de ser construível e se torna o construído, o movimento termina, deixa de existir movimento. O acto é o que se encontra em construção ou a casa. Mas quando existe a casa, o construtível não mais aí se encontra, cessando o movimento. As formas, as afecções e o lugar que constituem os termos aos quais tendem os movimentos são imóveis. Não existe movimento da substância uma vez que o movimento se dá entre contrários como, por exemplo, do quente para o frio, de um lugar ao outro ou de branco para preto. O movimento pode-se dar, portanto, segundo a quantidade, a qualidade e o lugar. Tudo o que existe no mundo sensível é passível de locomoção. Todo o movimento de locomoção ou é rectilíneo, ou circular, ou combinação de ambos, dado serem estes os movimentos mais simples.</p><p style="text-align: justify;">O tempo está intrinsecamente ligado ao movimento. O tempo é uma medida do movimento e, sendo o movimento contínuo, será contínuo o tempo, sendo dado por um número real. O tempo marca o movimento e o movimento marca o tempo e, se o tempo é medida do movimento, também é medida do repouso. Há coisas que são sempre, como a incomensurabilidade da diagonal do quadrado (e outros teoremas e definições), cujos contrários, nunca se verificando, se encontram fora do tempo. A questão da existência do tempo na ausência da consciência é remetida para a questão do movimento nas mesmas circunstâncias. Se existir movimento sem a necessidade de uma consciência, então existe o tempo. O tempo de duas alterações (ou locomoções) é o mesmo se forem iguais e simultâneas. Dizem-se iguais dois movimentos rectilíneos, um entre os pontos \(A\) e \(B\) e o outro, entre os pontos \(C\) e \(D\), se o primeiro movimento se iniciar em \(A\) em simultâneo com o início do segundo movimento em \(C\) e o primeiro movimento se finalizar em \(B\) em simultâneo com a finalização do segundo movimento em \(D\). O tempo decorrido em ambos os movimentos é o mesmo. Se a distância entre \(A\) e \(B\) for maior do que a distância entre \(C\) e \(D\), diz-se que o primeiro movimento é mais rápido. O movimento circular uniforme é o que melhor se adequa à medida do tempo, uma vez que o seu número pode ser melhor conhecido. É impossível que uma coisa perfaça um movimento finito num tempo infinito, do mesmo modo que não é possível efectuar um movimento infinito num tempo finito. Uma coisa está em repouso durante um tempo finito. Não é possível dizer que uma coisa se encontra em repouso num determinado instante. Uma coisa indivisível não se pode encontrar em movimento de locomoção, uma vez que tudo o que se move deverá percorrer uma distância igual a si próprio. Um ponto, por exemplo, não pode encontrar-se em movimento. Nenhum movimento é infinito e contínuo, com excepção do movimento de rotação. O movimento rectilíneo não poderá ser contínuo na medida em que a coisa que se move do ponto A ao ponto B e volte de novo a A, dever-se-á encontrar em repouso em B.</p><p style="text-align: justify;">Tudo o que está em movimento deve ser movido por algo. Se não contiver em si a fonte do movimento, deverá ser movido por algo além de si. Existem duas formas de movimento, nomeadamente, o natural e o violento. O movimento natural é aquele movimento que as coisas adquirem por natureza. As coisas pesadas movem-se para baixo, no sentido do centro, já que se considera estar a Terra no centro de tudo, e as coisas leves movem-se para cima. Cada coisa move-se naturalmente para o seu lugar. Se o movimento for diferente do natural, diz-se violento. As coisas animadas, por seu turno, possuem em si, a causa do seu movimento natural.</p><p style="text-align: justify;">O conceito de lugar é difícil de definir. Porém, não é possível prescindir dele, na medida em que entra no princípio do movimento natural das coisas, isto é, no princípio de que tudo se move para o seu lugar natural. Lugar que um corpo ocupa é a fronteira que está em contacto com esse corpo. Pode ser encarado como um contentor que não se move. Se um corpo se encontrar limitado por uma determinada fronteira, isto é, estiver num determinado lugar, a fronteira de nenhum outro corpo se poderá sobrepôr àquela em simultâneo. Dois corpos diferentes não podem participar simultaneamente do mesmo lugar.</p><p style="text-align: justify;">Existem quatro causas primeiras das coisas. Em primeiro lugar, é causa a substância, a causa formal. O porquê das coisas reduz-se, em última análise, à forma. Em segundo lugar, causa é matéria e substracto, a causa material. Em terceiro lugar, causa é o princípio do movimento, a causa motora. A quarta causa é contrária à anterior, isto é, é o fim do movimento, a causa final. Os elementos, por exemplo, são a causa material do mundo sensível. A causa final da natureza é o bem. As causas não são infinitas quer em indivíduos, quer em espécies. Por exemplo, no que concerne à causa material, não é possível derivar carne da terra, terra do ar, ar do fogo e assim sucessivamente até ao infinito. O mesmo acontece com a causa motora como o homem ser movido pelo ar que, por sua vez, é movido pelo sol, o sol pela discórdia, sem que se encontre um termo deste processo. Existe, portanto, uma causa primeira ou princípio, algo eterno (uma ou mais coisas), que é causa de movimento mas se encontra em repouso. O mesmo pode ser dito da causa final, isto é, que a caminhada, por exemplo, é realizada com vista à saúde, a saúde com vista à felicidade e a felicidade em vista de outra coisa, e assim sucessivamente. O mesmo se passa com a causa formal, na medida em que uma definição não pode ser reduzida, até ao infinito, a uma definição mais ampla no seu enunciado. A física pretende determinar as causas das coisas sensíveis.</p><p style="text-align: justify;">A consideração de que vazio é uma espécie de contentor que, ao invés de estar cheio, contém o espaço que deveria ter sido ocupado pelo que o enchia, contém um problema. Caso assim o seja, vazio, cheio e lugar são uma e a mesma coisa com diferença na essência. A não existência do vazio pode ser mostrada do seguinte modo. Quando um corpo se move num fluido, a sua velocidade é inversamente proporcional à resistência desse fluido. Se a resistência de um fluido for metade da do outro, a velocidade no primeiro será o dobro da do segundo. Segue-se daqui que, no vazio, que é o mesmo que ausência de fluido, a resistência anula-se e a velocidade tornar-se-á infinita, o que não se pode verificar. O vazio também não pode ser causa de movimento. De facto, se o vazio for o lugar desprovido de corpo, não existirá lugar natural para se mover um corpo que aí seja colocado, dado que todos os lugares no vazio são equivalentes. Tudo o que se encontrar no vazio deve-se encontrar em repouso. Qualquer coisa que se movesse no vazio não poderia parar por não existir um lugar especial onde isso possa acontecer.</p><p style="text-align: justify;">A investigação dos corpos pelo tangível é referente ao tacto e é sobre as coisas tangíveis que se distinguem os elementos. A visão é anterior ao tacto, de modo que o seu substracto também é anterior. Mas este substracto não é afecção do corpo tangível. As contrariedades tangíveis são quente ou frio, seco ou húmido, pesado ou leve, duro ou mole, viscoso ou friável, áspero ou liso e grosso ou fino. Os elementos têm de ser activos ou passivos por se transformarem uns nos outros. O pesado e o leve não são activos nem passivos. O quente e o frio são activos, e o seco e o húmido são passivos. O quente é o que associa as coisas do mesmo género já que o fogo associa coisas da mesma classe, expulsando as estranhas. O frio associa tanto as coisas do mesmo género com a das classes diferentes. O húmido é o que não é delimitável por um limite próprio apesar de ser facilmente delimitável por outro limite. O seco é delimitável pelo próprio limite mas dificilmente delimitável por outro. A capacidade de preencher é própria do húmido e o fino tem a propriedade de preencher. O fino deriva do húmido e o grosso deriva do seco. O viscoso deriva do húmido e o friável deriva do seco. O mole, cedendo a si próprio, deriva do húmido e o duro deriva do seco. O quente e o frio não podem ser reduzidos a húmido ou seco ou vice-versa. Dados que os pares contrários não podem ser combinados, das seis possibilidades, só são possíveis quatro e atribuem-se aos elementos. Estes são fogo, quente e seco, o ar é quente e húmido, a água é fria e húmida e a terra é fria e seca. Todos os elementos se podem transformar uns nos outros, dado que a geração termina em contrários entre os quais existem intermédios. Cada elemento, portanto, existe em potência nos outros. A chama é fumo a arder e o fumo é ar e terra. Suprimindo o húmido do ar e o frio da terra surge o fogo que é quente e seco. Todos os corpos são constituídos por todos os elementos.</p><p style="text-align: justify;">O movimento natural do fogo e do ar é para cima, ao passo que o movimento natural da água e da terra é para baixo. O movimento natural de um corpo composto é o movimento do elemento que prevalece na sua composição. Como o movimento natural dos quatro elementos ou é para baixo ou é para cima consoante o elemento, o movimento circular não é natural a cada um dos quatro elementos. Deve, portanto, ser movimento natural de um quinto elemento. Existe uma substância, o éter, distinta das outras e que lhes seja anterior em princípio. As coisas são leves e pesadas umas relativamente às outras. As mais pesadas são as que mais tendência têm a se aproximar do centro e as mais leves, as que mais tendência têm a se afastar do centro. O corpo que se move no movimento circular não pode possuir leveza ou peso porque não se pode mover naturalmente, quer na direcção do centro, quer na direcção contrária. O corpo não se pode mover na direcção do centro, quer de modo natural, quer de modo não natural. Porque o movimento não natural de seguir para cima é o movimento de seguir para baixo e, dos movimentos, se um for o movimento natural, o não natural será o seu contrário. Tal corpo será não gerado, indestrutível e livre de alteração na medida em que não possui contrários. Não pode aumentar ou diminuir, na medida que aumentaria em contacto com um corpo aparentado. Como se observa que todos os corpos que se alteram são sujeitos a aumento e diminuição, o corpo em questão não é alterável.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-31501672863525298012023-05-02T08:35:00.001+01:002023-05-02T08:35:14.737+01:00Consequências duma proposta de ontologia<p style="text-align: justify;">De acordo com <a href="http://fisica-aborrecida.blogspot.com/2021/05/uma-proposta-de-ontologia.html" target="_blank">uma proposta de ontologia</a>, os universais são determinados sobre as percepções dos objectos. A realidade apresenta-se como um conjunto de estados da matéria, sendo alguns desses estados, a activação dos circuitos neuronais. Assume-se, portanto, que a parte ou à totalidade desses circuitos neuronais, está associada a determinação de padrões tais como a cor, a forma, a textura e a posição relativa quando intervém a visão, a textura e as sensações de pressão e temperatura quando intervém o tacto, a altura, intensidade e textura dos sons quando intervém a audição, o cheiro quando intervém o olfacto ou o sabor quando se trata do uso do paladar. É frequente a referência a um sexto sentido que não depende dos estímulos externos e que pode ser encarado como a determinação de padrões e de regras físicas que se podem identificar em conjuntos de estados classificados como semelhantes à luz dos mecanismos da percepção. Esta forma de determinação de padrões, quando realizado de forma consciente, constitui a razão. Se for realizada de forma inconsciente, constitui a intuição. No âmbito das percepções também se incluem aquelas que não têm origem externa, pelo menos de forma directa. Os sentimentos em geral incluem-se nesta categoria. O medo, por exemplo, apesar de poder ter origem em estímulos externos, consiste numa reacção interna a esses mesmos estímulos. Determinados sentimentos são resultado da reacção a eventos passados sem que, no momento em que são percebidos, sejam recebidos estímulos externos que possam estar na sua origem. Esta observação permite concluir que é possível existir activação de circuitos neuronais que não tenham origem em estímulos externos. Porém, deixa-se em aberto se é necessária a activação de circuitos neuronais para que se constituam percepções internas.</p><p style="text-align: justify;">Nem todos os conjuntos de estados envolvem activação de circuitos neuronais, uma vez que nem toda a realidade pode ser percebida. Muitos acontecimentos dar-se-ão, certamente, fora de qualquer consciência que as consiga perceber. Por outro lado, determinados acontecimentos podem ter sido percepcionados por umas pessoas e não o ser por outras. De modo a contemplar a narrativa deste tipo de eventos, será necessário permitir, no discurso, a referência a objectos que não possam ser submetidos à observação. Sendo possível referências a objectos que não podem ser directamente percebidos mas que o tenham sido no passado, deverá também ser possível referir objectos que nunca foram nem poderão ser submetidos à percepção, quer se use ou não instrumentação. Esta característica do discurso permite descrever objectos que estão fora do âmbito da realidade que pode ser percepcionada mas que possa existir. No entanto, permite também a concepção de objectos que não se acredite terem qualquer relação com a realidade que pode ser percepcionada. Não se pode dizer que essas coisas não existem sem entrar no âmbito dos paradoxos do não-ser, pelo facto de que, sendo o não-ser ele próprio então é e, portanto, existe. O paradoxo resulta da possibilidade da concepção mental de algo que não existe de forma concreta mas, a partir do momento que é concebido, passa a existir como modelo. Ter-se-á de conceber que, de algum modo, o objecto concebido existe, quanto muito, de forma abstracta. O conhecimento do que existe na forma abstracta pode ser partilhado por muitas pessoas ou ser intrínseco a uma pessoa em particular. Considera-se que objectos abstractos conhecidos, deste modo, por uma determinada pessoa, façam parte do seu mundo particular. Um objecto abstracto é, portanto, qualquer objecto que seja concebido, não sendo possível determinar uma relação causal com a sua observação mediante as percepções sensoriais. Um objecto pode ser abstracto para uma pessoa e não sê-lo para outra, como acontece quando alguém que presenciou um evento descreve as suas percepções de um objecto a um indivíduo que, de modo algum, o irá percepcionar mas certamente o irá conceber. A concepção de objectos que não existem deixa espaço para a criação das histórias fictícias e para representaçõe artísticas. A desconsideração de objectos abstractos iria limitar o discurso apenas às situações que pudessem ser simultaneamente confirmadas tanto pelo emissor como o receptor. Neste cenário, não seria possível comunicar experiências passadas, aspirações futuras ou estados de espírito, na medida em que estes se iriam encontrar fora do domínio da percepção de pelo menos um dos intervenientes. A veracidade de uma asserção será determinada, pelo receptor, com base na sua fé no emissor, no seu conhecimento sobre a realidade concreta ou na sua submissão, quando possível, ao domínio da percepção. O conhecimento que existe da realidade concreta, isto é, das relações que existem entre estados que estão idenficados por determinados padrões da percepção, e do mundo abstracto, é conhecido como sistema de crenças. Os factos são as crenças que mais se parecem aproximar da realidade, na medida em que a sua observação se encontra o mais livre possível de distorções que possam resultar da sua correcta percepção.</p><p style="text-align: justify;">O primeiro problema que se prende com a determinação da veracidade das asserções começa na própria percepção. Nada parece poder provar que pessoas diferentes tenham a mesma percepção da mesma cor. De facto, mostra-se (ver proposta <a href="http://fisica-aborrecida.blogspot.com/2021/05/uma-proposta-de-ontologia.html" target="_blank">artigo supracitado</a>) que não é necessário que as percepções das cores sejam as mesmas para que se concordem com as respectivas denominações desde que estas sejam diferenciadas entre si do mesmo modo. Por exemplo, se a percepção do azul para um determinado sujeito for a mesma que a do amarelo para outro, ambos vão concordar com a denominação que convencionam para aquele tipo de percepção, por exemplo, vermelho. Isto só é possível se os sujeitos apartarem esta de todas as outras cores que ambos conseguem denominar. O mesmo se passa com as demais percepções, sendo possível apenas convencionar nomes para diferentes percepções desde que estas sejam consideradas como diferentes para todos os sujeitos. O nome fica, portanto, associado a um determinado modelo que deverá existir em memória. É possível que um indivíduo distinga duas pessoas muito parecidas entre si quando as percepciona em simultâneo e as compara. Porém, se encontrar uma das pessoas apenas poderá não ser capaz de determinar qual das duas pessoas é, a menos que memorize os mínimos detalhes que permitam distingui-las. Do mesmo modo, uma pessoa pode separar a cor entre dois objectos com a mesma tonalidade mas, apresentando um objecto com uma das tonalidades, a pessoa não seja capaz de indicar de que tonalidade se trata a menos que seja devidamente treinada para o efeito. Por vezes é difícil denominar tonalidades de cor que se encontrem no limite das separações, sendo, por exemplo, difícil acordar se se trata de um azul-esverdeado ou de um verde-azulado. Existem limites nos detalhes em que as percepções de coisas diferentes podem ser encaradas como iguais. Sabe-se que não é possível distinguir uma diferença nas alturas entre dois sons separados por um intervalo inferior a uma coma, dado que a coma é o menor intervalo entre sons que o ser humano é capaz de distinguir, mesmo que a amplitude desse intervalo possa variar ligeiramente entre pessoas. É difícil distiguir, por exemplo, entre uma circunferência perfeita e uma elipse com uma excentricidade muito pequena. Os limites alteram-se quando se trata da percepção de cenários em movimento, na medida em que é necessário tanto mais tempo de observação quanto maior for o número dos detalhes que se pretende perceber. Uma forma de contornar as dificuldades apresentadas sobre as mesmas percepções de entidades diferentes consiste em interpôr instrumentação. A altura de um som pode ser convertida num símbolo numérico, através da medição da frequência do modo fundamental desse som. Do mesmo modo, a cor pode ser convertida num conjunto de valores que determinem a intensidade das cores primárias que compõem uma determinada cor. Ambas as medições, quando efectuadas sobre os elementos responsáveis pelas percepções, permitem determinar, dentro da respectiva precisão, se se tratam ou não de percepções diferentes. Dois copos com água podem ser em tudo semelhantes mas, quando observados ao microscópio, adquirem aspectos diferentes, à semelhança do céu, quando observado a olho nú ou com o recurso da um telescópio. A interposição da instrumentação nem sempre é exequível no decurso de um discurso, na medida em que consome demasiado tempo e requer trabalho adicional. No entanto, é amplamente utilizado no âmbito da ciência e da tecnologia. O processo de instrumentação permite prover uma ferramenta experimental na determinação dos limites daquilo que pode ser distinguido pelas percepções.</p><p style="text-align: justify;">É possível identificar um outro problema com as percepções visuais, auditivas e tácteis que são as mais usadas na determinação da validade das asserções no âmbito dos acontecimentos concretos, apesar do problema se estender, do mesmo modo, às percepções olfactiva e gustativa. Destaca-se, por um lado, as alucinações e, por outro, as ilusões. No que concerne às alucinações, determinadas sensações são percebidas como provindas do exterior sem que exista qualquer relação causal entre o evento percepcionado e um evento que realmente ocorra. As alucinações podem ser resultado da activação de circuitos neuronais associados à percepção que não tenham sido despoletados por um evento externo ou por algum proccesso que impeça um indivíduo de discernir entre percepções externas e criações da imaginação, como acontece durante o sono. Um indivíduo pode saber que determinada percepção que tem é resultado de uma alucinação quando compara a sua percepção à de outros indivíduos. Se, por exemplo, entre um grupo de pessoas, apenas uma tem a percepção de algum objecto e os outros não, daí resulta que o objecto não existe na realidade concreta e o indivíduo tem uma alucinação, ou o objecto existe e os demais indivíduos não são capazes de o percepcionar. É claro que o cenário mais provável consistirá em considerar a alucinação de um só indivíduo em detrimento de uma dificuldade mais generalizada. Uma forma mais individual de determinar se um objecto observado é concreto ou não, consiste em submetê-lo à prova de todos os sentidos e, mais detalhadamente, a algum processo instrumental. Supondo, por exemplo, que um indivíduo percepciona um objecto aparentemente sólido que não consegue submeter ao tacto ou fazê-lo interagir com outros objectos, criando percepções sonoras. Poderá acreditar que o objecto existe num plano físico alternativo ou que o objecto não é concreto, sendo produto da sua imaginação. Nenhuma das opções anteriores é mais ou menos verdadeira para o indivíduo em particular. Num cenário de alucinação colectiva, nehuma dessas opções pode ser, de modo algum, considerada como a mais verdadeira. No entanto, todos os indivíduos irão concordar que não existe consequência causal entre o objecto alucinado e os demais objectos percepcionados. Essa será a asserção que melhor permite descrever essa realidade concreta e que poderá ser usada como meio para a verdade.</p><p style="text-align: justify;">As ilusões são resultado da interpretação das percepções. É possível criar escalas musicais em que a altura da nota é sempre percebida como estando a aumentar quando, na realidade, a escala é tocada de uma forma não monótona. Um outro tipo de ilusão auditiva consiste em produzir ritmos que parecem acelerar indefinidamente. As ilusões visuais são mais conhecidas e estão relacionadas com a forma como se pode extrair a informação tridimensional captada em imagens bidimensionais obtidas nas retinas dos olhos. A forma de uma sala, por exemplo, é suficiente para levar a concluir que dois objectos com as mesmas dimensões sejam vistos como tendo dimensões diferentes. Tal efeito, pode ser explicado pelo facto de que a interpretação do tamanho dos objectos pelo cérebro a partir de imagens bidimensionais deverá ter em conta o efeito da perspectiva, uma vez que objectos mais distantes são projectados em objectos de menor dimensão numa imagem plana. Quando dois cubos são justapostos de modo a que não seja possível observar a linha de separação, é natural assumir que se trata de um paralelepípedo contínuo. Em ambos os sentidos, destacam-se ainda na interpretação das percepções, a capacidade de discernir padrões cuja utilidade na actividade humana é indiscutível. Suponha-se, por exemplo, que um objecto é observado a entrar num túnel cujo interior não pode ser observado, com velocidade constante. Ao final de um tempo semelhante àquele que se espera que o objecto percorra o túnel, um segundo objecto, muito semelhante ao primeiro, emerge da outra extremidade do túnel com a mesma velocidade com que o primeiro objecto entrou. No final, um observador que não consegue observar o interior do túnel certamente concluirá que o mesmo objecto entra no túnel e emerge na outra extremidade, mantendo a sua velocidade. Trata-se da hipótese mais plausível que, não sendo submetida a críticas, será certamente incluída no seu sistema de crenças. É claro que as ilusões causam problemas na determinação da realidade. O processo de instrumentação e avaliação de todas as explicações possíveis para determinada observação assumem aqui um papel preponderante na sua análise mas, não sendo prático esmiuçar desse modo todas as percepções, o problema da ilusão poderá pôr em causa a veracidade das asserções de quem testemunha tais eventos. As ilusões da memória são uma forma de ilusão alternativa relativa ao discurso sobre a realidade concreta que se encontra no passado. O discurso sobre a realidade passada incide sobre a memória que, por sua vez, pode conter distorções da percepções sentidas ou percepções completamente fantasiosas. Dado que o sistema de crenças de um indivíduo depende da sua memória, este facto constitui um sério obstáculo à sua adquabilidade à realidade concreta.</p><p style="text-align: justify;">A concepção de objectos que não existem na realidade traz vantagens ao discurso, na medida em que permite mencionar situações que não podem ser submetidas à percepção, como é o caso de acontecimentos passados, aspirações futuras ou estados de espírito. Tal poder criativo constitui ainda uma importante dimensão artística. No entanto, dada a sua natureza, permite criar uma série de problemas no que concerne à determinação da adequabilidade de um discurso à realidade concreta. Suponha-se que, entre duas pessoas, uma percepcionou um determinado evento, considerando que a percepção não tenha resultado de alucinação ou ilusão, e outra não. A pessoa que percepcionou o evento, o emissor, transmite o resultado da sua percepção à outra, o receptor. Uma série de situações podem ocorrer que dependem do estado psicológico de ambos os intervenientes. Pode dar-se, em primeiro lugar, que o emissor descreva a situação que percepcionou com clareza e detalhes que em nada deixam a desejar e o receptor a interpreta correctamente e aceita-a como facto, incluindo-a no seu sistema de crenças. Por outro lado, é possível que o emissor descreva detalhadamente o que aconteceu da forma mais fidedigna possível e o receptor considerar que o emissor não tenha descrito a realidade que percepcionou de forma correcta, seja porque não interpretou as percepções de forma correcta, seja porque tais percepções tenham sido sujeitas a distorções por parte da memória. Neste cenário, o receptor poderá, por um lado, considerar que é intenção do emissor ocultar detalhes ou criar ficções que nada têm que ver com o que verdadeiramente percepcionou. Poderá, por outro lado, acreditar na boa-fé do emissor mas considerar que a descrição não faz jus ao que realmente percepcionou ou que este tenha sido vítima de algum tipo de alucinação ou ilusão. O emissor, por seu turno, poderá criar uma ficção para aquilo que percepcionou e o receptor aceitá-la como facto ou rejeitá-la conforme à sua crença na falsa-fé do emissor ou na sua incapacidade para ter avaliado a percepção face à realidade concreta. Finalmente, dado ser a linguagem o meio de partilha da informação entre ambos, é possível que a interpretação do receptor não esteja em linha com a mensagem do emissor. Um dos grandes desafios na justiça consiste na determinação da veracidade de um testemumho, tendo como foco a intenção ou motivação da testemunha em não relatar de forma fidedigna as suas percepções de um crime. Nestes casos, poderá ser útil prestar atenção aos detalhes e determinar se a descrição é corroborada ou negada pelas evidências, dentro dos limites do conhecimento das leis físicas. Ainda assim, mesmo que os eventos relatados por uma testemunha contenham efeitos que não possam derivar fisicamente das causas relatadas, é possível que causas externas ao seu discurso os possam explicar.</p><p style="text-align: justify;">A percepção, a concepção de objectos abastractos independentes de qualquer estímulo externo, a concepção de objectos abstractos ou concretos resultantes de um discurso, as sensações do corpo e as emoções estão na base da criação do sistema de crenças particular a cada indivíduo, do seu mundo particular. A verdade, para cada indivíduo, é, em primeira instância e em dado momento, realizada relativamente a esse mundo particular que, em parte, reflecte o que se passa ou passou no mundo concreto. O mundo particular é dinâmico devido ao processo de aprendizagem. Uma setença pode ser considerada verdadeira por um indivíduo e falsa para outro, na medida em que a sua afirmação pode concordar com o sistema de crenças de um e a sua negação ser compatível com o sistema de crenças de outro. Aliás, uma sentença pode ser considerada, pelo mesmo indivíduo, como sendo verdadeira num determinado momento e como falsa em outro. Esta particularidade levou alguns sofistas a considerarem que tanto um discurso como o seu contrário podem ser simultaneamente verdadeiros, violando o princípio da não-contradição. No entanto, não é possível que um discurso e o seu contrário sejam simultaneamente verdadeiros, do mesmo modo, no mesmo instante, e no mesmo mundo particular na medida em que fica desprovido de conteúdo. Sobre cada sistema individual de crenças, estabelece-se, por intermédio de percepções semelhantes e do discurso, um sistema de crenças partilhado por um grupo de pessoas. É natural assumir que o sistema de crenças de um grupo é mais fidedigno no que concerne ao conhecimento do mundo concreto. Primeiro, as alucinações de grupo são menos susceptíveis de acontecer do que a alucinação individual. Em segundo lugar, é normal assumir que um grupo de pessoas assista a um determinado evento sob diferentes pontos de vista, mitigando o efeito da ilusão. Um observador que se encontre no interior do túnel, observa que um determinado objecto tenha entrado por uma extremidade, parando a meio, e que outro objecto idêntico ao primeiro inicia o seu movimento, saindo pela extremidade oposta. Um observador que se encontre no exterior, assume que o mesmo objecto que entrou numa das extremidades do túnel é o mesmo que sai na outra extremidade. Se ambos os observadores se encontrarem e discutirem as suas percepções, o observador que se encontrava no interior poderá convencer o observador que se encontrava no exterior da explicação que melhor descreveu aquela realidade concreta. É claro que as dificuldades inerentes à comunicação, em muito dependentes das características psicológicas de cada indivíduo, colocam grandes obstáculos à determinação da adequabilidade desse conjunto de crenças à realidade concreta. O observador no interior do túnel poderá querer manter na ignorância o observador que se encontrava no exterior, deixando-o acreditar na sua versão daquela realidade.</p><p style="text-align: justify;">A identificação de padrões nas percepções permite a sua classificação, considerando as respectivas semelhanças. É sobre o conjunto de percepções semelhantes que incidem as denominações universais. Por exemplo, um cão é um ser que possui uma forma determinada pela visão, constituindo a forma, o formato, textura, cor e todos os demais atributos visuais. Muitos seres diferentes entre si partilham uma semelhança na forma que permite classificá-los como cães. A denominação da forma pelo respectivo nome é um resultado da convenção cultural associada a uma linguagem e assimilada por um processo de aprendizagem. Durante a aprendizagem, é suficiene atribuir nomes a modelos das formas que o processo cognoscível de classificação irá determinar quais são as semelhantes dentro desse conceito. É suficiente, por exemplo, indicar um modelo de cão ou um modelo de gato para que seja possível identificar os seres que pertencem à classe dos cães ou os que pertencem à classe dos gatos. As formas, de um modo geral, decompoem-se em formas simples ou agregam-se em formas mais complexas. Um cão, por exemplo, possui uma forma que agrega a cabeça, o tronco e os membros, à semelhança de um gato mas diferente de um pássaro na natureza mais geral dos membros. Características que se possam apartar, como ter ou não ter asas, ser desta ou daquela cor, ter esta ou aquela textura, deste ou daquele formato, ser contínuo ou não, permite refinar a classificação dos seres. As formas estáticas e invariáveis não são o único tipo de padrão que se pode identificar numa imagem visual. Em primeiro lugar, a forma de um objecto pode-se alterar entre percepções. Um cão, por exemplo, pode ser observado como estando sentado numa percepção e como estando deitado em outra. Dado que uma percepção pode incluir vários objectos, as respectivas formas são determinadas em simultâneo. O conjunto sucessivo de percepções provê as noções de tempo e de movimento. Em segundo lugar, a percepção de uma imagem ocular pode conter vários objectos, estando estes dispostos de uma ou outra maneira entre si, resultando daí a noção de lugar. Se num conjunto de percepções sucessivas, por exemplo, a posição relativa dos objectos se alterar entre si, está-se na presença do movimento de locomoção. Considera-se como movimento de locomoção, a alteraçao do formato geométrico de um objecto, na medida em que varia a posição relativa das partes que o constituem.</p><p style="text-align: justify;">A linguagem usual, apesar de ser rica o suficiente para referir os aspectos estáticos e dinâmicos daquilo que advém das percepções, também está sujeita a limitações, no sentido que é usada para transmitir as ideias que existem sobre a realidade concreta e como essas ideias se coadunam com a realidade. Suponha-se que o responsável de um museu observa que peças de um barco são substituídas por peças muito semelhantes. As peças do barco são entregues a um artista que as monta no seu estúdio. No final da actividade existem dois barcos, um que foi totalmente reconstruído com novas peças e o outro foi montado a partir de peças antigas. Para o responsável do museu, o barco que lá se encontra é sempre o mesmo apesar do seu completo restauro. Do ponto de vista do artista, o barco que este reconstruiu é o mesmo que estava no museu, na medida em que considera que o barco em questão foi desmontado no museu e remontado no estúdio. Se o responsável do museu e o artista conversarem sobre o barco, estes irão concordar com uma grande variedade de asserções, como a forma e altura do mastro ou a cor do casco, apesar de não se referirem ao mesmo objecto. As crenças de ambos coincidem neste caso mas as maneiras como asseveram a veracidade das suas afirmações são diferentes entre eles, na medida em que o responsável do museu confirma determinada especificidade no barco que se encontra no museu e o artista irá referir-se ao barco que se encontra no seu estúdio. Se ambos falarem sobre a localização do barco, muitos cenário poderão daí surgir. O responsável do museu pode convencer o artista de que o barco que se encontra no museu é o que sempre lá esteve, o artista pode convencer o responsável do museu que o barco que lá se encontrava, encontra-se agora no seu estúdio, poderão ambos chegar à conclusão que se tratam de barcos diferentes originados do barco que se encontrava no museu por este ou por aquele processo ou não chegarão a algum consenso sobre essa matéria. Aquilo que se entende por um objecto cuja forma varia com o tempo é determinado por convenção. No que concerne à representação mental desse objecto, não é difícil considerá-lo como único, mantendo a memória das várias propriedades que o caracterizam ao longo do tempo. É também necessário convencionar de que modo o objecto deve ser percepcionado para corroborar essa concepção. Se se pretender avaliar propriedades tais como a forma e altura do mastro ou a cor do casco é indiferente que barco resultante se analisa, na medida em que são iguais nesse sentido. Na prática, fala-se do universal conhecido como barco do museu, do qual existem duas instâncias. Em última análise, as crenças do responsável do museu e do artista sobre esse universal serão as mesmas. Não é frequente detalhar-se como corroborar as concepções dos objectos do discurso dado que se trata de um processo moroso. Esse processo é deixado ao critério de cada interveniente. No que respeita ao discurso científico, por seu turno, não só é importante descrever os objectos como deixar claro como estes devem ser corroborados pela percepção na realidade concreta ao longo do tempo.</p><p style="text-align: justify;">Duas esferas visualmente indistinguíveis são colocadas em cima de uma mesa. O observador consegue identificar cada uma delas como um objecto diferente, tomando nota das suas posições relativas a si mesmo. Por exemplo, considera a esfera da direita e a esfera da esquerda. Suponha-se que o observador sai da sala onde as esferas se encontram e deixa de rastrear o seu movimento durante algum tempo. Se o observador entrar novamente na sala, irá assumir que a esfera da direita é a mesma esfera que antes se encontrava à sua direita e a esfera da esquerda é o mesmo objecto que antes se encontrava à sua esquerda. Um segundo indivíduo entra na sala e decide se troca ou não as posições das esferas e diz ao observador se trocou ou não a posição das esferas. Cinco opções podem ocorrer neste cenário. Na primeira, o observador acredita no indivíduo e o indivíduo foi honesto. Na segunda, o observador não acredita no indivíduo mas este também não foi honesto. Na terceira, o observador acredita no indivíduo mas este não foi honesto. Na quarta, observador não acredita no indivíduo mas este foi honesto. Na quinta, o observador não decide se acredita ou não no indivíduo. Se se verificarem as duas primeiras opções, o observador conseguirá determinar qual objecto é qual e estará de acordo com a realidade. Na terceira e quarta opções, o indivíduo conseguirá determinar qual objecto é qual mas a sua correspondência com a realidade concreta estará errada. Se se verificar o último cenário, deixa de ser possível dizer qual objecto é qual. Limitações deste género podem resultar do facto de não ser exequível a um único indivíduo percepcionar um objecto indefinidamente. Com efeito, não é prático fazê-lo por um grupo de indivíduos, com excepção de alguns exemplos em ciência. Com efeito, as posições dos astros são rastreadas há milénios. No entanto, se estrelas semelhantes trocarem de posições nas constelações entre observações, tal fenómeno, além de não ser registado, não deixa qualquer evidência de que realmente tenha acontecido. Alguém que acredite obsessivamente que tal fenómeno acontece, poderá ter o comportamento compulsivo de dedicar grande parte do seu tempo a tentar observá-lo. Se o observador estiver apenas interessado na esfera da direita, mesmo que esta tenha sido trocada com a esfera da esquerda, continuará a observar as mesmas propriedades, como textura, material, sensação de peso, que observara antes de sair da sala. Se se interessar pelo conjunto das esferas e ignorar as respectivas posições, do ponto de vista prático, é indiferente se o indivíduo trocou as respectivas posições ou não. É claro que, por vezes, dois objectos são indistinguíveis quando percepcionados directamente mas poderão não sê-lo quando submetidos a uma análise mais detalhada com o auxílio de instrumentação. Tal acontece quando se pretende distinguir entre diamante e zircónia cúbica que apenas se mostram diferentes se analisados com maior detalhe, dado possuírem propriedades físicas e químicas distintas mas características muito semelhantes quando observados a olho nú.</p><p style="text-align: justify;">Além dos padrões que se identificam numa percepção particular e que permite apartar objectos, é possível determinar padrões sobre um conjunto temporal de percepções. Por exemplo, sempre que se larga uma pedra a uma determinada altura, esta passará a mover-se ao longo de uma trajectória vertical no sentido de cima para baixo até que chegue ao solo. Este padrão é verificado para uma enorme variedade de objectos. A queda de uma pena, por seu turno, será mais lenta. Se se depositar na terra a semente de uma determinada planta e se regar com a devida frequência, a semente dará origem a uma planta muito semelhante àquela da qual foi obtida. Se se bater uma pedra de um determinado tipo com outra pedra mais dura, desta ou daquela maneira, poder-se-á moldá-la em forma de lâmina capaz de cortar materiais de origem animal ou vegetal. Percebe-se que determinadas acções executadas em certas circunstâncias, como o largar uma pedra a uma dada altura, têm sempre, como consequência, os mesmos efeitos, como é o caso de adquirir um movimento vertical de cima para baixo até que se detenha no solo. Diz-se que a largada da pedra é a causa que tem, como efeito, o seu movimento que se detém no solo. Determinados acontecimentos são causa de outros apenas em determinadas circunstâncias. Por exemplo, se se aquecer o hidrogénio e o oxigénio acima de uma determinada temperatura, conhecida como ponto de ignição, e se estes forem misturados, dar-se-á a reacção de combustão, originando água. Neste caso, o evento dado pela mistura de hidrogénio e oxigénio é causa da produção de água apenas quando as suas temperaturas são suficientemente elevadas. Por outro lado, a produção de uma faísca numa mistura de hidrogénio e oxigénio à temperatura ambiente resulta na reacção de combustão e produz água. Dois tipos de causa, a mistura de oxigénio e hidrogénio a temperaturas elevadas ou a produção de uma faísca numa mistura de hidrogénio e oxigénio resultam no mesmo efeito que é a produção de água. Além disso, a mistura de oxigénio e hidrogénio não pode ser causa da água por si só, na medida em que deve acontecer a produção de uma faísca ou uma elevação da temperatura. Porém, se não se observar produção de água então nenhuma das causas possíveis pode ter sido observada, o caso contrário iria incorrer no efeito contrário, uma vez que o efeito ocorre sempre que ocorrerem todas as causa. Nem todos os acontecimentos que se observam em sequência temporal estão na relação de causa e efeito. Suponha-se, por exemplo, que alguém sente sempre um cheiro agradável alguns momentos após o nascer do sol. Poderá assumir que se trata de uma relação causa e efeito, sendo o nascer do sol a causa do cheiro agradável. No entanto, ambos podem não estar relacionados, na medida em que a causa do cheiro agradável é a utilização de alguma substância usada por uma fábrica que começa a labutar pouco depois do sol nascer. Certo dia, o indivíduo sente o cheiro agradável antes do sol nascer, porque alguém começou a labuta mais cedo. Conclui, deste modo, que o nascer do sol não é causa do cheiro agradável na medida em que se o fosse, caso o sol ainda não tivesse nascido, não poderia ter sentido essa fragrância.</p><p style="text-align: justify;">Para além dos padrões que permitem apartar objectos no decurso das percepções, é possível determinar padrões que estabelecem uma relação entre esses mesmos objectos. Por exemplo, observa-se que é dia quando o sol se encontra acima do horizonte. Este padrão é sempre verificado, isto é, qualquer que seja a percepção visual na qual o sol se encontra acima do horizonte, então ter-se-á a percepção de ser dia. Do mesmo modo, sempre que se percebe ser dia, o sol encontra-se acima do horizonte. Parece existir uma relação de causa e efeito, restando determinar qual é um e qual é o outro. Ora, o dia pode ser caracterizado pela luz e, portanto, sempre que o sol se encontra acima do horizonte, os objectos encontram-se iluminados. Porém, é possível que os objectos sejam iluminados de um outro modo, por exemplo, pela chama de uma lamparina. Segue-se que se os objectos não estiverem iluminados então o sol não se pode encontrar acima do horizonte, mas é possível que, se o sol não se encontrar acima do horizonte, os objectos, mesmo assim, se encontrem iluminados. O sol é, portanto, a causa e o dia, o efeito. De facto, durante um eclipse, o sol pode-se encontrar acima do horizonte sem que se possa afirmar que seja dia. Do mesmo modo, quando se seguram dois imãs suficientemente próximos entre si, sente-se uma força de atracção ou repulsão. Como os imãs podem ser submetidos a forças de diferentes naturezas, as suas aproximações serão as causas e as forças, os efeitos. Por outro lado, se se sentir uma força quando se segura um objecto e este for largado, este iniciará um movimento no sentido e direcção da força que se sente. A força é causa do início do movimento uma vez que, sempre que não é sentida qualquer força quando se segura um objecto, este não inicia o movimento quando é largado. Se se largarem dois imãs numa pequena região, estes ir-se-ão aproximar ou afastar conforme os pólos que se encontram mais próximos. Neste caso, a causa é a largada dos imãs numa pequena região e o efeito é o seu movimento ulterior. Esta relação causal, no entanto, pode ser decomposta numa cadeia de relações causais. A aproximação dos imãs é causa de forças que são exercidas sobre eles que, por sua vez, são a causa do movimento. Num grande número de situações, as relações causais podem ser decompostas deste modo até que se chegue a relações das quais não se conceba uma decomposição. Às relações causais mais simples que compõem relações causais mais complexas, dá-se a designação de princípios. Dos princípios, é possível obter, por construção, relações causais mais complexas que parecem ser de naturezas diferentes, como é o caso de átomos cujos núcleos contenham números diferentes de protões serem causa de elementos químicos distintos com propriedades muito díspares. A luz do dia, por exemplo, pode ser considerada como o efeito da produção de luz nas transformações energéticas que têm lugar no interior do sol, a qual incide sobre a terra. A luz incide na metade que se encontra voltada para sol, sendo dia aí e noite na metade que se encontra voltada para a direcção contrária.</p><p style="text-align: justify;">Existe uma relação entre a forma de um objecto e o facto do objecto ser de determinado tipo. Por exemplo, um objecto com a forma de um livro, isto é, tendo todos os atributos que o permitam classificar como sendo um livro, é do tipo livro. Mais do que uma forma pode estar associada ao livro. Neste contexto, poder-se-á assumir que a forma é a causa e o livro é o efeito. De facto, a forma é dada pela percepção e o conceito de livro é o resultado da classificação dessa forma, dentro de um conjunto de formas, como sendo a forma de um livro. Convém notar que a forma é causa do conceito de livro, isto é, do modelo em memória que serve para comparação com outros livros, e não do objecto que é observado e classificado como sendo um livro. O objecto em si, resultante de um agregado de estados da matéria, é causa da sua forma, na medida em que poderá existir sem que nunca tenha sido observado, cuja observação é causa do conceito que lhe está associado. Finalmente, o conceito e o processo de convenção são causa da palavra que o descreve numa determinada língua, já que há conceitos para os quais não foi definida uma palavra. A classificação pode ser realizada com base em caracteríticas que são partilhadas por várias formas. Pode-se considerar aspectos essenciais do homem que o determinem como animal. É concebível, por exemplo, a classificação, dentro da mesma categoria, os animais que têm patas ou cor castanha e, em outra categoria, os animais que têm cor branca. Neste caso, há animais, por exemplo, os que têm patas e cor branca, que serão classificados em ambas as categorias. Esta classificação não é normalmente considerada porque não constitui uma estrutura hierárquica. As relações hierárquicas facilitam o processo de classificação. Trata-se de relações com as características das de causa e efeito, sendo, por exemplo, o homem a causa e o animal o efeito, o mais particularizado a causa e o mais generalizado o efeito. Uma vez que tal só acontece porque se convencionou uma classificação hierárquica do homem como animal, esta relação de causa e efeito é convencional. A categoria máxima é convencional, isto é, qualquer conjunto de estados da matéria que seja observado como sendo uma única entidade é um objecto por convenção. Em muitos casos é difícil discernir entre as verdadeiras relações de causa e efeito, que envolvem eventos temporalmente distintos, e as que resultam de convenção. Quando se observa que dois objectos, deixados por si sós em repouso relativamente um ao outro, adquirem um movimento acelerado no sentido e direcção por eles definido, apenas se pode afirmar por convenção que existe algo, que recebe a designação de gravidade, que é causa desse movimento. Porém, a convenção é útil, na medida em que, aliada a outros princípios, permite facilitar a previsão dos resultados observacionais. A ideia de energia vital que se convenciona estar associada aos seres vivos, tal como é concebida, não proporciona qualquer método de previsão sobre o mundo concreto nem tampouco um método para corroborar essa previsão. Trata-se, portanto, de uma convenção puramente abstracta.</p><p style="text-align: justify;">O homem, à semelhança dos seres animados, além de possuir a capacidade de se mover de um lugar a outro por si próprio, é capaz de mover outros objectos. Esta capacidade permite-lhes alterar o seu meio de modo a estabelecer causas que vão originar os efeitos que lhes estão associados, como é o caso de activar um interruptor cujo efeito será o de acender uma lâmpada eléctrica. Diz-se que um indivíduo age sempre que altera o seu meio, produzindo causas que resultem em efeitos consequentes. Podem-se conceber vários cenários relativamente ao conhecimento das relações causa e efeito. Um indivíduo pode agir, alterando o meio, de modo a produzir as causas que levam ao efeito esperado de acordo com o seu conhecimento de causa e efeito. Diz-se, neste caso, existe intenção na acção do indivíduo em produzir determinado efeito. O indivíduo pode agir com a intenção de produzir determinado efeito mas, dado o seu conhecimento errado das causas e efeitos, produzir um efeito diferente do esperado ou produzir o efeito esperado em simultâneo com efeitos imprevistos. Pode também agir sem qualquer conhecimento das relações causa e efeito. Os efeitos obtidos deste modo não são intencionais, na medida em que não eram esperados pelo interveniente, quer tenha existido intenção em eventos alternativos. No entanto, não parece ser possível despir a acção de um indivíduo de uma inteção em alterar, de algum modo, o seu meio, que pode ser simplesmente a sua posição no interior de uma sala. Pode ainda agir de modo a produzir determinadas causas e investigar os efeitos com o objectivo de estabelecer relações de causa e efeito que lhe eram desconhecidas. Este último cenário é conhecido como experimentação. O processo de instrumentação consiste no recurso aos princípios conhecidos para construir cadeias de relações causa e efeito mais complexas. Num telescópio, por exemplo, são usados os princípios da óptica que permitem construir uma cadeia de relações causa e efeito que dão origem à relação cuja causa se determina pelo apontar a sua objectiva para um determinado objecto, sendo, o efeito, a imagem ampliada do objecto na ocular. É claro que um processo de instrumentação poderá envolver mais do que um aparelho. Na pesagem, por exemplo, para além da balança, são necessários os pesos padrão. A arte, por seu turno, consiste na aplicação do conhecimento das relações causa e efeito na produção de ferramentas, instrumentos ou objectos que portam alguma utilidade prática ou artística. A descrição ou execução das acções necessárias para produzir um determinado objecto ou estabelecer um processo de instrumentação é designada por procedimento. Um indivíduo é capaz de submeter o seu sistema de crenças à realidade concreta por intermédio de um procedimento. É natural assumir que um procedimento diferente leve a uma corroboração diferente da realidade concreta. Por exemplo, dois objectos podem ser considerados como sendo de diamante se forem submetidos à observação simples e, por outro lado, um deles pode ser considerado como sendo de zircónia cúbica quando as suas propriedades refractivas são analisadas.</p><p style="text-align: justify;">Não é prático um único indivíduo conhecer os procedimentos afins a todas as artes. Um fabricante de lápis, por exemplo, apesar de conhecer os processos do fabrico desse tipo de objecto, não está ciente dos processos necessários à obtenção da madeira e da extracção da grafite que os constitui, bem como da produção das ferramentas que usa para o seu fabrico. Esta observação é suficiente para convencer que, mesmo que o sistema de crenças de um indivíduo nos padrões de causa e efeito concordem com a realidade concreta, este não os conhece em toda a sua extensão. No que concerne ao processo de instrumentação, um indivíduo pode conhecer o conjunto de causas e efeitos proporcionados por um determinado instrumento sem que possua qualquer conhecimento sobre as causas e efeitos que lhe são internas, isto é, o modo do seu funcionamento. É possível, mesmo assim, não saber como funciona determinado instrumento, nem o procedimento que deve seguir para a sua correcta utilização, nem tampouco interpretar as relações de causa e efeito que este possa proporcionar. Por exemplo, um indivíduo que não seja versado em física ou química, não conhece os meios como deve utilizar um espectómetro de massa nem entender a sua finalidade, a qual lhe permitiria separar moléculas com diferentes massas. Um físico ou químico, por seu turno, poderá entender a finalidade do aparelho e usá-lo com vista à separação molecular, entender os princípios sobre os quais este funciona, sem saber como este foi concebido. Esta característica prática da actividade baseia-se na relação de confiança. Um físico ou químico confia que o aparelho que usa está de acordo com os princípios sobre os quais o instrumento que usa deve funcionar. Neste caso, se essa confiança não existir, o físico ou químico pode testar o aparelho, fazendo-o actuar sobre misturas conhecidas de moléculas das quais sabe o resultado a ser esperado, o qual não deve variar, dentro de limites de tolerância, entre testes da mesma natureza. Um indivíduo que não conhece, quer o aparelho, quer os princípios, deverá cingir-se à confiança, tanto nos físicos e químicos que o usam, como nos fabricantes do aparelho. Se essa confiança não existir, a utilização da espectrometria de massa na determinação da qualidade de um medicamento, por exemplo, será encarada, por esse indivíduo, como um espectáculo com nenhuma utilidade prática. O reverso também pode acontecer. É possível conceber um instrumento que, apesar de funcionar sobre princípios conhecidos, como a medição da resistência eléctrica da pele, seja utilizado na determinação de alergias, se não existir uma relação de causa e efeito entre a resistência da pele entre determinados pontos do corpo, sobre a qual se baseia o funcionamento do aparelho, e a existência de alergias. Um indivíduo que não compreenda os princípios poderá acreditar em quem afirma que um aparelho do género permite determinar o tipo de alergias que tem tendência a ficar sujeito.</p><p style="text-align: justify;">A definição do tempo é efectuada por intermédio da atribuição de um número às percepções que são observadas em simultâneo, considerando o estado de um objecto que possua um movimento conhecido. O movimento aparente do sol em torno da terra, por exemplo, marca a duração do dia natural e o seu movimento aparente relativamente às estrelas fixas, marca a duração do ano. Os relógios, por seu turno, são dispositivos criados para facilitar e aumentar a precisão na medição do tempo. Uma vez que é possível atribuir uma medição de tempo a quaisquer causas e consequentes efeitos, pode-se considerar que existe uma relação entre o tempo e os demais eventos. Se, por exemplo, um corpo partir de um ponto inicial com velocidade constante, ao fim de uma unidade de tempo, este encontrar-se-á a uma unidade de distância do ponto de partida. Deste modo, se o relógio se encontrar na posição associada a um segundo, o corpo encontra-se a uma unidade de medida do ponto inicial. Existe aqui uma relação entre a posição do relógio e a posição do corpo. Além disso, se o corpo não distar em uma unidade de distância da posição inicial, então o relógio não se encontrará na posição associada a uma unidade de tempo. No entanto, dado que o corpo pode-se encontrar a uma distância de uma unidade da posição inicial sem que exista um relógio, é claro que não se trata de uma relação de causa e efeito. O tempo não é causa dos eventos mas está-lhes relacionado. O clima no hemisfério norte depende da posição desse hemisfério em relação ao sol e essa posição varia devido ao movimento de translação da terra e do seu eixo de rotação que permite definir o hemisfério sobre a esfera terrestre se encontrar inclinado relativamente ao plano de translação. Se se usar o movimento aparente do sol relativamente às estrelas fixas, existe uma relação entre essa posição e o clima. Se se usar o movimento aparente de outros astros na medição do tempo, irá existir uma relação entre as suas posições aparentes e o clima. Uma vez que o clima influencia o resultado do plantio, em agricultura, pode-se afirmar que existe uma relação entre a posição dos astros e a melhor altura para o plantio no hemisfério norte. Se se subtrair o conhecimento sobre a posição relativa do hemisfério norte relativamente ao sol influenciar o clima, torna-se intuitivo estabelecer que a relação entre a posição dos astros e a melhor altura para o plantio ser uma relação de causa e efeito, ao invés de se tratar de uma relação puramente temporal. Por analogia, existirá uma relação de causa e efeito entre a posição dos astros e, por exemplo, o estado de saúde de um indivíduo em particular, o seu estado de espírito, o estado de saúde de um animal ou a localização de uma mina de pedras preciosas. A crença neste tipo de relações de causa e efeito poderão estar de tal modo arraigadas que constituem a verdade no mundo particular de muitos indivíduos.</p><p style="text-align: justify;">Do mesmo modo que é possível conceber objectos abstractos sem qualquer relação com a realidade concreta, é também possível a concepção de relações de causa e efeito que nunca foram percepcionadas. Esta característica permite discursar sobre este tipo de relações sem ser necessário corroborá-las, incluindo, no seu âmbito, situações passadas, previsões futuras, situações inatingíveis para o receptor ou relações afins ao estado de espírito. Permite ainda criar teorias sobre como relações de causa e efeito observadas podem ser decompostas em princípios conhecidos, bem como teorizar novos princípios. As teorias podem ser corroboradas, construindo, ao nível lógico, relações de causa e efeito complexas, alterando o meio de modo a produzir essas causas e observar se os efeitos coincidem com os esperados. Por exemplo, segue-se dos princípios electromagnéticos que a velocidade da luz, sendo esta de natureza electromagnética, é sempre a mesma, independentemente do referencial inercial que se usa. Deste modo, a medição da velocidade da luz no ar, quer em repouso, quer sobre uma estrutura que se mova a velocidade constante, será o mesmo. A causa dada pela determinação de duas medidas da velocidade da luz deverá ter, como efeito, o mesmo resultado. Se assim se verificar, os princípios do electromagnetismo conduzem a uma conclusão válida. Caso contrário, todo o processo terá de ser revisto, sendo necessário a criação de novas teorias. É neste conceito que se baseia o método científico. Por outro lado, muito do conhecimento particular a cada indivíduo é aprendido da sociedade. É muito frequente serem ensinados na escola princípios que não são submetidos à experimentação porque não é prático fazê-lo. Porém, se se pode aprender princípios que foram submetidos ao teste da prova, também se pode aprender princípios que não. Por fim, cabe ao indivíduo que aprende, desta ou daquela forma, acreditar ou não se um princípio é válido e outro não, na medida em que ele próprio não é capaz de o submeter à experiência. Em última instância, não é suficiente afirmar que um princípio é válido, isto é, que descreve a realidade concreta mediante determinada forma de corroboração, porque foi submetido à experiência, dado que o indivíduo tem de acreditar na validade do princípio, que este foi submetido à experiência e na capacidade e seriedade dos experimentadores que o submetaram à prova. Um dos argumentos que os terraplanistas apresentam contra a esfericidade do planeta baseia-se, precisamente, na descrença naqueles que o observaram do seu exterior. A predisposição psicológica para acreditar neste ou naquele argumento, sem possibilidade de o submeter à prova dos sentidos, tem grande influência no mundo particular de cada um. A planura da terra é uma verdade no mundo dos terraplanistas.</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se que um homem possua um conhecimento muito restrito do mundo. Quando se encontra perante uma árvore cujos frutos não consegue alcançar, deverá esperar que estes caiam. Suponha-se que o homem decide rezar, pedindo, nas suas preces, que um fruto caia. Na eventualidade da queda do fruto, o homem poderá assumir uma relação causal na qual a queda do fruto é o efeito que tem por causa do acto de rezar. Suponha-se, dado ser possível conceber relações de causa e efeito que não tenham sido corroboradas pela realidade concreta, que o homem admite como princípio que a sua prece é eventualmente escutada por um espírito da floresta que lhe proporciona o fruto sempre que o pede. Segue-se desse pressuposto que a queda do fruto é, em primeira instância, causada por uma determinada entidade. O raciocínio do homem poderá ser suficiente para estabelecer um sistema de crenças sobre a realidade concreta que comtempla um espírito da floresta, tendo como justificação, a queda de um fruto após um tempo de reza arbitrário. Certo dia, um fruto cai sem que o homem tenha tido a oportunidade de rezar. O que daqui se pode concluir é que a reza não é, portanto, a única causa possível para a queda do fruto. O fruto deverá ter caído, movido por outra causa. De acordo com o seu princípio, o espírito da floresta poder-lhe-á ter proporcionado o fruto sem que este lhe dirigisse alguma prece. Conclui, portanto, que a causa da queda do fruto é produto da vontade dessa entidade, atribuindo uma intenção à queda do fruto. Mesmo que se venha a determinar uma causa material para a queda do fruto, como a diminuição da resistência mecância do apêndice que o suporta, o princípio abstracto considerado continua a ser aplicado desde que se assumiu alguma intenção ou vontade que determinou a queda do fruto. A resistência do suporte dos frutos diminui na medida em que é essa a vontade do espírito da floresta. Se, para qualquer relação de causa e efeito que se observa, se convencionar que esta resulta, em primeira instância, da vontade de um ente abstracto, não há forma de o provar, na medida em que se trata de uma convenção, nem há forma de provar o seu contrário, dado que se convenciona funcionar para todas as relações de causa e efeito que se observam. De facto, prova-se o contrário se se provar que, se nenhum efeito se observar, então não existe espírito da floresta. Porém, há sempre um efeito em algum instante, na medida em que o fruto acaba sempre por cair. Este problema de corroboração com a realidade resulta do facto de, para cada teoria que explica a realidade concreta, é possível criar uma teoria alternativa, considerando que existe um causa intencional para cada princípio dessa teoria, que explica os mesmos fenómenos, mas nada consegue prever na ausência dos outros princípios. A gravidade também é uma convenção aplicada sobre todos os movimentos que objectos assumem entre si, de determinada maneira. Não se consegue provar se existe ou não. De facto, considera-se que a gravidade consiste na deformação do espaço-tempo pela massa dos objectos, isto é, é o espaço-tempo que existe, sendo a gravidade uma característica. No entanto, é possível extrair consequências mensuráveis, a partir dos princípios que lhe estão associados, na completa ausência dos outros princípios, como os das outras interacções fundamentais.</p><p style="text-align: justify;">O que o homem observa da natureza é resultado de relações causais específicas. Por exemplo, a visão é o efeito cuja causa consiste na incidência da parte da luz reflectida pelos objectos na retina dos olhos. A sensação de som, por seu turno, é o efeito causado no ouvido pela propagação de ondas de pressão do ar que, por sua vez, é causada por acções mecânicas sobre os objectos. A sensibilização dos sentidos tem, como efeito, a activação de circuitos neuronais dos quais se extraem os padrões que permitem a representação mental da realidade. De outra parte, têm como consequência, o despoletar de emoções que podem levar a reacções físicas que, em alguns casos, nem sequer são submetidas ao crivo da razão. Quando alguém toca num objecto que se encontra a uma temperatura muito elevada, reage o mais rápido possível de modo a desfazer o contacto. É habitual que uma reacção do género seja de tal forma rápida que não é evitada por um processo consciente. Para além da classificação dos padrões que levam à determinaçao dos objectos, seus tipos e relações espaciais, temporais e conceptuais, dá-se também uma classificação dos mesmos padrões no que concerne ás emoções que estes causam. Dependendo das situações, estas podem causar, por exemplo, medo, ira, relaxamento ou alegria. As emoções têm um peso muito grande na reacção do homem face ao que acontece ao seu redor. Algumas das reacções tendem a manter ou exacerbar determinada emoção, como é o caso da alegria, ou tentar evitar o que está na origem da emoção, como é o caso do medo. De um modo geral, poder-se-á conceber que, a cada emoção, se encontra associada uma sensação de prazer ou de dor. A reacção do homem saudável é habitualmente tomada no sentido de aumentar o prazer e diminuir a dor. As reacções emocionais não se cingem apenas a determinados efeitos, mas também aos objectos em si. Um objecto é considerado belo, por exemplo, se a sua percepção causar uma emoção agradável. No entanto, ao contrário do que sucede com a capacidade de discernir padrões entre si, como é o caso da identificação de objectos, que pouco varia para a grande maioria das pessoas, as emoções podem variar substancialmente entre sujeitos. Um objecto pode ser considerado belo por um determinado número de pessoas e feio por tantas outras. Certas acções podem ser consideradas boas ou más se os seus efeitos causarem prazer ou dor.</p><p style="text-align: justify;">Se um indivíduo pedir a outro que lhe retorne o objecto mais belo, poderá ser-lhe retornado o objecto que considera feio, na medida em que é belo para quem o retornou. Neste cenário, torna-se evidente que a propriedade definida pelo ser belo não é suficiente para determinar inequivocamente um objecto quando estão envolvidas mais de uma pessoa. Se todas as pessoas considerarem belo os mesmos objectos, estas vão acordar com a mesma distinção e, portanto, uma emoção associada a uma percepção entra em pé de igualdade com a sensação no que concerne à identificação de objectos da realidade concreta. É natural assumir que o belo existe na realidade concreta da mesma maneira que existem as cores ou os vários tipos de som. Se todas as pessoas concordarem na classificação de todas as acções que observam como boas ou más, é difícil determinar se a bondade e a maldade existem ou não na realidade concreta. De facto, se apenas um reduzido número de pessoas não considerar esta ou aquela acção má, incorre-se no cenário de considerar que estas padecem de alguma doença, à semelhança daqueles que não conseguem distinguir as cores. O processo de instrumentação, na medida em que funciona no domínio das sensações, não permite determinar se um objecto é belo ou se uma acção é boa. Para tal acontecer, seria necessário determinar uma forma de medir as reacções emocionais face à realidade que se apresenta sobre os sentidos. Isso seria conseguido, identificando os circuitos neuronais que são activados pelas respectivas percepções e associando os padrões resultantes às emoções. Para o efeito, ter-se-ia de determinar se padrões neuronais idênticos resultam em emoções idênticas, discernir entre as emoções internas e as que são causadas pela percepção, discernir entre padrões puramenta percepcionais e emocionais e assumir que todas as emoções sentidas envolvem a activação desses circuitos. Apesar desta última hipótese ser a mais provável, foi deixado em aberto na proposta e ontologia se se verifica ou não. Se fosse possível identificar todos os padrões neuronais, seria necessário associá-los à respectiva emoção. Tal só é possível, sempre que o padrão se verifique, se o indivíduo sujeito à experiência, para além de ser honesto relativamente à emoção que sente, for capaz de classificar a emoção correspondente ao padrão observado e for capaz de transmiti-la com rigor suficiente, utilizando a linguagem adequada. Se se continuar a medir os padrões neuronais enquanto o sujeito descreve a emoção que sentiu, talvez seja viável determinar em que medida está a ser honesto. Porém, não parece fácil determinar se este é exacto na descrição da emoção que sente.</p><p style="text-align: justify;">Diz-se abstracto qualquer conceito do qual não se pretende colocar à prova da percepção, isto é, para o qual não está definido um procedimento que o permita corroborar na realidade concreta. Por exemplo, a energia vital é um conceito abstracto, na medida em que, apesar de se considerar existir em todos os seres vivos, não foi descrito qualquer procedimento que permita submetê-lo à avaliação da percepção, quer se considere de forma directa, quer se interponha algum processo instrumental. No passado, considerou-se que as substâncias orgânicas podiam apenas ser sintetizadas no interior de organismos vivos, o que demonstraria a existência de algo peculiar aos seres vivos que lhes permitisse sintetizar esse tipo de subdstâncias e que poderia receber a designação de energia vital. Porém, a síntese da ureia no exterior de um ser vivo, a partir de substâncias inorgânicas, levou à conclusão que não se poderia atribuir uma relação de causa e efeito entre a existência de uma substância orgânica e a sua origem ser num ser vivo. A percepção de objectos pode desencadear emoções diferentes das que o permitem classificar com belos ou bons, podendo essas emoções estarem associadas a um determinado tipo de energia. No caso em que apenas uma parte dos indivíduos sente esse tipo de emoções, é possível estabelecer uma classificação, designando por sensíveis aqueles que sentem a emoção e por insensíveis aqueles que não sentem. É claro que se cada objecto que se possa diferenciar por intermédio da percepção possui uma energia diferente, então, do ponto de vista dos insensíveis, a energia dos sensíveis nada mais é do que uma definição e não pode ser submetida à prova. Por outro lado, se objectos idênticos possuírem energias distintas, as quais podem ser identificadas, é possível submeter à prova se a emoção permite determinar os objectos em questão. Para o efeito, podem-se dispôr um certo número de objectos idênticos sobre uma mesa, identificando as respectivas posições. O sensível escreve num papel que tipo de energia tem cada objecto e entrega a um moderador. Um determinado número de insensíveis altera a posição dos objectos, anotando, num papel, a permutação que efectuou. Essa alteração não pode ser observada pelo sensível. Finalmente, o sensível determina a energia de cada objecto, escrevendo a posição e o tipo de energia num papel. A comparação da configuração final indicada pelo sensível com o resultado da aplicação das permutações dadas pelos insensíveis permite determinar em que medida o sensível fora capaz de identificar o objecto à energia que tinha obtido originalmente. Se se chegar à conclusão que o sensível não identifica, de um modo geral, o objecto e a sua energia, o sensível ainda pode argumentar que os insensíveis não tenham sido honestos ou precisos na sua tarefa de escrever a permutação que efectuaram nos objectos. O argumento da confiança continuaria a valer no caso em que as permutações se obtessem aleatoriamente e uma máquina procedesse à sua permutação, na medida em que o sensível, não possuindo conhecimento sobre o seu funcionamento, teria de ter uma relação de confiança com o construtor.</p><p style="text-align: justify;">Apesar das emoções que as pessoas sentem quando percepcionam um objecto serem diferentes entre elas, sendo muito semelhante o modo como apartam as características que os diferenciam, é possível convencionar certas propriedades abstractas sobre objectos com formas específicas de modo a que as emoções que lhe estejam associadas sejam semelhantes para aqueles que seguem essa convenção. Dado constituir uma convenção, como foi visto anteriormente, apenas providencia uma hipótese adicional sobre a realidade concreta, não pondo em causa qualquer outro princípio. Objectos com essas propriedades são conhecidos como símbolos. Tratando-se de uma convenção, não traz qualquer conhecimento sobre a realidade concreta. No entanto, porta utilidade na medida em que permite moldar o estado emocional e o próprio comportamento humano. A cruz, por exemplo, tendo uma conotação do bem, auxilia pessoas que acreditam na sua simbologia a aliviar emoções com carácter negativo, normalmente associadas ao mal, que podem resultar, quer a partir de determinadas percepções, quer da capacidade de imaginação de realidades concretas alternativas baseadas no processo de imaginação. A objectos abstractos poderão estar associadas emoções com conotação negativa, isto é, emoções que, por causarem alguma espécie de dor, têm tendência a ser evitadas, em contraste com as emoções positivas que, sendo as que causam prazer, tendem a ser procuradas. Uma grande variedade de seres abstractos que desencadeiem emoções negtivas, tais como o medo ou a ira, pode ser combatida com o auxílio de símbolos que transportem uma conotação positiva, como é o caso da cruz. A utilização de símbolos tem a vantagem de materializar as emoções e torná-las susceptíveis da lógica de acção, causa e efeito que se verifica na realidade concreta. De modo a combater os seus monstros internos, poder-se-iam conceber entidades benignas que lhes sejam antagónicas. No entanto, a utilização de simbologia tem a vantagem de facilitar a convenção, na medida em que esta é realizada sobre objectos que se distinguem por intermédio da percepção, ao contrário das entidades abstractas, que requerem o uso da linguagem. A religião, para além dos símbolos, recorre-se de entidades abstractas nesses sentidos, sendo a sua convenção realizada por intermédio da linguagem na forma de parábolas e confabulações. As práticas mágicas ou rituais usados nas religiões, que não devem ser confundidas com o espectáculo de ilusionismo baseado na ilusão da percepção, actuam, portanto, sobre as partes emocionais dos praticantes.</p><p style="text-align: justify;">O homem é facilmente convencido de que é constituído por uma parte material, o corpo, sobre o qual habita uma determinada essência imaterial que designa por alma. Tal divisão é intuitiva, na medida em que, numa percepção, existe aquilo que é observado e aquilo que observa. O corpo faz parte daquilo que é observado, uma vez que é percepcionado. Aquilo que percepciona é a alma, a qual não se percepciona a si própria e é nesta que se origina a intenção que dirige as acções do corpo, que tem a capacidade de se mover por si próprio, no mundo concreto. Na proposta de ontologia é deixado em aberto se uma entidade imaterial existe apesar dos fenómenos relacionados com a percepção ou com a emoção não requererem essa hipótese. A analogia é uma das formas de conceber teorias sobre a realidade concreta e até mesmo sobre a abstracta. De modo análogo à separação entre uma parte material e uma parte imaterial do homem, a realidade também se divide numa parte material que é dirigida por uma parte imaterial, da qual advém a intenção de todas as acções do mundo. Observou-se atrás que se se considerar uma intenção sobre todos os princípios conhecidos, obtém-se uma teoria que explica os mesmos fenómenos. De acordo com a analogia, do mesmo modo que o homem é criado à nascença, também foi criado o mundo e essa criação, à semelhança de qualquer outra acção, foi determinada por uma intenção. Sendo a criação do homem movida pela intenção que criou o mundo, essa intenção é superior ao homem e, portanto, divina. Uma vez que o homem actua de acordo com a sua intenção e que as suas acções podem ser consideradas boas ou más, é natural assumir que existe uma intenção divina para as intenções dos homens. Nas principais religiões é aceite que a intenção divina é que as intenções dos homens sejam boas, isto é, que se algo de mal advier de uma acção humana dirigida, esse mal teria de acontecer por acidente e não por ter sido pretendido. A religião estabelece, portanto, as normas sobre que intenções devem ser consideradas boas ou más, tendo por base uma justificação que se encontra no mundo imaterial, mormente de carácter divino. Essas justificações, por seu turno, tendem a ser consideradas como verdades imutáveis que não são susceptíveis de se submeterem à discussão, as quais, por convenção, teriam sido obtidas do divino por intermédio de determinadas pessoas, ou profetas. Apesar de serem aceites com base na fé pelos que acreditam, padece do problema fundamental de que os profetas possam não ser honestos ou precisos no que se refere à sua suposta ligação ao divino.</p><p style="text-align: justify;">No passado remoto, dado o parco conhecimento sobre o mundo concreto, seriam as teorias de analogia que mais se adequassem à determinação dos princípios que regem o mundo. De facto, é razoável atribuir uma intenção divina, admitindo que esta existe, a um terramoto que destruiu uma cidade com a finalidade de erradicar todo o mal que lá se praticava. Tal explicação não pode deixar de ser encarada como racional mas requer a existência de uma entidade abstracta. Um terramoto pode ser explicado pelos princípios da hidrodinâmia, admitindo que a crosta terrestre é constituída por placas, designadas por placas tectónicas, que flutuam num manto líquido, as quais, colidindo entre si, originam terramotos. Esta última explicação, independentemente de certa ou errada, encontra-se livre de uma causa imaterial. Note-se que continua a ser possível atribuir uma intenção ao facto da superfície da terra ser desta forma e não de outra. Porém, numa das explicações, teria sido admitido que existiria um mal na cidade que devia ser eliminado, enquanto de acordo com a outra hipótese, a cidade teria sido destruída por um infeliz acaso. A filosofia permitiu investigar os fenómenos, usando a razão, com o mínimo recurso a entidades sobrenaturais. Esta dividia-se em duas áreas claras, nomeadamente, a filosofia natural, que permitia descrever os fenómenos da realidade concreta, isto é, aqueles fenómenos que se relacionam com a percepção, e a filosofia determinada a investigar, por si, a parte das emoções que permite identificar os objectos como belos ou as acções como boas ou más, bem como os problemas que se colocam sobre a própria percepção dos objectos. A filosofia natural, aliando, à razão, o método empírico, tornou-se na ciência. As demais artes, como a literatura, a poesia, a pintura, a escultura ou a música, estabelecem métodos de como tirar o melhor partido as reacções emocionais às percepções de modo a suscitar prazer. Existe ainda um outro tipo de conhecimento no qual as crenças se assumem como verdadeiras sobre a realidade concreta sem ser proposto um procedimento que as possa ou não corroborar, ou, quando são propostos tais procedimentos e estes não as corroboram, são ignorados em favor da teoria que aceitam como válida. Este tipo de sistema de crenças é denominado por pseudocientífico e os seus argumentos são baseados na exploração de todas as dificuldades que existem no conhecimento da realidade concreta.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-2092801539550878112022-11-02T14:09:00.005+00:002022-11-02T14:09:49.723+00:00O oscilador harmónico em mecânica quântica<p style="text-align: justify;"> As equações do oscilador harmónico simples são dadas por</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]</p><p style="text-align: justify;">onde</p><p style="text-align: center;">\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]</p><p style="text-align: justify;">De modo a obter a equação de onda, faz-se</p><p style="text-align: center;">\[p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\]</p><p style="text-align: justify;">e determina-se a quantidade \(H(x,p)=px'-L\) em função de \(x\) e \(p\), nomeadamente,</p><p style="text-align: center;">\[H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2\]</p><p style="text-align: justify;">As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">isto é, as já conhecidas equações da mola</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">A equação de onda é escrita na forma</p><p style="text-align: center;">\[H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: center;">\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">Aplica-se o método da separação, fazendo \(\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)\). Daqui segue-se que</p><p style="text-align: center;">\[\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(E\) é uma constante. A função \(\psi(x)\) satisfaz a equação diferencial</p><p style="text-align: center;">\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi\]</p><p style="text-align: justify;">que pode ser colocada na forma</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0\]</p><p style="text-align: justify;"> onde</p><p style="text-align: center;">\[\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}\]</p><p style="text-align: justify;">Faz-se</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">obtendo-se a equação diferencial</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0\]</p><p style="text-align: justify;">Considera-se a solução \(\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}\). A equação de \(u\) fica</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0\]</p><p style="text-align: justify;">A equação possui soluções polinomiais \(H_n(y)\) quando \(\varepsilon\alpha-1=2n\) onde \(n\) é um número inteiro. As restantes soluções, quando \(n\) não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando \(y\to\infty\) e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem</p><p style="text-align: center;">\[\alpha\varepsilon=2n+1\]</p><p style="text-align: justify;">que corresponde aos valores para a energia</p><p style="text-align: center;">\[E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\]</p><p style="text-align: justify;">em que</p><p style="text-align: center;">\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]</p><p style="text-align: justify;">As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma</p><p style="text-align: center;">\[\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}\]</p><p style="text-align: justify;">onde</p><p style="text-align: center;">\[(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}\]</p><p style="text-align: justify;">são polinómios.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-21063953666690846502022-07-13T07:58:00.005+01:002022-07-13T07:58:48.227+01:00Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica<p style="text-align: justify;">Pretende-se aqui dar uma forma simplificada das equações que resultam da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais a problemas de Dinâmica sujeitos a restrições. De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais,</p><p>\[\int_V\left\lbrack \left(\frac{d}{dt}\left(\rho(V)\frac{d\vec{r}(V,t)}{dt}\right)-\vec{F}(V,t)\right)\cdot\delta\vec{r}(V,t)\right\rbrack=0\]</p><p>onde o volume \(V\) se estende a todos os pontos que contenham massa.</p><p style="text-align: justify;">No que se segue, não será mais denotada a dependência de \(\vec{r}\) no volume \(V\) e tempo \(t\) de modo a tornar a exposição mais simples. Ora,</p><p>\[\varphi=\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{d\vec{r}}{dt}\right)\cdot\delta\vec{r}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}+\rho\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)\]</p><p>Em coordenadas generalizadas tem-se</p><p>\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\sum_i{\frac{dx^i}{dt}\vec{e}_i}\]</p><p>e</p><p>\[\delta\vec{r}=\sum_i{\delta x^i\vec{e}_i}\]</p><p>de onde se obtém</p><p>\[\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}=\sum_{ij}{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\delta x^j}\]</p><p>bem como</p><p>\[\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\sum_{ij}{g_{ij}dx^idx^j}\]</p><p>Daqui seguem-se as expressões</p><p>\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)=\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}dx^i\right)\delta x^j+g_{ij}dx^i\frac{d\delta x^j}{dt}}\\ \frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{\left\lbrack \delta g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}\delta\left(dx^i\right)dx^j+g_{ij}dx^i\delta\left(dx^j\right)\right\rbrack}\end{array}\]</p><p>Tem-se, portanto, para</p><p>\[\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\]</p><p>a complicada expressão</p><p>\[\begin{array}{l}\sum_{ij}\left\lbrack \frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)\delta x^j+g_{ij}v^i\delta v^j-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j-\frac{1}{2}g_{ij}\delta v^i v^j-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}g_{ij}v^i\delta v^j\right\rbrack\end{array}\]</p><p>onde \(v^i=\frac{dx^i}{dt}\). A expressão anterior simplifica-se em</p><p>\[\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j}\]</p><p>ou</p><p>\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}\]</p><p>Se se fizer</p><p>\[L=\frac{1}{2}s^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{g_{ij}v^iv^j}\]</p><p>tem-se</p><p>\[\frac{\partial L}{\partial v^j}=\sum_i{g_{ij}v^i}\]</p><p>e</p><p>\[\frac{\partial L}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\sum_{ik}{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^iv^k}\]</p><p>Segue-se que</p><p>\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}=\sum_j\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial\frac{s^2}{2}}{\partial v^j}-\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}\right)\delta x^j\]</p><p>de onde se conclui o princípio dos trabalhos virtuais na forma</p><p>\[\int{\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)\delta x^j dV}=0\]</p><p>Seguem-se as equações do movimento na forma</p><p>\[\int\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)dV=0\]</p><p>Se a densidade \(\rho\) não depender to tempo e a \(\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi\) então as equações do movimento assumem a forma</p><p>\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^j}-\frac{\partial L}{\partial x^j}=0\]</p><p>onde \(L=\int\left(\frac{1}{2}\rho s^2-\phi\right)dV\).</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com03880 Ovar, Portugal40.8596399 -8.625331312.549406063821152 -43.7815813 69.169873736178843 26.5309187tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-51255117369012501392022-06-06T10:19:00.005+01:002022-06-06T10:20:44.726+01:00Determinação do potencial gravítico causado por um paralelepípedo<p style="text-align: justify;">No que se segue, serão dadas as linhas gerais para o cálculo do potencial gravítico causado por um paralelepípedo de densidade \(\rho\). Este método seguirá de perto aquele apresentado no artigo <a href="https://articles.adsabs.harvard.edu//full/1997cemda..65..313w/0000313.000.html" target="_blank">Exterior gravitation of a polyhedron derived an compared with harmonic and mascon gravitation representations of Asteroid 4769 Castalia</a>. Não é difícil concluir que o pontencial gravítico externo causado por um paralelepípedo de matéria é dado pelo integral triplo</p><p>\[V=G\rho\int_{-l_1}^{l_1}\int_{-l_2}^{l_2}\int_{-l_3}^{l_3}\frac{dz'dy'dx'}{\sqrt{\left(x-x'\right)^2+\left(y-y'\right)^2+\left(z-z'\right)^2}}\]</p><p style="text-align: justify;">Aqui \(G\) representa a constante de gravitação e \(\rho\), a densidade de matéria, assumida como constante ao longo do paralelepípedo. Aplica-se a substituição</p><p>\[\left\lbrace\begin{array}{l}x-x'=\xi\\ y-y'=\eta\\ z-z'=\zeta\end{array}\right.\]</p><p>de modo a que o integral anterior possa ser colocado na forma</p><p>\[\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{d\zeta d\eta d\xi }{\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}}\]</p><p>Denota-se por \(r=\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}\) e define-se o vector</p><p>\[\vec{r}=\frac{1}{r}\left(\xi,\eta,\zeta\right)\]</p><p>Não é difícil verificar que</p><p>\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\xi^2}{r^3}\\ \frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\eta^2}{r^3}\\ \frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\zeta^2}{r^3}\end{array}\right.\]</p><p>e, portanto,</p><p>\[\nabla\vec{r}=\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{2}{r}\]</p><p>O integral escreve-se como</p><p>\[V=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left(\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Poder-se-ia aqui recorrer ao teorema da divergência para reduzir o integral de volume a um integral de superfície. No entanto, será aqui seguida uma abordagem diferente. O integral divide-se em três parcelas, nomeadamente,</p><p>\[ I=I_1+I_2+I_3\]</p><p>onde</p><p>\[\begin{array}{l}I_1=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\\ I_2=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\\ I_3=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\end{array}\]</p><p>Trocando a ordem de integração e aplicando o teorema fundamental do cálculo, vem</p><p>\[\begin{array}{l}I_1=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi}{r}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1} d\zeta d\eta\\ I_2=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{z+l_1}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\eta}{r}\right\rbrack_{\eta=y-l_2}^{\eta=y+l_2} d\zeta d\xi\\ I_3=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack \frac{\zeta}{r}\right\rbrack_{\zeta=z-l_3}^{\zeta=z+l_3} d\zeta d\eta\end{array}\]</p><p>Observando que</p><p>\[\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{2}{r}-\frac{\eta^2+\zeta^2}{r}=\frac{1}{r}-\frac{\xi^2}{r^3}\]</p><p>o integral \(I_1\) assume a forma</p><p>\[\begin{array}{l}I_1=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\xi\left(\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)\right)\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta+\\ +\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\frac{\xi^3}{r^3}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta\end{array}\]</p><p>o qual, após aplicação do teorema fundamental do cálculo, se pode reduzir à soma de três parcelas</p><p>\[I_1=I_{11}+I_{12}+I_{13}\]</p><p>onde</p><p>\[\begin{array}{l}I_{11}=\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\frac{\eta}{r}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\eta=y-l_2\\ \xi=x-l_1\end{array}}^{\begin{array}{l}\eta=y+l_2\\ \xi=x+l_1\end{array}}d\zeta\\ I_{12}=\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\zeta}{r}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\zeta=z-l_3\\ \xi=x-l_1\end{array}}^{\begin{array}{l}\zeta=z+l_3\\ \xi=x+l_1\end{array}}d\eta\\ I_{13}=G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi^3}{r^3}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta\end{array}\]</p><p>Os integrais \(I_{11}\) e \(I_{12}\) são fáceis de determinar. Por exemplo,</p><p>\[I_{11}=\frac{1}{2}G\rho=\left\lbrack\frac{1}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\arctan{\left(\frac{\zeta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\right)}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \eta=y-l_2\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \eta=y+l_2\\ \zeta=z+l_3\end{array}}\]</p><p>O integral \(I_{12}\) é, em tudo, semelhante. Resta determinar o integral de superfície</p><p>\[I_{13}=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi^3}{\left(\xi^2+\eta^2+\zeta^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta\]</p><p>Efectua-se a transformação</p><p>\[\lambda=\zeta+\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}\]</p><p>de onde,</p><p>\[\lambda^2-2\lambda\zeta-\xi^2-\eta^2=0\]</p><p>ou</p><p>\[\zeta=\frac{\lambda^2-\xi^2-\eta^2}{2\lambda}\]</p><p>e também</p><p>\[d\zeta=\frac{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}{2\lambda^2}d\lambda\]</p><p>bem como</p><p>\[\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}=\lambda-\zeta=\frac{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}{2\lambda}\]</p><p>A substituição no integral permite obter</p><p>\[\begin{array}{l}I_{13}=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{4\xi^3\lambda}{\left(\lambda^2+\xi^2+\eta^2\right)^2}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta=\\ =-G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\xi^3}{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \lambda=l_3'\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \lambda=l_3''\end{array}}d\eta\end{array}\]</p><p>A aplicação da transformação inversa permite obter o integral</p><p>\[I_{13}=\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\xi^3\zeta}{\left(\xi^2+\eta^2\right)\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \zeta=z+l_3\end{array}}d\eta\]</p><p>O mesmo método acima aplicado permite determinar</p><p>\[I_{13}=\left\lbrack\xi^2\arctan{\frac{\eta\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}+\xi^2+\eta^2}{\xi\zeta}}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \eta=y-l_2\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \eta=y+l_2\\ \zeta=z+l_3\end{array}}\]</p><p style="text-align: justify;">Os demais integrais são em tudo semelhantes, obtendo-se uma expressão algo elaborada para o valor do potencial do cubo.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-70609173324707030972022-01-14T11:43:00.000+00:002022-01-14T11:43:40.912+00:00Rudimentos de biologia molecular<div style="text-align: justify;">Todos os organismos vivos são compostos por compartimentos individuais denominados por células. Células, não sendo visíveis a olho nú, foi necessária a utilização de um microsocópio para a sua observação. O termo foi cunhado em 1665 e resultou da observação ao microscópio de uma fina lâmina cortada de um pedaço de cortiça. Estas lâminas pareciam consistir em poros delimitados por paredes, à semelhança dos favos de mel. Em 1675 foram descobertos pequenos animais, na água da chuva colectada num pote de terra. Tratar-se-iam de protozoários, organismos unicelulares.</div><div style="text-align: justify;">Com os avanços em microscopia advieram novas descobertas até que em 1830 foi proposta a teoria celular dos tecidos vivos. De acordo com esta teoria, todas as criaturas vivas são constituídas por uma ou mais células e que novas células se originam em células existentes. Esta teoria tornou a biologia numa ciência para além do limite do olho nú e, em muitos casos, o estudo da vida passou a ser sinónimo do estudo das células.</div><div style="text-align: justify;">Existe na natureza uma grande variedade de células que partilham entre si um núcleo de características. Todas elas têm um ciclo de vida semelhante, são originárias de células pré-existentes, consomem nutrientes do exterior, reproduzem-se e morrem. Os nutrientes, grande moléculas, são quebrados no interior da célula, na presença da água e do oxigénio, de modo a produzir adenosina trifosfato (ATP), libertando dióxido de carbono no processo. A ATP consiste numa molécula composta por uma adenosina e três fosfatos. Quando um fosfato é libertado na presença da água, produz-se adenosina difosfato (ADP), um fosfato livre e uma quantidade adicional de energia que poderá ser utilizada nos vários processos celulares. A quebra das moléculas nutrientes é realizada por um conjunto de proteínas designadas por enzimas. No caso das células que constituem os animais, esta actividade é mormente realizada no seio de pequenos organelos designados por mitocôndrias e o ATP resultante é difundido pelo corpo da celula. Quando o corpo da célula atinge um tamanho crítico, a difusão de energia começa a perder eficiência. Neste ponto, a célula replica-se, dando origem a duas novas células idênticas. Todo este processo é controlado por reacções químicas que assinalam quando deverá ser efectuada a absorção dos nutrientes, como devem estes serem quebrados e quando chega à altura da célula se dividir. O complexo algoritmo do funcionamento de uma célula está longe de ser compreendido.</div><div style="text-align: justify;">A célula pode ser comparada a uma complexa máquina molecular. Não só contém a informação que permite criar uma réplica de si própria, como contém a maquinaria necessária á produção dos seus componentes, levar a cabo os processos de cópia e criar a sua prole.<br />Toda a estrutura e funcionamento interno das células depende essencialmente de três tipos de moléculas, nomeadamente, o ácido desoxirribonucleico (AND), o ácido ribonucleico (ARN) e as proteínas. De um modo simplificado, o ADN contém uma vasta biblioteca de como a célula deve funcionar. O ARN permite transportar porções dessa informação para as várias partes da célula onde esses pequenos volumes de informação servem de molde para a criação de proteínas. As proteínas são responsáveis por enviar sinais a outras células, são parte integrante da estrutura das células, e realizam o trabalho necessário à manutenção celular.</div><div style="text-align: justify;">Foram obtidos alguns avanços na teoria das células com a descoberta dos cromossomas no interior dos seus núcleos. Como diferentes organismos possuem quantidades diferentes de cromossomas, foi aventado que estas estruturas seriam as responsáveis por transportar os traços característicos de cada espécie. Experiências com cruzamento de moscas da fruta, permitiram determinar que a cor dos olhos dependia do cromossoma X, mais predominante nos machos. Esta descoberta permitiu concluir que os genes que determinam as características dos indivíduos dever-se-iam encontrar no interior dos cromossomas. Experiências mais sofisticadas permitiram concluir que quanto mais ligados entre si forem os genes mais perto se deverão encontrar no mesmo cromossoma.</div><div style="text-align: justify;">Uma experiência realizada por volta de 1941, utilizando bolor do pão, ou Neurospora, permitiu determinar a função dos genes. Este organismo é capaz de sobreviver com nutrientes muito simples tais como a sacarose e o sal. Após irradiar a Neuropsora como raios X, observou-se que alguns dos organismos irradiados cessaram de sobreviver quando mantidos naquele tipo de dieta. No entanto, floresciam quando eram supridos com vitamina \(B_6\). Conclui-se que o gene destruído seria responsável pela produção daquela proteína. O papel dos genes seria, portanto, o de produzir ou controlar a produção de proteínas.</div><div style="text-align: justify;">O ADN foi isolado pela primeira vez em 1891 a partir de células de pus. Em 1900 já era conhecido o facto das moléculas de ADN serem compostas por cadeias de quatro tipos de bases, nomeadamente, a adeninia (A), a timina (T), a guanina (G) e a citosina (C), suportadas por uma espécie de esqueleto de desoxirriboses unidos por grupos fosfato. Em 1920 já se fazia a distinção entre os ácidos nucleicos ADN e ARN. O ARN compõe-se de moléculas de adenina (A), guaninga (G), citosina (C) e, no lugar da timinta, tem-se uracilo (U). Estas cadeias são unidas por um esqueleto de riboses ligadas por um grupo fosfato. Em 1944 foi provado que os genes residem precisamente nas cadeias de ADN.</div><div style="text-align: justify;">Em 1950 foi feita a descoberta de que o ADN apresentava um valor semelhante da proporção entre a adenina e a timina, e a proporção entre a guanina e a citosina. A igualdade entre as proporções anteriores aliada à projecção helicoidal em dispersão por raios X, permitiu concluir, em 1953, que o ADN é estruturalmente constituído por uma dupla-hélice unida por pontes entre pares de bases. Esta união é realizada entre os pares adeninia e timina, e entre a guanina e a citosina.</div><div style="text-align: justify;">A dupla hélice proporciona a chave para a replicação de ADN. Além disso, contendo em si os genes, cada sequência dessa molécula codifica, de algum modo, as proteínas a serem produzidas. Dado que o ADN reside no núcleo das células eucariontes e a síntese de proteínas se dá em outra parte qualquer, fica claro que as proteínas não podem ser geradas directamente a partir do ADN. Em 1950 foi descoberto o facto de que a síntese de proteínas se dão na presença de moléculas que recebem a designação de ribossomas, os quais contêm ARN. Ficou no ar a supeita de que o ARN fosse o intermediário entre o ADN e a produção de proteínas. Em 1960 foi provado que o ARN forma duplos com fileiras únicas de ADN, provando que o ARN é complementar a um determinado segumento de ADN que codifica a proteína. Assim, é realizada uma cópia da porção de ADN para o ARN mensageiro que leva a informação genética para os ribossomas de modo a ser produzida a proteína particular. O processo de cópia de porções de ADN para o ARN é conhecido pela designação de transcrição e os recursos moleculares responáveis recebem a designação de polimerase de ADN. Um dos grandes problemas em biologia consiste em determinar como a polimerase de ADN identifica as regiões de início e de fim no processo de transcrição. A transcrição de genes para ARN mensageiro é controlada de modo que nem todos os genes produzam proteínas a qualquer momento. Algumas proteínas, tais como factores de transcição, permitem influenciar esse controlo. Determinadas proteínas advindas do exterior podem-se ligar à ADN polimerase, inibindo ou intensificando a produção de proteínas associadas a determinados genes.</div><div style="text-align: justify;">Em 1820 foi identificado o primeiro aminoácido, a glicina. No início de 1900 já se conheciam os \(20\) aminoácidos que constituem os blocos de construção das proteínas. De modo a determinar o código de transcrição entre ADN e as proteínas, foi conjecturado que cada grupo de três bases de ADN codificam um aminoácido. Existem \(4^3=64\) grupos possíveis de bases que excede largamente os \(20\) aminoácidos que compõem as proteínas. Torna-se claro da conjectura que vários grupos diferentes podem codificar o mesmo aminoácido. Além disso, poderão existir grupos que não codifiquem qualquer aminoácido. Em 1960 já era conhecido o mapeamento entre o gene e a respectiva proteína.</div>
<table align="center" border-width="0" border="1">
<tbody><tr><th></th><th>U</th><th>C</th><th>A</th><th>G</th></tr>
<tr>
<td>U</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>UUU</td><td>Fenilalanina</td></tr>
<tr><td>UUC</td><td>Fenilalanina</td></tr>
<tr><td>UUA</td><td>Leucina</td></tr>
<tr><td>UUG</td><td>Leucina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>UCU</td><td>Seratonina</td></tr>
<tr><td>UCC</td><td>Seratonina</td></tr>
<tr><td>UCA</td><td>Seratonina</td></tr>
<tr><td>UCG</td><td>Seratonina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>UAU</td><td>Tirosina</td></tr>
<tr><td>UAC</td><td>Tirosina</td></tr>
<tr><td>UAA</td><td>Pára</td></tr>
<tr><td>UAG</td><td>Pára</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>UGU</td><td>Cistina</td></tr>
<tr><td>UGC</td><td>Cistina</td></tr>
<tr><td>UGA</td><td>Pára</td></tr>
<tr><td>UGG</td><td>Triptofano</td></tr>
</tbody></table>
</td>
</tr>
<tr>
<td>C</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>CUU</td><td>Leucina</td></tr>
<tr><td>CUC</td><td>Leucina</td></tr>
<tr><td>CUA</td><td>Leucina</td></tr>
<tr><td>CUG</td><td>Leucina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>CCU</td><td>Prolina</td></tr>
<tr><td>CCC</td><td>Prolina</td></tr>
<tr><td>CCA</td><td>Prolina</td></tr>
<tr><td>CCG</td><td>Prolina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>CAU</td><td>Histidina</td></tr>
<tr><td>CAC</td><td>Histidina</td></tr>
<tr><td>CAA</td><td>Glutamina</td></tr>
<tr><td>CAG</td><td>Glutamina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>CGU</td><td>Arginina</td></tr>
<tr><td>CGC</td><td>Arginina</td></tr>
<tr><td>CGA</td><td>Arginina</td></tr>
<tr><td>CGG</td><td>Arginina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
</tr>
<tr>
<td>A</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>AUU</td><td>Isoleucina</td></tr>
<tr><td>AUC</td><td>Isoleucina</td></tr>
<tr><td>AUA</td><td>Isoleucina</td></tr>
<tr><td>AUG</td><td>Metionina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>ACU</td><td>Treonina</td></tr>
<tr><td>ACC</td><td>Treonina</td></tr>
<tr><td>ACA</td><td>Treonina</td></tr>
<tr><td>ACG</td><td>Treonina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>AAU</td><td>Asparagina</td></tr>
<tr><td>AAC</td><td>Asparagina</td></tr>
<tr><td>AAA</td><td>Lisina</td></tr>
<tr><td>AAG</td><td>Lisina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>AGU</td><td>Seratonina</td></tr>
<tr><td>AGC</td><td>Seratonina</td></tr>
<tr><td>AGA</td><td>Arginina</td></tr>
<tr><td>AGG</td><td>Arginina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
</tr>
<tr>
<td>G</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>GUU</td><td>Valina</td></tr>
<tr><td>GUC</td><td>Valina</td></tr>
<tr><td>GUA</td><td>Valina</td></tr>
<tr><td>GUG</td><td>Valina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>GCU</td><td>Alanina</td></tr>
<tr><td>GCC</td><td>Alanina</td></tr>
<tr><td>GCA</td><td>Alanina</td></tr>
<tr><td>GCG</td><td>Alanina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>GAU</td><td>Aspargina</td></tr>
<tr><td>GAC</td><td>Aspargina</td></tr>
<tr><td>GAA</td><td>Glutamato</td></tr>
<tr><td>GAG</td><td>Glutamato</td></tr>
</tbody></table>
</td>
<td>
<table>
<tbody><tr><td>GGU</td><td>Glicina</td></tr>
<tr><td>GGC</td><td>Glicina</td></tr>
<tr><td>GGA</td><td>Glicina</td></tr>
<tr><td>GGG</td><td>Glicina</td></tr>
</tbody></table>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;" text-align="justify">As proteínas podem-se agregar em estruturas funcionais mais complexas. Um exemplo disso encontra-se na polimerase de ARN que permite copiar um gene do ADN para uma pequena sequência de bases ARN, designado por ARN mensageiro. O ARN mensageiro é tratado pelos ribossomas que constituem outros complexos moleculares que efectuam a leitura dos codões e procuram o aminoácido por ele codificado para incluí-lo na cadeia proteica em construção. De modo a localizar o aminoácido correspondente é usado um tipo especial de ARN, o ARN de transferência. Existem vinte tipos de ARN de transferência que corresponde aos vinte tipos de aminoácidos. Cada aminoácido une-se a um tipo despecífico de ARN de transferência, onde cada molécula de ARN possui um segmento de três bases que se unem a uma porçao do ARN mensageiro. O segmento de três bases do ARN de transferência é, portanto, complementar às três bases associadas do ARN mensageiro. Este processo possibilita ao ribossoma, a adição do aminoácido à proteína. Quando o processo de adição é concluído, o ribossoma efectua uma deslocação lateral para o próximo codão e o processo repete-se. Este processo geral recebe a designação de tradução.</div>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-84687203370610460642021-09-02T11:17:00.001+01:002021-09-02T11:17:19.936+01:00Espira que roda num campo magnético<div align="justify">Algumas bicicletas, em particular as pasteleiras, trazem um dínamo que permite gerar uma corrente eléctrica quando lhe é transferido movimento da roda da frente. Um circuíto eléctrico é montado, tendo o dínamo como gerador que alimenta um farol com um selector que permite regular a intensidade da luz. Porém, quanto maior for a intensidade da luz definida no selector, maior será a resistência ao movimento da roda da frente causado pelo dínamo. Este facto pode ser explicado com base na lei da conservação da energia. Com efeito, desprezando outras formas de dissipação, a energia dissipada pela lâmpada advém do trabalho realizado pela força que a roda da bicicleta exerce sobre o dínamo. A força total necessária para manter a bicicleta a uma velocidade constante terá, portanto, de incluir a parte da força responsável por acender a lâmpada.</div><div align="justify">É interessante averiguar, do ponto de vista do electromagnetismo, qual é a origem dessa força, considerando, como aproximação, uma espira que se encontra a rodar num campo mangético uniforme. Nos exercícios habituais, calcula-se a força electromotriz produzida na espira pela rotação. No entanto, não é tão frequente encontrar uma determinação da força aplicada sobre a espira quando o circuito eléctrico é fechado por uma resistência. Será aqui feito um esboço dessa determinação.</div><div align="justify">Considere-se a espira circular de raio \(\rho\) definida pelas equações paramétricas</div><div align="justify">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\\ y=0\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.\]</div><div align="justify">que se supõe rodar, com velocidade angular constante \(\omega\), em torno do eixo das cotas. Ao fim do tempo \(t\), cada ponto da espira parametrizado pelo parâmetro \(\lambda\), encontrar-se-á na posição dada por</div><div align="justify">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ y=\rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.\]</div><div align="justify">O vector tangente à espira é dado pela derivada da posição em ordem ao parâmetro \(\lambda\), isto é,</div><div align="justify">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial x}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}=\rho\cos\lambda\end{array}\right.\]</div><div align="justify">O produto vectorial da posição pelo vector tangente permite determinar a direcção da normal ao círculo definido pelo condutor. Tem-se, portanto,</div><div align="justify">\[\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\end{array}\right\vert=\rho\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]</div><div align="justify">onde \(\vec{i}\), \( \vec{j}\) e \(\vec{k}\) são, respectivamente, os versores ao longo do eixo das abcissas, do das ordenadas e do das cotas. O versor normal é dado, portanto, por</div><div align="justify">\[\vec{n}=\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]</div><div align="justify">Seja \(\vec{B}=B\vec{j}\) o campo magnético que se supõe uniforme e direccionado ao longo do eixo das ordenadas. O fluxo \(\phi\) do campo sobre o círculo definido pelo condutor é dado por</div><div align="justify">\[\phi=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}dS=\int_S B\vec{j}\cdot\left(\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\right)dS\]</div><div align="justify">isto é,</div><div align="justify">\[\phi=-\pi\rho^2B\cos\left(\omega t\right)\]</div><div align="justify">A força electromotriz obtém-se a partir da variação temporal do fluxo do campo magnético ao longo da superfície. Esta é dada por</div><div align="justify">\[\mathcal{E}=-\frac{d\phi}{dt}=-\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)\]</div><div align="justify">Se a espira constituir um circuito eléctrico fechado através de uma resistência \(R\), a sua intensidade será dada por</div><div align="justify">\[I=-\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)\]</div><div align="justify">Ora,</div><div align="justify">\[d\vec{l}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{j}+\rho\cos\lambda\vec{k}\]</div><div align="justify">A força de interacção entre a corrente que se desloca sobre a espira e o campo magnético calcula-se como</div><div align="justify">\[\vec{F}_B=Id\vec{l}\times\vec{B}=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B\omega\sin\left(\omega t\right)\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -\sin\lambda\cos\left(\omega t\right) & -\sin\lambda\sin\left(\omega t\right) & \cos\lambda\end{array}\right\vert\]</div><div align="justify">isto é,</div><div align="justify">\[\vec{F}_B=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B^2\omega\sin\left(\omega t\right)\left(\cos\lambda\vec{i}-\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\right)\]</div><div align="justify">Para que a espira mantenha uma velocidade de rotação constante é necessária a aplicação de uma força \(\vec{F}=-\vec{F}_B\) em cada um dos seus pontos. O trabalho total realizado pela força \(\vec{F}\) durante o intervalo de tempo \(t\) é dado por</div><div align="justify">\[W=\int_0^{2\pi}\int_0^t\vec{F}\cdot d\vec{r}d\lambda\]</div><div align="justify">isto é,</div><div align="justify">\[\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}d\lambda\]</div><div align="justify">onde, calculando a derivada da posição de cada elemento da espira em ordem ao tempo,</div><div align="justify">\[\frac{d\vec{r}}{dt}=-\rho\omega\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{i}+\rho\omega\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]</div><div align="justify">O trabalho desenvolvido pela força que deverá ser aplicada à espira para que esta mantenha a sua velocidade angular constante por unidade de tempo é dado por</div><div align="justify">\[\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{R}\pi\rho^4B^2\omega^2\sin^2\left(\omega t\right)\cos^2\lambda d\lambda=\mathcal{E}I\]</div><div align="justify">Este resultado está de acordo com o princípio da conservação da energia, uma vez que \(\mathcal{E}I\) proporciona a potência dissipada pela resistência.</div>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com03880 Ovar, Portugal40.8596399 -8.625331312.549406063821152 -43.7815813 69.169873736178843 26.5309187tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-90757296889348905022021-07-13T15:00:00.003+01:002021-07-13T15:00:55.588+01:00O princípio dos trabalhos virtuais aplicado à dinâmica<div style="text-align: justify;">De acordo com o princípio dos trabalhos virutais, se um sistema de pontos \(P_i\), cada um sujeito a um sistema de forças \(\vec{F}_{ij}\), se encontrar em equilíbrio num determinado instante, então<br />\[\sum_{ij}{\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]<br />qualquer que seja o deslocamento infinitesimal \(\delta\vec{r}_i\), consistente com as condições aplicadas ao sistema nesse instante. Na determinação da variação infinitesimal denotada por \(\delta\), o tempo \(t\) é considerado como constante, em contraste com a variação infinitesimal total \(d\). De facto, quaisquer que sejam as direcções dos movimentos infinitesimais que possam ser aplicados ao sistema, a resultante das forças aplicadas segundo essas direcções deverá anular-se para que o sistema se encontre em equilíbrio estático no intervalo de tempo considerado.<br />De acordo com a lei da inércia, se a parte de um sistema que se encontre em movimento rectilíneo e uniforme não for actuado por uma causa externa então irá manter esse movimento rectilíneo e uniforme. A intensidade da causa externa determina-se, portanto, considerando a variação da sua quantidade de movimento. Se uma partícula for actuada por uma força externa ao longo de uma mesma direcção, a intensidade da força deverá ser determinada, em parte, pela variação da sua velocidade. Porém, dado que, considerando que tal partícula é divisível em partículas idênticas mais elementares, a quantidade de movimento deverá ser proporcional ao número dessas partículas. A constante de proporcionalidade é designada por massa inercial e é denotada por \(m\). Se \(\vec{v}\) for a velocidade da partícula ao longo de uma determinada direcção e \(m\) a sua massa, então a sua quantidade de movimento será dada por \(\vec{p}=m\vec{v}\). Se a partícula for submetida a uma causa externa, a sua intensidade é medida pela variação dessa quantidade de movimento, isto é,<br />\[\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}\]<br />De acordo com o princípio da sobreposição dos movimentos, o movimento de uma partícula que seja submetida a um conjunto de forças é dado pela soma dos movimentos rectilíneos resultantes da aplicação independente de cada uma das forças. Em partícular, se um conjunto de forças aplicadas a uma partícula se equilibrarem, a soma das variações dos respectivos movimentos anular-se-á e a partícula encontrar-se-á em repouso ou mover-se-á com velocidade constante ao longo de uma linha recta.<br />Suponha-se que um sistema de forças \(F_{ij}\) é aplicado sobre um conjunto de partículas \(i\) de massa \(m_i\), segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_{ij}\) durante um instante infinitesimal. Defina-se uma direcção ao longo da qual o sistema se pode mover durante esse instante dada pelos vectores infinitesimais \(\delta\vec{r}_i\). Ora, a variação do movimento da partícula \(i\) devido à força \(\vec{F}_{ij}\) pode ser decomposto na soma de dois movimentos, um segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e o outro segundo uma direcção que lhe seja perpendicular. A força \(\vec{F}_{ij}\) fica determinada, neste caso, pela soma das forças, uma segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e a outra segundo a direcção perpendicular. Após formulação tem-se<br />\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i=0\]<br />Aqui \(s_{ij}\) representa a distância percorrida pela partícula \(i\), segundo a direcção da força, \(\vec{u}_{ij}\), considerando apenas o movimento devido à sua acção. A soma sobre todas as forças e partículas resulta na seguinte expressão para o princípio dos trabalhos virtuais no seu caso mais geral, nomeadamente,<br />\[\sum_{ij}{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]<br />Como no instante em que é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais o movimento é considerada rectilíneo, \(\vec{u}_{ij}\) deverá ser considerado como constante, advindo<br />\[\sum_j{\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)\vec{u}_{ij}}=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d}{dt}\sum_j{s_{ij}\vec{u}_ij}\right)=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)\]<br />onde<br />\[\vec{r}_i=\sum_j{s_{ij}\vec{u}_{ij}}\]<br />O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se na forma equivalente como<br />\[\sum_i{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\sum_j{F_{ij}\vec{u}_{ij}}\right)\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]<br />Esta é a forma habitualmente usada na resolução de problemas de Dinâmica. Se se pretender que o o sistema se encontre em equilíbrio, é suficiente observar que se deve ter \(\vec{r}_i=0\), reduzindo a expressão anterior ao caso da Estática.<br />Suponha-se que se pretende determinar a força que está na origem da trajectória de uma partícula de massa \(m\) dada por \(\vec{r}(t)\), supondo que não são aplicadas quaisquer restrições. Neste caso, \(\delta\vec{r}\) será um vector arbitrário advindo, do princípio dos trabalhos virtuais,<br />\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\vec{F}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]<br />Como \(\delta\vec{r}\) é arbitrário, então<br />\[m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-\vec{F}=0\]<br />que corresponde à conhecida lei da Dinâmica para o caso de partículas livres. Se se assumir que a partícula de massa constante \(m\) se pode mover apenas ao longo de uma linha dada por \(\vec{r}(s)\) então<br />\[\delta\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{ds}ds\]<br />e o princípio dos trabalhos virtuais advém da forma<br />\[\left(-m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\vec{F}\right)\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}ds=0\]<br />o que conduz à equação<br />\[\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]<br />isto é,<br />\[m\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}+m\frac{d^2s}{dt^2}\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]<br />que, como \(\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=1\) e, consequentemente,<br />\[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]<br />se reduz a<br />\[m\frac{d^2s}{dt^2}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]<br />Segue-se daqui que a componente da força segundo a tangente à curva sob a qual a partícula está limitada a mover-se é medida pela alteração da quantidade de movimento ao longo dessa tangente.<br />O mesmo argumento serve para determinar as equações que determinam o movimento de uma partícula que esteja restrita a mover-se sobre a superfície determinada por \(\vec{r}\left(u^1,u^2\right)\), onde \(u^i\) são parâmetros cujos índices são sobrescritos, em conformidade com as notações de geometria diferencial. Se se definirem os vectores tangentes<br />\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^1}\\ \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^2}\end{array}\right.\]<br />então<br />\[\delta\vec{r}=\vec{e}_1du^1+\vec{e}_2du^2\]<br />Definem-se os coeficientes \(g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j\) e \(\Gamma_{ij}^k\) que satisfazem<br />\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\Gamma_{ij}^1\vec{e}_1+\Gamma_{ij}^2\vec{e}_2+\kappa\vec{n}\]<br />em que \(\vec{n}\) corresponde ao vector normal à superfície.<br />Dado que<br />\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial u^i}\]<br />devido à igualdade das derivadas cruzadas, segue-se que \(\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k\).<br />Tem-se, para uma trajectória arbitrária sobre a superfície,<br />\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{du^1}{dt}\vec{e}_1+\frac{du^2}{dt}\vec{e}_2\]<br />e, aplicando nova derivação,<br />\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_1+\\ +\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_2+\kappa'\vec{n}\end{array}\]<br />Suponha-se ainda que a força \(\vec{F}\) se escreve, na nova base, como<br />\[\vec{F}=F^1\vec{e}_1+F^2\vec{e}_2+F^N\vec{n}\]<br />Considerando as expressões anteriores no princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se<br />\[\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{i=1}^2g_{1i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\\ \sum_{i=1}^2g_{2i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\end{array}\right.\]<br />O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como<br />\[GP=0\]<br />onde \(G=\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\) é a matriz constituída pelos coeficientes métricos e \(P\) é o vector coluna cujas entradas são dadas por<br />\[\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\]<br />Dado que a matriz \(G\), sendo as suas entradas dadas pelos produtos escalares dos vectores da base, é invertível, o sistema anterior é equivalente a<br />\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^1\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^1=0\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^2\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^2=0\end{array}\right.\]<br />Segue-se da equação anterior, fazendo \(F^i=0\), que se a projecção da força sobre o plano tangente à superfície for nula, isto é, se a força for normal à superfície, então a partícula, sendo animada de uma velocidade inicial, terá a sua trajectória contida numa geodésica.<br />A combinação linear das equações anteriores permite escrever<br />\[\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{2}g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m^2\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{2}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}-F^i\right)=0\]<br />Dado que<br />\[\Gamma_{kl}^i=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^2g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial u^m}+\frac{\partial g_{lm}}{\partial u^k}\right)\]<br />onde \(\left\lbrack g^{ij}\right\rbrack\) é a matriz inversa de \(\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\), isto é,<br />\[\sum_{i=1}^2g_{ij}g^{im}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & j=m\\ 0, & j\ne m\end{array}\right.\]<br />segue-se que<br />\[\sum_{ij,k,l=1}^2g_{ij}\frac{du^j}{dt}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\frac{1}{2}\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]<br />A troca da ordem da soma em \(k\) e\(j\) permite concluir que<br />\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]<br />isto é,<br />\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k=1}^{2}\frac{dg_{jk}}{dt}\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}\]<br />A expressão atrás considerada que resulta da combinação linear das equações das geodésicas adquire a forma<br />\[\sum_{i,j=1}^{2}\left(g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+\frac{1}{2}\frac{dg_{ij}}{dt}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}-g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i\right)=0\]<br />Não é difícil verificar que a equação anterior reduz a<br />\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(g_{ij}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}\right)-\sum_{i,j=1}^2g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i=0\]<br />Porém, a expressão compreendida sob o sinal de diferencial corresponde à norma \(p\) do momento da quantidade de movimento da partícula. Se a projecção da força sobre a superfície for nula, será constante o módulo do momento da quantidade de movimento. No caso em que a projecção é nula e a massa é constante, a partícula, estando animada de uma velocidade inicial, irá mover-se sobre a geodésica com velocidade constante.<br />Considerem-se agora duas partículas, \(A\) e \(B\), de massas \(m_A\) e \(m_B\). Ambas as partículas movem-se, mantendo constante a distância entre si. A partícula \(A\) move-se com aceleração constante ao longo de uma linha horizontal. Ambas as partículas encontram-se sujeitas à força gravítica, considerada constante, segundo a direcção vertical. O princípio dos trabalhos virtuais constitui uma forma simples de determinar as equações que descrevem tal movimento.<br />Seja \(\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)\) e \(\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)\) os vectores que determinam a posição das partículas \(A\) e \(B\) num determinado referencial. Suponha-se que, nesse referencial, a partícula \(A\) esteja limitada a mover-se sobre a recta horizontal de equação \(y_A=h\). Se se denotar por \(a\) a aceleração constante da partícula \(A\) ao longo da recta considerada e por \(v\) a sua velocidade inicial, então a sua trajectória é dada pelas equações paramétricas, no referencial em que a partícula se encontra em repouso no instante inicial sobre a origem, a uma altura \(h\) do plano \(xOy\),<br />\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_A=\frac{1}{2}at^2\\ y_A=0\\ z_A=h\end{array}\right.\]<br />Dado que, no decurso do movimento do sistema, a distância entre as partículas se pretende constante, isto é<br />\[\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}=l\]<br />as coordenadas da partícula \(B\) poderão ser escritas na forma<br />\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_B=\frac{1}{2}at^2+l\cos\varphi\sin\theta\\ y_B=l\sin\varphi\\ z_B=h-l\cos\varphi\cos\theta\end{array}\right.\]</div><div style="text-align: justify;">Denotando por \(\vec{r}=\left(x_B,y_B,z_B\right)\), determina-se, por derivação,</div><div style="text-align: justify;">\[\begin{array}{l}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=a\vec{i}+\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\vec{e}_\varphi+\\ +\frac{1}{\cos\varphi}\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)\vec{e}_\theta\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">onde \(\vec{i}\) é o versor alinhado com o eixo das abcissas e</div><div style="text-align: justify;">\[\begin{array}{ll}\vec{e}_\varphi=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}, & \vec{e}_\theta=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">são os vectores que assumem a direcção das tangentes ao vector de posição quando se varia apenas uma das coordenadas. Os pesos aplicados a cada uma das partículas \(A\) e \(B\) são, respectivamente, \(P_A=-m_Ag\vec{k}\) e \(P_B=-m_Bg\vec{k}\), em que \(g\) representa a aceleração gravítica considerada constante e \(\vec{k}\) é o versor que assume a direcção do eixo das cotas.</div><div style="text-align: justify;">Dado ser conhecido o movimento da partícula \(A\), esta pode ser removida do princípio dos trabalhos virtuais por já se encontrar em equilíbrio. Assim,</div><div style="text-align: justify;">\[\left(m_B\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+m_Bg\vec{j}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]</div><div style="text-align: justify;">Considerando, sucessivamente, a variação apenas em ordem a \(\varphi\) e depois em ordem a \(\theta\), tem-se, em primeiro lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\varphi d\varphi\) e, em segundo lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\theta d\theta\). A sua consideração no princípio dos trabalhos virtuais permite obter o sistema de equações</div><div style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}l\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)+\left(g\cos\theta-a\sin\theta\right)\sin\varphi=0\\ l\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)+g\sin\theta+a\cos\theta=0\end{array}\right.\]</div><div style="text-align: justify;">A massa \(B\) ficará, portanto, sujeita a um movimento pendular sobre a qual actuam a força gravítica e a força inercial dada pela sua ligação à massa \(A\). O ponto de equilíbrio do pêndulo será dado por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\) que satisfaz a relação</div><div style="text-align: justify;">\[g\sin\theta_0+a\cos\theta_0=0\]</div><div style="text-align: justify;">uma vez que, nestas condições, a solução das equações é dada por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\). Isto deve-se ao facto das projecções da força gravítica e da força inercial devida à aceleração sobre a tangente ao movimento permitido do pêndulo se anularem, como seria de esperar.</div>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-1408087919318076562021-05-01T18:49:00.004+01:002021-05-01T18:49:55.314+01:00Uma proposta de ontologia<h2 style="text-align: left;">Introdução</h2><div style="text-align: justify;">O problema dos universais, isto é, a consideração de que as propriedades dos objectos, tais como a cor ou forma, existem no mundo concreto ou são meramente conceitos abstractos ou resultado do processo da linguagem tem sido há muito debatido. A dificuldade parece centrar-se no objecto de estudo da metafísica que consiste na totalidade do que existe e no princípio de que a caracterização do total poderá não ser possível a partir da caracterização das suas partes observáveis pelos sentidos. Dentro desta lógica, é natural assumir que muitas das propriedades que se podem percepcionar sobre parte da realidade não sejam extensíveis à sua totalidade. Pode-se assumir, por exemplo, que o facto de se observarem cores nos objectos não implica que a totalidade seja constituída por objectos com cores ou se tais propriedades são manifestações de algo mais elementar. Uma propriedade que deverá ser estendida sobre a totalidade é a que pode ser definida pelo predicado "existe". Sem esse pressuposto não há objecto de estudo. Resta responder à questão de quais classes ontológicas se podem definir sobre a totalidade e como se podem explicar os universais da linguagem comum.</div><div style="text-align: justify;">No que se segue exponho uma proposta de ontologia inspirada na ideia de primestado considerado em <a href="https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-512X2001000200001" target="_blank">O conceito de categoria ontológica: um novo enfoque</a> cuja construção parte da consideração das limitações que devem ser reconhecidas sobre o fenómeno da percepção, daquilo que pode ser percebido pelos sentidos e tornado inteligível, da psicologia humana e das relações entre indivíduos, ao invés da assunção de que seja possível conceber a realidade, tal e qual como esta é, apelando apenas à fundamentação lógica e racional sobre extrapolações do que se tenta observar.</div><div style="text-align: justify;">Dado que o que se pode observar do mundo exterior é do domínio da física, em contraposição à metafísica dos sentidos mentais, não me parece que seja completamente descabida a sua discussão aqui. De facto, parece-me que uma abordagem baseada nas limitações da percepção permite identificar aspectos metafísicos naquilo que se considera ser estabelecido como cientificamente provado. O exemplo mais marcante talvez seja a impossibilidade de determinar, por meio da experiência, que o centro de massa de um corpo macroscópico que, sujeito a uma resultante de forças nula, assume um contínuo de posições ao longo de um segmento de recta definido entre os pontos \(A\) e \(B\), percorrendo intervalos de magnitudes iguais em intervalos de tempo iguais. Mesmo após a eliminação de dificuldades tecnológicas relacionadas com a precisão das medições e da garantia que a resultante das forças é realmente nula, a demonstração de tal afirmação iria requerer a determinação da posição do centro de massa numa infinidade de pontos, o que levaria uma quantidade infinita de tempo a analisar. Note-se que o argumento não invalida o facto de que se pode mostrar experimentalmente de que o centro de massa do móvel cruze um número finito de pontos nos intervalos de tempo previstos mas a <a href="https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172009000400018" target="_blank">lei física da inércia</a>, quando considerada sobre a hipótese do movimento contínuo, não deixa de estar no domínio metafísico. Daí, ter sido uma lei que, até ter sido estabelecida na sua forma final, tenha sido debatida por muitos indivíduos ao longo do tempo e não, o resultado do intelecto daquele que se considera ter estabelecido a sua forma actual. Como se pode constatar, trata-se de uma lei que pode ainda ser submetida a críticas.</div><h2 style="text-align: justify;">A proposta ontológica</h2><div><div style="text-align: justify;">Designa-se aqui por matéria à totalidade do que existe. O conceito de matéria não se cinge apenas ao que se considera ser o mundo físico, isto é, ao concreto, mas também às concepções mentais que constituem o que é abstracto. A afirmação de existência é considerada aqui um facto não analisável, não se podendo reduzir a conceitos mais simples. Porém, os conceitos de concreto e abstracto carecem de um estudo mais detalhado, devendo ser analisados.</div><div style="text-align: justify;">Uma forma de dar consistência aos conceitos intuitivos de concreto e abstracto consiste na consideração de que se tratam de manifestações da matéria. Assume-se, portanto, que a matéria se manifesta no estado concreto ou no estado abstracto. Da natureza considerada para os estados de concreto e abstracto, é possível considerar que se tratam de estados complexos, podendo ser redutíveis a composições de estados mais simples. A decomposição ou análise de cada estado deverá terminar quando se atingirem estados que se poderão considerar não analisáveis, isto é, que não possam ser decompostos em estados ainda mais simples. Trata-se de uma tarefa epistemológica, já que compete à ciência determinar quais são os estados mais simples, no caso da decomposição do estado concreto e às várias disciplinas humanas, no caso da decomposição do abstracto. Aos estados não analisáveis atribui-se a designação de estados primários ou primestados. Nesta perspectiva, se se subtrair a matéria, restam os primestados, constituindo estes a única classe ontológica.</div><div style="text-align: justify;">É pertinente tecer alguns comentários sobre esta proposta e aquilo que se percebe das experiências do senso comum. A afirmação de que uma matéria única que se manifesta em vários estados, quando podemos observar e palpar objectos continuamente distintos parece conduzir a uma contradição. No entanto, uma análise profunda permite justificar tal consideração. De facto, não há outra razão, para além da continuidade, para que dois cubos indiscerníveis mas separados de uma distância perceptível seja encarado como duas matérias distintas e um paralelepípedo contínuo, homogéneo cuja forma seja a união geométrica de dois cubos seja apenas uma. Tratando-se de uma matéria apenas e de um estado de continuidade ou descontinuidade, permite facilitar a análise.</div><div style="text-align: justify;">Um exemplo interessante do conceito encontra-se na biologia celular. A célula consiste na unidade estrutural e funcional mais básica em todos os organismos vivos que se conhece. Trata-se de uma estrutura contínua composta por um citoplasma encerrado por uma membrana. A célula divide-se em duas células diplóides ou quatro células haplóides, cada uma, consistindo num citoplasma envolto por uma membrana. Pode-se, porém, considerar que a célula é a mesma após a divisão, considerando agora que se encontra num estado de não continuidade. Cada uma das células descendentes é, portanto, parte do todo que é a célula original. Segundo esta ideia, a diversidade da vida que daí adveio, consiste nas células originais que, após determinada evolução, se manifestam sobre numa miríade de estados.</div></div><h2 style="text-align: justify;">A noção de tempo e espaço</h2><div><div style="text-align: justify;">Considere-se uma partícula que parte do ponto \(A_0\), com velocidade horizontal e chega ao ponto \(A_1\), passando por todos os pontos intermédios. A sentença anterior permite descrever uma percepção da realidade do senso comum, dado que os objectos do quotidiano podem ser deslocados de um sítio para outro. Assumindo tratar-se de um estado complexo, este pode ser dividido num conjunto de estados, cada um, caracterizado por se encontrar no ponto \(A_t\), onde \(t\in\left\lbrack 0,1\right\rbrack\) é uma etiqueta. Dado que os estados se nos apresentam segundo uma determinada ordem, é induzida uma ordem no conjunto de estados que descrevem o estado complexo. Num referencial cujo eixo horizontal contém a posição da partícula relativamente ao ponto \(A_0\) e o eixo vertical define o valor do parâmetro \(t\), o estado anterior pode ser representado por uma linha contínua definida entre os pontos \((A_0,0)\) e \(\left(A_1,1\right)\). O parâmetro \(t\) surge, portanto, da necessidade de explicar a dinâmica aparente da realidade imediatamente perceptível.</div><div style="text-align: justify;">Do ponto de vista observacional, o estado complexo surge-nos como a sequêncida de estados caracterizados pela partícula se encontrar nos pontos \(A_t\) e, caso a observação seja interrompida no estado em que a partícula se encontra no ponto \(A_\tau\), não se consegue uma descrição observacional do estado completo, apesar de ser possível inferi-lo, com base em regras do senso comum ou científicas. Tal determinação é conseguida com algum grau de certeza. Neste caso, qualquer estado complexo cuja observação envolva uma determinada dinâmica, só poderá ser construído quando todos os estados que o compõem são ordenadamente observados. É isto que parece acontecer, pelo menos ao nível do que se pode perceber a partir dos dados sensoriais.</div><div style="text-align: justify;">Aos estados da matéria que vêm antes, relativamente à ordenação observacional, dizem-se causas dos estados subsequentes quando estes resultam da decomposição de um estado complexo em estados que o compõem e são observados. Por exemplo, a observação de que duas partículas, partindo de dois pontos distintos \(A\) e \(B\), se encontram no mesmo ponto \(C\) ao longo de trajectórias rectilíneas e são reconduzidas, após colisão, respectivamente, aos pontos \(E\) e \(F\), este pode ser decomposto no estado em que as partículas \(A\) e \(B\) percorrem as suas linhas rectas até \(C\) e o estado em que as partículas percorrem as linhas rectas \(CE\) e \(CF\). A ordenação terá de ser assim apresentada uma vez que não se observa o primeiro antes do segundo. Diz-se que o primeiro estado é causa e o segundo é efeito.</div><div style="text-align: justify;">O parâmetro \(t\) que aqui tem um carácter abstracto pode ser escolhido de forma arbitrária para indexar os vários estados constituintes de um estado complexo. É claro que deverá tomar valores num conjunto onde se possa definir uma ordem de modo a explicitar o carácter observacional. Postula, portanto, uma estrutura de tempo nos estados da matéria, do mesmo modo que estados de descontinuidade permitem indexar objectos conduz ao postulado para a estrutura de espaço. Neste último caso, não se destaca uma ordenação natural como no anterior, apesar de uma ordenação parcial ser útil para a sua descrição.</div></div><h2 style="text-align: justify;">A mente e os sentidos</h2><div><div style="text-align: justify;">As concepções que temos do mundo e de como falamos sobre ele parecem centrar-se nos resultados da neurociência. Dados empíricos permitem concluir que, por exemplo, a luz que é reflectida por um objecto e chega aos olhos dá origem à activação de determinados circuitos cerebrais em várias zonas do cérebro. Os dados sensoriais oriundos da retina são processados de modo a possibilitar o reconhecimento dos objectos, nomeadamente, as características que permitam classificá-lo. Determinadas doenças como a agnosia resultam de danos nesses centros de processamento, o que limita ou até mesmo impede o reconhecimento de pessoas, objectos, formas e sons. Outras doenças, como a esquizofrenia, causam alucinações auditivas, visuais ou tácteis de tal forma que seja impossível distinguir o que é real do que é imaginário. Não é descabido especular que circuitos neuronais que estejam envolvidos directa ou indirectamente no processo de reconhecimento de objectos e respectiva classificação possam ser activados de forma não conforme aos dados visuais. Estes factos, por si sós, são suficientes para justificar que mesmo uma pessoa considerada saudável poderá não ser capaz de tomar conhecimento da verdadeira natureza de um determinado objecto, mesmo que aproximada, mas apenas da sua representação que resulta da activação de determinados circuitos neuronais.</div><div style="text-align: justify;">Dois outros argumentos jogam a favor da natureza abstracta das propriedades. A cor talvez seja o exemplo que permite ilustrar o problema da propriedade na sua forma mais geral. Em primeiro lugar, é indiscutível a sensação de cor que se tem aquando da observação dos objectos. Do ponto de vista físico, é a frequência da onda que está associada aos fotões que são emitidos ou reflectidos pelo objecto que dão origem à sensação. As frequências das ondas associadas a fotões que estimulam a visão humana assumem valores num pequeno intervalo do espectro electromagnético. Dado que, à radiação que emana dos objectos, não lhe está associada uma frequência única, as cores percebidas resultam da combinação das cores associadas à composição de cada uma das frequências. Sabe-se também que os órgãos de visão de outros animais são estimulados por radiação electromagnética cuja frequência se encontra fora do espectro visível, isto é, é possível conceber cores que não são percebidas pelos humanos. Doenças como a acromatopsia ou a discromatopsia resultam na impossibilidade de identificar ou discernir as cores. Neste caso, a concepção de cor para pessoas que padecem desse problema desde a nascença, encontra-se no mesmo limite de concepção que um individuo normal possa fazer de cores que não são percebidas mas que podem ser conceptualizadas, considerando radiação com frequências fora do espectro visível.</div><div style="text-align: justify;">Em segundo lugar, não parece ser possível determinar se a sensação daquilo que se considera a mesma cor ser a mesma para duas pessoas diferentes, dado que a sua designação resulta de um processo de convenção. De modo a ilustrar a ideia, considerem-se duas pessoas \(A\) e \(B\) cada uma das quais é capaz de discernir entre três cores, o vermelho, o verde e o azul. Considere-se um observador \(O\) que consegue sondar as mentes das pessoas \(A\) e \(B\), bem como ter a percepção correcta da verdadeira natureza das cores e que estas de facto existem na realidade como \(O\) as percebe. Suponha-se que o observador \(O\) inspeciona a mente da pessoa \(A\) e conclui que aquilo que ela designa por azul é, na realidade, vermelho. Verifica, do mesmo modo, que o vermelho corresponde à sensação de verde e o verde corresponde à sensação de azul. Note-se que, sendo as sensações de \(O\) as reais, a pessoa \(A\) possui a sensação errada das cores. A pessoa \(A\) recorre a três objectos para ensinar as cores à pessoa \(B\). Quando a pessoa \(A\) escolhe o objecto que possui a cor azul, está, de acordo com \(O\) a escolher o objecto vermelho. No entanto, \(O\) sonda a mente de \(B\) e verifica que a sensação que esta tem do objecto é a de verde. Como \(A\) convencionou tratar-se de azul, a sensação de verde da pessoa \(B\) corresponde à sensação de vermelho da pessoa \(A\) mas ambos irão designá-la por azul. De entre um conjunto de objectos se se pedir a cada uma das pessoas \(A\) e \(B\) que retirem o objecto azul, a pessoa \(A\) irá retirar o objecto com a cor cuja percepção pessoal é a de vermelho e que corresponde ao azul de \(O\). Por seu turno, o objecto que corresponde ao azul de \(O\) é visto como verde pela pessoa \(B\), sendo à sensação de verde que associa o termo azul. Neste caso, a pessoa \(B\) escolherá o objecto cuja sensação seja a de verde mas que esta designa por azul e, portanto, irá retornar o objecto que é azul para \(O\) que coincide com o objecto que \(A\) escolheu.</div><div style="text-align: justify;">Como \(O\) não intervém no processo, pode ser subtraído, sendo possível o cenário em que duas ou mais pessoas atribuam a mesma terminologia a cores diferentes, concordando sempre com o objecto escolhido quando este é seleccionado através da cor. É claro que se a pessoa \(B\) não for capaz de distinguir as três cores, objectos diferentes na cor mas semelhantes em tudo o resto não poderão ser discernidos por \(B\) a menos das suas posições relativas. Poder-se-ia postular aqui que as propriedades são concretas e todas as pessoas que distinguem as cores têm a mesma sensibilidade do observador \(O\) que é a sensibilidade real. No entanto, a teoria ontológica acima apresentada e a teoria da linguagem que será esboçada sobre essa ontologia não requerem este último postulado.</div></div><h2 style="text-align: justify;">Teoria da verdade</h2><div><div style="text-align: justify;">A discussão do modo que se fala do mundo requer uma análise detalhada daquilo que se tem como verdadeiro ou falso e as suas consequências mentais. De facto, entre os tipos de sentenças que se podem criar, são as declarativas, isto é, aquelas que podem ser afirmadas ou negadas, que permitem descrever ou transmitir ideias sobre o mundo. Uma sentença declarativa proferida pelo emissor \(E\) e percebida pelo receptor \(R\) permite a comunicação de conhecimento entre ambas as mentes. As sentenças são sempre proferidas, partindo do princípio que o seu valor lógico é verdadeiro. Assim, quando o emissor \(E\) profere a frase "o objecto \(O\) tem a propriedade \(P\)", é estabelecida a convenção de que o que diz é o que pretende transmitir como sendo verdade. Trata-se de uma convenção, já que se a sentença fosse convencionada como falsa, seria verdadeira a sua negação e, portanto, a sentença "o objecto \(O\) não tem a propriedade \(P\)". A convenção de que o que se pretende transmitir deve ser considerado como verdade adquire um carácter mais simples e natural.</div><div style="text-align: justify;">Poder-se-ão verificar diferentes cenários quando o emissor \(E\) profere a frase. A frase poderá ou não estar de acordo com a crença do emissor ou com alguma concepção a que ele tenha acesso no seu mundo mental particular. No caso de não se dar o acordo entre a veracidade da frase e a sua crença ou com a concepção que refere, diz-se que o emissor está a mentir. Por seu turno, se a frase se refere à crença, isto é, à representação mental que tem do mundo concreto, o seu valor lógico, para além da dependência na boa-fé do interlocutor, depende ainda da fidedignidade da sua crença relativamente ao mundo concreto. O receptor \(R\), percebe a frase na sua forma positiva, assumindo que é verdadeira quando está de acordo com a crença ou concepção mental do emissor e atribui-lhe um valor lógico verdadeiro caso esta se adeque à sua crença ou considere a afirmação plausível o suficiente para fazer os ajustes necessários no seu sistema de crenças de modo a considerá-la como verdadeira. Existem sentenças que descrevem estados mentais verdadeiros por convenção. Por exemplo, a afirmação "conjuntos não vazios de objectos contêm objectos" é sempre verdadeira mediante a convenção do que deve ser entendido por conjunto, independente da existência de facto de qualquer conjunto e depende inteiramente da linguagem. Uma afirmação do tipo "qualquer objecto, quando largado perto da superfície da Terra, cai" é verdadeira, na medida em que descreve com precisão uma situação do mundo concreto, isto é, um estado complexo. Importa aqui decidir o valor lógico de sentenças que se refiram a modelos mentais do mundo concreto, desconsiderando as redundâncias introduzidas por verdades oriundas de convenções e assumindo a honestidade dos intervenientes na sua determinação. O problema reduz-se essencialmente ao estabelecimento da veracidade de uma crença. Afiguram-se algumas dificuldades no estabelecimento daquilo que se entende por verdade.</div><div style="text-align: justify;">Duas pessoas, \(A\) e \(B\), observam um mesmo objecto. A pessoa \(A\) diz tratar-se de um lápis branco e a pessoa \(B\) diz tratar-se de um livro preto, sendo ambas honestas nas suas afirmações e não estando equivocadas no que concerne ao que se deve entender por lápis branco ou livro preto. Trata-se de um situação plausível num cenário de alucinação onde ambas as pessoas se referem apenas a projecções mentais sem se aperceberem que não dependem dos dados sensoriais. Pode-se afirmar que a observação de um lápis branco é verdade no mundo mental de \(A\) e a observação de um livro preto é verdade no mundo mental de \(B\). Uma forma que cada uma delas tem para comprovar as suas concepções seria manusear cada um dos objectos. Tratando-se de alucinações visuais, tanto a pessoa \(A\) como a pessoa \(B\) não teriam percepção táctil dos objectos. Porém, pelo menos duas conclusões poderiam daqui advir. A primeira, consistiria na alteração do sistema de crenças onde se assume agora estar na presença de uma alucinação visual. Na segunda, seria mantida a crença original de que o objecto existe mas fora do plano táctil dos objectos que podem ser materialmente manuseados. Supondo que a pessoa \(A\) altera o seu sistema de crenças, considerando tratar-se de uma alucinação e a pessoa \(B\) a mantém, considerando que o objecto que vê se encontra num plano alternativo ao táctil. O ponto de convergência aqui consiste em observar que ambos os observadores concordam que o livro não existe no mundo com causalidade táctil, sendo esta a verdade em que ambos concordam e que porta utilidade prática. De facto, não sendo possível manuseá-los, não podem usar o lápis para escrever no livro. Define-se então a verdade concreta como resultado das verdades percebidas por todas as pessoas envolvidas com dependência causal. Por seu turno, a intersecção dos mundos particulares das pessoas \(A\) e \(B\) só pode ser estabelecido por intermédio de uma linguagem e é a intersecção máxima que melhor permite verificar a veracidade das concepções. A dificuldade encontra-se, deste modo, na determinação da intersecção máxima dos mundos abstractos, recorrendo à utilização da linguagem e todas as limitações que lhe estejam associadas.</div><div style="text-align: justify;">Outra dificuldade no estabelecimento da verdade advém do facto das mentes individuais terem apenas acesso causal a um conjunto limitado de estados da matéria pelos sentidos e conseguir percebê-los na ordem determinada pela linha do tempo. Assim, quando se diz que qualquer objecto denso, quando largado à superfície da Terra cai, assume-se como verdade, já que a intersecção honesta dos mundos das pessoas que reportaram isso até agora permite concluir a sua veracidade. Além disso, concorda-se que se trata de uma afirmação que pode ser facilmente constatada pelos sentidos, sendo, portanto, uma descrição de um mundo concreto. Por seu turno, no passado, a verdade admitiria um enunciado mais forte, consistindo na afirmação de que qualquer objecto denso cai. Este pressuposto cessa de ser uma verdade desde que foi possível mostrar que tal objecto pode não cair se se encontrar de tal maneira longe da superfície da Terra que a acção gravítica seja insignificante. Deste modo, afirmações que têm sido verdades do mundo concreto ao longo do tempo dizem-se ser portadoras de verdade potencial que é normalmente alterada, introduzindo condições adicionais. A expressão "todo o homem é mortal", por exemplo, contém, em si, uma verdade potencial, dado que no futuro poderão deixar de existir homens ou alguns destes passem a ser imortais. Uma verdade potencial que pode ser potencialmente verdadeira no futuro seria "todos os homens de uma linhagem que nunca foi submetida a altereações genéticas é mortal". A dificuldade de admitir que uma verdade potencial concreta constitui a verdade concreta no sentido metafísico encontra-se no pressuposto de que a totalidade poderá não ser a soma das partes. Se só é possível observar a parte, como objectivar o todo?</div></div><h2 style="text-align: justify;">A matemática e as leis naturais</h2><div><div style="text-align: justify;">Seja \(A\) uma região delimitada por uma linha fechada no chão. Suponha-se que na região se encontra uma conjunto de laranjas. O seguinte procedimento permite contá-las. Pega-se numa laranja da região \(A\), atribui-se-lhe a etiqueta \(1\) e move-se para a região \(B\). Se ainda existirem laranjas na região \(A\), pega-se numa delas, move-se para a região \(B\) e atribui-se-lhe a etiqueta \(2\). Aplique-se o mesmo processo até que a região \(A\) não possua laranjas, movendo-se a última delas para \(B\) e aplicando-lhe a etiqueta \(n\). O procedimento assim definido permite determinar o cardinal \(n\) para aquilo que se entende por quantidade das laranjas contidas na região \(A\). Aplicando agora o mesmo procedimento, movendo e etiquetando as laranjas da região \(A\) para a região \(B\) permite concluir que a última etiqueta colocada será a que corresponde à quantidade \(n\). Note-se que está a ser aqui explicitado um procedimento que poderá ser submetido a uma experiência causal.</div><div style="text-align: justify;">Coloque-se agora um conjunto de laranjas na região \(A\) e aplique-se o procedimento, parando quando se chega à etiqueta \(2\). Se não for possível escolher laranjas da região \(A\) antes de se marcar com a etiqueta \(2\), outras laranjas deverão ser colocadas na região \(A\) e continuar o procedimento. Do mesmo modo, traça-se a região \(C\) e movem-se as laranjas da região \(A\) até se chegar à etiqueta \(2\), removendo as restantes da região \(A\) e as etiquetas das laranjas contidas nas regiões \(B\) e \(C\). Se se aplicar o procedimento de contagem acima descrito às regiões \(B\) e \(C\) obtém-se a quantidade de \(2\) laranjas, tanto na região \(B\) como na região \(C\).</div><div style="text-align: justify;">Movam-se as laranjas da região \(B\) para a região \(A\). Do mesmo modo, movam-se as laranjas da região \(C\) para a região \(A\).Aplique-se o procedimento de contagem acima descrito, movendo-as e etiquetando-as, por exemplo, na região \(B\).</div><div style="text-align: justify;">O mesmo procedimento pode ser aplicado agora a um conjunto de maçãs. Considera-se um conjunto de maçãs na região \(A\) que são movidas para a região \(B\) e etiquetadas até que a última etiqueta seja \(2\). Se se exaurirem as maçãs antes da etiqueta obtida, terão de ser acrescentadas maçãs à região \(A\). Movem-se maçãs da região \(A\) para a região \(C\), parando quando for atribuída a etiqueta \(2\) à última maçã a ser movida, acrescentado maçãs à região \(A\) sempre que estas forem exauridas antes da atribuição da etiqueta pretendida. Removam-se as maçãs da região \(A\) e as etiquetas das maçãs nas regiões \(B\) e \(C\). Movam-se as maçãs da região \(B\) para a região \(A\) e, de seguida, movam-se as maçãs da região \(C\) para a região \(A\). Aplique-se o processo de contagem, movendo-as, por exemplo, para a região \(B\) e etiquetando-as convenientemente.</div><div style="text-align: justify;">A realização da experiência tanto com maçãs como com laranjas conduz a uma contagem de \(4\) em ambos os casos, isto é, a última maçã ou laranja a ser movida da região \(A\) para a região \(B\) no processo final da contagem irá receber a mesma etiqueta \(4\). O que acontecerá se se aplicar o mesmo procedimento, ao invés de se usarem maçãs ou laranjas, se usarem objectos sólidos de outra natureza? É conhecimento do âmbito do senso comum que, partindo de \(2\) objectos na região \(B\) e de \(2\) objectos na região \(C\), transportados a partir da região \(A\), quando levados de volta a essa região, movidos para \(B\) enquanto são etiquetados, se obterá a etiqueta \(4\). Dado que o procedimento não depende da natureza dos objectos sólidos, estes poderão ser subtraídos, ficando apenas \(2+2=4\). Trata-se de uma expressão que, aliada a um procedimento experimental bem definido, constitui uma verdade potencial, isto é, a uma representação em linguagem da melhor intersecção concreta dos mundos mentais da qual nunca se registou um testemunho causal contrário, pelo menos, no que concerne aos objectos habituais.</div><div style="text-align: justify;">Ora, é bem verdade que não é possível aplicar o procedimento anterior a um conjunto de electrões ou outras partículas, tais como fotões. Porém, é possível definir outros procedimentos sobre electrões ou fotões, tais como a experiência da gota de óleo ou a medição da energia de um feixe de fotões sob o pressuposto quântico, que, aliados à representação \(2+2=4\), permitem estender a verdade potencial anterior a esses casos.</div><div style="text-align: justify;">Considere-se o seguinte procedimento. Delimite-se uma região numa zona plana do chão e coloque-se lá um objecto. Eleve-se o objecto ao longo da vertical até uma altura arbitrária mas pequena. Largue-se o objecto, garantindo que nada se interpõe na vertical. Não é necessário realizar esta pequena experiência para saber de antemão que o objecto irá retornar ao chão, numa vizinhança muito próxima de onde foi elevado. A certeza na verdade concreta de que o objecto irá voltar ao chão após ter sido elevado na vertical advém da verdade potencial "qualquer objecto largado à superfície da Terra cai" quando é aliada ao procedimento especificado. Pode-se tentar averiguar se algum estado da matéria é responsável pela queda do objecto. Uma hipótese será de que a Terra exerce uma força sobre o objecto que é tanto maior quanto maior for a massa do objecto. Se se considerar apenas os movimentos dos objectos que são largados à superfície da Terra, tal justificação é desnecessária já que pode ser subtraída ao procedimento. Porém, quando considerada juntamente com outras leis da física e estendida à Lua e ao Sol, mostra-se tratar-se de uma verdade potencial. Teoriza-se, neste caso, que a Terra exerce uma força sobre a Lua e sobre o Sol igual à força que estes exercem sobre a Terra. Essa força é proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado das suas distâncias e está na origem dos movimentos aparentes dos astros. Trata-se da verdade potencial proporcionada pela teoria da gravitação clássica que se tem reduzido a uma verdade concreta por intermédio dos procedimentos da observação da posição do Sol, da Lua e dos restantes planetas qualquer que seja o instante considerado. Tal lei é verdade potencial em todos os casos com excepção de objectos que se encontrem muito perto do Sol. Nestes casos, será necessário recorrer à teoria geral da relatividade que permite prever a posição dos astros, determinada com base em procedimentos de observação bem definidos, não importa a sua proximidade ao Sol. É claro que os procedimentos de observação concordam com ambas as teorias para objectos afastados do Sol, não importando em termos práticos, nestas condições, qual é a lei que se aceita como a que proporciona a verdade potencial concreta.</div><div style="text-align: justify;">Na teoria da relatividade geral, a gravidade pode ser descrita como sendo a distorção da geometria do espaço-tempo na presença de matéria. A explicação clássica, postulava a existência de uma substância, designada por éter, que permearia todo o espaço. Dado que ambas as hipóteses conduzem à mesma verdade potencial no mesmo domínio, conduzindo ambas à mesma formulação matemática, só seria possível discernir entre elas, definindo algum procedimento que permitisse descartar uma delas ou ambas. Porém, assumindo que qualquer um dos conceitos não possui causalidade concreta, a sua veracidade poderá ser apenas determinada no domínio metafísico.</div></div><h2 style="text-align: justify;">A linguagem como meio de descrição dos mundos particulares</h2><div><div style="text-align: justify;">De acordo com a ontologia aqui apresentada, existe matéria e esta manifesta-se em estados, os quais podem ser decompostos em outros estados. Muitos dos estados da matéria envolvem a excitação dos sentidos e activação de vários circuítos neuronais. São essas activações que encerram em si a interpretação dos estados mais simples com os quais compartilham o mesmo estado complexo. Por exemplo, a luz que é emitida por um objecto excita os olhos que, por sua vez, activam circuitos neuronais nas mais diversas zonas do cérebro. Essas activações neuronais portam a representação criada do objecto sobre as quais incidem os termos da linguagem. Note-se que não é aqui assumido que todos os fenómenos mentais são redutíveis à activação de determinados circuitos neuronais. Porém, a percepção do mundo externo disso depende.</div><div style="text-align: justify;">Um argumento metafísico em prol desta ideia consiste na utilização da mesma palavra para caracterizar um objecto e a sua representação numa linguagem visual. Por exemplo, designa-se vulgamente por flor, não só uma flor que se possa ver, tocar e cheirar, mas também um desenho de uma flor ou outra representação da flor. Por seu turno, não é a forma apenas que determina um sujeito mas também a sua temporalidade. Um determinado objecto pode ser identificado com um item sem conter a sua forma nesse momento, desde que tenha tido a sua forma antes ou possa vir a ter a sua forma depois. Além da forma e da temporalidade, também determina o sujeito, a sua utilidade. Um determinado objecto pode ser identificado como um item se aportar a mesma usabilidade. Uma mesa ou uma cadeira partidas não deixa de ser uma mesa ou uma cadeira. Não que sejam mesa ou cadeira no tempo presente, mas porque o foram no passado. Antes de ser mesa ou cadeira, eram madeira. É facto que, sendo a madeira destinada a uma mesa ou uma cadeira, essa madeira passa a ser considerada como mesa ou cadeira. Uma rocha com um topo largo pode ser entendida como uma mesa caso a sua utilidade possa ser convertida na de uma mesa, isto é, na de poder sustentar objectos a uma altura conveniente a serem manuseados. É claro que, se a rocha contiver uma saliência que possa servir de encosto, pode ser entendida como sendo uma cadeira, caso a sua utilidade a converta num assento. Uma cadeira pode ser vista como uma mesa quando é usada para esse fim. Aquilo que, para alguém, constitui um banco grande porque percebe ter todas as propriedades que caracterizam um objecto desse tipo, para outro, este poderá ser uma mesa pequena já que muitas das propriedades que caracterizam um banco, tais como a existência de uma superfície plana sustentada por um suporte de algum tipo, também caracterizam uma mesa. De um conjunto de indivíduos numa sala onde o objecto se encontra, um subconjunto poderá convencionar tratar-se de um banco e outro, tratar-se de uma mesa. Uma questão poderá surgir deste cenário. Supondo que de todos os indivíduos, apenas um assume tratar-se de uma mesa, será tratar-se de um banco a melhor descrição da realidade porque todos os outros assim o convencionam? A resposta mais simples parece ser aquela em que se assume que a linguagem incide sobre representações da realidade, isto é, sobre construções mentais. De acordo com esta ideia, todos estão correctos no âmbito da linguagem, estando o problema na convenção. Há muitos exemplos onde a descrição da realidade é muito influenciada pela convenção. Isso acontece quando, por exemplo, se pretende distinguir entre um ser vivo e um ser não-vivo, entre ser doença ou condição, etc.</div><div style="text-align: justify;">Dá-se ainda a questão da verdade lógica expressa pelas sentenças proferidas de acordo com alguma teoria da verdade que tem forte dependência na psicologia dos processos mentais. Quando se diz "a casa tem uma cor clara", tal proposição pode ou não ser interpretada pelo receptor como sendo falsa. É interpretada como verdadeira se acreditar que a casa em questão tiver cor clara. Contudo, se acreditar que a sua cor é escura, está-se na presença de um resultado falso. Se estiver convencido que a casa não existe, apesar de continuar a ser possível referi-la, cessa de ser possível determinar a veracidade lógica da sentença onde ela se inclui. Do ponto de vista da comunicação, dizer que uma casa que não existe tem cor clara deverá considerada como sendo falsa de modo a que o receptor não altere o seu sistema de crenças para acomodá-la. Assim, antes de atribuir um valor lógico, é útil parafraseá-la como "existe um objecto que pode ser referenciado pelo termo casa e a sua cor é clara".</div><div style="text-align: justify;">Um segundo problema surge quando se consideram propriedades que não são aplicáveis ao termo em questão. Note-se que, para expressar um facto, tem de ser verdadeira a frase "as pernas do rio são grandes" que, reduzida, fica ainda "o rio tem pernas grandes" ou, parafraseando, "o rio é perna-grande". Porém, a propriedade "perna-grande" aplica-se a um animal, mesa ou cadeira mas não é aplicável a um rio e a sentença deverá ser considerada como falsa de modo a não alterar o sistema de crenças do receptor.</div></div><h2 style="text-align: justify;">Uma abordagem possível em lógica de predicados</h2><div><div style="text-align: justify;">Considere-se a frase "o objecto \(O\) tem a propriedade \(P\)". De modo a ser possível avaliar a sua veracidade, esta frase deverá ser parafraseada como "existe uma e uma só representação mental x que se caracteriza por ser \(O\), a caracterização de \(O\) admite \(P\) como propriedade e \(O\) possui a propriedade \(P\)". Note-se que o mapeamento entre a representação mental \(x\) e um objecto concreto, isto é, um conjunto de estados complexo, pode não se verificar para o receptor considerá-la como verdadeira. Pode, portanto, significar um conceito abstracto. Além disso, é habitual a utilização de linguagem corporal na identificação dos objectos concretos que pertencem ao domínio dos discursos, como apontar ou pegar, bem como a referência a objectos que estão fora do domínio dos sentidos, sendo tomados como verdadeiros com base na fé que o receptor tem sobre as afirmações do receptor. Por exemplo, o emissor pode apontar um objecto que esteja no campo de visão do receptor e afirmar "isto é uma árvore" ou dizer "plantei uma árvore no meu quintal". No primeiro caso, o receptor poderá avaliar a veracidade do que o emissor afirma com base na sua percepção visual. No segundo, avaliará como verdadeira ou falsa mediante a fé que tenha na afirmação do emissor. Finalmente, se, a partir do contexto, duas referências estiverem envolvidas, não será possível atribuir-lhe um valor de verdade. A solução do problema é comportamental, dado que o receptor pode emitir uma pergunta de modo a caracterizar unicamente uma referência ou pode escolher ao acaso uma delas. Por exemplo, quando o emissor, enquanto aponta na direcção de duas casas e diz "aquela casa tem serviços públicos", o receptor, não existindo uma razão imediata que o leve a determinar a qual das duas casas se refere o emissor, pedir-lhe-á que reveja o seu método de referência.</div><div style="text-align: justify;">Uma proposta para a frase "o objecto \(O\) tem a propriedade \(P\)" pode ser condensada na expressão lógica de predicados</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x F(O,P)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">Aqui considera-se \(F(O,P)(x)\) como notação para \(F\left(O(x),P(x)\right)\). Frases declarativas são, de acordo com esta proposta, dadas por funcionais que actuam sobre funções lógicas. No exemplo acima tem-se \(F(O,P)=O\land P\). A função \(O\) deverá ser tal que proporciona um valor lógico verdadeiro apenas quando considerada sobre a referência pretendida.</div><div style="text-align: justify;">De modo a tornar claro como funciona este princípio, considere-se a frase "esta frase é falsa" que está na base de um conhecido paradoxo do mentiroso. A frase é parafraseada como "existe uma e uma só representação mental \(x\) tal que \(x\) é caracterizado por ser uma frase \(S\), \(S\) admite a caracterização de possuir a propriedade \(F\) de ser falsa e \(S\) possui a propriedade \(F\) de ser falsa". Suponha-se que, para além de outras propriedades, as frases não gráficas se caracterizam por serem sintacticamente válidas \(SV\) ou inválidas \(SI\), ter valor lógico verdadeiro \(VLV\) ou falso \(VLF\) e não ser possível atribuir-lhes uma cor \(C_i\), que poderá ser incolor \(I\). A propriedade que distingue a frase em questão de outras frases com o mesmo conteúdo será denotada por \(R(x)\) e corresponde ao "esta" da sentença. Do ponto de vista lógico, ter-se-á </div><div style="text-align: center;">\[S=...\land SV\land VLV\land \neg\left(C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right)\land R\]</div><div>A frase escreve-se, em lógica de predicados, como</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(...\land SV\land VLV\land\neg VLF \neg\left(C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right)\land R\land VLF\right)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">Note-se que, por convenção, a frase \(S\) caracteriza-se por ter valor lógico verdadeiro e não ter valor lógico falso. A expressão é falsa, dado que \(\forall x \neg VLF(x)\land VLF(x)\) é falso, sendo o resultado da conjunção de uma expressão arbitrária com uma expressão falsa. O paradoxo cessa de existir ao nível da linguagem já que assumir que a frase é falsa entra em conflito com a convenção de que as frases são proferidas no sentido de serem veradeiras. Sendo falsa, por seu turno, não descreve uma situação do mundo, apesar de nada impedir de afirmar que a frase existe concretamente, quanto muito, na sua forma fonológica.</div><div style="text-align: justify;">Foi assumido que a frase atrás considerada não tem cor, o que é verosímel em frases que não possuem representação gráfica. A sentença "esta frase é incolor" deverá ser falsa, na medida em que a propriedade incolor \(I\) não caracteriza a frase. Em lógica de predicados tem-se</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(...\land SV\land \neg\left(I\lor C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right)\land R\land I\right)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">Ora, como \(\forall x \left(\neg\left(I\lor C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right) \land I\right)(x)\) é falso, facilmente se constanta que a sentença "esta frase é incolor" é falsa. Por seu turno, a sentença "esta frase é verdadeira" admite a representação lógica</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(...\land SV\land VLV\land\neg VLF \neg\left(C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right)\land R\land VLV\right)(x)\]</div><div>que se reduz a</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(...\land SV\land VLV\land\neg VLF \neg\left(C_1\lor C_2\lor C_3\lor ...\right)\land R\right)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">Neste caso, a afirmação está de acordo com a concepção lógica da frase, não incorrendo numa falsidade independente da referência. A sua veracidade será proporcionada pelo seu ajuste à realidade, quer por intermédio dos sentidos, quer por intermédio da crença.</div><div style="text-align: justify;">Apresentada a ideia fundamental, resta determinar a forma das funções lógicas que mais se adequam à caracterização dos sujeitos. Para o efeito, suponham-se que as propriedades conhecidas são da forma \(P_1,P_2,P_3,\cdots,P_n\), tendo em mente que \(n\) propriedades podem caracterizar apenas \(2^n\) objectos diferentes. Qualquer funcional lógico finito das propriedades, dado por expressões do tipo "isto é o objecto \(O\)", caracteriza-se por</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x P_1\land P_2\land P_3\land\neg P_4\land\neg P_5\land\cdots\]</div><div style="text-align: justify;">Os \(2^n\) objectos distintos possíveis que se podem caracterizar com o conjunto de propriedades contam-se, considerando as combinações dos sinais de negação que podem ser aplicados a cada uma das propriedades.</div><div style="text-align: justify;">Antes e proceder à caracterização é útil relembrar que \(VLV\) não é equivalente a \(\neg VLF\) para toda a representação mental \(x\). Nada impede de conceber um tipo de frase que se pode considerar verdadeira e falsa ao mesmo tempo e, neste tipo de frases, se ter como verdadeira a expressão</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(\cdots\land VLV\land VLF\right)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">As sentenças não se referem apenas a conceitos de objectos únicos mas também de múltiplos objectos. A frase "há objectos do tipo \(O\)" pode ser escrita, em lógica de predicados na forma canónica de conjunção de disjunções, como</div><div style="text-align: center;">\[\exists x \left(\left(\neg P_1\lor P_2\lor\neg P_3\right)\land\left(P_1\lor\neg P_4\lor P_5\right)\land\cdots\right)\]</div><div style="text-align: justify;">Apesar de qualquer expressão deste tipo poder ser aplicável à caracterização de objectos do tipo \(O\), tal caracterização deverá ser simples o suficiente para que a sua veracidade seja rapidamente verificável e esteja sujeita ao menor erro de avaliação possível. Agrupam-se, portanto, determinadas propriedades das quais apenas uma pode ocorrer, como por exemplo, as propriedades exclusivas de uma frase "sintacticamente válida" e "sintacticamente inválida", propriedades que podem ocorrer em simultâneo, tais como as cores de um objecto multicolorido, propriedades que nunca podem ocorrer como é o caso de todas as cores nas frases sonoras e, em alguns casos, algumas implicações formais. Um exemplo de implicação formal é descrito por \(SI\to VLF\), isto é, uma frase sintacticamente inválida deverá ter um valor lógico falso.</div><div style="text-align: justify;">Sejam \(E_{ij}\) propriedades exclusivas, \(P_{ij}\) as propriedades que podem ocorrer em simultâneo, \(Q_{ij}\) as propriedades que nunca podem ocorrer e \(C_i\) expressões de propriedades que ocorrem condicionalmente. Uma expressão lógica que admite um aspecto geral para a caracterização do universal \(O\) em "há objectos do tipo \(O\)" escreve-se na forma</div><div style="text-align: center;">\[\begin{array}{l}\exists x \left(\left(E_{11}\oplus E_{12}\oplus\cdots\right)\land\left(E_{21}\oplus E_{22}\oplus\cdots\right)\land\cdots\land\\ \land\left(P_{11}\lor P_{12}\lor\cdots\right)\land\left(P_{21}\lor P_{22}\lor\cdots\right)\land\\ \land \neg\left(Q_{11}\lor Q_{12}\lor\cdots\right)\land\neg\left(Q_{21}\lor Q_{22}\lor\cdots\right)\land\cdots\land\\ \land\left(\left(P_{11}\land P_{12}\land\cdots\right)\to C_1\land\cdots\right)\right)(x)\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">Observe-se que poderão ocorrer propriedades exclusivas que envolvem mais do que duas opções complementares como é o caso de "ser bom" ou "ser mau", não podendo ser os dois simultaneamente. Um dos exemplos mais extensos consiste no comprimento. Muitos comprimentos podem ser possíveis para objectos que se caracterizam por ter comprimento mas, quando o objecto é especificado, o comprimento fica automaticamente determinado, não sendo inteligível atribuir-lhe dois valores distintos.</div></div><h2 style="text-align: justify;">Um exemplo</h2><div><div style="text-align: justify;">Considere-se um conjunto de peças com formas geométricas de triângulos e rectângulos, sendo que os rectângulos possuem largura unitária. No conjunto, existem dois triângulos equiláteros de bases unitárias, um azul e outro, azul e verde, e um triângulo isósceles amarelo de base unitária, sendo o comprimento dos outros dois lados igual a \(2\). Existe um rectângulo amarelo de comprimento \(2\), um rectângulo vermelho de comprimento \(3\) e um quadrado azul e verde cujo comprimento \(1\) é igual ao da largura. Definam-se as propriedades triângulo \(T\), rectângulo \(R\), os comprimentos \(L_1\), \(L_2\) e \(L_3\) e as cores azul \(C_A\), vermelho \(C_V\), verde \(C_D\) e amarelo \(C_M\). Suponha-se que são atribuídas etiquetas de \(1\) até \(6\) na ordem em que são considerados na descrição anterior. Os objectos podem ser identificados pelos seguintes funcionais lógicos</div><div><br /></div><div><ol style="text-align: left;"><li>\(T\land L_1\land C_A\land\neg R\land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_D\lor C_M\right)\)</li><li>\(T\land L_1\land C_A\land C_D\land\neg R\neg\left(L_2\lor L3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_M\right)\)</li><li>\((T\land L_2\land C_M\land\neg R\land\neg\left(L_1\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_D\lor C_A\right)\)</li><li>\((R\land L_2\land C_M\land\neg T\land\neg\left(L_1\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_D\lor C_A\right)\)</li><li>\((R\land L_3\land C_V\land\neg T\land\neg\left(L_1\lor L_2\right)\land\neg\left(C_M\lor C_D\lor C_A\right)\)</li><li>\((R\land L_1\land C_A\land C_D\land\neg T\land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_M\right)\)</li></ol></div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Apenas a forma, o comprimento e as cores são suficientes para determinar inequivocamente cada um dos objectos arrolados. A frase "o objecto \(4\) é um triângulo", parafreseada como "existe uma e uma só representação mental \(x\) que se caracteriza por ser o objecto identificado por \(4\) e ser um triângulo", reduz-se à expressão lógica</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left((R\land L_2\land C_M\land\neg T\land\neg\left(L_1\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_D\lor C_A\right)\right)(x)\land T(x)\]</div><div style="text-align: justify;">Porém, como \(\neg T(x)\) entra disjuntivamente na caracterização do objecto \(4\), a expressão é falsa. Por seu turno, a frase "o objecto \(6\) é equilátero" requer uma análise mais profunda dado que "ser equilátero" não é uma das propriedades que foram consideradas primárias na definição dos objectos. No entanto, pode ser caracterizada por um funcional lógico </div><div style="text-align: center;">\[E=L_1\land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\]</div><div style="text-align: justify;">A sentença "o objecto \(6\) é equilátero" fica da forma</div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">\[\begin{array}{l}\exists!x \left(R\land L_1\land C_A\land C_D\land\neg T\land\\ \land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_M\right)\land L_1\land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\right)(x)\end{array}\]</span></div><div>que se simplifica em</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \left(R\land L_1\land C_A\land C_D\land\neg T\land\neg\left(L_2\lor L_3\right)\land\neg\left(C_V\lor C_M\right)\right(x)\]</div><div>a qual é verdadeira já que é satisfeita apenas pelo objecto referenciado por \(6\).</div><div>A expressão </div><div style="text-align: center;">\[I=T\land\left(L_2\oplus L_3\right)\land\neg L_1\land\neg R\]</div><div style="text-align: justify;">permite caracterizar a propriedade isósceles que vale apenas para os triângulos. Note-se que se tem que \(I\to\neg (E\lor R)\) é sempre verdade, isto é, um objecto isósceles não pode ser equilátero nem rectângulo. Este último funcional constitui um facto que permite determinar rapidamente que a frase "o objecto \(5\) é isósceles" é falsa, já que se trata de um rectângulo.</div><div style="text-align: justify;">É importante caracterizar todos os objectos que pertencem à lista como "todos os objectos são do tipo objecto_da_lista", recorrendo apenas às propriedades que se consideram ser suficientes para identificar todos os objectos. Dos \(2^9\) funcionais lógicos que se podem formar, apenas \(6\) podem assumir um valor verdadeiro. Sejam esses valores \(P_i\), com \(i=1,\cdots, 6\) e \(P_j\), \(j=7,\cdots,2^9\), os que assumem sempre um valor falso. O funcional lógico</div><div style="text-align: center;">\[F=\left(P_1\lor\cdots\lor P_6\right)\land\neg\left(P_7\lor\cdots\lor P_{2^9}\right)\]</div><div style="text-align: justify;">estará nessas condições. A substituição dos funcionais \(P_i\) pelas respectivas expressões nas propriedades que se consideraram essenciais permite obter o funcional \(F\) que caracteriza o facto de pertencer à lista. A simplificação da expressão parecer ser complicada. Porém, existe alguma regularidade que poderá, porventura, ser explorada. Em primeiro lugar, as propriedades \(T\) e \(R\) têm de entrar em todas as expressões de forma exclusiva. Isso deve-se ao facto de uma figura não poder ser simultaneamente um triângulo e um rectângulo. O mesmo se passa com os comprimentos, já que um objecto não pode possuir mais do que um valor para o seu comprimento. A expressão lógica</div><div style="text-align: center;">\[\left(T\oplus R\right)\land\left(L_1\oplus L_2\oplus L_3\right)\land\left(C_A\lor C_V\lor C_D\lor C_M\right)\]</div><div style="text-align: justify;">assume o valor lógico de verdade em \(2\times 3\times\times 2^4\) combinações de valores de verdade para cada propriedade e, em particular, para os objectos da lista. A expressão pode ser limitada, se se observar que os objectos que possuem a propriedade \(L_1\) de ter comprimento unitário podem assumir as cores azul ou azul e verde. Assim, é verdade que \(L_1\to\left(C_A\land\neg C_V\land\neg C_M\right)\), sendo idênticas as expressões que limitam as possibilidades para as cores aos objectos com as propriedades \(L_2\) e \(L_3\). Tem-se, finalmente,</div><div style="text-align: center;">\[\begin{array}{l}F=\left(T\oplus R\right)\land\left(L_1\oplus L_2\oplus L_3\right)\land\left(C_A\lor C_V\lor C_D\lor C_M\right)\land\\ \land\left(L_1\to\left(C_A\land\neg C_V\land\neg C_M\right)\right)\land\left(\left(R\land L_1\right)\to\left(C_A\land C_D\land\neg C_M\land\neg C_D\right)\right)\land\\ \land\left(L_2\to\left(C_M\land\neg C_A\land\neg C_D\land\neg C_V\right)\right)\land\left(L_3\to\left(C_V\land\neg C_A\land\neg C_M\land\neg C_D\right)\right)\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">O funcional \(G\) que permite definir todas as combinações de cores dos objectos na lista é dado por</div><div style="text-align: center;">\[\begin{array}{l}G=\left(C_A\lor C_V\lor C_D\lor C_M\right)\land\left(L_1\to\left(C_A\land\neg C_V\land\neg C_M\right)\right)\land\\ \land\left(\left(R\land L_1\right)\to\left(C_A\land C_D\land\neg C_M\land\neg C_D\right)\right)\land\\ \land\left(L_2\to\left(C_M\land\neg C_A\land\neg C_D\land\neg C_V\right)\right)\land\\ \land\left(L_3\to\left(C_V\land\neg C_A\land\neg C_M\land\neg C_D\right)\right)\end{array}\]</div><div>Se se pudesse estender a lista, considerando as \(2^9\) possibilidades, entre elas ir-se-iam encontrar objectos que seriam simultaneamente triângulos e rectângulos. No entanto, dado que \(\forall x H(x)\), com</div><div style="text-align: center;">\[\begin{array}{l}H=\left(T\to\neg R\right)\land\left(R\to\neg T\right)\land\left(L_1\to\neg\left(L_2\lor L_3\right)\right)\land\\ \land\left(L_2\to\neg\left(L_1\lor L_3\right)\right)\land\left(L_3\to\left(L_1\lor L_2\right)\right)\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">tais possibilidades serão sempre reduzidas a \(2\times 3\times 2^4\). Consideram-se os funcionais expressos por \(H\) verdadeiros, não importa qual o objecto considerado. Diz-se tratar-se de verdades necessárias. Permitem afirmar que tanto os objectos conhecidos da lista as satisfazem como os objectos que não se encontram na lista. O funcional \(G\), por seu turno, descreve uma verdade contingente, isto é, vale no caso dos \(6\) objectos conhecidos da lista mas que não valem nos restantes \(6\times\left(2^4-1\right)\) que, apesar de não pertencerem à lista, também podem ocorrer. Aliás, objectos com as mesmas propriedades dos que os que estão na lista poderão ocorrer num outro lugar, sendo necessárias propriedades adicionais para caracterizarem os que pertencem à lista como os que não pertencem. O papel da ciência consiste, portanto, em estabelecer verdades contigentes que cada vez mais se aproximem de verdades necessárias, dentro dos limites do que realmente pode ser mensurável. Por seu turno, dado o carácter de convenção entre o que é que pode ou não existir para além do que se conhece, nada impede de construir realidades alternativas onde, algures, uma figura pode ser, por exemplo, simultaneamente rectangular e triangular, ou ter uma propriedade abstracta, tal como "ser bonito" que pode ser subtraída sem alterar a descrição causal dos objectos da lista. É nessa liberdade que reside uma das grandes dificuldades do problema da demarcação.</div></div><h2 style="text-align: justify;">Relações</h2><div><div style="text-align: justify;">As frases com apenas um sujeito ao qual é submetido um predicado, tais como "há objectos \(O\) do tipo \(T\)", são transcritas na função lógica</div><div style="text-align: center;">\[\exists x \left(O\land T\right)(x)\]</div><div style="text-align: justify;">De acordo com a teoria da verdade, deverá existir um procedimento que permita avaliar a veracidade de \(O(x)\) e de \(T(x)\) para qualquer referência mental \(x\) que tenha sido criada durante o discurso, por intermédio dos sentidos ou de simples concepções mentais. O conceito é generalizável a frases do tipo "há objectos \(O_1\) do tipo \(T_1\) e objectos \(O_2\) do tipo \(T_2\) e objectos \(O_3\) do tipo \(T_3\) que estão na relação \(R\) entre si". Esta setença admite a representação</div><div style="text-align: center;">\[\exists x\land\exists y\exists z \left(P_1\land T_1(x)\right) \left(O_2\land T_2\right)(y)\land \left(O_3\land T_3\right)(z) \land R(x,y,z)\]</div><div style="text-align: justify;">É necessário, para além da caracterização dos objectos e respectivos tipos, caracterizar a relação. De modo a ilustrar o conceito de relação, considere-se o exemplo dos seis objectos considerados na secção anterior e a relação \(R(x,y)\) "têm a mesma forma". Ora, dois objectos têm a mesma forma se forem ambos triângulos ou forem ambos rectângulos. A sua carterização coloca-se do seguinte modo</div><div style="text-align: center;">\[R(x,y)=\left(T(x)\land\neg R(x)\land T(y)\land\neg R(y)\right)\lor\left(R(x)\land\neg T(x)\land R(y)\land\neg T(y)\right)\]</div><div>A frase "os objectos \(1\) e \(4\) têm a mesma forma" admitirá a seguinte representação lógica</div><div style="text-align: center;">\[\begin{array}{l}\exists! x\exists! y \cdots\land T(x)\land\neg R(x)\land\cdots\land R(y)\land\\ \land\neg T(y)\land\left(\left(T(x)\land\neg R(x)\land T(y)\land\neg R(y)\right)\lor\\ \lor\left(R(x)\land\neg T(x)\land R(y)\land\neg T(y)\right)\right)\end{array}\]</div><div style="text-align: justify;">Não é tarefa difícil determinar que se trata de uma expressão falsa, já que envolve conjunções de propriedades contraditórias, que está em conflito com o princípio da não-contradição.</div><div style="text-align: justify;">Frases como "o azul do objecto \(O_1\) é mais intenso do que o do objecto \(O_2\)" têm significado semântico e parecem estabelecer relações entre propriedades. É claro que a propriedade \(A\) de ser azul é dada por \(A_1\lor A_2\), onde \(A_1\) permite especificar o azul do objecto \(O_1\) e \(A_2\), o azul do objecto \(O_2\). A sentença deverá ser parafraseada de modo a que a relação incida sobre referências a objectos, nem que estes constituam representações mentais das propriedades. A relação deverá assumir o valor lógico verdadeiro apenas no caso em que o primeiro argumento seja dado por \(A_1\) e nenhuma outra cor e o segundo por \(A_2\) e nenhuma outra cor, isto é,</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x \exists!y O_1(x)\land O_2(y)\land I(x,y)\]</div><div>A função \(I(x,y)\) caracteriza-se por</div><div style="text-align: center;">\[A_1(x)\land\neg A_2(x)\land A_2(y)\land\neg A_1(y)\land\neg\left(C_i\right)\]</div><div style="text-align: justify;">onde \(C_i\) corresponde à disjunção das restantes cores. A frase deverá ser interpretada como "o objecto \(O_1\) está na relação com o objecto \(O_2\) de ter um azul mais intenso".</div><div style="text-align: justify;">Dado que as propriedades constituem funções lógicas sobre referências mentais, é possível efectuar a descrição da realidade unicamente com base em relações. Com efeito, o facto de se dizer que um determinado objecto \(O\) tem uma determinada cor \(C_i\) e este facto corresponder a uma realidade do mundo concreto, é resultado de um estado de matéria que envolva o objecto, os sentidos do emissor e os circuitos neuronais que serão responsáveis pela identificação das cores. Coloca-se, portanto, a hipótese de que alguns dos circuítos neuronais activados contêm pelo menos um modelo daquilo que é percebido pela cor \(C_i\). Deverá existir no interlocutor a memória dessa cor. Essa memória, estando ao nível mental e, consequentemente, das representações dos objectos concretos, poderá ser sujeita ao mesmo tratamento lógico. Se se designar por \(c_i\) a representação mental da memória da cor \(C_i\) e por \(x\) a representação mental do objecto \(O\) então a frase "o objecto \(O\) tem a cor \(C_i\)" poderá ser estabelecida pela frase equivalente</div><div style="text-align: center;">\[\exists!x\exists c_i\exists y\exists ...\exists a\exists ... R(x,y,\cdots,a,b,...)\land P\left(x,c_i\right)\]</div><div style="text-align: justify;">A relação \(P\left(x,c\right)\) poderá ser entendida como "o objecto cuja representação mental é \(x\) tem a propriedade cuja representação mental é \(c_i\)". A relação \(R\), estabelecida sobre representações mentais de outros objectos concretos, \(y,z,\cdots\) e representações mentais de propriedades \(a,b,\cdots\) permite caracterizar o objecto \(O\). A descrição em termos de relações é equivalente à descrição em termos de propriedades se se considerar que</div><div style="text-align: center;">\[\forall x \forall c C_i(x)\land C_i(c)\leftrightarrow P\left(x,c\right)\]</div><div style="text-align: justify;">A descrição apenas em termos de relações é mais confortável quando se pretende descrever determinados objectos com base apenas nas relações que existem entre si, independentemente de qualquer propriedade intrínseca. Por exemplo, de dois objectos \(O_1\) e \(O_2\) dos quais não se conhecem propriedades intrínsecas é possível distingui-los, assumindo válida, por exemplo, a relação \(M(x,y)\), "\(x\) é maior do que \(y\)". É claro que é possível definir duas propriedades \(T_1\) e \(T_2\), que se poderão designar por "tamanhos", de modo que \(O_1=T_1\) e \(O_2=T_2\) e a relação se caracteriza por \(M=T_1\land\neg T_2\) para descrever a mesma realidade. Neste caso, a abordagem em termos de propriedades afigura-se mais elaborada. Por outro lado, a descrição com base em apenas relações permite dar sentido a frases que envolvem apenas propriedades, tais como "a cor \(C_1\) é mais agradável do que a cor \(C_2\)", dado que esta incide directamente sobre as representações mentais das propriedades em questão, sem o recurso a artifícios epistemológicos.</div></div><h2 style="text-align: justify;">Medições, grandezas, magnitudes e as leis científicas</h2><div><div style="text-align: justify;">De modo a estabelecer a veracidade da representação mental de um objecto no mundo concreto é necessário que se verifique uma interacção desse objecto com os sentidos. O objecto e os sentidos do observador deverão compôr um estado da matéria complexo ou, por outras palavras, deverá existir uma relação causal entre a existência de um objecto e um estímulo sensorial do observador. Este procedimento não limita a existência dos objectos apenas a mundos onde exitam observadores mas demarca as limitações associadas à determinação da veracidade da descrição de tais mundos. Nada impede, por exemplo, a concepção de um mundo composto por duas partículas indistinguíveis. No entanto, a verificação da validade de tal concepção requer uma relação causal entre cada uma das partículas e o observador, devendo o observador estar incluído nesse mundo e de aí existirem estados complexos, para além do da manifestação em duas partículas, que incluam os estímulos sensoriais. O estado de matéria nesse mundo cessa de se manifestar na forma de duas partículas.</div><div style="text-align: justify;">É tangível considerar que determinados estados que não envolvam os sentidos de um observador possam integrar estados mais complexos que o façam. Dois exemplos conhecidos obtêm-se dos âmbitos da cosmologia e da microcosmologia. De facto, estados compostos por galáxias distantes ou microorganismos e a luz que emitem ou reflectem, podem ser integrados em estados mais complexos definidos pela observação através de um telescópio ou microscópio de forma a incluírem a sensibilização dos olhos e consequentes activações dos circuitos neuronais correspondentes. Obtêm-se, assim, representações mentais de objectos que se apresentam aos sentidos de forma indirecta e que se descrevem por propriedades ou relações.</div><div style="text-align: justify;">Uma medição consiste num processo de averiguar a verdade concreta de uma representação mental, quer de forma directa, por intermédio dos sentidos, quer de forma indirecta através da interposição de um processo de instrumentação. Deste modo, se se pretender determinar a veracidade de uma representação mental face ao mundo concreto, é necessário efectuar uma medição cujo processo deverá estar associado à propriedade cuja veracidade é determinada. É tangível, por exemplo, que um objecto tenha uma cor \(C_1\) quando observado diractamente e uma cor \(C_2\) quando observado através de um filtro ou seja iluminado por luz de cor \(C_3\). A avaliação da veracidade relativa ao facto do objecto ter cor \(C_1\) ou cor \(C_2\) requer a identificação, quer de forma implícita, quer explícita, da medição que se deverá efectuar e quais as circunstâncias da sua realização. A veracidade é tanto mais corroborada quantos mais indivíduos a submeterem à observação.</div><div style="text-align: justify;">No exemplo acima, foram considerados objectos triangulares e rectangulares onde um dos lados é considerado unitário. Observou-se ainda que seria suficiente caracterizar cada um dos objectos pela forma, \(R\) ou \(T\), comprimento do outro lado \(L_1\), \(L_2\) ou \(L_3\), e a cor, \(C_A\), \(C_V\), \(C_D\) e \(C_M\). Observou-se ainda que para todo o objecto \(x\) não se pode verificar simultâneamente mais do que uma propriedade de entre \(L_1\), \(L_2\) e \(L_3\). Trata-se da representação lógica do conhecimento de que o processo de medição implicitamente associado à sua validação descartará como falsas quaisquer representações mentais que assumam simultanemanete verdadeiras duas ou mais propriedades da forma \(L_i\). Do ponto de vista metafísico, nada impede de considerar objectos sobre os quais se verificam, em simultâneo, duas ou mais dessas propriedades, uma vez que aqui pode ser desconsiderado qualquer processo de medição. Porém, para determinar a validade da concepção no mundo concreto, é necessário elaborar um procedimento de medição no qual faça sentido a verificação simultânea de mais do que uma dessas propriedades. No exemplo concreto de uma mola que oscila em torno do seu ponto de equilíbrio, vários comprimentos poderão ser obtidos numa medição, um comprimento para cada instante considerado.</div><div style="text-align: justify;">Leis naturais são conjuntos de concepções mentais lógicas não contraditórias, proporcionadas por propriedades e relações com procedimentos de medição bem definidos cuja validade se tenha verificado em domínios extensos. Entre as leis naturais destacam-se as que resultam de um processo de intuição, como é o caso da caracterização. Dizer que todos os mamíferos possuem sistema circulatório poderá ser uma intuição se se verificar a existência de animais com sistema circulatório e se a propriedade de ter sistema circulatório faz parte da sua caracterização. Será uma lei se o facto de possuir sistema circulatório não caracterize um mamífero, apesar de todos os animais que se caracterizam como mamíferos possuírem sistema circulatório.</div><div style="text-align: justify;">Teorias científicas, por seu turno, são conjuntos de leis naturais cujos procedimentos de medição, válidos em domínios extensos mas limitados, se extrapolam a extensões inatingíveis desses limites. Estas dever-se-ão verificar, enquanto leis, quando são aplicados os processos de medição que permitam averiguar a sua veracidade à extensão do domínio conhecido, sempre que isso seja possível. Enquadram-se neste âmbito, para além das teorias cujos processos de medição podem ser constantemente aplicados a novos domínios, as teorias científicas da origem do sistema solar ou da origem da vida que, mesmo que estando assentes em domínios inatingíveis, são parte integrante da extensão do domínio dos respectivos estados conhecidos. É necessário enfatizar a importância da não contrariedade das concepções mentais, já que daqui resulta que nenhum ramo da ciência poderá estar em contradição com outro. Se, por exemplo, uma lei biológica parece violar algum princípio físico, advêm daqui três hipóteses. O processo de medição deverá ser revisto de modo a certificar a veracidade da lei. Se se verificar a lei biológica, deverá ser revista a lei física que está a ser violada de modo a explicar o fenómeno biológico, especificando o novo processo de medição. Caso contrário, não se está perante uma lei científica.</div><div style="text-align: justify;">Seja \(L=L_1\oplus L_2\oplus L_n\) a função lógica que designa a função \(L\) que caracteriza, de um modo geral, todos os objectos que são caracterizados pelas propriedades \(L_1\), \(L_2\) ou \(L_3\). A disjunção exclusiva resulta do facto de que o processo de medição permite determinar que o objecto não pode ser simultaneamente caracterizado por mais do que um \(L_i\). Suponha-se que é possível refinar o processo de medição de modo que \(L_1=L'_{11}\oplus L'_{12}\), \(L_2=L'_{21}\oplus L'_{22}\) e \(L_3=L'_{31}\oplus L'_{32}\). Um exemplo concreto consiste na consideração de instrumentos de medida com uma escala mais refinda. Suponha-se, ainda, que, quando dois objectos \(O_1\), caracterizado por \(L_i\) e \(O_2\), caracterizado por \(L_j\), quando colocados numa relação \(R\) entre eles, se possa associar, a essa relação, a propriedade \(L_k\) de tal forma que as etiquetas escolhidas possam ser tais que \(i+j=k\) qualquer que seja a relação. A massa e o comprimento encontram-se entre os exemplos mais comuns deste tipo de propriedades. Diz-se que \(L\) é a grandeza e o índice, quando escolhido de forma aritmética, a magnitude.</div><div style="text-align: justify;">Numa descrição em termos de relações, uma lei matemática da ciência consiste numa relação matemática entre magnitudes de várias grandezas. Por exemplo, de acordo com a lei clássica da atracção gravítica, sempre que forças de outras natureza não estejam aplicadas,</div><div style="text-align: center;">\[\forall x\forall y M_i(x)\land M_j(y)\land D_k(x,y)\leftrightarrow F_{\frac{Gm_im_j}{k^2}}(x,y)\]</div><div style="text-align: justify;">Aqui \(F\) representa a relação simétrica que representa o facto de existir um par de forças com a mesma intensidade que actua, cada uma, sobre cada um dos corpos.</div><div style="text-align: justify;">É interessante notar que não é possível determinar um processo de medição que permita avaliar um número infinito de propriedades, uma vez que o respectivo resultado iria requerer a memorização de uma quantidade infinita de informação. Deste modo, dizer que uma partícula parte do ponto \(A\) e chega ao ponto \(B\) num interavalo de tempo \(\Delta t\) com uma velocidade constante passa por uma infinidade de posições é apenas metafisicamente válido, dado que, para determinar a veracidade da afirmação, seria necessário efectuar uma medição que proporcionasse um conjunto infinito de propriedades. No entanto, é sempre permitido dizer que, qualquer que seja a medição que se faça após a partida da partícula e antes da sua chegada, esta irá sempre encontrar-se numa posição intermédia. Esta observação permite eliminar da consideração quaisquer paradoxos relacionados com a consideração do infinito. Talvez sejam esses paradoxos a principal razão para assumir que a partícula não passe continuamente por uma infinidade de posições mesmo quando o fenómeno é considerado do ponto de vista metafísico. De facto, uma lei matemática permite prever a propriedade verificada por uma determinada experiência e verificar-se sempre que a medição seja realizada. No entanto, o que acontece entre medições será sempre especulação metafísica.</div></div>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com03880 Ovar, Portugal40.8596399 -8.625331312.549406063821152 -43.7815813 69.169873736178843 26.5309187tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-3115112810639150422021-03-30T18:21:00.002+01:002021-03-30T18:21:29.735+01:00O átomo de hidrogénio de acordo com a mecânica quântica<p style="text-align: justify;"> De acordo com o modelo planetário, os átomos são, em princípio, compostos por um núcleo de carga positiva em torno do qual orbitam electrões. A maior parte da massa do átomo encontra-se condensada no núcleo. Denotando por \(e\) a carga do electrão, o átomo do hidrogénio seria constituído por um núcleo de carga \(+e\) em torno do qual orbita um electrão de carga \(-e\). De acordo com a mecânica clássica, o movimento de um tal sistema obtém-se a partir da função \(L=T-V\), onde \(T\) é a energia cinética e \(V\) a energia potencial do sistema, da forma</p><p style="text-align: center;">\[L=\frac{1}{2}m_n\left(\frac{d\vec{r}_n}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\frac{d\vec{r}_e}{dt}\right)^2+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\left\Vert \vec{r}_n-\vec{r}_e\right\Vert}\]</p><p style="text-align: justify;">Aqui \(\vec{r}_n\) e \(\vec{r}_e\) proporcionam, respectivamente, as posições do núcleo e do electrão. A posição do centro de massa do sistema é dada por</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{R}=\frac{m_n\vec{r}_n+m_e\vec{r}_e}{m_n+m_e}\]</p><p style="text-align: justify;">Considerando o referencial cuja origem se encontra no centro de massa, tem-se</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}r_n^*=\vec{r}_n-\vec{R}=\frac{m_e}{m_n+m_e}\left(\vec{r}_e-\vec{r}_n\right)\\ \vec{r}_e^*=\vec{r}_e-\vec{R}=\frac{m_n}{m_n+m_e}\left(\vec{r}_e-\vec{r}_n\right)\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição da transformação</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{r}_n=\vec{r}_n^*+\vec{R}\\ \vec{r}_e=\vec{r}_e^*+\vec{R}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">na função \(L\) conduz à nova expressão</p><p style="text-align: center;">\[L=\frac{1}{2}M\left(\frac{d\vec{R}}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\mu{\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\left\Vert \vec{r}\right\Vert}\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(M=m_n+m_e\), \(\vec{r}=\vec{r}_e-\vec{r}_n\) e</p><p style="text-align: center;">\[\mu=\frac{m_nm_e}{m_n+m_e}\]</p><p style="text-align: justify;">Seja \(\vec{r}=\left(x,y,z\right)\) e \(\vec{R}=\left(X,Y,Z\right)\) escritos nas suas componentes em coordenadas rectangulares. Os momentos associados calculam-se como</p><p style="text-align: center;">\[\begin{array}{lll}P_X=\frac{\partial L}{\partial X'}=MX', & P_Y=\frac{\partial L}{\partial Y'}=MY', & P_Z=\frac{\partial L}{\partial Z'}=MZ'\\ p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=\mu x', & p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=\mu y', & p_z=\frac{\partial L}{\partial z'}=\mu z'\end{array}\]</p><p style="text-align: justify;">A função \(H=X'P_x+Y'P_Y+Z'P_Z+x'p_x+y'p_y+z'p_z-L\), quando escrita em termos dos momentos fica da forma</p><p style="text-align: center;">\[H=\frac{P_X^2+P_Y^2+P_Z^2}{2M}+\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2\mu}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\]</p><p style="text-align: justify;">Em termos da mecânica clássica, as equações que descreveriam o movimento do sistema seriam dadas por</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{lll}P_X'=-\frac{\partial H}{\partial X}, & P_Y'=-\frac{\partial H}{\partial Y}, & P_Z'=-\frac{\partial H}{\partial Z}\\ X'=\frac{\partial H}{\partial P_X}, & Y'=\frac{\partial H}{\partial P_Y}, & Z'=\frac{\partial H}{\partial P_Z}\\ p_x'=-\frac{\partial H}{\partial x}, & p_y=-\frac{\partial H}{\partial y}, & p_z'=-\frac{\partial H}{\partial z}\\ x'=\frac{\partial H}{\partial p_x}, & y'=\frac{\partial H}{\partial p_y}, & z'=\frac{\partial H}{\partial p_z}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Em mecânica quântica, considera-se que o sistema é descrito por uma função de onda das coordenadas consideradas e do tempo, \(\psi(X,Y,Z,x,y,z,t)\), a qual é solução da equação diferencial às derivadas parciais que se obtém de \(H\), substituindo cada um dos momentos pelo operador que determina a derivada parcial em ordem à coordenada que lhe está associada. Por exemplo, o momento \(P_X\) que se determina a partir de \(L\), considerando a derivada parcial em ordem a \(X'\), é substituído peloa operador \(\hbar\frac{\partial}{\partial X}\). A mesma substituição deverá ser considerada sobre todos os operadores. A equação de onda escreve-se, para este caso, como</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{\vec{R}}^2\psi+\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\vec{r}}^2\psi+\frac{e^2\psi}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}\]</p><p style="text-align: justify;">onde</p><p style="text-align: center;">\[\nabla_{\vec{R}}^2\psi=\frac{\partial^2\psi}{{\partial X}^2}+\frac{\partial^2\psi}{{\partial Y}^2}+\frac{\partial^2\psi}{{\partial Z}^2}\]</p><p style="text-align: justify;">e</p><p style="text-align: center;">\[\nabla_{\vec{r}}^2\psi=\frac{\partial^2\psi}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2\psi}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2\psi}{{\partial z}^2}\]</p><p style="text-align: justify;">É útil aplicar o método da seperação das variáveis. Deste modo, faz-se</p><p style="text-align: center;">\[\psi(X,Y,Z,x,y,z,t)=\psi(X,Y,Z,x,y,z)\phi(t)\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição na equação de onda resulta em</p><p style="text-align: center;">\[\frac{1}{\psi}\left(\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{\vec{R}}^2\psi+\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\vec{r}}^2\psi\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-i\hbar\frac{d\phi}{dt}\]</p><p style="text-align: justify;">Ora, o membro esquerdo da equação depende apenas da posição do centro de massa e da posição relativa do núcleo e do electrão. O membro direito, por seu turno, depende apenas do tempo. Tal é apenas possível no caso em que ambos os membros igualam uma constante \(-E\). Tem-se, por um lado,</p><p style="text-align: center;">\[-i\hbar\frac{d\phi}{dt}=-E\]</p><p style="text-align: justify;">cuja solução é dada por</p><p style="text-align: center;">\[\phi=Ae^{-\frac{iEt}{\hbar}}\]</p><p style="text-align: justify;">em que \(A\) é a constante de integração e, por outro, a equação</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{\vec{R}}^2\psi+\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\vec{r}}^2\psi+\frac{e^2\psi}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-E\psi\]</p><p style="text-align: justify;">Trata-se da equação independente do tempo. Aplica-se o método da separação das variáveis a esta equação, fazendo,</p><p style="text-align: center;">\[\psi(X,Y,Z,x,y,z)=\chi(X,Y,Z)\psi(x,y,z)\]</p><p style="text-align: justify;">A equação separa-se, portanto, nas equações</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{\vec{R}}^2\chi=(-E+\mathcal{E})\chi\]</p><p style="text-align: justify;">e</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\vec{r}}^2\psi+\frac{e^2\psi}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\mathcal{E}\psi\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(-\mathcal{E}\) é a constante resultante da separação. Ora, a equação sobre \(\chi\) descreve o movimento do centro de massa do átomo, considerado como uma partícula livre. Aplique-se aqui também o método da separação das variáveis, fazendo</p><p style="text-align: center;">\[\chi(X,Y,Z)=f(X)g(Y)h(Z)\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição na equação para o centro de massa resulta em</p><p style="text-align: center;">\[\frac{1}{f}\frac{d^2f}{dX^2}+\frac{1}{g}\frac{d^2g}{dY^2}+\frac{1}{h}\frac{d^2h}{dZ^2}=\frac{2M}{\hbar}(-E+\mathcal{E})\]</p><p style="text-align: justify;">Dado que cada uma das funções, \(f\), \(g\) e \(h\) dependem de variáveis diferentes, a equação será possível apenas quando</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{f}\frac{d^2f}{dX^2}=-\sigma_X^2\\ \frac{1}{g}\frac{d^2g}{dY^2}=-\sigma_Y^2\\ \frac{1}{h}\frac{d^2h}{dZ^2}=-\sigma_Z^2\\ \frac{\hbar}{2M}\left(\sigma_X^2+\sigma_Y^2+\sigma_Z^2\right)=E-\mathcal{E}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">É claro que a escolha das constantes obtidas na separação das variáveis poderia ser arbitrária. Porém, dado que é condição que a função de onda não aumente indefinidamente à medida que o valor das variáveis aumenta, tais constantes deverão assumir um valor negativo, representado genericamente por \(\sigma_i^2\). A determinação das soluções das equações diferenciais que determinam \(f\), \(g\) e \(h\) não constitui grande dificuldade, sendo estas dadas por</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}f(X)=A_Xe^{i\sigma_XX}+B_Xe^{-i\sigma_XX}\\ g(Y)=A_Ye^{i\sigma_YY}+B_Ye^{-i\sigma_YY}\\ h(Z)=A_Ze^{i\sigma_ZZ}+B_Ze^{-i\sigma_ZZ}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">As soluções da equação de onda que não depende do tempo são da forma</p><p style="text-align: center;">\[\chi_{\vec{\sigma}}=A_{\vec{\sigma}}e^{i\vec{\sigma}\cdot\vec{R}}\]</p><p style="text-align: justify;">em que \(\vec{\sigma}=\left(\sigma_X,\sigma_Y,\sigma_Z\right)\) e \(\vec{R}=(X,Y,Z)\) são o vector número de onda e o vector posição. Considera-se a solução normalizada na forma</p><p style="text-align: center;">\[\chi_{\vec{\sigma}}=\frac{1}{\sqrt{\pi^3}}e^{i\vec{\sigma}\cdot\vec{R}}\]</p><p style="text-align: justify;">dado que assim satisfará a propriedade orthogonal</p><p style="text-align: center;">\[\int_{V}{\chi_\vec{\sigma}\left(\vec{R}\right)\bar{\chi}_{\vec{\sigma}'}\left(\vec{R}\right)dXdYdZ}=\delta\left(\vec{\sigma}-\vec{\sigma}'\right)\]</p><p style="text-align: justify;">em que o integral é estendido sobre todo o espaço \(V\) e \(\delta\left(\vec{\sigma}-\vec{\sigma}'\right)\) é tal que</p><p style="text-align: center;">\[\int_V{f\left(\vec{\sigma}\right)\delta\left(\vec{\sigma}-\vec{\sigma}'\right)d\sigma_Xd\sigma_Yd\sigma_Z}=f\left(\vec{\sigma}'\right)\]</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se que \(f\left(\vec{R}\right)\) é uma função arbitrária e suponha-se que esta possa ser escrita como uma soma dos \(\chi_{\vec{\sigma}}\left(\vec{R}\right)\) da forma</p><p style="text-align: center;">\[f\left(\vec{R}\right)=\int_V{k\left(\vec{\sigma}\right)\chi_{\vec{\sigma}}\left(\vec{R}\right)d\sigma_Xd\sigma_Yd\sigma_Z}\]</p><p style="text-align: justify;">Se se multiplicar a equação anterior por \(\bar{\chi}_{\vec{\sigma}'}\) e integrar \(\vec{R}\) sobre todo o espaço \(V\) obtém-se</p><p style="text-align: center;">\[\int_V{\bar{\chi}_{\vec{\sigma}'}f\left(\vec{R}\right)dXdYdZ}=\int_V{k\left(\vec{\sigma}\right)\delta\left(\vec{\sigma}-\vec{\sigma}'\right)}=k\left(\vec{\sigma}'\right)\]</p><p style="text-align: justify;">A propriedade ortogonal torna-se útil, deste modo, para determinar a forma da função \(k\left(\vec{\sigma}\right)\) que figura na representação da função \(f\left(\vec{R}\right)\). Os integrais convergem sempre que o integral sobre todo o espaço do quadrado do modulo da função exista. São estas, contudo, as funções de interesse em mecânica quântica.</p><p style="text-align: justify;">O método da separação das variáveis não é aplicável directamente à equação</p><p style="text-align: center;">\[\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\vec{r}}^2\psi+\frac{e^2\psi}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\mathcal{E}\psi\]</p><p style="text-align: justify;">devido à função que representa o potencial eléctrico. Porém, a consideração das coordenadas esféricas permite escrever o potencial como função de uma coordenada apenas, isto é, de</p><p style="text-align: center;">\[r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]</p><p style="text-align: justify;">Considere-se, portanto, a lei de transformação para coordenadas esféricas,</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=r\sin\theta\cos\varphi\\ y=r\sin\theta\sin\varphi\\ z=r\cos\theta\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Neste novo sistema de coordenadas tem-se</p><p style="text-align: center;">\[\nabla^2_{\vec{r}}\psi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}\]</p><p style="text-align: justify;">Quando escrita neste sistema de coordenadas, a equação é separável. Faz-se, portanto,</p><p style="text-align: center;">\[\psi(r,\theta,\varphi)=\psi_r(r)\psi_{\theta\varphi}(\theta,\varphi)\]</p><p style="text-align: justify;">e substitui-se na equação correspondente, considerando-a escrita nas coordenadas esféricas. Daqui resulta o sistema de equações</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\psi_r}{dr}\right)+\left(\frac{2\mu}{\hbar^2}\mathcal{E}r^2+\frac{2\mu}{\hbar^2}\frac{e^2r}{4\pi\varepsilon_0}-\lambda\right)\psi_r=0\\ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\psi_{\theta\varphi}}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\psi_{\theta\varphi}}{\partial\varphi^2}+\lambda\psi_{\theta\varphi}=0\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Considera-se agora \(\psi_{\theta\varphi}(\theta,\varphi)=\psi_\theta(\theta)\psi_\varphi(\varphi)\) para separar a segunda equação. O mesmo princípio conduz finalmente às equações diferenciais</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\psi_r}{dr}\right)+\left(\frac{2\mu}{\hbar^2}\mathcal{E}r^2+\frac{2\mu}{\hbar^2}\frac{e^2r}{4\pi\varepsilon_0}-\lambda\right)\psi_r=0\\ \frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\psi_\theta}{d\theta}\right)+\left(\lambda\sin\theta-\frac{m^2}{\sin\theta}\right)\psi_\theta=0\\ \frac{d^2\psi_\varphi}{d\varphi^2}+m^2\psi_\varphi=0\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">O parâmetro \(m^2\) foi escolhido de modo a que a última equação diferencial proporcione soluções limitadas quando \(\varphi\to\infty\). A solução geral dessa equação vem dada por</p><p style="text-align: center;">\[\psi_\varphi=Ae^{im\varphi}+Be^{-im\varphi}\]</p><p style="text-align: justify;">Um outro requisito para que a equação de onda seja aceitável para a descrição de um sistema físico é de que seja uma função contínua e injectiva. Neste caso, serão apenas válidas as soluções que satisfaçam a condição \(\psi_\varphi(\varphi+2\pi)=\psi_\varphi(\varphi)\). Tal só é possível se \(m\) assumir um valor inteiro, isto é, \(m=0,\pm 1, \pm 2, \cdots\). Considere-se agora a segunda equação, nomeadamente,</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\psi_\theta}{d\theta}\right)+\left(\lambda\sin\theta-\frac{m^2}{\sin\theta}\right)\psi_\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">Faz-se \(x=\cos\theta\) na equação anterior, ficando</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dx}\left(\left(1-x^2\right)\frac{d\psi_\theta}{dx}\right)+\left(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2}\right)\psi_\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">A solução é obtida no intervalo \(\lbrack -1,1\rbrack\), substituindo a função \(\psi_\theta\) por uma série de potências e determinando os respectivos coeficientes. Mostra-se, desse modo, que as soluções particulares se podem escrever de várias formas por intermédio de funções hipergeométricas. A análise da sua convergência permite concluir que, de entre as soluções particulares, apenas aquelas que são dadas por polinómios são limitadas nesse intervalo, isto é, aquelas cuas séries de potências possuem um número finito de termos e os valores próprios correspondentes são da forma</p><p style="text-align: center;">\[\lambda=l(l+1)\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(l\) é um número inteiro, desde que \(-l\le m\le l\). Denota-se cada uma das soluções correspondentes por \(P_{l,m}(x)\). De seguida, apresentam-se as propriedades destas funções que terão utilidade no que se segue. As respectivas demonstrações e um estudo mais detalhado poderão ser encontradas em qualquer texto sobre harmónicos esféricos.</p><p style="text-align: justify;">Os harmónicos esféricos podem ser determinados por intermédio das seguintes relações de recorrência.</p><p style="text-align: center;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}P_{l,0}=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left(x^2-1\right)^l\\ P_{l,m}=\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_{l,0}\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Um resultado importante na teoria dos harmónicos esféricos permite indicar a sua ortogonalidade e é dado por</p><p style="text-align: center;">\[\int_{-1}^1{P_{l,m}(x)P_{l',m'}(x)}=\left\lbrace\begin{array}{ll}0, & l\ne l'\\ \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}, & l=l'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">O método da separação, quando aplicado à equação</p><p style="text-align: center;">\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\psi_{\theta\varphi}}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\psi_{\theta\varphi}}{\partial\varphi^2}+\lambda\psi_{\theta\varphi}=0\]</p><p style="text-align: justify;">conduz a soluções da forma</p><p style="text-align: center;">\[Y_{l,m}(\theta,\varphi)=P_{l,\vert m\vert}\left(\cos\theta\right)e^{im\varphi}\]</p><p style="text-align: justify;">notando que \(m\) é inteiro e \(-l\le m\le l\). As funções recebem a designação de harmónicos esféricos e satisfazem a propriedade ortogonal dada por</p><p style="text-align: justify;">\[\int_0^{2\pi}\int_{0}^\pi{Y_{l,m}(\theta,\varphi)Y_{l',m'}(\theta,\varphi)\sin\theta d\theta d\varphi}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & l=l'\land m=m'\\ 0, & l\ne l'\lor m\ne m'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Resta, portanto, determinar a solução da equação diferencial em \(r\),</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\psi_r}{dr}\right)+\left(\frac{2\mu}{\hbar^2}\mathcal{E}r^2+\frac{2\mu}{\hbar^2}\frac{e^2r}{4\pi\varepsilon_0}-l(l+1)\right)\psi_r=0\]</p><p style="text-align: justify;">Faz-se aqui</p><p style="text-align: center;">\[\mathcal{E}=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2\left(4\pi\varepsilon_0\rho\right)^2}\]</p><p style="text-align: justify;">e introduz-se a variável</p><p style="text-align: center;">\[r=\frac{4\pi\varepsilon_0\rho\hbar^2}{2\mu e^2}x\]</p><p style="text-align: justify;">A equação anterior fica reduzida a</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d}{dx}\left(x^2\frac{d\psi_r}{dx}\right)+\left(-\frac{1}{4}x^2+\rho x-l(l+1)\right)\psi_r=0\]</p><p style="text-align: justify;">Aplica-se a substituição \(\psi_r=w(x)e^{-x/2}\) vindo, para \(w(x)\), a equação diferencial</p><p style="text-align: center;">\[\frac{d^2w}{dx^2}+\left(\frac{2}{x}-1\right)\frac{dw}{dx}+\left(\frac{\rho-1}{x}-\frac{l(l+1)}{x^2}\right)w=0\]</p><p style="text-align: justify;">Tal como acima, esta equação resolve-se com o auxílio do método das séries de potências. As únicas soluções da equação anterior são aquelas cujas séries se reduzem a funções polinomiais. Tal acontece apenas quando se verifica a identidade \(\rho=\nu+l+1\) onde \(\nu\) é um número inteiro positivo. As soluções polinomiais assim definidas são denotadas por</p><p style="text-align: center;">\[w(x)=x^lL_\nu^{2l+1}(x)\]</p><p style="text-align: justify;">Não é difícil verificar que \(L_\nu^{2l+1}(x)\) satisfaz a equação diferencial</p><p style="text-align: center;">\[x\frac{d^2 u}{dx^2}+\left(2l+2-x\right)\frac{du}{dx}+\nu u=0\]</p><p style="text-align: justify;">As soluções elementares da equação radial<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: Times New Roman; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">, sendo \(A\) uma constante,</span> são dadas por</p><p style="text-align: center;">\[g_{l,\nu}(x)=Ax^le^{-x/2}L_\nu^{2l+1}(x)\]</p><p style="text-align: justify;">Os polinómios \(L_\nu^{2l+1}(x)\) obtêm-se com base na seguinte identidade</p><p style="text-align: center;">\[L_\nu^{2l+1}(x)=\frac{e^x x^{-(2l+1)}}{\nu!}\frac{d^\nu}{dx^\nu}\left(e^{-x}x^{\nu+2l+1}\right)\]</p><p style="text-align: justify;">e satisfazem a seguinte relação de ortogonalidade</p><p style="text-align: center;">\[\int_0^\infty{x^{2l+2}e^{-x}L_\nu^{2l+1}(x)L_{\nu'}^{2l+1}(x)dx}=\left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{(2l+1+\nu)!}{\nu!}(2\nu+2l+2), & \nu=\nu'\\ 0, & \nu\ne\nu'\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">Ao invés do inteiro positivo \(\nu\), considera-se o número quântico \(n=\nu+l+1\). A função radical escreve-se como</p><p style="text-align: center;">\[R_{n,l}(r)=\sqrt{\frac{(n+l)!}{2n(n-l-1)!}\left(\frac{2}{a_0n}\right)^3}\left(\frac{2r}{a_0n}\right)^le^{-\frac{r}{a_0n}}L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}{a_0n}\right)\]</p>onde<p style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: Times New Roman; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: left; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">\[a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu e^2}\]</span></p><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><p style="text-align: justify;">A função assim definida satisfaz a condição de ortogonalização</p><p style="text-align: center;">\[\int_0^\infty{r^2R_{n,l}(r)R_{n',l'}(r)dr=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & n=n'\\ 0, & n\ne n'\end{array}\right.}\]</p><p style="text-align: justify;">Note-se que se tem de verificar as condições para os números quânticos</p><p style="text-align: center;">\[\begin{array}{lllll}n=1, & 2, & 3, & 4, & \cdots\\ l=0, & 1, & 2, & \cdots, & n-1\\ m=0, & \pm 1, & \pm 2, & \cdots, & \pm l\end{array}\]</p><p style="text-align: justify;">A forma geral da solução da equação de onda independente do tempo é</p><p style="text-align: center;">\[\psi(X,Y,Z,r,\theta,\varphi)=e^{i\left(\sigma_XX+\sigma_YY+\sigma_ZZ\right)}R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta\varphi)\]</p><p style="text-align: justify;">A função de onda associada ao movimento do centro de massa do átomo é habitualmente desconsiderada dado que é possível determinar a sua posição independentemente do seu estado interno.<br /></p><p style="text-align: justify;">Dado que, no estado de equilíbrio, o electrão assume um estado estacionário, a sua energia deverá variar com o número quântico \(n\) de acordo com</p><p style="text-align: center;">\[\mathcal{E}_n=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a_0n^2}\]</p><p style="text-align: justify;">A função de onda associada a este estado será dada, portanto, pela soma</p><p style="text-align: center;">\[\psi(r,\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{n-1}{R_{n,l}(r)\sum_{m=-l}^l{a_{l,m}Y_{l,m}(\theta,\varphi)}}\]</p><p style="text-align: justify;">onde os coeficientes \(a_{l,m}\) se podem determinar com o auxílio das propriedades de ortogonalidade.</p>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-22535013990281193582020-11-12T08:38:00.000+00:002020-11-12T08:38:59.628+00:00Algumas consequências do princípio das velocidades virtuais<h2 style="text-align: justify;">O princípio das velocidades virtuais</h2><p style="text-align: justify;">Há já alguns anos apresentei, em <a href="http://fisica-aborrecida.blogspot.com/2011/01/o-principio-das-velocidades-virtuais.html" target="_blank">O princípio das velocidades virtuais</a>, o princípio da alavanca e o princípio da composição do movimento como consequências do designado princípio das velocidades virtuais. Pretendo aqui expor algumas das outras mais conhecidas consequências no domínio da Estática. Na sua forma mais geral, o princípio das velocidades virtuais define-se do seguinte modo.</p><p style="text-align: justify;">Seja um sistema constituído por um ou mais corpos ou pontos, cada um sujeito a um sistema de forças e suposto em equilíbrio estático. Suponha-se que se lhe pode aplicar um movimento tal que cada ponto se desloque uma distância tão pequena quanto se queira e que representa a sua velocidade virtual. A soma do produto de cada uma das forças pela distância percorrida pelo seu ponto de aplicação ao longo da linha de acção da força aquando do movimento do sistema é nula. Consideram-se como positivas as distâncias que variam no sentido da acção da força e negativas as que variam no sentido contrário a essas mesmas acções.</p><p style="text-align: justify;">É importante salientar que as velocidades virtuais nada mais são do que deslocamentos infinitesimais. De um ponto de vista formal, se \(F_i\) forem forças que actuam sobre vários pontos de um sistema e se lhe aplicar um movimento infinitesimal, os pontos irão sofrer deslocamentos infinitesimais \(d\rho_i\) na direcção das forças \(F_i\). O princípio supracitado permite escrever</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_i{F_id\rho_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Dado que apenas quocientes entre quantidades infinitesimais fazem sentido, dividindo a equação anterior por \(dt\), duração infinitesimal do deslocamento efectuado, fica</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_i{F_iv_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">em que a velocidade virtual \(v_i\) é dada pelo quociente \(d\rho_i/dt\).</p><h2 style="text-align: justify;">Aplicação a um sistema de forças sobre um ponto</h2><p style="text-align: justify;">Uma consequência directa do princípio das velocidades virtuais é de que qualquer sistema sujeito a um sistema de forças aplicadas sobre um ponto fixo encontra-se sempre em equilíbrio. Com efeito, qualquer que seja o movimento que se aplique ao sistema, o ponto não poderá sofrer qualquer deslocamento e, consequentemente, a sua velocidade virtual será nula, anulando os produtos pelas forças respectivas.</p><p style="text-align: justify;">Considere-se agora um ponto sobre o qual actuam duas forças, \(F_1\) e \(F_2\), ao longo da mesma direcção \(\rho\) mas com sentidos contrários. Considerando um pequeno deslocamento \(d\rho\) ao longo dessa mesma direcção, o princípio das velocidades virtuais permite escrever a equação <span style="text-align: center;">\(\left(F_1-F_2\right)d\rho=0\). </span>Segue-se que o ponto encontrar-se-á em equilíbrio se \(F_1=F_2\). Caso as forças possuam o mesmo sentido, \(\left(F_1+F_2\right)d\rho\ne 0\) e o ponto não se pode encontrar em equilíbrio estático nessa situação. Suponha-se agora que a força \(F_1\) é aplicada no ponto em questão segundo a direcção e sentido do versor \(\vec{u}_1\) e a força \(F_2\) é aplicada no ponto segundo a direcção e sentido do versor \(\vec{u}_2\). Se se aplicar ao ponto um deslocamento infinitesimal \(d\rho\) na direcção e sentido de um versor arbitrário \(\vec{v}\), tem-se, para o deslocamento segundo a direcção de \(\vec{u}_1\), a quantidade \(\vec{v}\cdot\vec{u}_1d\rho\). Do mesmo modo, segundo a direcção de \(\vec{u}_2\) o deslocamento será dado por \(\vec{v}\cdot\vec{u}_2d\rho\). O princípio das velocidades virtuais formaliza-se na expressão</p><p style="text-align: justify;">\[\left(\vec{v}\cdot\vec{u}_1F_1+\vec{v}\cdot\vec{u}_2F_2\right)d\rho=0\]</p><p style="text-align: justify;">Se se fizer \(\vec{v}=\vec{u}_1\) e \(\vec{v}=\vec{u}_2\), obtêm-se as equações do sistema</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}[l]<br />\ F_1+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2F_2=0\\<br />\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2F_1+F_2=0<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">É claro que o sistema possui a solução trivial \(F_1=F_2=0\). Porém, se \(\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=-1\), então \(F_2=F_1\), que corresponde ao caso em que as duas forças se encontram segundo a mesma direcção mas com sentidos opostos. A única configuração para que um ponto sujeito a duas forças não nulas se encontre em equilíbrio é de que as forças deverão ter a mesma magnitude e estar orientadas segundo a mesma direcção mas em sentidos opostos.</p><p style="text-align: justify;">Seja \(P\) um ponto onde são aplicadas as forças com magnitudes \(F_1\), \(F_2\) e \(F_3\) segundo as direcções \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\) e \(\vec{u}_3\), respectivamente. O procedimento acima exposto conduz ao sistema de equações</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}[l]<br />\ F_1+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2F_2+\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3F_3=0\\<br />\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2F_1+F_2+\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3F_3=0\\<br />\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3F_1+\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3F_2+F_3=0<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">Se se designar por \(F\) o vector coluna com componentes \(F_1\), \(F_2\) e \(F_3\), e por \(U\) a matriz cujas colunas são definidas pelos vectores \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\) e \(\vec{u}_3\), o sistema anterior admite a forma matricial</p><p style="text-align: justify;">\[U^TUF=0\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(U^T\) é a matriz transposta de \(U\). O sistema possuirá soluções não nulas se o determinante da matriz \(U\) for igual a zero, isto é, atendendo às propriedades do determinante, se se puder escrever \(F_3\vec{u}_3=\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\). A substituição nas duas primeiras equações do sistema original resulta na equação matricial</p><p style="text-align: justify;">\[U'^TU'(F'+A)=0\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(U'\) é a matriz cujas colunas são apenas os vectores \(\vec{u}_1\) e \(\vec{u}_2\), \(F'\) é o vector coluna cujas entradas são dadas por \(F_1\) e \(F_2\) e \(A\) é o vector coluna dado por \(\alpha\) e \(\beta\). Ora, se o determinante de \(U'\) for não nulo, a solução do sistema é dada por \(\alpha=-F_1\) e \(\beta=-F_2\), advindo a condição de equilíbrio na forma</p><p style="text-align: justify;">\[F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2+F_3\vec{u}_3=0\]</p><p style="text-align: justify;">Se o determinante \(U'\) for nulo, então é satisfeita a condição \(\vec{u}_2=\pm\vec{u}_1\) e a solução anterior continua a valer para este caso.</p><p style="text-align: justify;">Por intermédio do procedimento anterior, quando considerado sobre um número arbitrário de forças \(F_i\) que são aplicadas sobre um ponto \(P\) segundo as direcções e sentidos dos versores \(\vec{u}_i\), respectivamente, o princípio das velocidades virtuais permite concluir a condição de equilíbrio</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_i{F_i\vec{u}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">O ponto \(P\) encontra-se em equilíbrio se a resultante das forças que lhe são aplicadas for nula. Uma forma simples de mostrá-lo baseia-se na seguinte observação. Suponha-se que um sistema esteja em equilíbrio por estar sujeito a um conjunto de forças \(F_i\) definidas segundo as direcções dos versores \(\vec{u}_i\) e a um conjunto de forças \(G_j\) segundo as direcções dos versores \(\vec{v}_j\). O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se, após aplicar um deslocamento infinitesimal ao sistema,</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_i{F_id\rho_i}+\sum_j{G_jd\sigma_j}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se ainda que o sistema se encontra em equilíbrio após a aplicação das forças \(G_j\) segundo as direcções \(\vec{v}_j\) e uma força \(H\) segundo a direcção do versor \(\vec{w}\). Então, do princípio das velocidades virtuais vem</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_j{G_jd\sigma_j}=-Hd\eta\]</p><p style="text-align: justify;">A substituição na condição anterior resulta em</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_i{F_id\rho_i}-Hd\eta=0\]</p><p style="text-align: justify;">Segue-se que o sistema constituído pelo conjunto de forças \(F_i\) aplicadas segundo as direcções dos versores \(\vec{u}_i\) e a força \(H\) aplicada segundo o versor \(-\vec{w}\) mantém o sistema em equilíbrio. Pode-se afirmar que, no caso do equilíbrio, as forças \(G_j\) segundo as direcções \(\vec{v}_j\) são equivalentes à força \(H\) segundo a direcção do versor \(-\vec{w}\).</p><p style="text-align: justify;">A demonstração segue facilmente daqui por intermédio de um argumento de indução. Com efeito, mostrou-se já que as forças \(F_1\), segundo o versor \(\vec{u}_1\), e \(F_2\), segundo o versor \(\vec{u}_2\) são equivalentes à força</p><p style="text-align: justify;">\[R=\left\|F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2\right\|\]</p><p style="text-align: justify;">aplicada segundo o versor</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{v}=-\frac{F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2}{\left\|F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2\right\|}\]</p><p style="text-align: justify;">já que, neste caso, se tem, no equilíbrio,</p><p style="text-align: justify;"> \[F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2=-F\vec{v}\]</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se, por hipótese de indução, que o conjunto das \(n-2\) forças \(F_i\) segundo as direcções dos versores \(\vec{u}_i\) são equivalentes à força \(R\) dada por</p><p style="text-align: justify;">\[R=\left\|\sum_{i=1}^{n-2}{F_i\vec{u}_i}\right\|\]</p><p style="text-align: justify;">segundo o versor</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{v}=-\frac{1}{\left\|\sum_{i=1}^{n-2}{F_i\vec{u}_i}\right\|}\sum_{i=1}^{n-2}{F_i\vec{u}_i}\]</p><p style="text-align: justify;">Então se o sistema de \(n\) forças \(F_i\) segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_i\) se encontra em equilíbrio, tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[-Rd\sigma+F_{n-1}d\rho_{n-1}+F_nd\rho_n=0\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(d\sigma\) corresponde ao deslocamento virutal na direcção do versor \(\vec{v}\). Mostrou-se atrás que o sistema anterior se encontrar em equilíbrio se</p><p style="text-align: justify;">\[-R\vec{v}+F_{n-1}\vec{u}_{n-1}+F_n\vec{u}_n=0\]</p><p style="text-align: justify;">isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i\vec{u}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">de onde se segue que o sistema das \(n-1\) forças \(F_i\) aplicadas segundo os versores \(\vec{u}_i\) é equivalente à força</p><p style="text-align: justify;">\[F_n=\left\|\sum_{i=1}^{n-2}{F_i\vec{u}_i}\right\|\]</p><p style="text-align: justify;">segundo a direcção do versor</p><p style="text-align: justify;">\[-\frac{1}{\left\|\sum_{i=1}^{n-1}{F_i\vec{u}_i}\right\|}\sum_{i=1}^{n-1}{F_i\vec{u}_i}\]</p><p style="text-align: justify;">como se pretendia mostrar.</p><h2 style="text-align: justify;">Aplicação às alavancas</h2><p style="text-align: justify;">Considere-se uma alavanca composta por uma barra rígida com extremidades \(A\) e \(B\) que pode rodar livremente em torno do ponto fulcral \(P\), considerado na origem do referencial, de tal modo que as extremidades distem de \(P\) em distâncias dadas respectivamente por \(r_A\) e \(r_B\). Suponha-se que o segmento \(AB\) faz um ângulo \(\theta\) com o eixo das abcissas e sejam considerados dois pesos, \(P_A\) em \(A\) e \(P_B\) em \(B\) dirigidos segundo a vertical que terá a mesma direcção do eixo das ordenadas mas sentido contrário ao da sua progressão. Pretende-se determinar quais as magnitudes de \(P_A\) e \(P_B\) de modo a que o sistema se encontre em equilíbrio.</p><p style="text-align: justify;">Ora, sendo \(\vec{j}\) o versor que toma a direcção e sentido do eixo das ordenadas, ambos os pesos tomam a direcção do versor \(-\vec{j}\). O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se</p><p style="text-align: justify;">\[P_Ad\rho_A+P_Bd\rho_B=0\]</p><p style="text-align: justify;">Dado que \(P\) é fixo, apenas um movimento de rotação pode ser aplicado sobre o sistema. Se se aplicar uma rotação \(d\theta\) no sentido directo, o ponto \(A\) delocar-se-á, no sentido do versor \(\vec{u}=\left(\sin\theta,-\cos\theta\right)\) em uma distância infinitesimal igual a \(r_Ad\theta\). Por seu turno, o ponto \(B\) deslocar-se-á uma distância infinitesimal \(r_Bd\theta\) segundo o versor \(-\vec{u}\). O movimento do ponto \(A\) segundo a direcção do peso em \(A\) é \(d\rho_A=-\vec{j}\cdot\vec{u}r_Ad\theta\). Por seu turno, \(d\rho_B=\vec{j}\cdot\vec{u}r_Bd\theta\). O princípio dos trabalhos virtuais adquire a forma</p><p style="text-align: justify;">\[\left(P_Br_B-P_Ar_A\right)\cos\theta d\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">Como \(d\theta\ne 0\), tem-se a condição de equilíbrio \(P_Br_B=P_Ar_A\) quando \(\cos\theta\ne0\). Se \(\cos\theta=0\), o equilíbrio é verificado independentemente dos pesos que sejam aplicados nas extremidades da alavanca. Do ponto de vista físico, trata-se da configuração em que a alavanca se encontra totalmente na vertical e as linhas de força de ambos os pesos passam pelo ponto fulcral.</p><p style="text-align: justify;">O método utilizado na determinação das condições de equilíbrio da alavanca requereu o resultado geométrico de que a rotação de um ponto em um ângulo \(d\theta\) em torno de um ponto central é efectuado ao longo da direcção perpendicular ao raio vector definido pelo ponto e o centro de rotação. Além disso, quando o ponto \(A\) se desloca segundo uma direcção, o ponto \(B\) desloca-se na mesma direcção mas em sentido contrário.</p><p style="text-align: justify;">De modo a resolver o problema do movimento de uma forma analítica, pode-se considerar que a posição da alavanca é definida pelo múltiplo ordenado \(\left(x_A,y_A,x_B,y_B\right)\) constituído pelas coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\). De modo a simplificar a notação, considera-se que a posição da alavanca é determinada pelo par de vectores de posição \(\left(\vec{r}_A,\vec{r}_B\right)\) associadas àqueles pontos. O movimento dos pontos não poderá ser inteiramente livre dado que as distâncias entre ambos e as suas distâncias ao ponto fulcral \(P\) deverão ser constantes. As restrições podem ser descritas pelas equações</p><p style="text-align: justify;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\vec{r}_A\cdot\vec{r}_A=r_A^2\\<br />\vec{r}_B\cdot\vec{r}_B=r_B^2\\<br />\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)\cdot\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)=\left(r_A+r_B\right)^2<br />\end{array}\right.\]</p><p style="text-align: justify;">A combinação da última equação com as duas primeiras permite substituí-la pela condição</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{\vec{r}_A\cdot\vec{r}_B}{r_Ar_B}=-1\]</p><p style="text-align: justify;">que indica que os vectores posição possuem a mesma direcção mas sentidos opostos. Se se considerarem coordenadas polares, isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />x_A=r_A\cos\theta_A\\<br />y_A=r_A\sin\theta_A\\<br />x_B=r_B\cos\theta_B\\<br />y_B=r_B\sin\theta_B<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">As duas primeiras condições permitem concluir que \(r_A\) e \(r_B\) são constantes. A terceira condição permite escrever \(\theta_A=\theta_B+(2k+1)\pi\) onde \(k\) é um número inteiro arbitrário. Se se fizer \(\theta=\theta_B\), tem-se, para a configuração da alavanca,</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />x_A=-r_A\cos\theta\\<br />y_A=-r_A\sin\theta\\<br />x_B=r_B\cos\theta\\<br />y_B=r_B\sin\theta<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">Os princípios do cálculo diferencial são assim suficientes para justificar a intuição física utilizada acima na determinação da condição de equilíbrio da alavanca, já que</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />d\rho_A=-\vec{j}\cdot\frac{d\vec{r}_A}{d\theta}\\<br />d\rho_B=-\vec{j}\cdot\frac{d\vec{r}_B}{d\theta}<br />\end{array}\right.<br />\]</p><h2 style="text-align: justify;">Consideração de coordenadas</h2><p style="text-align: justify;">O princípio dos trabalhos virtuais de um sistema de \(n\) pontos situados nas posições \(\vec{r}_i\) sobre os quais actual forças \(F_{ij}\) segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_{ij}\) adquire a forma analítica</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i,j}{F_{ij}\vec{u}_{ij}\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Note-se que se o sistema for sujeito a determinadas restrições, irão ser verificadas várias condições do tipo \(f_i\left(\vec{r}_1,\cdots,\vec{r}_n\right)=0\), de tal forma que os diferenciais não sejam todos independentes.</p><p style="text-align: justify;">Supondo, por exemplo, que o sistema sofre um pequeno movimento na direcção positiva do eixo das abcissas. Tem-se, neste caso,</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i,j}{F_{ij}\vec{u}_i\cdot\vec{i}dx_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\vec{i}\) é o versor que toma a direcção e sentido do eixo das abcissas. Ora, do mesmo modo se tem</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\sum_{i,j}{F_{ij}\vec{u}_i\cdot\vec{j}dy_i}=0\\<br />\sum_{i,j}{F_{ij}\vec{u}_i\cdot\vec{k}dz_i}=0<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">em que \(\vec{j}\) e \(\vec{k}\) são, respectivamente, os vectores que assumem a direcção e sentido dos eixos das ordenadas e das cotas. Se se definir \(\vec{F}_{ij}=F_{ij}\vec{u}_{ij}\), vectores que representam a direcção, sentido e magnitude das forças, as três relações anteriores resumem-se à equação</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i}{\left(\sum_j{\vec{F}_{ij}}\right)\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">no caso em que os diferenciais \(dx_i\), \(dy_i\) e \(dz_i\) são todos independentes entre si. Torna-se claro, a partir das expressões que a substituição de todas as forças aplicadas ao mesmo ponto \(\vec{r}_i\) é equivalente à aplicação de uma força resultante</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{R}_i=\sum_j{\vec{F}_{ij}}\]</p><p style="text-align: justify;">sobre esse mesmo ponto, não importam quais as restrições que se verifiquem.</p><p style="text-align: justify;">Considere-se de novo a alavanca com fulcro em \(P\), considerado na origem, e cargas \(P_A\) e \(P_B\) nos pontos \(A\) e \(B\) às distâncias respectivas de \(r_A\) e \(r_B\). A expressão analítica para este caso escreve-se</p><p style="text-align: justify;">\[P_B\vec{j}\cdot\frac{d\vec{r}_B}{d\theta_B}d\theta_B+P_A\vec{j}\cdot\frac{d\vec{r}_A}{d\theta_A}d\theta_A=0\]</p><p style="text-align: justify;">Note-se que as duas primeiras restrições do problema da alvanca implicam a constância de \(r_A\) e \(r_B\). Mas, porque</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\frac{d\vec{r}_B}{d\theta_B}=r_B\left(\sin\theta_B,-\cos\theta_B\right)\\<br />\frac{d\vec{r}_A}{d\theta_A}=r_A\left(\sin\theta_A,-\cos\theta_A\right)<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">e atendendo a que, por intermédio da terceira condição, \(\theta_A=\theta_B+k\pi\), vem finalmente</p><p style="text-align: justify;">\[\left(P_Br_B-P_Ar_A\right)\cos\theta d\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">Trata-se da condição de equilíbrio obtida apenas com considerações analíticas.</p><h2 style="text-align: justify;">Prevenção de translação e rotação</h2><p style="text-align: justify;">Seja novamente o sistema de \(n\) pontos situados nas posições \(\vec{r}_i\), sobre os quais actuam as resultantes \(F_i\) segundo os versores \(\vec{u}_i\). O movimento a que o sistema pode ser submetido pode ser decomposto num movimento de translação e num movimento de rotação comuns a todos os pontos e a um movimento relativo entre esses pontos. Suponha-se que o movimento relativo entre os pontos se encontra prevenido por um conjunto de restrições ou sistema de forças desconhecido.</p><p style="text-align: justify;">Considera-se o deslocamento virtual permitido, aplicado simultaneamente sobre todos os pontos, descrito pelo vector de magnitude \(d\vec{r}_i=\vec{v}dt\). A consideração do princípio das velocidades virtuais conduz a</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{v}\cdot\sum_{i=1}^n{F_i}\vec{u}_i=0\]</p><p style="text-align: justify;">Mostrou-se acima que, dado que \(\vec{v}\) pode ser arbitrário, o princípio das velocidades virtuais proporciona a condição de equilíbrio</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i}\vec{u}_i=0\]</p><p style="text-align: justify;">Se um sistema de \(n\) pontos equidistantes se encontra em equilíbrio, a resultante das forças deverá ser nula.</p><p style="text-align: justify;">Considera-se agora o movimento de rotação de um ângulo \(d\theta\) em torno do ponto \(\vec{\rho}\) e perpendicular ao eixo normal indicado pelo versor \(\vec{n}\). Tal movimento, se definido por \(\vec{r}(t)\) terá de satisfazer as restrições</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\vec{r}\cdot\vec{n}=0\\<br />\vec{r}^2=const<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">de onde se seguem as condições</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\vec{n}=0\\<br />\vec{r}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=0<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">Segue-se que \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) é simultaneamente perpendicular a \(\vec{r}\) e \(\vec{n}\) e pode ser dado por</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\alpha\vec{n}\times\vec{r}\]</p><p style="text-align: justify;">O parâmetro \(\theta\) é escolhido de tal forma que \(\alpha=1\) e, portanto,</p><p style="text-align: justify;">\[\frac{d\vec{r}}{d\theta}=\vec{n}\times\vec{r}\]</p><p style="text-align: justify;">O princípio dos trabalhos virtuais, quando é considerada uma rotação infinitesiamal, fica</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i\vec{u}_i\cdot\vec{n}\times\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}d\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">ou, atendendo às propriedades do produto misto,</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{n}\cdot\sum_{i=1}^n{F_i\vec{u}_i\times\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}d\theta=0\]</p><p style="text-align: justify;">Como o sistema pode rodar em torno de uma normal arbitrária, tem-se finalmente</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i\vec{u}_i\times\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}=0\]</p><p style="text-align: justify;">De um modo geral, se o sistema se encontrar em equilíbrio, a soma dos momentos das forças \(F_i\) calculados em relação a um ponto escolhido arbitrariamente é nulo. Ora, se as forças forem paralelas, e alinhadas com a direcção \(\vec{u}\), então</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{u}\times\sum_{i=1}^n{F_i\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}=0\]</p><p style="text-align: justify;">e o sistema encontra-se em equilíbrio, relativamente ao movimento de rotação, se</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}=\alpha\vec{u}\]</p><p style="text-align: justify;">No caso da gravidade, \(F_i=-m_ig\vec{j}\), tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{m_i\left(\vec{r}_i-\vec{\rho}\right)}=\alpha\vec{j}\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\alpha\) condensa o sinal e o factor de aceleração \(g\), isto é,</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{\rho}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}+\alpha\vec{j}\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(M=\sum_{i=1}^n{m_i}\) e \(\alpha\) é um número arbitrário. Conclui-se que o sistema não pode rodar em torno do ponto \(\vec{\rho}\) se este se encontrar na linha vertical que contém o centro de massa.</p><h2 style="text-align: justify;">O princípio das velocidades virtuais como problema de extremos</h2><p style="text-align: justify;">Voltando à forma analítica do princípio das velocidades virtuais para um sistema de \(n\) pontos nas posições \(\vec{r}_i\) sujeitos às resultantes \(F_i\) segundo as direcções e sentidos dos versores \(\vec{u}_i\),</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{F_i\vec{u}_i\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">O vector \(d\vec{r}_i\) é tangente à curva definida pelo ponto \(i\) durante o movimento virtual aplicado ao sistema. Designando por \(\vec{F}_i\) o vector \(F_i\vec{u}_i\), tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\vec{F}_i\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Suponha-se que as forças \(\vec{F}_i\) são conservativas, isto é, existe uma função \(\varphi\) tal que</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{F}_i=\vec{\nabla}_i\varphi\]</p><p style="text-align: justify;">onde \(\vec{\nabla}_i\) é o grandiente tomado relativamente às variáveis \(x_i\). \(y_i\) e \(z_i\). A relação para o equilíbrio pode-se escrever na forma</p><p style="text-align: justify;">\[d\varphi=0\]</p><p style="text-align: justify;">que corresponde ao problema da determinação dos extremos da função \(\varphi\).</p><p style="text-align: justify;">Por exemplo, se nas posições \(\vec{r}_i\) se encontrarem corpos de massa \(m_i\) sujeitos à força gravítica, tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[\varphi=-g\sum_{i=1}^n{m_iy_i}\]</p><p style="text-align: justify;">O sistema de corpos encontrar-se-á em equilíbrio caso a altura \(y\) do centro de massa seja um extremo.</p><p style="text-align: justify;">Resta determinar se o princípio dos extremos continua a valer no caso da existência de restrições. Ora, se o sistema se encontrar sujeito às \(m\) restrições dadas pelas condições</p><p style="text-align: justify;">\[g_j\left(\vec{r}_1,\cdots,\vec{r}_n\right)=0\]</p><p style="text-align: justify;">os respectivos diferenciais irão satisfazer as equações</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\vec{\nabla}_ig_j\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">A forma analítica do princípio dos trabalhos virtuais é da forma</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\vec{F}_i\cdot d\vec{r}_i}=0\]</p><p style="text-align: justify;">O sistema é equivalente a</p><p style="text-align: justify;">\[\sum_{i=1}^n{\vec{F}_i\cdot d\vec{r}_i}+\sum_{j=1}^m{\lambda_j\sum_{i=1}^n{\vec{\nabla}_ig_jd\vec{r}_i}}=0\]</p><p style="text-align: justify;">quaisquer que sejam os valores escolhidos para \(\lambda_j\) uma vez que qualquer movimento virtual permitido pelas restrições mantém a segunda soma nula. Se se desconsiderarem as restrições, o sistema ficará em equilíbrio para valores específicos dos \(\lambda_j\). O procedimento é equivalente ao da determinação dos extremos com o auxílio do método dos multiplicadores. Os valores</p><p style="text-align: justify;">\[\lambda_j\left\|\vec{\nabla}_ig_j\right\|\]</p><p style="text-align: justify;">proporcionam as forças de ligação que actuam no ponto situado na posição dada por \(\vec{r}_i\).</p><p style="text-align: justify;">De modo a ilustrar o que fora atrás exposto, considera-se um sistema constituído por dois pontos situados nas posições \(\vec{r}_1\) e \(\vec{r}_2\). Um dos pontos encontra-se sujeito à força \(F_1\) segundo a direcção do versor \(\vec{u}\) e o outro encontra-se sob a acção da força \(F_2\) segundo a direcção de \(-\vec{u}\). Supondo que os dois pontos se encontram de tal forma ligados que a distância entre si não varia, pretende-se determinar a condição de equilíbrio.</p><p style="text-align: justify;">Dado que o sistema constituído por dois pontos livres necessita de quatro variáveis para ser descrito, quando sujeito a uma restrição, o seu estado passará a ser descrito por três variáveis. É, portanto, necessário considerar três movimentos virtuais de modo a obter a condição de equilíbrio a partir do princípio dos trabalhos virtuais. Considera-se, para o efeito, a translação de ambos os pontos na direcção por eles definida, uma rotação infinitesimal em torno do primeiro ponto e uma rotação infinitesimal em torno do segundo.</p><p style="text-align: justify;">Seja</p><p style="text-align: justify;">\[d\vec{r}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{\left\|\vec{r}_2-\vec{r}_1\right\|}d\rho\]</p><p style="text-align: justify;">o deslocamento virtual na direcção definida pelos dois pontos. O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se, para este caso,</p><p style="text-align: justify;">\[\left(F_1-F_2\right)\vec{u}\cdot\left(\vec{r}_1-\vec{r}_1\right)d\rho=0\]</p><p style="text-align: justify;">O sistema encontra-se prevenido de se mover ao longo da direcção definida pelos dois pontos se \(F_1=F_2\) ou a direcção de aplicação das forças é perpendicular à direcção do movimento e estas constituem um binário. Por seu turno, considerando uma rotação infinitesimal do primeiro ponto em torno do segundo tem-se</p><p style="text-align: justify;">\[F_1\vec{u}\cdot d\vec{r}=0\]</p><p style="text-align: justify;">Dado que \(F_1\ne 0\), o primeiro ponto do sistema encontra-se prevenido de rodar em torno do segundo ponto se a linha de acção da força for perpendicular à direcção de rotação, isto é, se for paralela à direcção definida por ambos os pontos. O mesmo se passa quando se considera uma rotação infinitesimal do segundo ponto em torno do primeiro, mostrando que o sistema se encontra em equilíbrio se \(\vec{u}\) for colinear com \(\vec{r}_2-\vec{r}_1\).</p><p style="text-align: justify;">Aplique-se agora o princípio dos trabalhos virtuais, considerando a ideia dos multiplicadores. A restrição é definida por </p><p style="text-align: justify;">\[\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}-\delta=0\]</p><p style="text-align: justify;">cujos gradientes são dados por</p><p style="text-align: justify;">\[<br />\left\lbrace\begin{array}{l}<br />\vec{\nabla}_1g=-\frac{1}{\delta}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\\<br />\vec{\nabla}_2g=\frac{1}{\delta}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)<br />\end{array}\right.<br />\]</p><p style="text-align: justify;">O princípio das velocidades virtuais escreve-se, neste caso, como</p><p style="text-align: justify;">\[\left(F_1\vec{u}-\lambda\frac{1}{\delta}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\right)\cdot d\vec{r}_1+\left(\lambda\frac{1}{\delta}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)-F_2\vec{u}\right)\cdot d\vec{r}_2=0\]</p><p style="text-align: justify;">Neste caso, qualquer movimento arbitrário pode ser aplicado ao sistema. Se se considerar apenas uma translação arbitrária do primeiro ponto, como foi acima mostrado, o equilíbrio poderá apenas ser atingido se</p><p style="text-align: justify;">\[\vec{u}=\pm\frac{1}{\delta}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\]</p><p style="text-align: justify;">e \(\lambda=\pm F_1\). A aplicação do movimento arbitrário ao segundo ponto permite concluir o mesmo relativamente à sua direcção e sentido, bem como \(F_2=\pm\lambda\) e, portanto, \(F_1=F_2\) como se tinha já determinado. O parâmetro \(\lambda\) consiste na força de ligação que anula a resultante das forças aplicadas em cada um dos pontos e deverá ser a mesma em ambos mas com sentidos opostos. Trata-se, com efeito, do princípio da acção-reacção.</p><h2 style="text-align: justify;">Notas</h2><p style="text-align: justify;">O princípio das velocidades virtuais permite eliminar da consideração as forças de ligação. Se se pretender determinar alguma delas, é suficiente considerar o multiplicador associado às respectivas restrições. O princípio permite determinar o equilíbrio de forças no caso das roldanas fixas e móveis, nos casos dos eixos e plano inclinado. Este é o princípio que se pode considerar mais geral quando estendido ao caso de problemas em Dinâmica.</p>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-6607677427236053112020-07-01T15:26:00.000+01:002020-07-01T15:26:22.418+01:00Paralaxe<div style="text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Os
sistemas de coordenadas são considerados relativamente ao centro da Terra.
Porém, as medições são apenas possíveis à sua superfície. A aproximação do
horizonte por um plano paralelo sobre o centro é apenas válida no caso de estrelas
muito distantes. Alguns dos astros, a Lua em particular, estão suficientemente
próximos da Terra para que o erro cometido na aproximação não seja
negligenciável.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqv97-Fu4ilIAkSPQMMcDEaqGAqNoN96evUI9cyTEhpQemCuRA8uvjZttVHaLbgvRLyR9H8N2x2VQtyRhofQRo9_-AVhbcZ5vTfplvM9AJlbDMxaq4bNqqYv5vMNi9p7070TcBJsCxplaK/s692/esfera+celeste+paralaxe+3.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="658" data-original-width="692" height="194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqv97-Fu4ilIAkSPQMMcDEaqGAqNoN96evUI9cyTEhpQemCuRA8uvjZttVHaLbgvRLyR9H8N2x2VQtyRhofQRo9_-AVhbcZ5vTfplvM9AJlbDMxaq4bNqqYv5vMNi9p7070TcBJsCxplaK/w205-h194/esfera+celeste+paralaxe+3.bmp" width="205" /></a></div><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><div style="text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Seja \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o ponto à
superfície onde é realizada a medição, \(Z\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o zénite, \(C\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o centro, \(H\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o ponto onde a
estrela cruza o horizonte à altura zero e \(I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 4.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>um ponto
genérico onde a estrela se pode encontrar num outro instante. Como \(ZAI+IAC=\pi\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 70.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>por se tratar
de ângulos suplementares e</span></div><div style="text-align: center;">\[AIC+ICA+CAI=\pi\]</div><div style="text-align: justify;">segue-se que\(AIC=ZAI-CAI\). <span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">O erro cometido por paralaxe é dado pelo ângulo \(AIC\). <span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Do mesmo modo,</span></span></div><div style="text-align: center;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">\[AHC=ZAH-CAH=\frac{\pi}{2}-CAH\]</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">De modo a simplificar a notação, denota-se por \(\zeta_I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(\zeta_H\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 11.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>os ângulos \(ZAI\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 18pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(ZAH\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 22pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>respectivamente, isto é, as distâncias ao
zénite das posições dadas por \(I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 4.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(H\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>medidas à
superfície. Denota-se por \(\sigma_I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 9.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(\sigma_H\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>os ângulos de
paralaxe \(AIC\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 18pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(AHC\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 22pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. <span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Da lei dos senos aplicada ao triângulo \(AIC\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 18pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>obtém-se</span></span><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike></div><div style="text-align: center;">\[\frac{\sin\left(\pi-\zeta_I\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_I}{AC}\]</div><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><div style="text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Do mesmo modo, também vale a identidade</span></div><div style="text-align: center;">\[\frac{\sin\left(\pi-\zeta_H\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_H}{AC}\]</div><div style="text-align: justify;">Segue-se daqui que</div><div style="text-align: center;">\[\frac{\sin\sigma_H}{\sin\zeta_H}=\frac{\sin\sigma_I}{\sin\zeta_I}\]</div><div style="text-align: justify;">Como \(\zeta_H=\pi/2\), tem-se</div><div style="text-align: center;">\[\sin\sigma_I=\sin\zeta_I\sin\sigma_H\]</div><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Assim, sendo conhecida a paralaxe horizontal \(\sigma_H\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 12.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e a distância
ao zénite \(\zeta_I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>do astro medida
à superfície, calcula-se o erro de paralaxe \(\sigma_I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 9.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>cometido. É
interessante observar que, sendo \(R\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o raio da Terra
e \(D\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>a distância ao
astro, se tem</span><div style="text-align: center;">\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]</div><div style="text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Resta, portanto, medir o valor da paralaxe horizontal.
Para o efeito, sejam realizadas medições da distância ao zénite de um mesmo
astro no ponto \(I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 4.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>em duas
localizações \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(A'\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>situadas no
mesmo meridiano afastados entre si de um ângulo de latitude igual a \(\varphi\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">.</span></div><div style="text-align: justify;"><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefsTznb4fnR1Z0spU4z6yKNrZz4Q4cXvuNLOq-BPxY_YtdPw1PA-f-rjr0cWmYR0Kxw-im3NlYlICP8EqaxpZyYChzRvBx3ehnToegZTi7W8cJ4PNo-Cthuo87I6BCcpSDAKB-NfJR1Dr/s682/esfera+celeste+paralaxe+1.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="660" data-original-width="682" height="198" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefsTznb4fnR1Z0spU4z6yKNrZz4Q4cXvuNLOq-BPxY_YtdPw1PA-f-rjr0cWmYR0Kxw-im3NlYlICP8EqaxpZyYChzRvBx3ehnToegZTi7W8cJ4PNo-Cthuo87I6BCcpSDAKB-NfJR1Dr/w205-h198/esfera+celeste+paralaxe+1.bmp" width="205" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Denota-se por \(\zeta_A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(\zeta_{A'}\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 13.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>as distâncias
aos zénites \(Z\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(Z'\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>medidas nas
posições \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(A'\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. Como </span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 46pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e a soma dos
ângulos internos do quadrilátero \(ACA'I\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 28.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>é igual a \(2\pi\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, segue que</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[AIA'=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi\]</div><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Utilizando a notação \(\psi=AIA'\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 44pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, tem-se, portanto, \(\psi=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 80pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>obtido por
medição. Por outro lado, sabe-se que \(\psi=\sigma_A+\sigma_{A'}\) é</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>igual à soma
dos erros de paralaxe. A fórmula para a soma dos senos permite escrever</span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\psi=\sin\sigma_A\cos\sigma_{A'}+\sin\sigma_{A'}\cos\sigma_A\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">que, atendendo às relações entre os erros de paralaxe
num ponto arbitrário e a paralaxe horizontal, se reduz a</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\psi=\sin\sigma_H\left(\sin\zeta_A\cos\sigma_{A'}+\sin\zeta_{A'}\cos\sigma_A\right)\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Como os erros de paralaxe são muito pequenos, tem-se \(\cos\sigma_{A'}\approx 1\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(\cos\sigma_A\approx 1\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 48.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e, portanto,</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\sigma_H=\frac{\sin\psi}{\sin\zeta_A+\sin\zeta_{A'}}\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">de onde se pode extrair o valor da paralaxe horizontal.
O método apresentado para a determinação da paralaxe requer a determinação da diferença
de latitude de dois lugares situados no mesmo meridiano, isto é, à mesma
longitude e a utilização de instrumentos diferentes. É claro que, na
determinação da diferença de latitudes é importante considerar a altura de uma
estrela que se possa considerar situada no infinito, ao invés do método
expostos atrás sujeito ao erro inerente à paralaxe solar.</span></div><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Um método alternativo para a determinação da paralaxe
que recorre à utilização do mesmo telescópio descreve-se do seguinte modo. Seja \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>o astro,
situado à distância \(D\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>do qual se
pretende obter o valor da paralaxe horizontal, isto é, do ângulo \(\sigma_H\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>tal que</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Trace-se, sobre uma lâmina de vidro situada no foco
comum da objectiva e ocular de um telescópio, duas linhas perpendiculares entre
si e alinhe-se a imagem de uma delas com a trajectória definida pelo astro \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>no seu
movimento diário. O mesmo efeito pode ser obtido com um micrómetro filar. Num
determinado instante, dispõe-se o telescópio de modo a que a intersecção das
duas linhas traçadas na ocular esteja sobre o astro \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. Encontre-se uma estrela \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>que poderá ser
considerada a uma distância infinita e que se encontre sobre a linha vertical,
alinhada com \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. No final de aproximadamente seis horas, alinhe-se
novamente o telescópio com o astro \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. Devido à paralaxe, a estrela \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>encontrar-se-á
agora desalinhada com \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. Mede-se o tempo que \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>leva até se
encontrar alinhada com a recta vertical traçada na ocular. A fracção do tempo de
alinhamento de \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>relativamente
ao tempo medido entre duas passagens de \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>sobre o
meridiano proporciona o ângulo \(\alpha\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>como fracção
equivalente da volta completa.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div><p class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="margin: 0px;">Suponha-se
que o astro é observado no plano do equador em \(K\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>a \(\pi/2\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 18pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>radianos medidos a partir do meridiano.</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOF1qlFBY7pCq8Az9pm8A8KAoCnC_P4yRQAZvjdB-mqIPZApecRNLJLaKVod7T3x6qCTkO91knaGXbTesZZpI_fq_WCUjaLBQEJ8vIAZR1MM4WnfQXS9B4YRzy2sRmk64XGfJc0S_PtB5e/s884/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+1.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="880" data-original-width="884" height="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOF1qlFBY7pCq8Az9pm8A8KAoCnC_P4yRQAZvjdB-mqIPZApecRNLJLaKVod7T3x6qCTkO91knaGXbTesZZpI_fq_WCUjaLBQEJ8vIAZR1MM4WnfQXS9B4YRzy2sRmk64XGfJc0S_PtB5e/w256-h255/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+1.bmp" width="256" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Suponha-se que a estrela que pode ser considerada à
distância infinita é observada sobre a linha traçada na lâmina do telescópio,
perpendicular à direcção do seu movimento, no instante em que o astro se
encontra em \(K\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. A projecção da posição da estrela no plano do
equador é dada pelo ponto \(E\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>na mesma
direcção em que o ponto \(K\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>é observado a
partir do ponto \(B\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">.</span><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><br /></div><p class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Ao fim de um determinado intervalo de tempo \(t\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 4.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, a posição do astro é determinada pelo observador em \(B\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>no ponto \(T\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>situado no
meridiano. A estrela será, portanto, observada em </span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> \(F\)</span>de modo a que
sejam iguais os ângulos \(KPT\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 21.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e \(EPF\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 21pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. Ao fim do instante adicional \(\delta t\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>a estrela
encontrar-se-á sobre o meridiano. Se \(T\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>for o tempo
decorrido entre duas passagens consecutivas da estrela pelo meridiano, tem-se</span></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: center;">\[FBZ=2\pi\frac{\delta t}{T}\]</p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Mas como \(ZPF=KPE\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 56.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e, dado que a
estrela é considerada a uma distância infinita, \(PE\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 14pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>é paralelo a \(BE\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 14.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, seguindo-se que \(KPE=BKP\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">. A medição do tempo de transição </span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 10.5pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>permite
determinar o ângulo</span><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: center;">\[\sigma_H=BKP\]</p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">que proporciona a paralaxe horizontal, uma vez que</span></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: center;">\[\sin\sigma_H=\frac{R}{D}\]</p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Se o alinhamento do astro com a estrela se desse
quando este se encontrasse no ponto \(Y\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, o mesmo mecanismo permitiria determinar o ângulo \(\sigma_Y=BYP\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 46.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, de onde se obteria a paralaxe horizontal por intermédio
da relação</span><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: center;">\[\sin\sigma_Y=\sin\sigma_H\sin\alpha\]</p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">onde \(\alpha=TBY\),</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 42pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>que resulta da
aplicação da lei dos senos ao triângulo \(BYP\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 21pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">.</span></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">Supondo que o observador se encontra em \(A\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>num lugar à
superfície da Terra com latitude \(\varphi\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> </span>e observa o
astro em \(G\)</span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;">, situado sobre o equador, de modo que \(PAG\)</span><span style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px; position: relative; top: 3.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14pt; width: 21pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/SERGIO~1.MAR/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><span lang="PT" style="font-family: "calibri",sans-serif; font-size: 11pt; line-height: 107%; margin: 0px;"><span style="margin: 0px;"> seja</span> um ângulo
recto.</span></p><p class="separator" style="clear: both; margin: 0px 0px 10.66px; text-align: justify;"><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAItlDak_MzWEFL0oEjn0ElKcL7dkjQSA32YCOmgJ_28JIrklrbvYnkhyA__AbFR7bR_HjExyBmhpy2bw1QZOG9zreR_lPD-DuaIE5f-YYC1se4xVfY4vLuv7KrzM2z_Z0rTZ6esA3EWnw/s1316/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+2.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="881" data-original-width="1316" height="268" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAItlDak_MzWEFL0oEjn0ElKcL7dkjQSA32YCOmgJ_28JIrklrbvYnkhyA__AbFR7bR_HjExyBmhpy2bw1QZOG9zreR_lPD-DuaIE5f-YYC1se4xVfY4vLuv7KrzM2z_Z0rTZ6esA3EWnw/w400-h268/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+2.bmp" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Suponha-se que, apontando o telescópio para o astro em \(G\), se observa a estrela sobre a linha horária traçada no foco comum do telescópio. A estrela encontra-se, portanto, no plano \(EBF\). O astro encontrar-se-á em \(H\), sobre o meridiano, ao fim do tempo \(t\). Após um intervalo de tempo \(\delta t\), a estrela estará a cruzar a linha horária do telescópio quando este se encontra apontado para \(H\), isto é, a estrela estará alinhada com a posição do zénite em termos de ascensão recta. O valor do arco percorrido durante o interval \(\delta t\) proporciona o ângulo \(FPG\) onde \(F\) corresponde à projecção do ponto \(E\) sobre o plano do equador. Porém, \(FPG=PGB\) dado que a estrela se encontra a uma distância infinita, sendo paralelas as rectas \(BF\) e \(PF\). Aqui, \(B\) corresponde à projecção de \(A\) sobre o plano do equador.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Fazendo \(\sigma_0=PGB\), tem-se</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\sigma_0=\frac{PB}{PG}=\frac{R\cos\varphi}{D}=\sin\varphi_H\cos\varphi\]</div>Se o astro se encontrar a uma declinação \(\delta\), então o mesmo mecanismo permite determinar<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\sigma_0=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">já que \(PG=D\cos\delta\) neste caso.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Na prática, convém usar uma forma mais geral do método descrito para a determinação da paralaxe horizontal. Suponha-se que o astro é observado em \(K\) e, no mesmo instante, a estrela é observada em \(E\) cujas projecções no equador são dadas respectivamente pelos pontos \(M\) e \(F\).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8MGuzl9O7qsj97F_MDILFdycx0zrfyn25CJKL1C5E2BmiNOTXMpmK9R0XKYbDX7nfMzOVNvB6V8L-KlRKZfx-bkF-DFw0wvY4dpmSNrHbjmuV52CAYx7XSQ8d9q6X9lMKzOL1G0-RuDld/s1996/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+3.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="852" data-original-width="1996" height="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8MGuzl9O7qsj97F_MDILFdycx0zrfyn25CJKL1C5E2BmiNOTXMpmK9R0XKYbDX7nfMzOVNvB6V8L-KlRKZfx-bkF-DFw0wvY4dpmSNrHbjmuV52CAYx7XSQ8d9q6X9lMKzOL1G0-RuDld/w500-h214/esfera+celeste+paralaxe+ascens%25C3%25A3o+3.bmp" width="500" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se \(R\) for a projecção do lugar \(Q\) à superfície da Terra no plano do equador, a estrela será observada na linha horária associada ao astro em \(K\) quando a sua projecção sobre o equador se encontrar em \(A\), alinhada com \(M\) quando vista do ponto \(R\).</div><div style="text-align: justify;">O tempo \(\delta t_1\) que a estrela leva até cruzar a linha horária do telescópio associada à posição de \(K\) permite determinar o ângulo \(FPA\). Ao fim de um intervalo de tempo \(t_1\), o astro encontra-se em \(L\) e a sua projecção sobre o equador, em \(N\). A projecção da estrela sobre o equador, partindo de \(A\) leva o mesmo intervalo de tempo \(t_1\) até chegar a \(G\). O intervalo de tempo que a estrela leva até se encontrar alinhada com a linha horária associada ao astro em \(L\) permite determinar o valor do ângulo \(GPB\) que corresponde à paralaxe.<br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><font face=""Calibri",sans-serif">Assim, alinhando o telescópio com o astro em \(L\), mede-se o intervalo de tempo \(\delta t_2\) que leva até à estrela cruzar a linha horária que lhe está associada. O intervalo de tempo \(\delta t_2\) permite determinar o ângulo</font></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\frac{2\pi}{T}\delta t_2=FPA+GPB\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">onde \(T\) é o tempo que leva entre duas passagens consecutivas da estrela sobre o meridiano. A paralaxe \(\sigma\) assim determinada vem dada por</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sigma=GPB=\frac{2\pi}{T}\left(\delta t_2-\delta t_1\right)\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Note-se que poderá ser necessária a determinação da variação do ângulo horário entre a estrela e o planeta ao longo de um intervalo de tempo suficientemente grande de modo a determinar a correcção média a ser aplicada à paralaxe determinada de modo a contemplar o seu movimento de translação.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Determinam-se os ângulos \(\alpha_1=API\) e \(\alpha_2=BPI\), medindo o tempo de transição da estrela entre os instantes em que cruza as respectivas linhas horárias e a sua passagem pelo meridiano. Ora, \(APM=GPN\) uma vez que os lados de um dos ângulos se obtêm dos lados do outro por intermédio da mesma rotação. Por seu turno, \(APM=PMR\) já que os lados \(PA\) e \(RA\) podem ser considerados como sendo paralelos entre si. Do mesmo modo, \(BPN=PNR\). Usando a notação \(\sigma_1=PMR\) e \(\sigma_2=PNR\), tem-se</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sigma=\sigma_1-\sigma_2\]</div><div style="text-align: justify;">Por outro lado, como os lados \(RA\) e \(PA\) podem ser considerados como sendo paralelos, pode-se concluir que \(\alpha_1=ARI\). Do mesmo modo, \(\alpha_2=BRI\). A lei dos senos aplicada aos triângulos \(PMR\) e \(PNR\) resulta nas equações</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\frac{\sin\sigma_1}{\sin\alpha_1}=\frac{\sin\sigma_2}{\sin\alpha_2}=\frac{R\cos\varphi}{D\cos\delta}=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Também</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">\[\sin\sigma=\sin\sigma_1\cos\sigma_2-\sin\sigma_2\cos\sigma_1\approx\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)\]</div><div>dado que os valores das paralaxes são ínfimos. Tem-se, finalmente, para a paralaxe horizontal,</div><div style="text-align: center;">\[\sigma_H=\frac{\cos\delta}{\cos\varphi\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)}\]</div><span><a name='more'></a></span></span>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-85302753464173098922020-05-14T14:53:00.000+01:002020-05-14T14:53:12.638+01:00A esfera armilar<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
É possível determinar as coordenadas da posição do Sol através da medição
da altura da sombra quando este passa pelo meridiano no seu movimento diário
aparente. A medição dos valores das sombras ao longo do ano permite determinar,
em boa aproximação, qual é a velocidade angular média do Sol na eclíptica. O
conhecimento desta velocidade possibilita a estimativa da posição solar em
momentos em que o Sol não se encontre a atravessar o meridiano.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
A determinação das coordenadas dos outros astros nos sistemas celestes de
coordenadas requer o conhecimento da sua posição relativa ao Sol. Tal é
possível, medindo as posições daqueles astros que são visíveis durante o dia e
durante a noite. A Lua é aquele astro que satisfaz os requisitos com a maior
frequência.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
As medições podem ser efectuadas com o auxílio de uma esfera armilar. Este
instrumento constrói-se do seguinte modo. Consideram-se dois aros, \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> e \(2\), com um certo diâmetro, largura e espessura,
colocados perpendicularmente sobre a largura de modo que as superfícies curvas
estejam contidas numa esfera. O aro \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> representa a eclíptica e o outro representa o
coluro que contém os pólos da eclíptica e do equador. Estes pólos são marcados
sobre o aro \(2\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ansi-language:PT'><m:r>2</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]-->. Apõem-se os aros \(3\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ansi-language:PT'><m:r>3</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> e \(4\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]-->, um no interior da
superfície côncava dos aros e o outro no exterior das suas superfícies
convexas. Os aros \(3\) e \(4\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> são permitidos rodar em torno do eixo que
contém os pólos do aro \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]-->.<o:p></o:p></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">No
interior do aro interno \(4\)</span><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> é colocado o aro \(5\)</span><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> que é permitido rodar no mesmo plano. Dois
olhais ou oculares são apostos em pontos diametralmente opostos do aro \(5\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>5</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">. A
estes olhais são justapostos dois apontadores para o aro \(4\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">.</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixI4RCWymDCi5nXceLJHpgNlOZCuH9-9bJNWiFnxA_PGnkITosSr58M-zk3LoYKqQkKRy7kyyrXwvvFjYLdVlcqbhUgmnUBSHADeyAT2h8cgU-ZPmaQ4vhyJTiryx3ONCHEQa2_0-A6aST/s1600/esfera+armilar.bmp" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixI4RCWymDCi5nXceLJHpgNlOZCuH9-9bJNWiFnxA_PGnkITosSr58M-zk3LoYKqQkKRy7kyyrXwvvFjYLdVlcqbhUgmnUBSHADeyAT2h8cgU-ZPmaQ4vhyJTiryx3ONCHEQa2_0-A6aST/s320/esfera+armilar.bmp" width="298" /></a></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Os aros \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> e \(4\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> são divididos numa escala angular em graus. No
exterior, é colocado um aro \(6\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>6</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> para suportar a estrutura.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Antes
de se proceder à determinação das posições dos astros é necessário alinhar o
instrumento com a esfera celeste. Para o efeito coloca-se o instrumento de modo
a que as marcações norte-sul se encontrem alinhadas com a direcção do
meridiano. Roda-se o dispositivo, em torno do eixo este-oeste em um ângulo
igual à latitude do lugar. Este procedimento permite alinhar as marcações com
os polos norte e sul celestes. O alinhamento do instrumento fica definido a
menos de uma rotação em torno desses pólos. Alinha-se o aro \(3\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>3</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> externo para o grau no aro \(1\) onde se calculou encontrar
o Sol na eclíptica. Com uma rotação em torno dos pólos aponta-se o dispositivo
na direcção do Sol de modo a que os aros projectem sombras iguais sobre si
mesmos. Este último passo permite alinhar o aro \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> com o plano da eclíptica, ficando definida a
longitude do ponto dado pela intersecção dos aros \(1\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> e \(3\) apontados para o Sol<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>3</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]-->.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Para
obter as coordenadas das estrelas, após alinhar a esfera armilar com o Sol
muito perto do ocaso, roda-se o aro interno \(4\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>3</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> de modo a que este bissecte a Lua quando esta
é observada do seu plano. O grau assim obtido na eclíptica corresponde à
longitude da Lua. A sua latitude obtém-se, rodando o aro \(5\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>5</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> de modo a que o seu centro seja visível entre
as oculares colocadas em posições diametralmente opostas. Estas medições são
possíveis apenas quando a Lua se encontra completamente visível durante o dia.<o:p></o:p></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Meia
hora mais tarde, quando o astro e a Lua são visíveis, leva-se o aro externo \(3\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>3</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> para o grau previamente determinado para a lua
e roda-se o aparato, em torno dos pólos celestes, de modo a que o plano do aro
bissecte a Lua. Rodam-se os aros \(4\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> e \(5\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>5</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> de modo a que a linha de visão do astro passe
pelas duas oculares colocadas em posições diametralmente opostas no aro \(5\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>5</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">. Os
apontadores apostos às oculares permitem efectuar a leitura da latitude no aro \(4\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>4</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> cuja posição relativa ao aro \(1\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>1</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> proporciona a longitude do astro. É importante
notar aqui que é necessária uma correcção devida ao movimento da Lua ter uma
velocidade angular em longitude aproximada de \(1^{\circ}\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>1°</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 10.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"> por hora.</span></div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-71504305050405164402020-05-04T14:08:00.001+01:002020-05-04T14:08:42.969+01:00Duração dos dias e das noites<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
O dia solar é definido como o tempo decorrido entre duas
transições consecutivas do Sol sobre o mesmo lado do meridiano do lugar relativamente ao horizonte.
Define-se o início do dia quando o Sol passa sobre o meridiano perto do nadir.
O meio-dia é atingido, portanto, quando a passagem pelo meridiano se verifica
perto do zénite.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
O dia natural corresponde ao período em que o Sol se encontra acima do
horizonte. Durante a noite, por seu turno, o Sol encontra-se abaixo do
horizonte e não pode ser observado a partir do lugar. Já foi atrás referido
que, na esfera recta, a duração dos dias iguala a duração das noites. No caso
da esfera oblíqua, tal acontece apenas quando o Sol se encontra em um dos
equinócios. Pretende-se, portando, dada a declinação \(\delta\) do Sol, de onde se pode
obter a sua posição na eclíptica, determinar a duração do dia e da noite.<o:p></o:p></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">Para o efeito, considere-se um referencial no centro
da esfera celeste cujo eixo das abcissas toma a direcção da intersecção </span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:Calibri;
mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>E</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"> do equador com o meridiano. A direcção das
ordenadas é definida pelos pontos \(A\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>A</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"> e \(B\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>B</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"> da intersecção do horizonte com o equador. O
eixo das cotas tem a direcção dos polos celestes.</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxKGBVKIrharGeXoZpvKhbzifStKFG_i5yGqIWCa8DB0OgXeaeP2No-O08lfyzixDOhZe6E29i0zpAnlUqyu2LJTc_oMugCp8RtdcySFkepcGDDyoR-xxYLw-_D3_Pnih2ckRTU6UxIUZP/s1600/intersec%25C3%25A7%25C3%25A3o+horizonte+legenda.bmp" imageanchor="1"><img border="0" height="317" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxKGBVKIrharGeXoZpvKhbzifStKFG_i5yGqIWCa8DB0OgXeaeP2No-O08lfyzixDOhZe6E29i0zpAnlUqyu2LJTc_oMugCp8RtdcySFkepcGDDyoR-xxYLw-_D3_Pnih2ckRTU6UxIUZP/s320/intersec%25C3%25A7%25C3%25A3o+horizonte+legenda.bmp" width="320" /></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">O
círculo \(FCD\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:
"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;
mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>FCD</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 21pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"> representa a órbita solar aparente onde a
declinação </span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:107%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>δ</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"> é dada pelo ângulo \(EOF\)</span><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">.
Note-se que este ângulo não varia quando se considera uma rotação do
referencial em torno do eixo das cotas. A equação do plano da órbita é dada por</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">\[z=\sin\delta\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">considerando
que a esfera celeste tem raio unitário. A equação do plano do horizonte é da
forma</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">\[x\cos\varphi+z\sin\varphi=0\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">onde \(\varphi\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
107%;font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:PT;mso-fareast-language:EN-US;
mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>φ</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-size: 11pt; line-height: 107%; position: relative; top: 4pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;"> é a latitude do lugar. A intersecção do plano
do horizonte com o plano da órbita aparente resulta na recta</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\z=\sin\delta\end{array}\right.\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">A intersecção da recta com a esfera celeste \(x^2+y^2+z^2=1\), considerada como tendo raio unitário, proporciona, em geral, dois pontos \(C\) e \(D\) com coordenadas</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\ y=\pm\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta}\\ z=\sin\delta\end{array}\right.\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">Resta determinar o valor do arco \(FC\). Ora, o ponto \(F\) tem coordenadas \(\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\) e o centro da órbita aparente é o ponto de coordenadas \(\left(0,0,\sin\delta\right)\). Pretende-se, portanto, determinar o ângulo compreendido entre os vectores</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">\[\left(-\tan\varphi\sin\delta,\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta},0\right)\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">e</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">\[\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">Denotando esse ângulo por \(\psi\), a fórmula do produto escalar permite obter</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">\[\cos\psi=-\tan\varphi\tan\delta\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">O
ângulo total que o Sol se encontra acima do horizonte calcula-se como</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: calibri, sans-serif;"><span style="font-size: 14.6667px;">\[\left\lbrace\begin{array}{ll}2\arccos\left(-\tan\varphi\tan\delta\right), & \left\vert \frac{\pi}{2}-\vert\delta\vert\right\vert\le\left\vert\varphi\right\vert\le\left\vert \frac{\pi}{2}+\vert\delta\vert\right\vert\\ 0, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}+\delta\\ 2\pi, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}-\delta\end{array}\right.\]</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">É claro da fórmula que o ângulo correspondente ao arco da órbita solar
visível é sempre igual a \(\pi\) no equador</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>independentemente do valor da declinação \(\delta\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>δ</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">. Por outro lado,
como \(\vert\delta\vert\le\varepsilon\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><m:d><m:dPr><m:begChr m:val="|"/><m:endChr
m:val="|"/><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ascii-font-family:
"Cambria Math";mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:
minor-fareast;mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-ansi-language:PT;
font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:dPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>δ</m:r></span></i></m:e></m:d><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>≤</m:r><m:r>ε</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 33pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">, torna-se evidente
que o arco da órbita solar corresponde à volta completa ou é nulo se o lugar em
questão se encontrar no interior dos círculos polares. Sendo a velocidade de
transição igual a \(\pi/12\)</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>radianos por hora, a duração do dia vale<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">\[t=\frac{12}{\pi}\psi\]</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%;">dado
em horas equinociais.</span></div>
<span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11pt;"></span>Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-30361127248444080222020-05-01T10:45:00.000+01:002020-05-01T10:45:57.710+01:00A esfera celeste<div style="text-align: justify;">
<h2>
Introdução</h2>
<div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">A esfera celeste tem sido um elemento fulcral em astronomia. Desde muito
cedo se observou que os astros são animados de um movimento diário aparente
circular e uniforme no sentido de este para oeste. Por seu turno, alguns dos astros,
tal como o Sol, a Lua ou os restantes planetas parecem estar animados de um
movimento anual relativamente às estrelas mais longínquas. Esse movimento
aparenta dar-se sobre uma esfera que se centra no observador.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">A consideração da rotação da Terra de oeste para este permite explicar o
movimento médio de rotação de todos os restantes astros no sentido de este para
oeste. Muitos filósofos da Grécia Antiga partilhavam esta opinião. Concebido o
conceito de rotação diária, resta a questão da sua posição. O facto de que os
outros planetas ora se encontram mais próximos, ora mais afastados, sustenta a
conclusão de que a Terra poderá não ocupar a posição central da esfera celeste.
É concebível, deste modo, que se possa encontrar animada de um movimento de translação.
Tal hipótese teria já sido sustentada na Antiguidade Grega, tendo ganho mais
notoriedade durante o Renascimento.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">Os movimentos dos corpos celestes parecem centrar-se em vários pontos
distintos, o que permite concluir que o centro de gravidade da Terra pode não
coincidir com o centro dos movimentos universais. A gravidade poderá ser uma
propriedade que não lhe seja exclusiva, mas que se estende ao Sol, à Lua ou aos
restantes planetas. A ordenação em altura dos planetas, considerando que os
planetas interiores, cujas elongações (desvios angulares aparentes máximos) do
Sol são limitadas, se encontram abaixo do Sol e os planetas exteriores acima,
não é suficiente para explicar o facto de que a Lua, que constitui o astro mais
baixo, apresenta todos os valores da elongação. A ordenação obtida do princípio
de que os astros mais elevados possuem períodos maiores parece ser violada
quando se considera o modelo geocêntrico, mas mantém-se se se considerar o
modelo heliocêntrico. A consideração de que os planetas interiores orbitam o
Sol teria já sido considerada por escritores do Império Romano.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">A ordem dos movimentos parece melhor ser explicada pela consideração de que
a Lua orbita a Terra num movimento circular e que o conjunto dos dois astros se
encontram animados de um movimento de translação em torno do Sol,
encontrando-se aí o centro dos movimentos dos restantes planetas.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">A Terra, por seu turno, encontra-se animada de um movimento duplo. O
movimento de rotação permite explicar o movimento médio diário dos restantes
astros. O seu centro encontra-se animado de um movimento de translação ao longo
da eclíptica de oeste para este. O eixo de rotação possui uma inclinação
relativamente ao eixo do movimento de translação. A inclinação do eixo
mantém-se essencialmente constante durante um intervalo de tempo da ordem do
ano. O mesmo se passa com a direcção da projecção do eixo de rotação no plano
da órbita que também se mantém constante na mesma ordem de intervalos de tempo.
Na realidade, o eixo de rotação também se encontra animado de um movimento à
semelhança do que acontece com um peão.</span></div>
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">Os círculos notáveis</span></h2>
</div>
<div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT;">O movimento de rotação da Terra é dado em torno do eixo que define a
direcção norte-sul. Os polos norte e sul deste movimento de rotação
projectam-se nos polos norte \(N\)</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>e sul \(S\)</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>na esfera celeste. O círculo máximo com centro
na origem da esfera perpendicular ao eixo norte-sul é designado por equador.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">O
movimento de translação da Terra em torno do Sol é sempre realizado sobre o
mesmo plano. Assim, o movimento aparente do Sol relativo às estrelas longínquas
dá-se sobre o círculo máximo conhecido por eclíptica. Trata-se de um movimento
circular não uniforme cujo período remonta a um ano. A eclíptica intersecta o
equador no equinócio da primavera \(H\)</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>e no equinócio do outono \(I\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>I</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 4.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">. Os pontos \(A\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>A</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>e \(B\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>B</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">, a norte e a sul do
equador, que distam um quadrante dos equinócios ao longo da eclíptica são
designados respectivamente por solstício de verão e solstício de inverno. A
eclíptica possui uma inclinação \(\varepsilon\)</span><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>relativamente ao equador, igual aos ângulos \(PON\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>PON</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 22.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>ou \(EOA\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>EOA</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 21.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image009.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">, com um valor
aproximado de \(23^{\circ}\)</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-ansi-language:PT'><m:r>23°</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 16.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="mso-ansi-language: PT; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIGWxL0SK_hDmBdLx8sOLWZfuwaiMtYbf46WjbTd1s6oWlAXisch4e4Xe6vsS0X6DIqAguyWzzi0sLbIxAet7msh-scorHHyYpurY3Xz2aRs1lviqni2FZQWxZ1n1eYBRIUG_Gc8whtTXI/s1600/esfera+celeste+circulos.jpg" imageanchor="1"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIGWxL0SK_hDmBdLx8sOLWZfuwaiMtYbf46WjbTd1s6oWlAXisch4e4Xe6vsS0X6DIqAguyWzzi0sLbIxAet7msh-scorHHyYpurY3Xz2aRs1lviqni2FZQWxZ1n1eYBRIUG_Gc8whtTXI/s400/esfera+celeste+circulos.jpg" /></a></span></div>
<div class="MsoNormal">
A
rotação dos pontos \(A\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>A</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> e \(B\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>B</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> que correspondem aos solstícios traçam dois
círculos menores designados por trópicos. A rotação do ponto \(A\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>A</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> define o trópico do caranguejo e a rotação do
ponto <!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-fareast-font-family:
"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-ansi-language:PT'><m:r>B</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png"> \(B\)</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]-->, o trópico do
capricórnio. A rotação dos polos \(P\) e \(Q\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-ansi-language:PT'><m:r>Q</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> da eclíptica, isto é, dos pontos da esfera
celeste que estão contidos no eixo que lhe é perpendicular, geram
respectivamente o círculo polar ártico e o círculo polar antártico.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<div class="MsoNormal">
O
círculo máximo que contém os polos norte e sul bem como os polos da eclíptica é
designado por coluro. Trata-se de um círculo máximo contido num plano que é
simultaneamente perpendicular aos planos do equador e da eclíptica.<o:p></o:p></div>
<h2>
Esfera recta e esfera oblíqua</h2>
<div>
<div class="MsoNormal">
Em qualquer lugar à superfície da Terra a direcção vertical é aquela que é
dada por um fio-de-prumo em equilíbrio. A direcção vertical do lugar define o
zénite \(Z\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;mso-ansi-language:PT'><m:r>Z</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> directamente acima do observador e o nadir \(M\) abaixo. O círculo máximo perpendicular ao eixo \(ZM\) recebe a designação de horizonte. Trata-se do
círculo que separa a zona visível da esfera celeste da zona invisível quando
observada do lugar em questão. Pode-se considerar que o horizonte se encontra
centrado no centro da Terra uma vez que o raio terrestre é, de um modo geral, insignificante quando
comparado com as distâncias aos astros. Ao círculo máximo que contém os polos
norte e sul e o zénite dá-se a designação de meridiano.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
O zénite de um observador que se encontre no equador terrestre está contido
no equador celeste. O horizonte é perpendicular ao equador e contém os pólos da esfera celeste. Diz-se que um
observador nestas condições se encontra na esfera recta.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Y0aFxp1myDSN072Zy1ogjccQcbQ0P3YfxucQloZmauY5s0ZcEUBHNdQ0dBV0Vg01QIX6YglXREMGzWH0-kpRIMnWa4p77YfvdRAXWebVFG6VNo_Q_a3uLPj8HPef4fPAMSu9nxj2CtXF/s1600/esfera+recta.bmp" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4Y0aFxp1myDSN072Zy1ogjccQcbQ0P3YfxucQloZmauY5s0ZcEUBHNdQ0dBV0Vg01QIX6YglXREMGzWH0-kpRIMnWa4p77YfvdRAXWebVFG6VNo_Q_a3uLPj8HPef4fPAMSu9nxj2CtXF/s320/esfera+recta.bmp" width="317" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
O Sol, no seu movimento diário aparente, parte do ponto \(L\)<!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ansi-language:PT'><m:r>L</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EN-US" style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: EN-US; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 14.25pt; width: 6pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Marques\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--> onde se encontra na eclíptica e descreve uma
órbita circular paralela ao equador. Esta órbita é dividida em duas partes
iguais pelo horizonte de qualquer observador que se encontre na esfera recta.
Dado que o movimento de rotação é uniforme, a duração dos dias é igual à
duração das noites nesses lugares. Nestes casos, quando o Sol se encontra no
equinócio, irá atravessar o meridiano no zénite do observador. Numa metade do
ano irá cruzar o meridiano a sul e na outra metade cruzará o meridiano a norte.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Diz-se que um observador se encontra na esfera oblíqua
se não se encontrar na esfera recta. Neste caso, o horizonte não é mais
perpendicular ao equador.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV7jADSsNjffvDNGBo2BMf-4AEi1YkjW1Bu0SggJXFPpJnQ2hbfMH_rezv24cYMo__KcfaftQXzliltzoukLKjvfUPmYRevSGYdMLpKuYRbKO73gJpSxURLAdkRMRwHjhOKzmmy8KuUH_P/s1600/esfera+obliqua.bmp" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV7jADSsNjffvDNGBo2BMf-4AEi1YkjW1Bu0SggJXFPpJnQ2hbfMH_rezv24cYMo__KcfaftQXzliltzoukLKjvfUPmYRevSGYdMLpKuYRbKO73gJpSxURLAdkRMRwHjhOKzmmy8KuUH_P/s320/esfera+obliqua.bmp" width="300" /></a></span></div>
<div class="MsoNormal">
Na esfera oblíqua, a duração dos dias iguala a duração das noites apenas
quando o Sol se encontra nos equinócios e a sua órbita diária parente coincide
com o equador.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
Se o zénite do observador se encontrar na região limitada pelos trópicos,
existem duas alturas no ano em que o Sol passa exactamente sobre o zénite
quando atravessa o meridiano. Numa parte do ano o Sol atravessa o meridiano a
norte e na outra parte do ano atravessa o meridiano a sul. De um modo geral, quando
o zénite do observador se encontra na região delimitada pelos trópicos,
incluindo o equador, as sombras são projectadas a norte ou a sul conforme a
altura do ano. Os habitantes dessas regiões recebem a designação de
anfiscianos.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
Se o zénite do observador se encontrar nas regiões delimitadas pelos
círculos polares, o horizonte encontra-se delimitado pelo equador e a
eclíptica. Nesta situação, existem alturas do ano em que o Sol não cruza o
horizonte durante o seu movimento diário, sendo sempre dia ou noite. Como as
sombras se podem projectar em qualquer direcção, os habitantes desses lugares
são denominados por periscianos.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Calibri",sans-serif; font-size: 11.0pt; line-height: 107%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Os habitantes cujo zénite se encontra entre os
círculos polares e os trópicos são designados por heteroscianos uma vez que as
suas sombras se projectam sempre a norte ou sempre a sul consoante se encontrem
no hemisfério norte ou no hemisfério sul.</span></div>
</div>
<span style="mso-ansi-language: PT;"></span></div>
</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-49463519147110293422019-09-02T14:01:00.000+01:002019-11-11T08:59:21.693+00:00Órbitas circulares e epicíclicas na astronomia antiga<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Desde muito cedo, os primeiros astrónomos observaram que os astros se movem em círculos paralelos entre si, elevando-se a este, descendo a oeste e repetindo o movimento com uma periodicidade única diária. Tal observação levou-os a considerar que o movimento dos objectos celestes se pode descrever com base na revolução de uma esfera, dado que o movimento dos astros se efectua em torno de um centro fixo, isto é, à medida que se consideram astros cada vez mais próximos desse centro, as suas órbitas constituirão círculos cada vez menores. O ponto fictício assim determinado recebeu o nome de pólo da esfera celeste. O maior círculo que pode ser considerado como órbita do movimento encontra-se no plano do equador e consitui um círculo máximo. O plano do equador divide a esfera celeste em dois hemisférios e, a cada um deles, encontra-se associado um pólo da esfera em torno do qual centram os círculos paralelos que aí se encontram.</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Observações detalhadas das posições dos astros ao longo de períodos de tempo suficientemente longos, permitiram concluir que as estrelas e demais objectos, para além do seu movimento circular diário em torno de dois pólos, de este para oeste, efectuam um movimento circular com um período mais longo, de oeste para este, revolvendo em torno de outros dois pólos. De facto, as posições relativas das estrelas não varia e o Sol, a Lua e os planetas, apesar da complexidade dos seus movimentos, deslocam-se em média de oeste para este. Assumiram deste modo que as estrelas parecem estar associadas a uma esfera que gira em torno de si mesma e que o Sol, a Lua e os planetas, caso se considerasse que o seu movimento fosse regular, se movem ao longo do mesmo círculo máximo que recebe a designação de eclíptica. É claro que os pólos deste novo movimento se encontram sobre a perpendicular a este círculo máximo. A eclíptica, por seu turno, intersecta o equador em pontos que recebem a designação de pontos equinociais. Dá-se a designação de solstícios aos dois pontos da eclíptica que mais se afastam do plano do equador.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Apesar da órbita do Sol ser dada pela eclítpica, o seu movimento não é uniforme, isto é, a sua velocidade parece variar ao longo do tempo. Existem intervalos de tempo em que os planetas asumem um movimento retrógrado relativamente ao seu movimento médio. Para explicar tais movimentos, foram propostos essencialmente dois modelos pelos sábios da antiguidade clássica com o intuito de tentar recuperar a uniformidade dos movimentos dos corpos celestes. O mais simples consiste em considerar a órbita sobre um círculo que não é concêntrico à posição do observador. Um modelo mais complexo consiste em considerar epiciclos. Neste caso, o astro é assumido descrever uma órbita circular em torno de um ponto que, por sua vez, descreve uma órbita circular em torno do observador. É de notar que a construção pode ser extrapolada de modo a considerar círculos cujo centro se mova ao longo de um epiciclo bem como variações em que os epiciclos são assumidos sobre círculos excêntricos com o observador.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Qualquer que seja o caso, a órbita aparente seria o resultado da projecção da órbita real sobre a esfera cujo raio se pode considerar unitário. Seja o referencial centrado no ponto \(O\) onde se encontra o observador. Como os astros se movem em órbitas planas, estas poderão ser descritas por vectores da forma \(\left(x(t),y(t)\right)\). Qualquer ponto \(P\) da órbita é projectado no ponto \(Q\) da esfera dado pela intersecção da linha de visão \(OP\) com o círculo de raio unitário centrado na origem. É fácil constatar que a equação polar do círculo pode ser escrita como</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin{\varphi}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}\right.\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
É claro que, como a órbita nunca passa pela origem, também \(\sqrt{x^2+y^2}\ne 0\) qualquer que seja o valor de \(t\). Para determinar a velocidade angular conhecida a velocidade real, começa-se por considerar a equação</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\tan{\varphi}=\frac{y}{x}\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
cuja derivada em ordem a \(t\) permite escrever</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{1}{\cos^2{\varphi}}\varphi'=\frac{xy'-yx'}{x^2}\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
que, como</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\cos{\varphi}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
se reduz a</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\varphi'=\frac{xy'-yx'}{x^2+y^2}\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Se \(\vec{r}=(x,y,0)\) representar o vector posição e \(\vec{v}=\left(x',y',0\right)\), o vector de velocidade então a fórmula anterior admite a representação vectorial</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\varphi'=\frac{\left\lVert\vec{r}\times\vec{v}\right\rVert}{\left\lVert\vec{r}\right\rVert^2}\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Suponha-se, por exemplo, que o movimento é circular e uniforme sobre um círculo de raio \(R\) cujo centro se encontra no ponto de coordenadas \((r,0)\) onde \(r\) pode ser considerado positivo. A sua equação pode ser escrita na forma</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\left\lbrace\begin{array}{l} x=r+R\cos(\omega t)\\ y=R\sin(\omega t)\end{array}\right.\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Segue-se daqui que as componentes da velocidade são dadas por</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\left\lbrace\begin{array}{l} x'=-R\omega\sin(\omega t)\\ y'=R\omega\cos(\omega t) \end{array}\right.\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
que, quando substiuídas na expressão para \(\varphi'\), proporcionam</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\varphi'=\left(1-\frac{r^2+Rr\cos(\omega t)}{R^2+r^2+2rR\cos(\omega t)}\right)\omega\]</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Considerando que \(r>0\), o ponto mais afastado do observador, isto é, o apogeu, é atingido quando \(t=0\). O perigeu, por seu turno, ponto da órbtia mais próximo do observador, é atingido quando \(t=\frac{\pi}{\omega}\). Estes são respectivamente \((R+r,0)\) e \((r-R,0)\). A velocidade angular aparente no apogeu é dada por</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
\[\varphi'(0)=\frac{R}{R+r}\omega\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
e, no perigeu, por</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
\[\varphi'\left(\frac{\pi}{\omega}\right)=\frac{R}{R-r}\omega\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
É claro que, neste caso, o movimento aparente no apogeu é mais lento do que no perigeu. Existem dois pontos na órbita onde a velocidade angular do movimento aparente \(\varphi'\) iguala a velocidade angular do movimento circular uniforme real. De facto, da equação \(\varphi'=\omega\) obtém-se<br />
<br />
\[r^2+rR\cos(\omega t)=0\]<br />
<br />
A velocidade angular aparente é igual à angular em todos os pontos se \(r=0\), o que corresponde ao movimento circular uniforme centrado no ponto do observador. Se \(r\ne 0\), tem-se<br />
<br />
\[\cos(\omega t)=-\frac{r}{R}\]<br />
<br />
que possui solução quando \(r\le R\). Dá-se a designação de anomalia à quantidade \(\varphi(t)-\omega t\), isto é, à diferença entre a posição aparente do corpo e a posição aparente caso o corpo se movesse em torno do observador com velocidade angular constante, considerada no instante \(t\). Se \(t\) for um instante onde é observada uma anomalia máxima então \(\varphi'(t)-\omega=0\). Os instantes determinados com base na fórmula anterior são os únicos onde podem ser observadas anomalias máximas.<br />
<br />
O ponto situado à distância angular do apogeu igual a um quadrante no movimento excêntrico corresponde, no movimento real, ao ângulo \(\omega t\) dado pela equação<br />
<br />
\[r+R\cos(\omega t)=0\]<br />
<br />
isto é, o ângulo é tal que<br />
<br />
\[\cos(\omega t)=-\frac{r}{R}\]<br />
<br />
e corresponde aos pontos onde a velocidade aparente iguala a velocidade real. O tempo que o corpo demora desde a sua partida à distância aparente de um quadrante do apogeu, passando pelo perigeu até chegar ao quadrante aparente oposto é dado por<br />
<br />
\[t=\frac{2}{\omega}\arccos\left(-\frac{r}{R}\right)\]<br />
<br />
Esta expressão permite determinar a razão \(\frac{r}{R}\), desde que se conheçam os tempos medidos entre pontos que distam um quadrante do apogeu. Se a linha apsidal (linha definida entre os apses, isto é, entre o apogeu e o perigeu) se encontrasse alinhada com a linha definida pelos solstícios, o tempo iria coincidir com o tempo de transição entre equinócios. No entanto, esse alinhamento não se verifica, sendo possível determinar os parâmetros, conhecidos os tempos de transição entre o equinócio da primavera e o solstício de verão e entre o solstício de verão e o equinócio de outono. Não são necessários os tempos de transição entre os equinócios e o solstício de inverno.<br />
<br />
Denotem-se por \(\tau_1\) e \(\tau_2\) respectivamente os tempos de transição enre os equinócios e o solstício. Se se considerar que o eixo das abcissas do referencial se encontra alinhado com o equinócio, têm-se as equações<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=p+R\cos\omega t\\ y=q+R\sin\omega t\end{array}\right.\]<br />
<br />
Dado que o solstício se encontra no ponto tal que \(x=0\) e o equinócio oposto se encontra no ponto tal que \(y=0\) têm-se as equações<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}p=-R\cos\omega \tau_1\\ q=-R\sin\omega\left(\tau_1+\tau_2\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
de onde se obtém<br />
<br />
\[\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{p^2+q^2}}{R}=\sqrt{\cos^2\omega \tau_1+\sin^2\omega\left(\tau_1+\tau_2\right)}\]<br />
<br />
Por seu turno, o ângulo \(\sigma\) definido entre a linha definida pelos solstícios e a linha definida pelo apogeu e perigeu calcula-se com base na conhecida fórmula da geometria analítica, nomeadamente,<br />
<br />
\[\cos\sigma=-\frac{\cos\omega\left(\tau_1+\tau_2\right)}{\sqrt{\sin^2\omega \tau_1+\sin^2\omega\left(\tau_1+\tau_2\right)}}\]<br />
<br />
Outro modelo para o ajuste da posição dos astros assenta sobre o conceito de ciclóide. Neste caso, o corpo move-se sobre uma circunferência de raio \(r\) cujo centro é animado de um movimento circular de raio \(R\) em torno do observador. À circunferência centrada no observador dá-se a designação de deferente e à circunferência de raio \(r\) cujo centro se move sobre o deferente dá-se a designação de epicíclo.<br />
<br />
Se se considerar que a posição de cada círculo é medida relativamente à direcção dada pelo eixo das abcissas, a equação do ciclóide, curva gerada pelo ponto que se move no epiciclo, é dada por<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=R\cos\left(\omega_1t\right)+r\cos\left(\omega_2t\right)\\ y=R\sin\left(\omega_1t\right)+r\sin\left(\omega_2t\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
As derivadas das funções coordenadas proporcionam as componentes das velocidades, nomeadamente,<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=-R\omega_1\sin\left(\omega_1 t\right)-r\omega_2\sin\left(\omega_2 t\right)\\ y'=R\omega_1\cos\left(\omega_1 t\right)+r\omega_2\cos\left(\omega_2 t\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
A substituição na expressão para a velocidade angular aparente permite obter<br />
<br />
\[\varphi'=\omega_1+\left(\omega_2-\omega_1\right)r\frac{r+R\cos\left(\left(\omega_2-\omega_1\right)t\right)}{R^2+r^2+2Rr\cos\left(\left(\omega_2-\omega_1\right)t\right)}\]<br />
<br />
Suponha-se que é considerado o epiciclo na descrição da órbita do Sol. Neste caso, sabe-se que revolve ao longo da eclíptica com um movimento periódico com um período igual a um ano. Sabe-se ainda que se move com maior velocidade na vizinhança do perigeu e com menor velocidade na vizinhança do apogeu. Assim, são observadas, ao longo do ano, anomalias na posição do astro relativamente à posição onde se esperaria estar caso o seu movimento fosse uniforme. Se se considerar o início do movimento uniforme no apogeu, as maiores anomalias verificam-se nos pontos que distam um quadrante para um lado e para o outro do apogeu. Nestes pontos tem-se precisamente \(\varphi'-\omega=0\) onde \(\omega\) é a velocidade angular do movimento uniforme.<br />
<br />
A primeira aproximação a ser aqui considerada consiste em assumir que \(\omega_1=\omega\). De modo a que a anomalia máxima se encontre a um quadrante do apogeu, isto é, nos pontos da órbita tais que \(x=0\), é necessário ainda que \(\omega_2=\omega\), \(\omega_2=0\), \(\omega_2=2\omega\) ou \(r=0\). O caso \(r=0\) constitui o movimento circular uniforme de raio \(R\). Com \(\omega_2=\omega\) têm-se as equações paramétricas para a órbita<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}-x=(R+r)\cos(\omega t)\\ y=(R+r)\sin(\omega t)\end{array}\right.\]<br />
<br />
que também descreve um movimento circular e uniforme cujo raio é agora \(R+r\). Se \(\omega_2=2\omega\) tem-se, para a velocidade angular aparente,<br />
<br />
\[\varphi'=\left(1+\frac{r^2+Rr\cos(\omega t)}{R^2+r^2+2Rr\cos(\omega t)}\right)\omega\]<br />
<br />
Neste caso, a velocidade é claramente superior quando o astro se encontra no apogeu e inferior no perigeu. Tal hipótese é, portanto, contrária às observações. Finalmente, com \(\omega_2=0\) têm-se as equações paramétricas para as coordenadas da forma<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l} x=r+R\cos(\omega t)\\ y=R\sin(\omega t)\end{array}\right.\]<br />
<br />
que correspondem à hipótese da circunferência excêntrica tratada acima. As previsões resultantes da consideração da hipótese em que \(\omega_1=\omega\) e \(\omega_2=0\) conduzem a resultados bastante condicentes com as observações.<br />
<br />
O vector \(\vec{\epsilon}\) que tem origem no centro do epiciclo e extremidade no corpo tem coordenadas \(\left(r\cos\left(\omega_2 t\right),r\sin\left(\omega_2 t\right)\right)\). Se \(\vec{\rho}\) for o vector de posição associado ao epiciclóide, isto é, o vector definido pela origem do referencial e pelo ponto móvel,<br />
<br />
\[\vec{\rho}=\left(R\cos\left(\omega_1t\right)+r\cos\left(\omega_2t\right),R\sin\left(\omega_1t\right)+r\sin\left(\omega_2t\right)\right)\]<br />
<br />
então<br />
<br />
\[\vec{\epsilon}\cdot\vec{\rho}=r^2+Rr\cos\left(\left(\omega_2-\omega_1\right)t\right)\]<br />
<br />
Conclui-se que, nos pontos onde a anomalia é máxima, os vectores \(\vec{\epsilon}\) e \(\vec{\rho}\) são perpendiculares entre si sempre que \(r\ne 0\) ou \(\omega_1\ne\omega_2\).<br />
<br />
Um modelo para o movimento lunar é descrito por um epiciclo geral<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=R\cos\left(\omega_1t\right)+r\cos\left(\omega_2t\right)\\ y=R\sin\left(\omega_1t\right)+r\sin\left(\omega_2t\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
onde \(\omega_1\) é a velocidade angular correspondente a um período sideral e \(\omega_2\) é a velocidade angular correspondente ao retorno da anomalia relativa ao movimento médio à sua situação inicial. Verificou-se por observação que \(\omega_1\gt\omega_2\).<br />
<br />
Mostra-se que o modelo do epiciclo pode ser substituído por um modelo dado pelo movimento uniforme sobre uma circunferência excêntrica com velocidade angular igual a \(\omega_1-\omega_2\) que, por si só, roda em torno da origem com velocidade angular igual a \(\omega_2\). De facto, observando que \(\omega_1=\omega_2+\left(\omega_1-\omega_2\right)\), tem-se<br />
<br />
\[\begin{array}{l}\cos\omega_1t=\cos\omega_2t\cos\left(\omega_1-\omega_2\right)t-\sin\omega_2t\sin\left(\omega_1-\omega_2\right)t\\ \sin\omega_1t=\sin\omega_2t\cos\left(\omega_1-\omega_2\right)t+\sin\left(\omega_1-\omega_2\right)t\cos\omega_2t\end{array}\]<br />
<br />
A sua substituição na equação do epiciclo proporciona<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\left(r+R\cos\left(\omega_1-\omega_2\right)t\right)\cos\omega_2-R\sin\left(\omega_1-\omega_2\right)t\sin\omega_2t\\ y=R\sin\left(\omega_1-\omega_2\right)t\sin\omega_2t+\left(r+R\cos\left(\omega_1-\omega_2\right)t\right)\cos\omega_2t\end{array}\right.\]<br />
<br />
que claramente resulta da aplicação da rotação de um ângulo igual a \(\omega_2t\) à curva<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l} x=r+R\cos\left(\omega_1-\omega_2\right)t\\ y=R\sin\left(\omega_1-\omega_2\right)t\end{array}\right.\]<br />
<br />
como afirmado.<br />
<br />
À semelhança do que foi realizado no caso da órbita circular excêntrica, a razão entre \(r\) e \(R\) pode ser determinada a partir dos tempos de transição entre três pontos. Estes dados determinavam-se com maior precisão durante eclipses lunares. Suponha-se, portanto, que o primeiro eclipse tenha ocorrido num determinado instante. Do primeiro eclipse ao segundo deu-se um deslocamento angular aparente de \(\theta_1\) no intervalo de tempo \(\tau_1\). Por seu turno, conhece-se também o deslocamento angular aparente de \(\theta_2\) medido relativamente ao primeiro num intervalo de tempo dado por \(\tau_2\).<br />
<br />
Seja \(\sigma\) o ângulo que é necessário rodar o referencial de modo a alinhar o eixo das abcissas com a posição do primeiro eclipse. A equação do epiciclo no novo referencial passa a ser escrita como<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=R\cos\left(\omega_1t-\sigma\right)+r\cos\left(\omega_2t-\sigma\right)\\ y=R\sin\left(\omega_1t-\sigma\right)+r\sin\left(\omega_2t-\sigma\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
A escolha conveniente de uma nova origem temporal no instante \(\tau_0\) tal que \(\omega_1\tau_0=\sigma\) permite escrever<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=R\cos\left(\omega_1t\right)+r\cos\left(\omega_2t+\psi\right)\\ y=R\sin\left(\omega_1t\right)+r\sin\left(\omega_2t+\psi\right)\end{array}\right.\]<br />
<br />
onde \(\psi=\omega_2\tau_0-\sigma\) é um valor que deverá ser determinado. A informação obtida entre eclipses permite escrever<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\tan\theta_1=\frac{R\cos\left(\omega_1\tau_1\right)+r\cos\left(\omega_2\tau_1+\psi\right)}{R\sin\left(\omega_1\tau_1\right)+r\sin\left(\omega_2\tau_1+\psi\right)}\\ \tan\theta_2=\frac{R\cos\left(\omega_1\tau_2\right)+r\cos\left(\omega_2\tau_2+\psi\right)}{R\sin\left(\omega_1\tau_2\right)+r\sin\left(\omega_2\tau_2+\psi\right)}\end{array}\right.\]<br />
<br />
Trata-se de um sistema de duas equações que permite a determinação das quantidades \(\psi\) e \(\alpha=\frac{r}{R}\).<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
Um modelo comum usado para a descrição do movimento da maioria dos planetas na antiguidade baseava-se no conceito de equante. Para o descrever, considere-se a semi-recta que passa no ponto \(D\) de coordenadas \(\left(2p,0\right)\) e que roda com velocidade constante. A sua equação paramétrica escreve-se como<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=2p+\lambda\cos(\omega t)\\ y=\lambda\sin(\omega t)\end{array}\right.\]<br />
<br />
Note-se que \(\lambda\ge 0\) é aqui o parâmetro que define a recta. Seja agora o círculo de raio \(R\) e centro no ponto \(Z\) de coordenadas \(\left(p,0\right)\) cuja equação algébrica é da forma<br />
<br />
\[<br />
(x-p)^2+y^2=R^2<br />
\]<br />
<br />
A intersecção da recta móvel com a circunferências excêntrica de centro em \(Z\) produz um movimento circular mas não uniforme. A sua equação obtém-se, resolvendo o sistema de equações<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=2p+\lambda\cos(\omega t)\\ y=\lambda\sin(\omega t)\\ (x-p)^2+y^2=R^2 \end{array}\right.\]<br />
<br />
A substituição da primeira e segunda equações na terceira resulta em<br />
<br />
\[\lambda^2+2\lambda p\cos(\omega t)+p^2=R^2\]<br />
<br />
É claro que, do ponto de vista geométrico, \(\lambda\) representa a distância do ponto \(D\), que será designado por equante, ao ponto situado na circunferência excêntrica de centro em \(Z\). A equação define implicitamente \(\lambda\) como função de \(t\). A equação da trajectória é dada, portanto, por<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=2p+\lambda\cos(\omega t)\\ y=\lambda\sin(\omega t)\end{array}\right.\]<br />
<br />
onde \(\lambda\) é a função implicitamente definida pela equação<br />
<br />
\[\lambda^2+2\lambda p\cos(\omega t)+p^2=R^2\]<br />
<br />
A função \(\lambda\) satisfaz a equação diferencial<br />
<br />
\[\lambda'=\frac{p\lambda\sin(\omega t)}{\lambda+p\cos(\omega t)}\omega\]<br />
<br />
Um pouco de álgebra permite mostrar que a velocidade angular aparente é dada por<br />
<br />
\[\phi'=\left(1-2p\frac{\lambda p+\left(R^2+p^2\right)\cos(\omega t)}{\left(2p^2\sin^2(\omega t)+R^2+p^2\right)\lambda+p\left(3R^2-p^2\right)\cos(\omega t)}\right)\omega\]<br />
<br />
A velocidade angular aparente é igual à velocidade angular como esta é observada por quem se encontre no ponto do equante quando<br />
<br />
\[\lambda=-\frac{\left(p^2+R^2\right)\cos(\omega t)}{p}\]<br />
<br />
que, quando combinada com a equação que define implicitamente \(\lambda\) como função do tempo, conduz a<br />
<br />
\[\cos(\omega t)=\pm\frac{p^2}{\left(R^2-p^2\right)\left(R^2+p^2\right)}\sqrt{R^2-p^2}\]<br />
<br />
e permite a obtenção dos instantes onde a anomalia é máxima relativa ao movimento circular uniforme centrado no observador para o caso do movimento circular excêntrico cuja velocidade é uniforme relativamente ao equante.<br />
<br />
A consideração de um epiciclo cujo centro se move ao longo da circunferência excêntrica, centrada no ponto \((p,0)\) com velocidade uniforme quando vista do equante proporciona uma ajuste aceitável aos dados observados para a anomalia da maioria dos planetas conhecidos na antiguidade. A sua equação assume a forma geral<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=2p+\lambda\cos(\omega_1t)+r\cos\left(\omega_2t\right)\\ y=\lambda\sin(\omega_1t)+r\sin\left(\omega_2t\right)\\ \lambda^2+2\lambda p\cos(\omega_1t)+p^2=R^2\end{array}\right.\]<br />
<br />
Se se fizer<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_2=r\cos\left(\omega_2t\right)\\ y_2=r\sin\left(\omega_2t\right) \end{array}\right.\]<br />
<br />
um pouco de álgebra permite determinar, após substituição na fórmula que proporciona a velocidade aparente,<br />
<br />
\[\varphi'=\omega_1+\frac{\lambda'h+\left(\omega_2-\omega_1\right)\left(x_2x+y_2y\right)-2p\omega_1x}{x^2+y^2}\]<br />
<br />
onde se fez, para abreviar,<br />
<br />
\[h=2p\sin\left(\omega_1t\right)-r\sin\left(\left(\omega_2-\omega_1\right)t\right)\]<br />
<br />
Por exemplo, para que a anomalia máxima seja atingida a um quadrante do afélio, isto é, quando \(x=0\), é possível considerar que \(\omega_2=0\) e \(2p=-r\). Neste caso, fica<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\lambda\cos(\omega_1 t)\\ y=\lambda\sin(\omega_1 t)\end{array}\right.\]<br />
<br />
bem como<br />
<br />
\[\varphi'=\left(1+\frac{2rx}{x^2+y^2}\right)\omega_1\]<br />
<br />
Neste caso, a anomalia é máxima quando \(x=0\) já que \(r=0\) corresponde ao movimento circular e uniforme centrado no observador. Além disso, dado que \(x_2x+y_2y=-rx\), conclui-se que o raio vector que define o epiciclo é perpendicular ao raio vector associado à órbita no ponto de anomalia máxima.<br />
<br />
O movimento dos planetas, por seu turno, é descrito pela expressão mais geral onde \(\omega_1\) é a velocidade angular relativa ao movimento médio dado pelo retorno em longitude. O valor de \(\omega_2\) está associado ao período médio da anomalia sinódica e realiza-se no sentido contrário, isto é, trata-se de um valor negativo. Considerando \(\omega_1\) e \(\omega_2\) positivos, tem-se, para o caso do movimento dos planetas,<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=2p+\lambda\cos(\omega_1t)+r\cos\left(\omega_2 t\right)\\ y=\lambda\sin(\omega_1t)-r\sin\left(\omega_2 t\right)\\ \lambda^2+2\lambda p\cos(\omega_1t)+p^2=R^2\end{array}\right.\]<br />
<br />
É óbvio que a linha apsidal, isto é, a linha que une o perigeu e o apogeu, coincide com o eixo das abcissas do referencial considerado. Não é difícil constatar que a órbita é simétrica em torno do eixo das abcissas. Assim, em pontos à mesma distância angular para um lado e para o outro do apogeu ou perigeu, observam-se as mesmas elongações medidas relativamente ao movimento médio com velocidade angular \(\omega_1\). Como a velocidade angular do sol médio é constante, as elongações máximas relativas a esta referência são atingidas em pontos que distam o mesmo ângulo para um lado e para o outro tanto do apogeu como do perigeu. Este facto permite determinar a direcção da linha apsidal como direcção perpendicular às direcções definidas por observações das elongações máximas determinadas de um lado e do outro.<br />
<br />
Como \(p\ll R\), observa-se que, quando a velocidade angular do movimento circular que é uniforme quando observado do equante é igual à velocidade angular \(\omega_1\), se tem aproximadamente \(\cos\omega_1 t=0\). Nestes pontos, que distam a um quadrante do apogeu em relação ao equante, tem-se \(\lambda\approx R\), \(\lambda'=\omega_1p\) e<br />
<br />
\[\varphi'\approx \omega_1+\left(\omega_1+\omega_2\right)\frac{xx_2+yy_2}{x^2+y^2}\]<br />
<br />
Se, em cada um dos pontos, o planeta apresentar a sua anomalia máxima então terá de ser verificada a equação \(xx_2+yy_2=0\). Suponha-se que nos instantes \(\tau_1\) e \(\tau_2\), o planeta se encontra respectivamente à distância de um quadrante do apogeu visto do equante num lado e no outro. Suponha-se também que são observadas as máximas anomalias nos ângulos \(\omega_2\tau_1\) e \(\omega_2\tau_2\) em cada um deles. Neste caso tem-se<br />
<br />
\[\left\lbrace\begin{array}2p\cos\omega_2\tau_1-R\sin\omega_2\tau_1+r=0\\ 2p\cos\omega_2\tau_2-R\sin\omega_2\tau_2+r=0\end{array}\right.\]<br />
<br />
Uma vez que são determináveis, por medição, os ângulos \(\omega_2\tau_1\) e \(\omega_2\tau_2\), o sistema pode ser resolvido de modo a determinar o valor das razões \(\frac{p}{R}\) e \(\frac{r}{R}\). É possível determinar o valor de cada um dos parâmetros, ao invés das suas razões, se se considerar a anomalia máxima medida quando o planeta se encontra no apogeu relativamente à velocidade que seria de esperar se não existisse o epiciclo. Conhecidos os parâmetros, a medição de um ponto apenas é suficiente para determinar velocidade angular \(\omega_2\) da anomalia.<br />
<br />
O método anterior aplicava-se apenas aos planetas internos já que as suas elongações são limitadas. Não funciona, portanto, no caso dos planetas externos cujas elongações podem assumir qualquer valor. Neste caso, são obtidos os valores em três pontos em que ocorre oposição. Tais medições prestam-se à determinação dos parâmetros da órbita para este caso.</div>
</div>
</div>
</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-12385264082334523422019-08-07T13:03:00.001+01:002019-08-07T13:03:59.842+01:00Sobre a formação natural de ureia<div style="text-align: justify;">
Considera-se que a química moderna tem a sua origem no tratado elaborado por Lavoisier. Porém, ainda se acreditava que os compostos orgânicos poderiam apenas ter origem em seres vivos segundo a teoria do vitalismo. Prevera-se, como resultado da filosofia vitalista, que as substâncias orgânicas, apesar de se poderem decompor em substâncias minerais, poderiam apenas ser formadas em organismos vivos já que estes são as os únicos capazes de prover o a força vital necessária à sua síntese. Tal hipótese foi invalidada experimentalmente com a publicação do artigo <a href="https://1drv.ms/w/s!AtQj9ZeGOVosv1maycF14tGi6o4z?e=cPSFFT" target="_blank">Sobre a formação natural de ureia</a> por Wöhler.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
É curioso o facto de que a experiência não foi suficiente para tornar obsoleta a filosofia vitalista. Começou a surgir entre os químicos vitalistas o argumento de que, mesmo que se consiga produzir substâncias orgânicas a partir de corpos inorgânicos, isso estaria ainda muito incompleto relativamente à produção de corpos orgânicos funcionais a partir de corpos inanimados. Outros acreditavam que o cianeto de amónio a partir do qual se obtivera ureia poderia encerrar forças anímicas que não pactuavam com as leis da física. Esta última hipótese fora mais tarde desmentida quando se produziram substâncias orgânicas a partir de elementos que poderiam também ser usados na produção de substâncias inorgânicas.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-83657001578445503362019-06-26T11:08:00.000+01:002019-06-26T11:08:16.439+01:00Princípios básicos de síntese digital de sons<div style="text-align: justify;">
Um sinal eléctrico consiste numa função que representa a evolução temporal de grandezas eléctricas tais como a diferença de potencial entre dois pontos ou a intensidade da corrente eléctrica que atravessa um determinado ramo. Sinais eléctricos podem ser usados para representar a evolução de grandezas físicas tais como a temperatura ou a pressão atmosférica de uma sala. Sinais eléctricos que representam a evolução de grandezas físicas são habitualmente obtidos através de sensores ou transdutores. Os transdutores são dispositivos que permitem a conversão de sinais eléctricos em outros formas de energia ou vice-versa. Os microfones são exemplos de transdutores que permitem converter sons em sinais eléctricos. Por seu turno, altofalantes são transdutores que convertem sinais eléctricos nas variações da pressão do ar que constituem os sons.<br />
<br />
De um modo mais formal, um sinal eléctrico pode ser representado por uma função \(f(t)\) que atribui o valor da diferença de potencial ou intensidade eléctricas a um determinado instante. Diz-se que o sinal é analógico quando a função é aplicada sobre um domínio contínuo de instantes. No caso em que o domínio é discreto, está-se na presença de um sinal digital. Ao processo de discretização do domínio dos instantes na obtenção de um sinal digital dá-se a designação de amostragem. Na prática, a amostragem é obtida a partir de um sinal analógico com o auxílio dos conversores analógico-digitais.<br />
<br />
É habitual considerar instantes \(t_1=\alpha,t_2=2\alpha,\cdots t_n=n\alpha,\cdots\) igualmente espaçados aos quais são atribuídos valores de precisão finita quando se procede à amostragem de um sinal analógico para obter um sinal digital. Na prática, divide-se o intervalo de um segundo em \(n\) segmentos iguais onde cada segmento tem a duração de \(\alpha\) segundos, isto é, \(n\alpha=1\). A \(n\) dá-se o nome de taxa de amostragem. A \(\alpha\) é frequentemente atribuída a designação de intervalo de amostragem. A taxa de amostragem mais comum nos dispositivos audio é de \(44100\) amostras por segundo.<br />
<br />
A cada um dos instantes é associado um número de precisão finita que, quando convertido em representação na base binária, requer um número finito de algarismos, isto é, um número finito de bits. No caso dos CD, são considerados números de 16 bit por amostra. Os DVD, por seu turno, requerem números de 24 bit. À representação que, a cada amostra é atribuído um número, dá-se a designação de modulação por código de impulso. Outras representações, tais como a modulação delta, permitem representar a função de uma forma mais compacta.<br />
<br />
De um modo geral, o processo de síntese digital de sons passa pela construção de funções que, quando aplicadas a um domínio discreto de instantes, produzam uma representação do som. Por exemplo, a função<br />
\[<br />
f(t)=A\sin{(2\pi\nu t+\varphi)}<br />
\]<br />
representa aquilo que é vulgarmente designado por tom puro de frequência \(\nu\), amplitude \(A\) e fase \(\varphi\). A frequência é apercebida como a altura do tom, isto é, a frequência está directamente associada à nota musical. A cada nota musical corresponde um som cuja representação admite a mesma frequência. A amplitude proporciona a intensidade do som. A fase, por seu turno, não tem percepção audível a menos que a função seja combinada com outras de modo a produzir sons mais complexos. De um modo geral, uma função \(f(t)\) diz-se periódica se existir um valor \(\tau\) tal que \(f(t+\tau)=f(t)\) para todo o valor de \(t\). O perído \(T\) é dado pelo menor valor de \(\tau\). A frequência é dada por \(\nu=\frac{1}{T}\). No caso da função sinusoidal, é claro que<br />
\[<br />
f(t+T)=A\sin{\left(2\pi\nu t + 2\pi\nu T + \varphi\right)}<br />
\]<br />
A identidade \(f(t+T)=f(t)\) é verificada se se fizer \(\nu T=1\), como seria de esperar já que \(\nu\) representa a frequência. O som representado por uma função sinusoidal recebe a designação de tom puro uma vez que qualquer função periódica pode ser escrita como uma soma de uma série de funções trigonométricas cujas frequências são múltiplos inteiros da frequência da função. Trata-se de um resultado sobejamente conhecido sobre as séries trigonométricas. Duas funções diferentes com a mesma frequência dão origem a sons com a mesma altura, isto é, na mesma nota musical. No entanto, serão percebidos com uma textura diferente.<br />
<br />
Para gerar um segundo de um tom puro de frequência \(\nu\) e amplitude \(A=1\) a uma taxa de amostragem de \(44100\) amostras por segundo, determina-se a sequência de \(44100\) valores da forma<br />
\[<br />
f_k=f(t_k)=\sin\left(2\pi\nu t_k\right)<br />
\]<br />
onde \(t_k=\frac{k}{44100}\) com \(k\) a variar desde \(1\) até \(44100\). É esta sequência que, quando enviada para o conversor analógico-digital, permite obter o sinal analógico que é subsequentemente traduzido em som nos altofalantes. Os componentes dos sintetizadores digitais que permitem construir as funções periódicas são designados por osciladores à semelhança do que acontece com os geradores de funções analógicas nos sintetizadores analógicos.<br />
<br />
Não é necessário que a função \(f(t)\) seja contínua de modo a representar um som. Com efeito, mesmo que não se verifiquem saltos descontínuos nas grandezas físicas, as funções obtidas serão sempre consideradas como aproximações. Variações muito bruscas no valor da grandeza podem ser encaradas, até certo ponto, como descontinuidades. Para além da função sinusoidal, outras funções notáveis são usadas em osciladores dada a facilidade com que são produzidas por circuítos electrónicos. A função periódica mais simples talvez seja a função impulso. Esta é definida por<br />
\[<br />
f(t)=\left\lbrace\begin{array}<br />
-1, & t-\left\lfloor t\right\rfloor\le p\\<br />
0, & t-\left\lfloor t\right\rfloor>p<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]<br />
onde \(p\) é um parâmetro compreendido entre \(0\) e \(1\) e a quantidade \(t-\left\lfloor t\right\rfloor\) representa a parte fraccionária de \(t\). A função assim definida satisfaz a equação funcional \(f(t+1)=f(t)\) e tem, portanto, frequência unitária. A função da forma \(A\cdot f(\nu t+\varphi)\) possui frequência \(\nu\), amplitude \(A\), frequência \(\nu\) e fase \(\varphi\). É claro que se \(f(t)\) possuir frequência unitária então a frequência da função \(f(\nu t)\) é igual a \(\nu\).<br />
<br />
O oscilador triangular de frequência unitária é descrito pela função<br />
\[<br />
f(t)=\left\lbrace<br />
\begin{array}<br />
_4\left(t-\left\lfloor t\right\rfloor\right)-1, & t-\left\lfloor t\right\rfloor\le \frac{1}{2}\\<br />
1-4\left(t-\left\lfloor t\right\rfloor\right), & t-\left\lfloor t\right\rfloor>\frac{1}{2}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]<br />
O oscilador dente-de-serra de frequênca unitária é descrito pela função<br />
\[<br />
f(t)=2\left(t-\left\lfloor t\right\rfloor\right) - 1<br />
\]<br />
O resultado da combinação aritmética e composição de funções, quer periódicas, quer estejam definidas sobre um domínio finito, permite gerar sons com bastante musicalidade.<br />
<br />
Os sinais digitais são traduzidos em sinais analógicos por intermédio de uma espécie de interpolação sobre as amostras. O seguinte modelo permite dar uma ideia das limitações inerentes a este processo. Um sinal analógico \(x(t)\) de quadrado integrável contínuo por segmentos admite a representação em integral<br />
\[<br />
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\xi(\omega)e^{i\omega t}d\omega}<br />
\]<br />
onde<br />
\[<br />
\xi(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-i\omega t}dt}<br />
\]<br />
A discretização do sinal num conjunto de amostras com intervalo de amostragem \(\alpha\) definida pelos pontos da forma \(x_k=x\left(k\alpha\right)\) onde \(k\) é inteiro e \(\alpha\) é o intervalo de amostragem leva a considerar a aproximação ao integral para \(\xi(\omega)\) da forma<br />
\[<br />
\xi(\omega)=\alpha\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{x_ke^{-i\omega\alpha k}}<br />
\]<br />
Trata-se da série que representa a expansão de \(\xi(\omega)\) se esta for uma função periódica de período \(\frac{2\pi}{\alpha}\). Neste caso, \(x_k\) será dado por<br />
\[<br />
x_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{\xi(\omega)e^{ik\omega\alpha}d\omega}<br />
\]<br />
O integral que proporciona \(x_k\) coincide com o que proporciona \(x(t)\) com \(t=k\) se \(\xi(\omega)\) for limitada ao intervalo \((-\frac{\pi}{\alpha},\frac{\pi}{\alpha}\rbrack\). Qualquer sinal cujas frequências constituintes estejam limitadas ao intervalo \((-\frac{\pi}{\alpha},\frac{\pi}{\alpha}\rbrack\) admite, portanto, a representação<br />
\[<br />
x(t)=\frac{\alpha}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{\left\lbrace \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{x_ke^{-ik\omega\alpha}}\right\rbrace e^{i\omega t}d\omega}=\frac{\alpha}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{x_k\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{e^{i\omega(t-\alpha k)}d\omega}}<br />
\]<br />
de onde se segue<br />
\[<br />
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{x_k\frac{\sin{\left\lbrack\pi(\frac{t}{\alpha}-k)\right\rbrack}}{\pi\left(\frac{t}{\alpha}-k\right)}}<br />
\]<br />
Definindo a frequência de amostragem \(\nu_a\) por \(\frac{2\pi}{\alpha}\), conclui-se que os sinais com frequências compreendidas entre \(-\frac{\nu_a}{2}\) e \(\frac{\nu_a}{2}\) podem ser recuperados a partir da amostragem na sua forma original. No caso geral, suponha-se que \(\xi_a(\omega)\) é a restrição de \(\xi(\omega)\) ao intervalo \(\left(\frac{\pi}{\alpha},\frac{\pi}{\alpha}\right\rbrack\). Para valores de \(t=\alpha k\) com \(k\) inteiro tem-se<br />
\[<br />
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\xi(\omega)e^{i\omega t}d\omega}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{\xi_a(\omega)e^{i\omega t}d\omega}<br />
\]<br />
Porém, é verdade que<br />
\[<br />
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\xi(\omega)e^{i\omega k\alpha}d\omega}=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}{\int_{\frac{(2j-1)\pi}{\alpha}}^{\frac{(2j+1)\pi}{\alpha}}{\xi(\omega)e^{i\omega k\alpha}d\omega}}<br />
\]<br />
e a transformação \(\omega\to\omega'+\frac{2j\pi}{\alpha}\) permite reduzir o integral anterior a<br />
\[<br />
x_k=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}{\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{\xi(\omega'+\frac{2j\pi}{\alpha})e^{i\left(\omega'+\frac{2j\pi}{\alpha}\right) k\alpha}d\omega}}<br />
\]<br />
ou<br />
\[<br />
x_k=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}{\int_{-\frac{\pi}{\alpha}}^{\frac{\pi}{\alpha}}{\xi(\omega'+\frac{2j\pi}{\alpha})e^{i\omega' k\alpha}d\omega}}<br />
\]<br />
Comparando com o valor de \(x_k\) dado pelo integral em \(\xi_a(\omega)\), conlui-se que<br />
\[<br />
\xi_a(\omega)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty} \xi\left(\omega+\frac{2j\pi}{\alpha}\right)<br />
\]<br />
isto é, todas as frequências que compõem qualquer sinal são projectadas sobre o intervalo \((-\frac{\pi}{\alpha},\frac{\pi}{\alpha}\rbrack\). É possível conceber diferentes sinais que proporcionam o mesmo conjunto de amostras desde que sejam compostos por frequências suficientemente elevadas.<br />
<br />
Entre os osciladores habituais, apenas a função sinusoidal possui uma frequência muito localizada. Os outros osciladores originam sinais cujo espectro de frequências se estende indefinidamente. Quando o sinal é reconstituído a partir do sinal original, as frequências constituintes que se encontram no exterior do intervalo de amostragem alteram a forma do sinal digital original. De modo a evitar esse comportamento, é frequente acoplar um filtro à saída do oscilador digital que permita a eliminação das componentes do sinal gerado com frequências elevadas. Outras técnicas existem que permitem a construção de amostras cuja reconstrução proporcionam os sinais analógicos pretendidos dentro de uma precisão aceitável.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-27181509066084127712019-05-27T11:12:00.002+01:002019-05-27T11:12:48.588+01:00Sobre a composição química das células de pus<div style="text-align: justify;">
Traduzi o texto <i>Über ddie chemische Zusammensetzung der Eiterzellen</i> em <a href="https://1drv.ms/f/s!AtQj9ZeGOVosvg8COURpVajadxLT" target="_blank">Sobre a composição química das células de pus</a>. No decurso da investigação da química das células de pus que deveria fazer, porventura, alguma luz sobre os processos inerentes ao combate das doenças, surgira uma substância com propriedades diferentes das proteínas. Caracterizava-se fundamentalmente pelo seu conteúdo fosfórico bem como pela sua resistência às substâncias estomacais responsáveis pela digestão de substâncias proteicas. Foi assim obtida a primeira purificação daquilo que hoje recebe o nome de ácido desoxirribonucleico, abreviado por ADN, que se encontra no núcleo das células e é responsável por definir as suas características.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Não posso dizer que se trata de um texto com a qualidade desejada, já que a sua tradução foi realizada directamente a partir do alemão com o auxílio de tradutores. Porém, considero que é possível obter uma descrição em português dos métodos de depuração e análise químicas que conduziram pela primeira vez à obtenção de ADN.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-22104615995315122682019-05-27T11:12:00.001+01:002019-05-27T11:12:38.193+01:00Sobre a projecção da sombra de um gnómon<div style="text-align: justify;">
É indiscutível a importância do <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Almagesto" target="_blank">Almagesto</a> tanto na história da astronomia como da trigonometria. Neste tratado é apresentado, pela primeira vez, um método para o cálculo de uma tabela com os valores do seno com uma precisão considerável. Esse importante resultado matemático serve aí como ferramenta imprescindível na resolução de problemas relacionados com a descrição dos movimentos dos astros na Esfera Celeste observados a partir de lugares com diferentes latitudes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O Almagesto descreve a posição dos corpos celestes com base no modelo geocêntrico onde se considera que os movimentos se realizam sobre esferas centradas na Terra imóvel, cuja dimensão se considera desprezável relativamente à dimensão do Cosmos. Assim, as estrelas estão sujeitas a dois tipos de movimento. O movimento diário cujas trajectórias são círculos menores paralelos ao equador e um movimento com periodicidade anual que é reconhecido relativamente a determinadas configurações estelares ou constelações. De acordo com este modelo, por exemplo, o Sol move-se sobre um círculo menor paralelo ao plano do equador. O seu movimento anual, considerado relativamente ao pano de fundo definido pelas constelações é realizado ao longo de um círculo máximo, inclinado de cerca de 23º relativamente ao plano do equador e que recebe a designação específica de eclíptica. É quando o Sol se encontra nos pontos de intersecção da eclíptica com o círculo máximo do equador que ocorrem os equinócios. Os solstícios, por seu turno, ocorrem quando o Sol se encontra nos dois outros quadrantes da eclíptica.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O primeiro problema astronómico a ser resolvido no tratado supracitado consiste na descrição de um método para a determinação da inclinação da eclíptica. Para determinar a inclinação da eclíptica, utiliza-se um astrolábio para determinar a altura do Sol ao meio-dia, isto é, o menor ângulo medido a partir do zénite ao longo do dia. Os dois valores extremos dos ângulos medidos durante um ano ocorrerão nos solstícios e o valor intermédio nos equinócios. A inclinação da eclíptica será, portanto, metade do ângulo medido entre os valores extremos. O ângulo médio proporcionará a latitude do lugar onde se realiza a observação dado que, ocorrendo durante os equinócios, o ponto associado se encontra no plano do equador.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
É claro que a medição do ângulo sobre a superfície esférica não está livre de complicações técnicas. De facto, o dispositivo deverá ser colocado sobre uma base perfeitamente horizontal, o que se consegue facilmente mediante recurso a um fio de prumo. Além disso, deverá estar alinhado segundo o meridiano que contém a sua posição, isto é, ao longo da direcção norte-sul. Nos dias de hoje, essa direcção é facilmente determinada com o auxílio do GPS. Num passado não muito distante recorria-se à bússola para a determinação do norte magnético e aplicavam-se as correcções necessárias de acordo com o lugar para obter a direcção pretendida. Porém, na antiguidade clássica apenas a luz do sol servia como instrumento nessa determinação e é assumido como conhecido de quem lê o Almagesto.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Um pouco de investigação conduz ao <a href="https://archive.org/details/corpusagrimensor01thuluoft/page/26" target="_blank">Corpus Agrimensorum Romanorum</a> como fonte de informação sobre o método que era comum na antiguidade clássica para a determinação da direcção este-oeste e, por intermédio da determinação de perpendiculares, da direcção norte-sul. Aí é apresentado um método alternativo substancialmente mais simples. No sítio <a href="https://www.cartographyunchained.com/rm5/" target="_blank">Cartography Unchained</a> encontra-se uma descrição ilustrada e detalhada de ambos os métodos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como achei curioso o método clássico para a determinação da direcção do meridiano, procurei por uma demonstração. No sítio de cartografia supracitado é feita uma referência ao facto de que o ponto construído sobre a direcção este-oeste se encontra simultaneamente no plano do horizonte e num plano paralelo ao plano do equador. No entanto, a justificação apresentada afigura-se-me deveras vaga. Fui então levado a analisar com algum cuidado o problema sobre a projecção das sombras durante um ano, tendo por pano de fundo o modelo actualmente aceite sobre o movimento de rotação e translação da Terra em torno do centro de massa que se encontra muito próximo do centro do Sol. Compilei as conclusões no texto <a href="https://1drv.ms/w/s!AtQj9ZeGOVosvgznJOr3vpNeteVg" target="_blank">Sobre a projecção da sombra de um gnómon</a>. Aí, apresento uma justificação mais sólida sobre o método clássico na determinação da direcção do meridiano que passa pelo lugar onde é realizada a medição.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-36741638509105374032018-05-27T11:31:00.001+01:002018-05-27T11:31:40.295+01:00O universo em expansão<div style="text-align: justify;">
Umas das teorias cosmológicas mais conhecidas é, sem dúvida, aquela que descreve um universo em expansão. De acordo com tal teoria, tal expansão ter-se-á originado a partir de um estado de alta densidade e alta temperatura. Evidências, tais como o desvio para o vermelho de galáxias distantes e a radiação cósmica de fundo abonam a favor de uma teoria do género.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Friedman considerou um modelo cosmológico concordante com as equações da relatividade geral onde é assumida a possibilidade de um espaço com curvatura não constante. O seu artigo, <i>Über die Krümmung des Raumes</i> data de 1922. Em 1927, Lemaître, no seu artigo <i>Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques</i> e cuja tradução pode ser entendida como <i>Um universo de masa contante e raio crescente, tendo em conta a velocidade radial das nebulosas extragalácticas</i>, assume que o universo, além de se expandir, a sua velocidade de expansão é proporcional à distância e apoiou as suas conclusões sobre provas observacionais.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Decidi traduzir o artigo <a href="https://1drv.ms/w/s!AtQj9ZeGOVosq1tu-xPoGZt8Mlwz" target="_blank">O universo em expansão</a> no qual o autor expõe algumas das suas ideias. Apesar de não ser o artigo onde é apresentada a conclusão sobre a dependência na distância da velocidade de expansão, escolhi-o por enveredar uma série de estudos sobre a estrutura do espaço-tempo.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9172938192516826371.post-7930436055263287882018-05-27T11:28:00.001+01:002018-05-27T11:28:29.678+01:00Sobre a quantificação do gás monoatómico ideal<div style="text-align: justify;">
Os modelos aplicados às estrelas para explicar a sua evolução têm sido baseados na consideração de que estas são consideradas como sendo esferas de gás cujas partículas, ao contrário do que é assumido em teorias clássicas, são indistinguíveis entre si. Traduzi o texto <a href="https://1drv.ms/w/s!AtQj9ZeGOVosq1xheU3MRyUgooEo" target="_blank">Sobre a quantificação do gás monoatómico ideal</a> onde a questão terá sido tratada pela primeira vez. Trata-se de um artigo basilar na história da fundamentação dos buracos negros.</div>
Sérgio O. Marqueshttp://www.blogger.com/profile/15630572894344746863noreply@blogger.com0