Problema de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central

 No texto enlinha Invariantes nas equações do movimento foi observado que o problema geral de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central, cujas soluções dependem de seis condições iniciais, se reduz a um problema mais simples se se considerar uma configuração particular das condições iniciais, obtendo as demais soluções por simples rotação. Suponha-se que \(x\), \(y\) e \(z\) são dados, em coordenadas esféricas, por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=r\sin\phi\cos\theta\\ y=r\sin\phi\sin\theta\\z=r\cos\phi\end{array}\right.\]

Nestas coordenadas determina-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y=r^2\phi'\sin\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\cos\theta\\ l_2=z'x-x'z=-r^2\phi'\cos\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\sin\theta\\l_3=x'y-y'x=-r^2\theta'\sin^2\phi\end{array}\right.\]

Observa-se que as soluções que satisfazem

\[\phi=\frac{\pi}{2}\]

se existirem, são tais que \(l_1=l_2=0\) e \(l_3=-r^2\theta'\), pois \(\phi'=0\). A função \(L\), neste caso, fica da forma

\[L=\frac{1}{2}m\left(r'^2+r^2\theta'^2\right)+\frac{GMm}{r}\]

onde se considera o caso clássico em que a intensidade da força é proporcional ao quadrado da distância ao seu centro,

\[U(r)=\frac{GMm}{r}\]

 Segue-se que

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_r=\frac{\partial L}{\partial r'}=mr'\\ p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \theta'}=mr^2\theta'\end{array}\right.\]

e

\[H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_\theta^2\right)-\frac{GMm}{r}\]

Procedendo de um modo semelhante ao apresentado enlinha na ligação A função característica para dois osciladores harmónicos independentes, considera-se a equação diferencial às derivadas parciais para \(W\) na forma

\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2\right)-\frac{GMm}{r}-E=0\]

ou

\[\frac{r^2}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2=0\]

 Ora, considerando que \(W(r,\theta)=W_r(r)+W_\theta(\theta)\), obtém-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{r^2}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{l^2}{2m}=0\\ \frac{dW_\theta}{d\theta}=l\end{array}\right.\]

e, portanto,

\[W=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}\]

isto é,

\[V=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}-E\left(t-t_0\right)\]

Dado que \(V\) não depende explicitamente de \(E\) e \(l\), então

\[\frac{\partial V}{\partial l}=\frac{\partial V}{\partial E}=0\]

de onde se extraem as equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=\int_{r_0}^r{\frac{l}{r^2\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\\ t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\end{array}\right.\] 

Torna-se claro que a primeira equação provê a órbita da partícula, proporcionando \(r\) em função do ângulo \(\theta\). A substituição

\[r\to\frac{1}{u}\]

permite escrever

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=-\int_{u_0}^u{\frac{l}{\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\\ t-t_0=\int_{u_0}^u{\frac{m}{u^2\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\end{array}\right.\]

A solução do primeiro integral é dada por

\[\theta-\theta_0=\arcsin\left(\frac{u_0-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)-\arcsin\left(\frac{u-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)\]

Ora, se se fizer

\[\tau=\arcsin x-\arcsin y\]

isto é,

\[\arcsin y=\tau-\arcsin x\]

então

\[y=-x\cos\tau+\sqrt{1-x^2}\sin\tau\]

que, aplicada à solução encontrada, permite escrevê-la como

\[u-\frac{GMm^2}{l^2}=\left(u_0-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\tau-\sqrt{\frac{2mE}{l^2}-u_0^2+\frac{2GMm^2}{l^2}u_0}\sin\tau\]

em que \(\tau=\theta-\theta_0\). Em termos de \(r\) e \(r_0\) tem-se a equação da órbita na forma

\[r=\frac{1}{\frac{GMm^2}{l^2}+\left(\frac{1}{r_0}-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-\frac{1}{l}\sqrt{2mE-\frac{l^2}{r_0^2}+\frac{2GMm^2}{r_0}}\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

 Das equações do movimento associadas à função característica \(V\) obtem-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial r_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial r'}\right\rbrack_{t=t_0}\\ \frac{\partial V}{\partial \theta_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta'}\right\rbrack_{t=t_0}\end{array}\right.\]

que proporcionam o valor de \(E\) e \(l\) em termos dos valores associados às condições iniciais, nomeadamente,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{r'}_0^2+\frac{l^2}{2mr_0^2}-\frac{GmM}{r_0}\\ l=mr_0^2\theta'_0\end{array}\right.\]

e que permitem reescrever a equação da órbita como

\[r=\frac{\left(r_0^2\theta'_0\right)^2}{GM+\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-r_0^2\theta'_0r'_0\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

Se se fizer

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\eta=\frac{r_0^3{\theta'}_0^2-GM}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\\ \sin\eta=\frac{r_0^2\theta'_0r'_0}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\end{array}\right.\]

a equação da órbita pode ser escrita na forma

\[r=\frac{A}{B+C\cos\tau}\]

onde se fez, para abreviar,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}A=r_0^2\theta'_0\\ B=GM\\ C=\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}\\ \tau=\theta-\theta_0+\eta\end{array}\right.\]

Trata-se da equação de uma elipse se \(B>C\), da parábola, se \(B=C\) e da hipérbole, caso \(B<C\). No caso da elipse o semi-eixo das abcissas será dado por

\[a=\frac{AB}{B^2-C^2}\]

e, no da hipérbole, por

\[a=\frac{AB}{B^2+C^2}\]

O segundo integral, nomeadamente,

 \[t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\]

permite determinar a dependência temporal de \(r\) mas é muito mais trabalhoso. No entanto, da equação

\[\frac{\partial V}{\partial \theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta'}\]

obtém-se a equação diferencial seperável

\[mr^2\theta'=l\]

cuja solução para \(\theta\) se escreve como

\[\frac{l}{m}\left(t-t_0\right)=\int_{\theta_0}^\theta{\frac{A^2}{\left(B+C\cos\left(\theta-\theta_0+\eta\right)\right)^2}d\theta}\]

Dado que o integral representa o dobro área da secção da órbita definida pelo raio vector com origem no foco quando roda desde o ângulo \(\theta_0\) até ao ângulo \(\theta\), osberva-se que, com efeito, essa área aumenta linearmente com o tempo.