A função característica para dois osciladores harmónicos independentes

 Considere-se o sistema mecânico de uma partícula descrito pela função (ver Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica)

$$L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2\right)-\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)$$

Como habitual, determinam-se os momentos como

$$\left\lbrace\begin{array}{l}p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\\ p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=my'\end{array}\right.$$

De acordo com o que foi apresentado em A função característica em mecânica, constrói-se a função

$$H=x'p_x+y'p_y-L=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)$$

uma vez que as componentes das velocidades se calculam, em função dos momentos, como

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{p_x}{m}\\ y'=\frac{p_y}{m}\end{array}\right.$$

A equação diferencial às derivadas parciais que permite determinar a equação característica $V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)$ é dada, portanto, por

$$\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}$$

 Observa-se que

$$H\left(x,y,x',y'\right)=H\left(x,x'\right)+H\left(y,y'\right)$$

onde

$$\left\lbrace\begin{array}{l} H\left(x,x'\right)=\frac{1}{2m}p_x^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2\\ H\left(y,y'\right)=\frac{1}{2m}p_y^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2\end{array}\right.$$

Considera-se, portanto, a solução da equação diferencial às derivadas parciais da forma

$$V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W_1\left(x,x_0,E_1\right)+W_2\left(y,y_0,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)$$

Como $V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)$ não depende explicitamente de $E_1$ ou $E_2$, isto é, como

$$\frac{\partial V}{\partial E_1}=\frac{\partial V}{\partial E_2}=0$$

segue-se uma das equação do movimento

$$\frac{\partial W_1}{\partial E_1}=\frac{\partial W_2}{\partial E_2}=t-t_0$$

A substituição da solução proposta na equação diferencial às derivadas parciais conduz ao sistema de equações diferenciais independentes

$$\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2=E_1\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial y}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2=E_2\end{array}\right.$$

A solução de cada uma das equações pode ser encontrada por simples quadratura e, portanto,

$$V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W\left(x,y,x_0,y_0,E_1,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)$$

onde

$$W=\int_{x_0}^x{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2 x^2}dx}+\int_{y_0}^y{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2 y^2}dx}$$

As equações do movimento do sistema obtêm-se desta função na forma

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial W}{\partial E_1}=\int_{x_0}^x{\frac{m}{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial E_2}=\int_{y_0}^y{\frac{m}{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial x}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}=mx'\\ \frac{\partial W}{\partial y}=\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}=my'\\ \frac{\partial W}{\partial x_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x_0^2}=mx_0'\\ \frac{\partial W}{\partial y_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2y_0^2}=my_0'\end{array}\right.$$

As quatro últimas equações discriminam a conservação da energia. As duas últimas, em particular, permitem determinar $E_1$ e $E_2$ como função das posições e velicidades iniciais, isto é,

$$\left\lbrace\begin{array}{l}E_1=\frac{1}{2}mx_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2x_0^2\\ E_2=\frac{1}{2}my_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2y_0^2\end{array}\right.$$

A resolução da primeira equação resulta numa que pode ser colocada na forma

$$\omega_1\left(t-t_0\right)=\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0$$

A equação assim obtida permite determinar a dependência temporal da coordenada $x$. Uma forma mais simples é determinada, aplicando as funções trignonométricas a cada um dos seus membros, vindo

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}+\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0x\\ \sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\end{array}\right.$$

Se se eliminar o termo

$$\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}$$

de ambas as equações, obtém-se

$$\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x$$

isto é,

$$x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{\frac{2E_1-m\omega_1^2x_0^2}{m\omega_1^2}}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)$$

que, atendendo à equação que permite escrever $E_1$ como função de $x_0$ e $x'_0$, fica

$$x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega_1}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)$$

O mesmo procedimento conduz à solução para $y$ na forma

  $$y=y_0\cos\omega_2\left(t-t_0\right)+\frac{y'_0}{\omega_2}\sin\omega_2\left(t-t_0\right)$$

O método apresentado neste exemplo vale para qualquer sistema que seja descrito pela função $H$ que pode ser decomposta numa soma de funções, cada uma, dependendo de um subconjunto independente de variáveis.

Calor e trabalho

No artigo enlinha Consequências da primeira e segunda leis da termodinâmica para sistemas reversíveis é considerado o sistema termodinâmico constituído por um gás ideal, sobre o qual as grandezas se determinam como função de duas delas. É, por exemplo, determinado o calor transferido ou a variação da energia interna num processo isotérmico em função do volume e da pressão. Porém, o cálculo de cada uma dessas grandezas efectua-se apenas ao longo de um determinado caminho de evolução do sistema que poderá corresponder a um processo isotérmico, a um isobárico ou a um adiabático. Com efeito, a variação calcula-se só depois de se determinar uma relação entre as variáveis independentes. A energia interna difere do calor pelo simples facto da sua variação não depender do caminho de evolução do sistema. Com efeito, não importando qual é o caminho de evolução que leva do ponto estado $\left(p_0,v_0\right)$ ao ponto estado $(p,v)$, se tem sempre

$$\Delta U=U(p,v)-U\left(p_0,v_0\right)$$

independentemente do caminho de evolução. A variação do calor, por seu turno, como depende do caminho, o seu valor não poderá ser determinado do mesmo modo.

Considere-se um sistema descrito pelas duas variáveis independentes $x$ e $y$ onde a variação de uma quantidade $dQ$ do ponto $(x,y)$ para o ponto infinitamente vizinho $(x+dx,y+dy)$ se possa escrever, até à primeira ordem,

$$Q(x+dx,y+dy)=Q(x,y)+pdx+qdy$$

ou

$$dQ=pdx+qdy$$

A variação finita da quantidade $Q$ será dada pela soma infinita das suas variações infinitesimais ao longo de uma determinada curva. Essa variação será independente da curva se se verificar a condição

$$\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}=0$$

pois, neste caso, poder-se-á encontrar uma função $F$ tal que

$$\left\lbrace\begin{array}{l}p=\frac{\partial F}{\partial x}\\ q=\frac{\partial F}{\partial y}\end{array}\right.$$

Assim, a variação finita de $Q$ ao longo do caminho $C$ é dada pelo integral

$$I=\int_C{pdx+qdy}=\int_C{\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy}$$

Se o caminho $C$ for descrito, de um modo geral, pela parametrização

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\right.$$

então

$$I=\int_{t_0}^{t_1}{\left(\frac{\partial F}{\partial x}x'+\frac{\partial F}{\partial y}y'\right)dt}=\int_{t_0}^{t_1}{\frac{dF}{dt}dt}=F_1-F_0$$

em que se fez, para abreviar,

$$\left\lbrace\begin{array}{l}F_0=F\left(x_0,y_0\right)\\ F_1=F\left(x_1,y_1\right)\end{array}\right.$$

Nesta caso particular, a variação total da quantidade $Q$ ao longo de um caminho fechado é nula pois $F_1=F_0$. O mesmo não se verifica no caso em que

$$\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}\ne 0$$

Pretende-se determinar a variação total da quantidade $Q$ quando se considera um caminho fechado tão próximo do ponto $\left(x_0,y_0\right)$ quanto se queira. Seja esse caminho fechado definido pelas equações paramétricas

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=x_0+\varepsilon\eta(t)\\ y=y_0+\varepsilon\zeta(t)\end{array}\right.$$

em que $\eta(t)$ e $\zeta(t)$ são funções finitas, o parâmetro $t$ varia desde $t_0$ até $t_1$ e $\varepsilon$ é uma quantidade tão pequena quanto se queira. Da teoria da expansão em série de potências das funções advém a seguinte estimativa

$$\left\lbrace\begin{array}{l}p\left(x_0+\varepsilon\eta,y_0+\varepsilon\zeta\right)=p\left(x_0,y_0\right)+\varepsilon\left(\frac{\partial p}{\partial x}\eta+\frac{\partial p}{\partial y}\zeta\right)+\text{O}\left(\varepsilon^2\right)\\ q\left(x_0+\varepsilon\eta,y_0+\varepsilon\zeta\right)=q\left(x_0,y_0\right)+\varepsilon\left(\frac{\partial q}{\partial x}\eta+\frac{\partial q}{\partial y}\zeta\right)+\text{O}\left(\varepsilon^2\right)\end{array}\right.$$

A consideração do caminho especificado e da série de potências conduz ao resultado

$$\int_C{pdx+qdy}=\varepsilon I_1+\varepsilon^2I_2+\text{O}\left(\varepsilon^3\right)$$

onde

$$\left\lbrace\begin{array}{l}I_1=\int_{t_0}^{t_1}{\left(p_0\eta'+q_0\zeta'\right)dt}=0\\I_2=\int_{t_0}^{t_1}{\left(\frac{\partial p}{\partial x}\eta\eta'+\frac{\partial p}{\partial y}\zeta\eta'+\frac{\partial q}{\partial x}\eta\zeta'+\frac{\partial q}{\partial y}\zeta\zeta'\right)dt}\end{array}\right.$$

O primeiro integral é nulo na medida em que $\eta\left(t_0\right)=\eta\left(t_1\right)$ e $\zeta\left(t_0\right)=\zeta\left(t_1\right)$. Por seu turno, pode-se escrever

$$I_2=\frac{1}{2}\varepsilon^2\left(\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}\right)\int_{t_1}^{t_2}{\left(\zeta\eta'-\eta\zeta'\right)dt}+J$$

Porém, e pelo mesmo motivo,

$$J=\int_{t_0}^{t_1}{\left(\frac{\partial p}{\partial x}\eta^2+\left(\frac{\partial q}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial y}\right)\eta\zeta+\frac{\partial q}{\partial x}\zeta^2\right)'dt}=0$$

Segue, portanto, que

$$\Delta Q=\int_C{pdx+qdy}=\left(\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}\right)dA+\text{O}\left(\varepsilon^3\right)$$

onde

$$dA=\frac{1}{2}\varepsilon^2\int_{t_1}^{t_2}{\left(\zeta\eta'-\eta\zeta'\right)dt}$$

é o elemento de área delimitado pelo caminho considerado. Observe-se que se obtém o mesmo resultado, atendendo ao conhecido teorema que proporciona

$$\int_C{pdx+qdy}=\int_S{\left(\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}\right)dxdy}$$

onde $C$ é o caminho fechado e $S$ é a superfície no plano delimitada pelo caminho $C$.

Se um sistema, ao realizar um ciclo, partindo e retornando ao mesmo estado, o excedente de calor deve ser compensado pelo excedente do trabalho realizado, do sistema no exterior e do exterior no sistema e, portanto,

$$\Delta(Q-W)=0$$

Ora, se se fizer

$$\left\lbrace\begin{array}{l}dQ=Q_xdx+Q_ydy\\ dW=W_xdx+W_ydy\end{array}\right.$$

a equação anterior reduz-se a

$$\frac{\partial U_x}{\partial y}-\frac{\partial U_y}{\partial x}=0$$

Se se fizer

$$dU=U_xdx+U_ydy$$

observa-se que se trata de um diferencial total, pois a sua variação entre dois pontos estado de um sistema não depende do caminho. A primeira lei da termodinâmica assume a forma

$$dQ=dU+dW$$

Deste ponto de vista, é suficiente considerar que deve ser nulo o balanço entre o calor transferido e o trabalho realizado quando o sistema realiza um ciclo sem a necessidade de postular, à partida, a existência de uma energia interna cuja variação não depende do caminho de evolução do sistema.