Problema de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central

 No texto enlinha Invariantes nas equações do movimento foi observado que o problema geral de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central, cujas soluções dependem de seis condições iniciais, se reduz a um problema mais simples se se considerar uma configuração particular das condições iniciais, obtendo as demais soluções por simples rotação. Suponha-se que \(x\), \(y\) e \(z\) são dados, em coordenadas esféricas, por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=r\sin\phi\cos\theta\\ y=r\sin\phi\sin\theta\\z=r\cos\phi\end{array}\right.\]

Nestas coordenadas determina-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y=r^2\phi'\sin\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\cos\theta\\ l_2=z'x-x'z=-r^2\phi'\cos\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\sin\theta\\l_3=x'y-y'x=-r^2\theta'\sin^2\phi\end{array}\right.\]

Observa-se que as soluções que satisfazem

\[\phi=\frac{\pi}{2}\]

se existirem, são tais que \(l_1=l_2=0\) e \(l_3=-r^2\theta'\), pois \(\phi'=0\). A função \(L\), neste caso, fica da forma

\[L=\frac{1}{2}m\left(r'^2+r^2\theta'^2\right)+\frac{GMm}{r}\]

onde se considera o caso clássico em que a intensidade da força é proporcional ao quadrado da distância ao seu centro,

\[U(r)=\frac{GMm}{r}\]

 Segue-se que

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_r=\frac{\partial L}{\partial r'}=mr'\\ p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \theta'}=mr^2\theta'\end{array}\right.\]

e

\[H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_\theta^2\right)-\frac{GMm}{r}\]

Procedendo de um modo semelhante ao apresentado enlinha na ligação A função característica para dois osciladores harmónicos independentes, considera-se a equação diferencial às derivadas parciais para \(W\) na forma

\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2\right)-\frac{GMm}{r}-E=0\]

ou

\[\frac{r^2}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2=0\]

 Ora, considerando que \(W(r,\theta)=W_r(r)+W_\theta(\theta)\), obtém-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{r^2}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{l^2}{2m}=0\\ \frac{dW_\theta}{d\theta}=l\end{array}\right.\]

e, portanto,

\[W=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}\]

isto é,

\[V=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}-E\left(t-t_0\right)\]

Dado que \(V\) não depende explicitamente de \(E\) e \(l\), então

\[\frac{\partial V}{\partial l}=\frac{\partial V}{\partial E}=0\]

de onde se extraem as equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=\int_{r_0}^r{\frac{l}{r^2\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\\ t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\end{array}\right.\] 

Torna-se claro que a primeira equação provê a órbita da partícula, proporcionando \(r\) em função do ângulo \(\theta\). A substituição

\[r\to\frac{1}{u}\]

permite escrever

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=-\int_{u_0}^u{\frac{l}{\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\\ t-t_0=\int_{u_0}^u{\frac{m}{u^2\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\end{array}\right.\]

A solução do primeiro integral é dada por

\[\theta-\theta_0=\arcsin\left(\frac{u_0-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)-\arcsin\left(\frac{u-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)\]

Ora, se se fizer

\[\tau=\arcsin x-\arcsin y\]

isto é,

\[\arcsin y=\tau-\arcsin x\]

então

\[y=-x\cos\tau+\sqrt{1-x^2}\sin\tau\]

que, aplicada à solução encontrada, permite escrevê-la como

\[u-\frac{GMm^2}{l^2}=\left(u_0-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\tau-\sqrt{\frac{2mE}{l^2}-u_0^2+\frac{2GMm^2}{l^2}u_0}\sin\tau\]

em que \(\tau=\theta-\theta_0\). Em termos de \(r\) e \(r_0\) tem-se a equação da órbita na forma

\[r=\frac{1}{\frac{GMm^2}{l^2}+\left(\frac{1}{r_0}-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-\frac{1}{l}\sqrt{2mE-\frac{l^2}{r_0^2}+\frac{2GMm^2}{r_0}}\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

 Das equações do movimento associadas à função característica \(V\) obtem-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial r_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial r'}\right\rbrack_{t=t_0}\\ \frac{\partial V}{\partial \theta_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta'}\right\rbrack_{t=t_0}\end{array}\right.\]

que proporcionam o valor de \(E\) e \(l\) em termos dos valores associados às condições iniciais, nomeadamente,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{r'}_0^2+\frac{l^2}{2mr_0^2}-\frac{GmM}{r_0}\\ l=mr_0^2\theta'_0\end{array}\right.\]

e que permitem reescrever a equação da órbita como

\[r=\frac{\left(r_0^2\theta'_0\right)^2}{GM+\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-r_0^2\theta'_0r'_0\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

Se se fizer

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\eta=\frac{r_0^3{\theta'}_0^2-GM}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\\ \sin\eta=\frac{r_0^2\theta'_0r'_0}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\end{array}\right.\]

a equação da órbita pode ser escrita na forma

\[r=\frac{A}{B+C\cos\tau}\]

onde se fez, para abreviar,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}A=r_0^2\theta'_0\\ B=GM\\ C=\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}\\ \tau=\theta-\theta_0+\eta\end{array}\right.\]

Trata-se da equação de uma elipse se \(B>C\), da parábola, se \(B=C\) e da hipérbole, caso \(B<C\). No caso da elipse o semi-eixo das abcissas será dado por

\[a=\frac{AB}{B^2-C^2}\]

e, no da hipérbole, por

\[a=\frac{AB}{B^2+C^2}\]

O segundo integral, nomeadamente,

 \[t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\]

permite determinar a dependência temporal de \(r\) mas é muito mais trabalhoso. No entanto, da equação

\[\frac{\partial V}{\partial \theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta'}\]

obtém-se a equação diferencial seperável

\[mr^2\theta'=l\]

cuja solução para \(\theta\) se escreve como

\[\frac{l}{m}\left(t-t_0\right)=\int_{\theta_0}^\theta{\frac{A^2}{\left(B+C\cos\left(\theta-\theta_0+\eta\right)\right)^2}d\theta}\]

Dado que o integral representa o dobro área da secção da órbita definida pelo raio vector com origem no foco quando roda desde o ângulo \(\theta_0\) até ao ângulo \(\theta\), osberva-se que, com efeito, essa área aumenta linearmente com o tempo.  

Invarintes nas equações do movimento

 As equações do movimento em mecânica obtêm-se da função \(L=T-U\) onde \(T\) é a energia cinética e \(U\) é a  função potencial de onde se podem obter, por derivação, as forças. Estas escrevem-se na forma

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\]

em que

\[x_i'=\frac{dx_i}{dt}\]

Por exemplo, a função \(L\) para o caso de um conjunto de \(N\) partículas livres é dada por

\[L=\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{2}m_j\left(x_{3j-2}'^2+x_{3j-1}'^2+x_{3j}'^2\right)}\]

em que as coordenadas rectangulares da partícula \(j\) de massa \(m_j\) são dadas por \(\left(x_{3j-2},x_{3j-1},x_{3j}\right)\) de onde resultam as equações

\[m_j\frac{d^2x_j}{dt^2}=0\]

cujas soluções indicam que as partículas percorrem linhas rectas com velocidades constantes.

Considere-se um sistema mecânico descrito por \(n\) coordenadas \(x_1,\cdots,x_n\) e seja a função

\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\frac{df\left(x_1,\cdots,x_n\right)}{dt}\]

A regra da derivação permite escrever

\[F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\sum_i^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}x_i'}\]

e, portanto,

\[\frac{\partial F}{\partial x_i'}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\]

Se se derivar a equação anterior em ordem ao tempo obtém-se

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{j=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_j}x_j'}=\frac{\partial F}{\partial x_i}\]

isto é,

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial F}{\partial x_i}=0\]

Observa-se que o sistema definido pelas equações

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0\]

descreve o mesmo sistema mecânico. Multiplicando as equações anteriores por \(x_i'\) e somando obtém-se

\[\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0}\]

A regra da derivada do produto permite determinar a equação equivalente

\[\sum_{i=1}^n{\frac{d}{dt}\left(x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=0\]

Porém,

\[\sum_{i=1}^n{x''_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x'_i}+x'_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=\frac{d(L+F)}{dt}-\frac{\partial L}{\partial t}\]

A substituição na fórmula anterior permite obter

\[\frac{d}{dt}\left\lbrack-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}\right\rbrack=-\frac{\partial L}{\partial t}\]

Se \(L\) não depender explicitamente do tempo então conserva-se a quantidade

\[E=-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=-L+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial L}{\partial x_i'}}\]

No caso do oscilador harmónico simples a uma dimensão, por exemplo, tem-se

\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]

cuja equação do movimento se escreve como

\[m\frac{d^2x}{dt^2}-kx=0\]

De acordo com o que foi atrás determinado, dado que \(L\) não depende explicitamente do tempo, conserva-se a quantidade

\[E=\frac{1}{2}mx'^2+\frac{1}{2}kx\]

Considere-se a família de tranformações invertíveis definidas pelas expressões

\[x_i=x_i\left(\chi_1,\cdots,\chi_n,\theta\right)\]

onde \(\theta\) é o parâmetro da família de tal modo que

\[\chi_i\left(x_1,\cdots,x_n,0\right)=x_i\]

Suponha-se ainda que, após a transformação na função \(L\), esta não dependa desse parâmetro, isto é,

\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\]

Ora,

\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial x'_i}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial \theta}\right)}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)}\]

onde se consideraram as equações do movimento. A derivada em ordem a \(t\) foi aqui considerada como parcial relativamente ao parâmetro \(\theta\). A regra do produto permite determinar que

\[\frac{\partial L}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}=0\]

É, portanto, conservada a quantidade

\[\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}\]

que é função dos \(\chi_i\) e respectivas derivadas temporais. Quando \(\theta=0\) tem-se \(\chi_i=x_i\) e, neste caso, a quantidade depende dos \(x_i\) e suas derivadas temporais. Se a função \(L\) mantiver a mesma forma após as transformações, as equações em \(\chi_i\), nomeadamente

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \chi_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial\chi_i}=0\]

terão a mesma forma que as equações correspondentes em \(x_i\), podendo variar as constantes de integração e a quantidade que se conserva no tempo não depende do parâmetro \(\theta\). Designando a quantidade por \(k\), resulta que, sendo a solução do sistema nas coordenadas originais dado pelas funções

\[x_i\left(x_1^0,\cdots,x_n^0,\left(x_1'\right)^0,\cdots,\left(x_n'\right)^0,t-t_0\right)\]

A constante \(k\) dependerá dos \(x_i^0\) bem como dos \(\left(x_i'\right)^0\). Sem perda de generalidade, pode-se assumir que se pode escrever \(\left(x_n'\right)^0\) como função das restantes constantes e de \(k\). Segue-se que

\[\chi_i=x_i\left(\chi_1^0,\cdots,\chi_n^0,\left(\chi_1'\right)^0,\cdots,k,t-t_0\right)\]

em que as constantes \(\chi_i^0\) e \(\left(\chi_i'\right)^0\) se obtêm das suas congéneres a partir das transformações.

De modo a ilustrar o que foi apresentado, considere-se a função \(L\) para o caso de uma partícula livre que se move a uma dimensão,

\[L=\frac{1}{2}mx'^2\]

A função mantém a mesma forma se se considerar a família de transformações

\[x=\chi+\theta\]

das quais resulta

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_0=\chi_0+\theta\\ x_0'=\chi_0'\end{array}\right.\]

isto é,

\[L=\frac{1}{2}m\chi'^2\]

De acordo com o que foi atrás exposto, conservar-se a quantidade

\[k=mx'=m\chi'\]

A solução do problema é dada, em cada sistema de coordenadas, por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x\left(x_0,k\right)=x_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\\ \chi\left(\chi_0,k\right)=\chi_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\end{array}\right.\]

Observa-e que, de facto,

\[\chi=x\left(\chi^0,k,t-t_0\right)\]

Considere-se agora o movimento de uma partícula num campo central de forças descrito pela função

\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2+z'^2\right)-U\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\]

A transformação de coordenadas da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\chi\cos\theta+\eta\sin\theta\\ y=-\chi\sin\theta+\eta\cos\theta\\ z=\zeta\end{array}\right.\]

considerando que

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\chi'\cos\theta+\eta'\sin\theta\\ y'=-\chi'\sin\theta+\eta'\cos\theta\\ z'=\zeta'\end{array}\right.\]

reduz \(L\) à mesma forma, nomeadamente,

\[L=\frac{1}{2}m\left(\chi'^2+\eta'^2+\zeta'^2\right)-U\left(\sqrt{\chi^2+\eta^2+\zeta^2}\right)\]

De acordo com o que foi atrás discutido, conserva-se a quantidade

\[l_3=\frac{\partial L}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial y'}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial z'}\frac{\partial z}{\partial\theta}\]

onde se faz \(\theta=0\), advindo, neste caso, \(\chi=x\) e \(\eta=y\) após a derivação. Conserva-se a quantidade

\[l_3=x'y-y'x=\chi'\eta-\eta'\chi\]

Observa-se que a transformação considerada corresponde a uma rotação em torno do eixo das quotas. Se se considerarem as rotações em torno dos eixos das ordenadas e das abcissas, dado que a forma de \(L\) se mantém nesses casos, verifica-se que são invariantes as quantidades

\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y\\ l_2=z'x-x'z\\ l_3=x'y-y'x\end{array}\right.\]

Trata-se das componentes do vector momento angular que se conservam no caso de uma partícula que se move num campo central de forças. Uma solução geral do problema mecânico é dada por

\[\vec{r}=\vec{r}\left(\vec{r}_0,\vec{l}_0,t-t_0\right)\]

onde \(\vec{r}=(x,y,z)\) e \(\vec{l}=\left(l_1,l_2,l_3\right)\), uma vez que as velocidades iniciais podem ser escritas como função dos invariantes e das posições iniciais. Da invariância de \(L\) mediante uma rotação segue-se que, sendo \(R\) o operador rotação então, se \(\vec{r}\) for uma solução do problema, \(R\vec{r}\) é outra solução do problema e, portanto,

\[R\vec{r}=\vec{r}\left(R\vec{r}_0,R\vec{l},t-t_0\right)\]

uma vez que uma rotação de \(\vec{r}\) corresponde a uma rotação de \(\vec{l}\). Se se determinar as soluções gerais para o caso em que \(l_1=l_2=0\) então as demais soluções constroem-se a partir destas por intermédio da aplicação de uma rotação. As condições consideradas implicam, em particular, que \(z=0\) e as soluções a determinar são aquelas que se dão sobre o plano horizontal.