A função característica para dois osciladores harmónicos independentes

 Considere-se o sistema mecânico de uma partícula descrito pela função (ver Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica)

\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2\right)-\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]

Como habitual, determinam-se os momentos como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\\ p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=my'\end{array}\right.\]

De acordo com o que foi apresentado em A função característica em mecânica, constrói-se a função

\[H=x'p_x+y'p_y-L=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]

uma vez que as componentes das velocidades se calculam, em função dos momentos, como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{p_x}{m}\\ y'=\frac{p_y}{m}\end{array}\right.\]

A equação diferencial às derivadas parciais que permite determinar a equação característica \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) é dada, portanto, por

\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}\]

 Observa-se que

\[H\left(x,y,x',y'\right)=H\left(x,x'\right)+H\left(y,y'\right)\]

onde

\[\left\lbrace\begin{array}{l} H\left(x,x'\right)=\frac{1}{2m}p_x^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2\\ H\left(y,y'\right)=\frac{1}{2m}p_y^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2\end{array}\right.\]

Considera-se, portanto, a solução da equação diferencial às derivadas parciais da forma

\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W_1\left(x,x_0,E_1\right)+W_2\left(y,y_0,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]

Como \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) não depende explicitamente de \(E_1\) ou \(E_2\), isto é, como

\[\frac{\partial V}{\partial E_1}=\frac{\partial V}{\partial E_2}=0\]

segue-se uma das equação do movimento

\[\frac{\partial W_1}{\partial E_1}=\frac{\partial W_2}{\partial E_2}=t-t_0\]

A substituição da solução proposta na equação diferencial às derivadas parciais conduz ao sistema de equações diferenciais independentes

\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2=E_1\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial y}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2=E_2\end{array}\right.\]

A solução de cada uma das equações pode ser encontrada por simples quadratura e, portanto,

\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W\left(x,y,x_0,y_0,E_1,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]

onde

\[W=\int_{x_0}^x{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2 x^2}dx}+\int_{y_0}^y{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2 y^2}dx}\]

As equações do movimento do sistema obtêm-se desta função na forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial W}{\partial E_1}=\int_{x_0}^x{\frac{m}{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial E_2}=\int_{y_0}^y{\frac{m}{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial x}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}=mx'\\ \frac{\partial W}{\partial y}=\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}=my'\\ \frac{\partial W}{\partial x_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x_0^2}=mx_0'\\ \frac{\partial W}{\partial y_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2y_0^2}=my_0'\end{array}\right.\]

As quatro últimas equações discriminam a conservação da energia. As duas últimas, em particular, permitem determinar \(E_1\) e \(E_2\) como função das posições e velicidades iniciais, isto é,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}E_1=\frac{1}{2}mx_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2x_0^2\\ E_2=\frac{1}{2}my_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2y_0^2\end{array}\right.\]

A resolução da primeira equação resulta numa que pode ser colocada na forma

\[\omega_1\left(t-t_0\right)=\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\]

A equação assim obtida permite determinar a dependência temporal da coordenada \(x\). Uma forma mais simples é determinada, aplicando as funções trignonométricas a cada um dos seus membros, vindo

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}+\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0x\\ \sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\end{array}\right.\]

Se se eliminar o termo

\[\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\]

de ambas as equações, obtém-se

\[\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x\]

isto é,

\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{\frac{2E_1-m\omega_1^2x_0^2}{m\omega_1^2}}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]

que, atendendo à equação que permite escrever \(E_1\) como função de \(x_0\) e \(x'_0\), fica

\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega_1}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]

O mesmo procedimento conduz à solução para \(y\) na forma

 \[y=y_0\cos\omega_2\left(t-t_0\right)+\frac{y'_0}{\omega_2}\sin\omega_2\left(t-t_0\right)\]

O método apresentado neste exemplo vale para qualquer sistema que seja descrito pela função \(H\) que pode ser decomposta numa soma de funções, cada uma, dependendo de um subconjunto independente de variáveis.

A função característica para o oscliador harmónico simples

 A função característica é dada por

\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\int_{t_0}^{t_1}{Ldt}\]

Trata-se de uma função das variáveis \(x_0\) e \(x_1\) que correspondem aos pontos inicial e final da situação do sistema. Com efeito, no caso do oscilador harmónico simples,

\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]

Considera-se aqui \(x'\) como constituindo a derivada da função \(x\) em ordem ao tempo. As equações do movimento do sistema descrito por esta função são dadas por

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]

isto é,

\[\frac{d}{dt}\left(mx'\right)+kx=0\]

Se se fizer

\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

a solução da equação diferencial é dada por (trata-se de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes)

\[x=x_0\cos\omega\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t-t_0\right)\]

Se se denotar por \(x_1\) a posição que a partícula ocupará no instante \(t_1\), tem-se

\[x_1=x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t_1-t_0\right)\]

de onde se segue

\[x'_0=\omega\frac{x_1-x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]

A substituição permite escrever a solução na forma

\[x=-\frac{\sin\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\frac{\sin\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]

A sua derivada permite obter

\[x'=-\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1\]

A substituição na expressão para \(L\) conduz a

\[L=\frac{k\left(x_0^2\cos 2\omega\left(t-t_1\right)-2x_0x_1\cos\omega\left(2t-t_0t_1\right)+x_1^2\cos 2\omega\left(t-t_0\right)\right)}{2\sin^2\omega\left(t_1-t_0\right)}\]

Se se integrar em ordem ao tempo entre os instantes \(t_0\) e \(t_1\) obtém-se finalmente

\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\frac{m\omega\left(x_0^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1+x_1^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\right)}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\]

Pode-se efectivamente verificar que

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x_0}=m\omega\frac{x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_1}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=-mx_0'\\ \frac{\partial V}{\partial x_1}=m\omega\frac{x_1\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_0}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=mx_1'\end{array}\right.\]

Tratam-se das equações do movimento quando é conhecida a função característica \(V\). Por seu turno, não é tarefa árdua verificar que a função \(V\) assim determinada satisfaz as equações diferenciais às derivadas parciais da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{-\partial V}{\partial x_0}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_0^2=\frac{\partial V}{\partial t_0}\end{array}\right.\]

Uma forma de determinar a função \(V\) a partir da equação diferencial parcial

\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]

pode ser realizada do seguinte modo. Começa-se por considerar

\[V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=W\left(x_0,x_1,E\right)-E\left(t_1-t_0\right)\]

onde \(E\) é uma constante. A substituição na equação às derivadas parciais permite obter a equação diferencial ordinária em \(W\) na forma

\[\frac{1}{2m}\left(\frac{d W}{d x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=E\]

Observa-se que \(E\) deverá ser função de \(x_0\), \(x_1\) e \(t_1-t_0\). Uma vez que \(V\) não depende explicitamente de \(E\), tem-se

\[\frac{\partial W}{\partial E}=t_1-t_0\]

A solução da equação diferencial para \(W\) é dada pela integral

\[W=\int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]

A derivada parcial de \(W\) em ordem a \(E\) é, portanto, dada por

\[\frac{\partial W}{\partial E}=\int_{x_0}^{x_1}{\frac{m}{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}\]

que proporciona a quadratura

\[\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}=\omega\left(t_1-t_0\right)\]

da qual resulta

\[\left\lbrace\begin{array}{l}X_0X_1+\chi_0\chi_1=\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\\ \chi_1X_0-\chi_0X_1=\sin\omega\left(t_0-t_1\right)\end{array}\right.\]

onde se fez

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\chi_0=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_0\\ \chi_1=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_1\\ X_0=\sqrt{1-\chi_0^2}\\ X_1=\sqrt{1-\chi_1^2}\end{array}\right.\]

As expressões assim obtidas permitem escrever \(E\) como função de \(t_1-t_0\). Por seu turno, se se calcular a integral que permite determinar \(W\), obtém-se

\[W=\frac{E}{\omega}\left(\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}+X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]

Uma das expressões anteriores permite ainda escrever

\[W=E\left(t_1-t_0\right)+\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]

e, portanto,

\[V=\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)\]

Então

\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)X_1X_0-\chi_0\chi_1\left(X_1^2+X_0^2\right)\right)\]

ou, simplificando \(X_0^2\) e \(X_1^2\),

\[V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)\left(X_0X_1+\chi_0\chi_1\right)-2x_0x_1\right)\]

isto é,

\[V=\frac{m\omega}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\left(\left(x_0^2+x_1^2\right)\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1\right)\]

que corresponde à função característica determinada a partir da integral de \(L\) e que se mostrou ser solução da equação diferencial parcial. Do ponto de vista das soluções do problema mecânico, não é muito importante determinar a função \(V\), na medida em que as equações do movimento se seguem directamente da função \(W\), considerando a equação adicional que permite relacionar \(E\) com \(t_1-t_0\).

O oscilador harmónico em mecânica quântica

 As equações do oscilador harmónico simples são dadas por

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]

onde

\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]

De modo a obter a equação de onda, faz-se

\[p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\]

e determina-se a quantidade \(H(x,p)=px'-L\) em função de \(x\) e \(p\), nomeadamente,

\[H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2\]

As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema

\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.\]

isto é, as já conhecidas equações da mola

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.\]

A equação de onda é escrita na forma

\[H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]

isto é,

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]

Aplica-se o método da separação, fazendo \(\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)\). Daqui segue-se que

\[\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}\]

onde \(E\) é uma constante. A função \(\psi(x)\) satisfaz a equação diferencial

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi\]

que pode ser colocada na forma

\[\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0\]

 onde

\[\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}\]

Faz-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.\]

obtendo-se a equação diferencial

\[\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0\]

Considera-se a solução \(\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}\). A equação de \(u\) fica

\[\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0\]

A equação possui soluções polinomiais \(H_n(y)\) quando \(\varepsilon\alpha-1=2n\) onde \(n\) é um número inteiro. As restantes soluções, quando \(n\) não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando \(y\to\infty\) e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem

\[\alpha\varepsilon=2n+1\]

que corresponde aos valores para a energia

\[E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\]

em que

\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma

\[\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}\]

onde

\[(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}\]

são polinómios.