quinta-feira, 14 de julho de 2011

Acordo entre as leis da Natureza que até hoje pareciam incompatíveis

Apresento uma tradução da maior parte do texto de Maupertuis (1744) onde o autor expõe o princípio da acção mínima.

Não devemos exigir que os diferentes meios que temos ao nosso dispor para aumentar o conhecimento nos conduzam às mesmas verdades; mas será devastador verificar que o que a Filosofia nos proporciona como verdades fundamentais é desmentido pelos métodos da Geometria ou pelos cálculos da Álgebra.
Um excelente exemplo desta contradição recai sobre um tema dos mais importantes em Física.
Após a renovação das Ciências, mesmo depois da sua primeira origem, não foi feita nenhuma descoberta mais bela do que as leis que descrevem a luz; seja quando se move num meio uniforme, seja quando encontra corpos opacos e é reflectida pelas suas superfícies, seja quando encontra corpos diáfanos e altera a direcção do seu movimento quando os atravessa. Estas leis constituem todos os fundamentos da ciência da luz e das cores.
Mas talvez faça melhor sentir a importância se, em vez de apresentar um tema tão vasto, me concentre apenas em uma parte e apresentar aqui temas mais restritos e bem conhecidos, quando digo que estas leis constituem os princípios sobre os quais se encontra fundamentada esta arte tão admirável que, quando na velhice todos os órgãos se debilitam, aplica ao seu olho a primeira força, lhe aplica uma força que não tenha recebido da Natureza; esta arte que nos estende a vista aos últimos lugares do espaço, que a transporta até sobre as pequenas partes da matéria; e nos faz descobrir objectos onde a vista parece interdita aos homens.
As leis verificadas pela luz, quando se move num meio uniforme, ou quando encontra corpos que não consegue atravessar já eram conhecidas pelos antigos: aquilo que delineia o caminho que segue, quando passa dum meio para outro, é conhecido apenas desde o século passado; foi Snellius quem o descobriu; foi Descartes quem o tentou explicar; foi Fermat quem atacou a sua explicação. De aí até agora esta matéria tem sido objecto das pesquisas dos grandes Geómetras sem que tenhamos concordado esta lei com uma outra que é verificada pela Natureza ainda mais inviolavelmente.
Vejamos que leis são verificadas pela luz.
A primeira é, que num meio uniforme, se move em linha recta.
A segunda, que sempre que a luz encontre um corpo que não possa penetrar é reflectida; e o seu ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência: isto é o mesmo que dizer que, após a reflexão, esta faz com a superfície do corpo um ângulo igual àquele com que o encontrou.
A terceira é, que sempre que a luz passa de um meio diáfano para outro, o seu trajecto, após o contacto com o novo meio, faz um ângulo com o que tinha no primeiro, e o seno do ângulo de refracção está sempre na mesma razão com o seno do ângulo de incidência.
Se, por exemplo, um raio de luz que passa do ar para a água é quebrado de tal modo que o seno do ângulo de refracção seja três quartos do seno do seu ângulo de incidência; em qualquer outra obliquidade que encontre a superfície da água o seno da sua refracção será sempre três quartos do seno da nova incidência.
A primeira destas leis é comum à luz e a todos os corpos: estes movem-se em linha recta, a menos que uma força estranha os desvie.
A segunda é a mesma que segue uma bala elástica lançada contra uma superfície impenetrável. A Mecânica permite demonstrar que uma bala que encontre uma tal superfície é reflectida segundo um ângulo igual àquele segundo o qual a encontrou; e é isto que é feito pela luz.
Mas é necessário que a terceira lei se explique assim tão facilmente. Quando a luz passa dum meio para outro, os fenómenos são todos diferentes daqueles correspondentes a uma bala que atravessa diferentes meios; e qualquer que seja a maneira que escolhemos para explicar a refracção, deparamo-nos com dificuldades que ainda não foram ultrapassadas. Escuso-me de listar todos os grandes homens que trabalharam neste assunto; os seus nomes constituem uma lista numerosa que corresponderá a um ornamento inútil a esta Memória, e a exposição dos seus sistemas formaria uma obra imensa: mas reduzirei a três classes todas as explicações que estes Autores no deram para a reflexão e refracção da luz.
A primeira classe compreende as explicações daqueles que quiseram deduzir as leis da refracção a partir de simples princípios da Mecânica. A segunda compreende as explicações que, além dos princípios da Mecânica, supõem que existe uma tendência da luz para os corpos, seja por uma atracção da matéria, seja por uma outra causa que possamos imaginar. Por fim, a terceira classe compreende as explicações que tiramos apenas de princípios metafísicos; daquelas leis segundo as quais a Natureza parece estar sujeita por uma Inteligência superior que, aquando da produção dos seus efeitos, fá-los, procedendo da maneira mais simples possível.
Descartes e os que o seguiram enquadram-se na primeira classe: consideraram o movimento da luz à semelhança do movimento duma bola que ricocheteia numa superfície que nunca cede; ou que, quando encontra uma superfície que cede, continua a avançar alterando apenas a direcção do seu movimento. Apesar da maneira como este grande filósofo tentou explicar estes fenómenos ser imperfeita, ele conseguiu o mérito de os tentar deduzir a partir de princípios simples da Mecânica. Inúmeros Matemáticos revelaram algum paralogismo que escapou a Descartes e fizeram ver o seu defeito.
Newton, desesperado por deduzir os fenómenos da refracção daquilo que chega a um corpo que se move contra os obstáculos ou que é empurrado no seio dos meios que lhe resistem de diferentes maneiras, recorreu-se da sua atracção. Esta força generalizada a todos os corpos proporcional à quantidade de matéria, além de expor a insuficiência da explicação cartesiana mas, admitindo uma tendência da luz sobre os corpos diáfanos e considerando-a como sendo causada por uma atmosfera producente dos mesmos efeitos da atracção, deduziu os princípios da refracção com a claridade característica em todos os temas que se debruçou.
Fermat foi o primeiro a notar o defeito na explicação de Descartes. Ele tentou desesperadamente deduzir os fenómenos da refracção a partir duma bola que é impulsionada contra obstáculos ou meios resistentes mas não recorreu às atmosferas em torno dos corpos nem à atracção; tanto quanto saiba, este último princípio não lhe era desconhecido nem desagradável: procurou explicar estes fenómenos sobre um princípio diferente e puramente metafísico.
Toda a gente sabe que quando a luz ou qualquer outro corpo vai dum ponto a outro por uma linha recta, escolhe o caminho e o tempo de percurso o mais curtos possível.
Sabemos também, ou podemos saber, que quando a luz é reflectida, segue então o caminho mais curto e leva o menor tempo. Demonstramos que uma bola que vai de um ponto até outro após ser reflectida num plano deve, para percorrer o caminho mais curto no tempo mais curto possível, fazer sobre este plano um ângulo de reflexão igual ao de incidência: pois se estes dois ângulos forem iguais, o comprimento das duas linhas que a bola segue é o mais curto e aquele que é percorrido em menos tempo que qualquer comprimento de outras duas linhas que fazem ângulos diferentes.
Eis o movimento directo e o movimento reflectido da luz, o qual parece depender duma lei metafísica, que indica que a Natureza, no decurso da produção dos seus efeitos, actua sempre da forma mais simples. Se um corpo vai dum ponto ao outro sem encontrar um obstáculo ou se atinge o ponto após ter embatido num obstáculo intransponível, a Natureza o conduzirá pelo caminho mais curto e pelo tempo mais imediato.
Para aplicar este princípio à refracção, consideramos dois meios penetráveis à luz, separados por um plano que constitui as suas faces comuns: suponhamos que um ponto donde parte um raio de luz esteja num desses meios e aquele que deverá chegar se encontra no outro; mas a linha que une estes dois pontos não seja perpendicular à superfície dos meios: admitimos ainda que, por qualquer que seja a causa, que a luz se move em cada um dos meios com diferentes velocidades. É claro que a linha recta que une os dois pontos é sempre aquela que corresponde ao caminho mais curto para ir de um ao outro mas não corresponderá ao caminho que leva ao tempo mais curto: este tempo depende das velocidades que a luz tem nos diferentes meios, é necessário, se o raio enveredar pelo caminho correspondente ao tempo mais curto possível que, quando encontra a face comum, parte-se de modo que a maior parte do seu trajecto seja percorrida no meio onde a sua velocidade é maior e a menor parte seja percorrida no meio onde se move mais lentamente.
É o que parece ser feito pela luz quando passa do ar para a água: o raio é partido de maneira que a maior parte do seu trajecto é percorrida no ar e a menor parte é percorrida na água. Se então, como é razoável de supor, a luz se move com maior rapidez no seio dos meios mais rarefeitos do que nos mais densos, se se move mais rapidamente no ar do que na água, irá seguir o trajecto que deveria seguir para chegar o mais imediatamente possível do seu ponto de partida ao respectivo ponto de chegada.
Foi com este princípio que Fermat resolveu o problema; por este princípio fidedigno de que a luz, durante a sua propagação e reflexão, percorra o caminho que leve o tempo mais curto possível, seguindo esta mesma lei durante a refracção: não hesitou em crer que a luz se move com maior facilidade e rapidez nos meios mais rarefeitos do que naqueles onde, para o mesmo espaço, encontre uma maior quantidade de matéria. Com efeito, é pertinente crermos à primeira vista que a luz atravessa com maior facilidade e rapidez o cristal e a água do que o ar e o vácuo?
Mas é o que acontece.
Descartes aventou primeiro que a luz se move mais rapidamente sobre os meios mais densos: e embora a explicação da refracção, que ele deduziu, fosse insuficiente, o seu defeito não adveio da suposição que fez. Todos os sistemas que fornecem uma explicação plausível dos fenómenos da refracção pressupõem o paradoxo ou o confirmam. Leibnitz quis conciliar o sentimento de Descartes com as causas finais: mas fê-lo através de suposições insustentáveis que não se enquadram com os outros fenómenos da Natureza.
Posto isto, que a luz se move mais rapidamente sobre os meios mais densos, todo o edifício que Fermat construiu se encontra destruído: a luz, enquanto atravessa diferentes meios não segue, nem o caminho mais curto nem aquele que corresponde ao tempo mais imediato; o raio que passa do ar para a água percorrendo a maior parte do trajecto no ar chega mais tarde do que se tivesse percorrido a menor parte. Podemos ver na Memória que Mayran deu sobre a reflexão e a refracção, a história da disputa entre Fermat e Descartes, o constrangimento e a impotência que tivemos até ora para concordar a refracção com o princípio metafísico. Meditando profundamente sobre esta matéria, pensei que a luz, quando passa dum meio para o outro, abandonando o caminho mais curto que corresponde à linha recta, poderá também não seguir aquele que leva o tempo mais imediato. Com efeito, que preferência deverá ter do tempo sobre o espaço? A luz não poderá seguir simultaneamente pelo caminho mais curto e por aquele que leva ao tempo mais imediato, porque segue um destes caminhos e não o outro? Também pode seguir nenhum dos dois; escolhe um trajecto que tem uma vantagem real: o caminho que toma é aquele para o qual a quantidade de acção é a menor.
É necessário agora explicar o que entendo por quantidade de acção. Quando um corpo é transportado dum ponto para o outro, é necessário para tal uma acção: esta acção depende da velocidade que animou o corpo e do espaço que o corpo percorreu; mas não se trata nem da velocidade nem do espaço escolhidos em separado. A quantidade de acção é tanto maior quanto maior for a velocidade do corpo e o trajecto percorrido; é proporcional ao comprimento dos espaços multiplicados pela velocidade segundo a qual os percorre. É esta quantidade que representa a verdadeira despesa da Natureza; é o que é poupado tanto quanto possível no movimento da luz.
Sejam dois meios diferentes separados por uma superfície representada pela linha CD de modo que a velocidade da luz no meio que se encontra sobre a superfície seja m e a velocidade da luz no meio que se encontra sob a superfície seja n.
Seja um raio de luz que parte do ponto A e que deverá chegar ao ponto B: para encontrar o ponto R onde este se deve quebrar, procuro o ponto onde o raio ao ser partido, a quantidade de acção seja a menor: e tenho mAR+nRB que deverá corresponder a um mínimo.
Ora, tirando sobre a superfície comum aos dois meios, as perpendiculares AC, BD; . Ora, AC e BD sendo constantes,
Mas, sendo CD constante temos dCR=-dDR. Temos então mCR/AR-nDR/BR=0 e CR/AR:DR/BR∷n:m que é o mesmo que dizer que o seno de incidência está para o seno de refracção na razão inversa da velocidade que a luz toma nos diferentes meios.

Todos os fenómenos da refracção estão agora de acordo com o grande princípio de que a Natureza, durante a produção dos seus efeitos, age sempre pelos trâmites mais simples. Deste princípio segue-se que quando a luz passa dum meio para outro, o seno do seu ângulo de refracção está para o seno do seu ângulo de incidência na razão inversa das velocidades que a luz porta em cada um dos meios.
Mas estes fundos, esta quantidade de acção que a Natureza economiza no movimento da luz ao longo de diferentes meios, também a poupa quando é reflectida pelos corpos opacos e durante a sua simples propagação? Sim, esta quantidade é sempre a mais pequena possível.
Em ambos os casos da reflexão e da propagação, a velocidade da luz mantém-se a mesma, a menor quantidade de acção corresponde ao caminho mais curto e ao tempo mais imediato. Mas este caminho mais curto e o mais percorrido é apenas uma consequência da menor acção: foi esta consequência que Fermat escolheu para princípio.
Uma vez descoberto o verdadeiro princípio, deduzo todas as leis que segue a luz seja durante a sua propagação, a sua reflexão ou a sua refracção.
Estou ciente da repugnância que muitos Matemáticos têm pelas causas finais aplicadas à Física e concordo mesmo com um certo ponto; admito o perigo que existe ao introduzi-las: o erro cometido pelos homens que sucederam Fermat prova o quanto o seu uso é perigoso. Podemos contudo dizer que não foi o princípio que os enganou, foi a precipitação de escolher as consequências para o princípio.

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