Considere-se o sistema mecânico de uma partícula descrito pela função (ver Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica)
\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2\right)-\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]
Como habitual, determinam-se os momentos como
\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\\ p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=my'\end{array}\right.\]
De acordo com o que foi apresentado em A função característica em mecânica, constrói-se a função
\[H=x'p_x+y'p_y-L=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]
uma vez que as componentes das velocidades se calculam, em função dos momentos, como
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{p_x}{m}\\ y'=\frac{p_y}{m}\end{array}\right.\]
A equação diferencial às derivadas parciais que permite determinar a equação característica \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) é dada, portanto, por
\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}\]
Observa-se que
\[H\left(x,y,x',y'\right)=H\left(x,x'\right)+H\left(y,y'\right)\]
onde
\[\left\lbrace\begin{array}{l} H\left(x,x'\right)=\frac{1}{2m}p_x^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2\\ H\left(y,y'\right)=\frac{1}{2m}p_y^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2\end{array}\right.\]
Considera-se, portanto, a solução da equação diferencial às derivadas parciais da forma
\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W_1\left(x,x_0,E_1\right)+W_2\left(y,y_0,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]
Como \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) não depende explicitamente de \(E_1\) ou \(E_2\), isto é, como
\[\frac{\partial V}{\partial E_1}=\frac{\partial V}{\partial E_2}=0\]
segue-se uma das equação do movimento
\[\frac{\partial W_1}{\partial E_1}=\frac{\partial W_2}{\partial E_2}=t-t_0\]
A substituição da solução proposta na equação diferencial às derivadas parciais conduz ao sistema de equações diferenciais independentes
\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2=E_1\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial y}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2=E_2\end{array}\right.\]
A solução de cada uma das equações pode ser encontrada por simples quadratura e, portanto,
\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W\left(x,y,x_0,y_0,E_1,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]
onde
\[W=\int_{x_0}^x{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2 x^2}dx}+\int_{y_0}^y{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2 y^2}dx}\]
As equações do movimento do sistema obtêm-se desta função na forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial W}{\partial E_1}=\int_{x_0}^x{\frac{m}{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial E_2}=\int_{y_0}^y{\frac{m}{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial x}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}=mx'\\ \frac{\partial W}{\partial y}=\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}=my'\\ \frac{\partial W}{\partial x_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x_0^2}=mx_0'\\ \frac{\partial W}{\partial y_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2y_0^2}=my_0'\end{array}\right.\]
As quatro últimas equações discriminam a conservação da energia. As duas últimas, em particular, permitem determinar \(E_1\) e \(E_2\) como função das posições e velicidades iniciais, isto é,
\[\left\lbrace\begin{array}{l}E_1=\frac{1}{2}mx_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2x_0^2\\ E_2=\frac{1}{2}my_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2y_0^2\end{array}\right.\]
A resolução da primeira equação resulta numa que pode ser colocada na forma
\[\omega_1\left(t-t_0\right)=\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\]
A equação assim obtida permite determinar a dependência temporal da coordenada \(x\). Uma forma mais simples é determinada, aplicando as funções trignonométricas a cada um dos seus membros, vindo
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}+\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0x\\ \sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\end{array}\right.\]
Se se eliminar o termo
\[\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\]
de ambas as equações, obtém-se
\[\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x\]
isto é,
\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{\frac{2E_1-m\omega_1^2x_0^2}{m\omega_1^2}}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]
que, atendendo à equação que permite escrever \(E_1\) como função de \(x_0\) e \(x'_0\), fica
\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega_1}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]
O mesmo procedimento conduz à solução para \(y\) na forma
\[y=y_0\cos\omega_2\left(t-t_0\right)+\frac{y'_0}{\omega_2}\sin\omega_2\left(t-t_0\right)\]
O método apresentado neste exemplo vale para qualquer sistema que seja descrito pela função \(H\) que pode ser decomposta numa soma de funções, cada uma, dependendo de um subconjunto independente de variáveis.
