Problema de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central

 No texto enlinha Invariantes nas equações do movimento foi observado que o problema geral de uma partícula que se move em torno de um campo gravítico central, cujas soluções dependem de seis condições iniciais, se reduz a um problema mais simples se se considerar uma configuração particular das condições iniciais, obtendo as demais soluções por simples rotação. Suponha-se que \(x\), \(y\) e \(z\) são dados, em coordenadas esféricas, por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=r\sin\phi\cos\theta\\ y=r\sin\phi\sin\theta\\z=r\cos\phi\end{array}\right.\]

Nestas coordenadas determina-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y=r^2\phi'\sin\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\cos\theta\\ l_2=z'x-x'z=-r^2\phi'\cos\theta+r^2\theta'\sin\phi\cos\phi\sin\theta\\l_3=x'y-y'x=-r^2\theta'\sin^2\phi\end{array}\right.\]

Observa-se que as soluções que satisfazem

\[\phi=\frac{\pi}{2}\]

se existirem, são tais que \(l_1=l_2=0\) e \(l_3=-r^2\theta'\), pois \(\phi'=0\). A função \(L\), neste caso, fica da forma

\[L=\frac{1}{2}m\left(r'^2+r^2\theta'^2\right)+\frac{GMm}{r}\]

onde se considera o caso clássico em que a intensidade da força é proporcional ao quadrado da distância ao seu centro,

\[U(r)=\frac{GMm}{r}\]

 Segue-se que

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_r=\frac{\partial L}{\partial r'}=mr'\\ p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \theta'}=mr^2\theta'\end{array}\right.\]

e

\[H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_\theta^2\right)-\frac{GMm}{r}\]

Procedendo de um modo semelhante ao apresentado enlinha na ligação A função característica para dois osciladores harmónicos independentes, considera-se a equação diferencial às derivadas parciais para \(W\) na forma

\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2\right)-\frac{GMm}{r}-E=0\]

ou

\[\frac{r^2}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2=0\]

 Ora, considerando que \(W(r,\theta)=W_r(r)+W_\theta(\theta)\), obtém-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{r^2}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2-GMmr-Er^2+\frac{l^2}{2m}=0\\ \frac{dW_\theta}{d\theta}=l\end{array}\right.\]

e, portanto,

\[W=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}\]

isto é,

\[V=l\left(\theta-\theta_0\right)+\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}dr}-E\left(t-t_0\right)\]

Dado que \(V\) não depende explicitamente de \(E\) e \(l\), então

\[\frac{\partial V}{\partial l}=\frac{\partial V}{\partial E}=0\]

de onde se extraem as equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=\int_{r_0}^r{\frac{l}{r^2\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\\ t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\end{array}\right.\] 

Torna-se claro que a primeira equação provê a órbita da partícula, proporcionando \(r\) em função do ângulo \(\theta\). A substituição

\[r\to\frac{1}{u}\]

permite escrever

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\theta-\theta_0=-\int_{u_0}^u{\frac{l}{\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\\ t-t_0=\int_{u_0}^u{\frac{m}{u^2\sqrt{2GMm^2u+2mE-l^2u^2}}du}\end{array}\right.\]

A solução do primeiro integral é dada por

\[\theta-\theta_0=\arcsin\left(\frac{u_0-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)-\arcsin\left(\frac{u-\frac{GMm^2}{l^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+\left(\frac{GMm^2}{l^2}\right)^2}}\right)\]

Ora, se se fizer

\[\tau=\arcsin x-\arcsin y\]

isto é,

\[\arcsin y=\tau-\arcsin x\]

então

\[y=-x\cos\tau+\sqrt{1-x^2}\sin\tau\]

que, aplicada à solução encontrada, permite escrevê-la como

\[u-\frac{GMm^2}{l^2}=\left(u_0-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\tau-\sqrt{\frac{2mE}{l^2}-u_0^2+\frac{2GMm^2}{l^2}u_0}\sin\tau\]

em que \(\tau=\theta-\theta_0\). Em termos de \(r\) e \(r_0\) tem-se a equação da órbita na forma

\[r=\frac{1}{\frac{GMm^2}{l^2}+\left(\frac{1}{r_0}-\frac{GMm^2}{l^2}\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-\frac{1}{l}\sqrt{2mE-\frac{l^2}{r_0^2}+\frac{2GMm^2}{r_0}}\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

 Das equações do movimento associadas à função característica \(V\) obtem-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial r_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial r'}\right\rbrack_{t=t_0}\\ \frac{\partial V}{\partial \theta_0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta'}\right\rbrack_{t=t_0}\end{array}\right.\]

que proporcionam o valor de \(E\) e \(l\) em termos dos valores associados às condições iniciais, nomeadamente,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{r'}_0^2+\frac{l^2}{2mr_0^2}-\frac{GmM}{r_0}\\ l=mr_0^2\theta'_0\end{array}\right.\]

e que permitem reescrever a equação da órbita como

\[r=\frac{\left(r_0^2\theta'_0\right)^2}{GM+\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right)-r_0^2\theta'_0r'_0\sin\left(\theta-\theta_0\right)}\]

Se se fizer

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\eta=\frac{r_0^3{\theta'}_0^2-GM}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\\ \sin\eta=\frac{r_0^2\theta'_0r'_0}{\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}}\end{array}\right.\]

a equação da órbita pode ser escrita na forma

\[r=\frac{A}{B+C\cos\tau}\]

onde se fez, para abreviar,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}A=r_0^2\theta'_0\\ B=GM\\ C=\sqrt{\left(r_0^3{\theta'}_0^2-GM\right)^2+\left(r_0^2\theta'_0r'_0\right)^2}\\ \tau=\theta-\theta_0+\eta\end{array}\right.\]

Trata-se da equação de uma elipse se \(B>C\), da parábola, se \(B=C\) e da hipérbole, caso \(B<C\). No caso da elipse o semi-eixo das abcissas será dado por

\[a=\frac{AB}{B^2-C^2}\]

e, no da hipérbole, por

\[a=\frac{AB}{B^2+C^2}\]

O segundo integral, nomeadamente,

 \[t-t_0=\int_{r_0}^r{\frac{m}{\sqrt{\frac{2GMm^2}{r}+2mE-\frac{l^2}{r^2}}}dr}\]

permite determinar a dependência temporal de \(r\) mas é muito mais trabalhoso. No entanto, da equação

\[\frac{\partial V}{\partial \theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta'}\]

obtém-se a equação diferencial seperável

\[mr^2\theta'=l\]

cuja solução para \(\theta\) se escreve como

\[\frac{l}{m}\left(t-t_0\right)=\int_{\theta_0}^\theta{\frac{A^2}{\left(B+C\cos\left(\theta-\theta_0+\eta\right)\right)^2}d\theta}\]

Dado que o integral representa o dobro área da secção da órbita definida pelo raio vector com origem no foco quando roda desde o ângulo \(\theta_0\) até ao ângulo \(\theta\), osberva-se que, com efeito, essa área aumenta linearmente com o tempo.  

A função característica para dois osciladores harmónicos independentes

 Considere-se o sistema mecânico de uma partícula descrito pela função (ver Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica)

\[L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2\right)-\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]

Como habitual, determinam-se os momentos como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\\ p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=my'\end{array}\right.\]

De acordo com o que foi apresentado em A função característica em mecânica, constrói-se a função

\[H=x'p_x+y'p_y-L=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)\]

uma vez que as componentes das velocidades se calculam, em função dos momentos, como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{p_x}{m}\\ y'=\frac{p_y}{m}\end{array}\right.\]

A equação diferencial às derivadas parciais que permite determinar a equação característica \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) é dada, portanto, por

\[\frac{1}{2m}\left(\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\left(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}\]

 Observa-se que

\[H\left(x,y,x',y'\right)=H\left(x,x'\right)+H\left(y,y'\right)\]

onde

\[\left\lbrace\begin{array}{l} H\left(x,x'\right)=\frac{1}{2m}p_x^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2\\ H\left(y,y'\right)=\frac{1}{2m}p_y^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2\end{array}\right.\]

Considera-se, portanto, a solução da equação diferencial às derivadas parciais da forma

\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W_1\left(x,x_0,E_1\right)+W_2\left(y,y_0,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]

Como \(V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)\) não depende explicitamente de \(E_1\) ou \(E_2\), isto é, como

\[\frac{\partial V}{\partial E_1}=\frac{\partial V}{\partial E_2}=0\]

segue-se uma das equação do movimento

\[\frac{\partial W_1}{\partial E_1}=\frac{\partial W_2}{\partial E_2}=t-t_0\]

A substituição da solução proposta na equação diferencial às derivadas parciais conduz ao sistema de equações diferenciais independentes

\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2=E_1\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial W_1}{\partial y}\right)^2-\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2=E_2\end{array}\right.\]

A solução de cada uma das equações pode ser encontrada por simples quadratura e, portanto,

\[V\left(x,y,x_0,y_0,t-t_0\right)=W\left(x,y,x_0,y_0,E_1,E_2\right)-\left(E_1+E_2\right)\left(t-t_0\right)\]

onde

\[W=\int_{x_0}^x{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2 x^2}dx}+\int_{y_0}^y{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2 y^2}dx}\]

As equações do movimento do sistema obtêm-se desta função na forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial W}{\partial E_1}=\int_{x_0}^x{\frac{m}{\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial E_2}=\int_{y_0}^y{\frac{m}{\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}}dx}=t-t_0\\ \frac{\partial W}{\partial x}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x^2}=mx'\\ \frac{\partial W}{\partial y}=\sqrt{2mE_2-m^2\omega_2^2y^2}=my'\\ \frac{\partial W}{\partial x_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2x_0^2}=mx_0'\\ \frac{\partial W}{\partial y_0}=\sqrt{2mE_1-m^2\omega_1^2y_0^2}=my_0'\end{array}\right.\]

As quatro últimas equações discriminam a conservação da energia. As duas últimas, em particular, permitem determinar \(E_1\) e \(E_2\) como função das posições e velicidades iniciais, isto é,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}E_1=\frac{1}{2}mx_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_1^2x_0^2\\ E_2=\frac{1}{2}my_0'^2+\frac{1}{2}m\omega_2^2y_0^2\end{array}\right.\]

A resolução da primeira equação resulta numa que pode ser colocada na forma

\[\omega_1\left(t-t_0\right)=\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\arcsin\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\]

A equação assim obtida permite determinar a dependência temporal da coordenada \(x\). Uma forma mais simples é determinada, aplicando as funções trignonométricas a cada um dos seus membros, vindo

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\cos\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}+\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0x\\ \sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x-\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\end{array}\right.\]

Se se eliminar o termo

\[\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x^2}\]

de ambas as equações, obtém-se

\[\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{1-\frac{m\omega_1^2}{2E_1}x_0^2}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)=\sqrt{\frac{m\omega_1^2}{2E_1}}x\]

isto é,

\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\sqrt{\frac{2E_1-m\omega_1^2x_0^2}{m\omega_1^2}}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]

que, atendendo à equação que permite escrever \(E_1\) como função de \(x_0\) e \(x'_0\), fica

\[x=x_0\cos\omega_1\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega_1}\sin\omega_1\left(t-t_0\right)\]

O mesmo procedimento conduz à solução para \(y\) na forma

 \[y=y_0\cos\omega_2\left(t-t_0\right)+\frac{y'_0}{\omega_2}\sin\omega_2\left(t-t_0\right)\]

O método apresentado neste exemplo vale para qualquer sistema que seja descrito pela função \(H\) que pode ser decomposta numa soma de funções, cada uma, dependendo de um subconjunto independente de variáveis.

A função característica em mecânica

No artigo A função característica para o oscilador harmónico simples foi calculada a função característica para o caso particular do oscilador, conhecidas as respectivas soluções. Aí foi observado que as equações de movimento se obtêm de determinado modo se essa função for conhecida. No que se segue, será apresentada a teoria que subjaz as observações feitas.

Se a condição de um sistema mecânico for dado por um conjunto de parâmetros \(\theta_1,\cdots,\theta_n\) e as forças envolvidas se possam obter de funções potenciais, o movimento do sistema será descrito pelas equações

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_i}=0\]

sendo \(L=T-U\), \(T\) a energia cinética, função dos \(\theta_i\) e dos \(\theta_i'\) e \(U\) a função potencial de onde se obtêm as forças intervenientes por derivação, como foi mostrado no artigo Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais. Aqui usa-se a notação \(\theta_i'\) para representar a derivada de \(\theta_i\) em ordem ao tempo e que está associada à componente correspondente da velocidade. Note-se que os parâmetros de condição \(\theta_i\) devem ser funções das coordenadas rectangulares \(x_i,y_i,z_i\) de todas as partículas.

As equações de movimento escritas em termos de \(L\) coincidem com as equações que se obtêm do problema variacional de determinar os extremos do funcional dado pela integral

\[\delta\int_{t_0}^t{L\left(\theta_1,\cdots,\theta_n,\theta_1',\cdots,\theta_n'\right)dt}=0\]

A solução do sistema de equações diferenciais, no instante \(t_1\), são habitualmente dadas por

\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta_1^0\right)',\cdots,\left(\theta_n^0\right)'\right)\]

Tratam-se de funções de \(t-t_0\) porque a transformação \(t\to t-t_0\) deixa as equações invariantes. Ora, sendo \(\theta_i^1\) o valor da função em \(t=t_1\), o sistema de equações

\[\theta_i^1=\theta_i\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\left(\theta'_1\right)^0,\cdots,\left(\theta'_n\right)^0\right)\]

permite determinar

\[\theta_i=\theta_i\left(t-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)\]

Define-se a função

\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\int_{t_0}^{t_1}{L\left(\theta_i,\theta_i',t-t_0\right)dt}\]

Note-se que

\[\left(\theta_i\right)'=\frac{\partial \theta_i}{\partial t}\]

são também função de \(t-t_0\), bem como \(\theta_i^0\) e \(\theta_i^1\). Segue-se daqui que

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}+\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\frac{\partial \theta^j}{\partial \theta_i^0}}dt}\]

Aplica-se o método de integração por partes, notando que

\[\frac{\partial \theta_j'}{\partial \theta_i^0}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right)\]

para obter

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}{\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\left(\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_j}\right)}\]

Usa-se a notação de derivada parcial em ordem ao tempo para enfatizar o facto de que se tratam de funções que envolvem outros parâmetros. Lembrando as equações do movimento, facilmente se determina que

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrack\sum_{j=1}^n{\frac{\partial L}{\partial \theta_j'}\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}}\right\rbrack_{t_0}^{t_1}\]

Por seu turno, como

\[\theta_j^0=\left\lbrack\theta_j\right\rbrack_{t=t_0}\]

e as variáveis, sendo independentes,

\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_0}=\frac{\partial \theta_j^0}{\partial \theta_i^0}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & i=j\\ 0, & i\ne j\end{array}\right.\]

Por outro lado,

\[\left\lbrack\frac{\partial \theta_j}{\partial \theta_i^0}\right\rbrack_{t=t_1}=0\]

uma vez que são independentes as variáveis \(\theta_j^0\) e \(\theta_j^1\). Conclui-se, portanto, que

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_0}\]

Do mesmo modo se determina que

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\right\rbrack_{t=t_1}\]

Se se designar por momento o vector

\[\vec{p}=\vec{\nabla}_{\theta_i'}L\]

de componentes

\[p_i=\frac{\partial L}{\partial x_i'}\] 

então

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}_{\theta_i^0}V=-\vec{p}^0\\ \vec{\nabla}_{\theta_i^1}V=\vec{p}^1\end{array}\right.\]

Do ponto de vista geométrico, a função \(V\) é tal que a família de superfícies definida pela equação

\[V\left(t_1-t_0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1\right)=\nu\left(t-t_0\right)\]

é perpendicular aos vectores momentos nos instantes respectivos. Por seu turno, da definição de \(V\) obtém-se

\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=\left\lbrack L\right\rbrack_{t=t_1}+\int_{t_0}^{t_1}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial \theta_i'}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)+\frac{\partial L}{\partial \theta_i}\frac{\partial \theta_i}{\partial t_1}\right)}dt}\]

A integração por partes e subsequente consideração das equações do movimento conduzem à expressão

\[\frac{\partial V}{\partial t_1}=L\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\left(\theta_1'\right)^1,\cdots,\left(\theta'_n\right)^1\right)-\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1}\]

onde \(\left(\theta'_i\right)^1=\left\lbrack \theta'_i\right\rbrack_{t=t_1}\). Dado que a função \(L\) é homogénea de segundo grau relativamente às variáveis \(x_i'\), é possível determinar estas variáveis como função dos \(p_i\). Se se definir a função

\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=\sum_{i=1}^n{p_i^1\left(\theta'_i\right)^1 }-L\]

pode-se escrever

\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,p_1^1,\cdots,p_n^1\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]

Como

\[\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\]

deverá valer a equação diferencial às derivadas parciais da forma

\[H\left(t_1-t_0,\theta_1^1,\cdots,\theta_n^1,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^1},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^1}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]

Do mesmo modo,

\[H\left(0,\theta_1^0,\cdots,\theta_n^0,\frac{\partial V}{\partial \theta_1^0},\cdots,\frac{\partial V}{\partial \theta_n^0}\right)=\frac{\partial V}{\partial t_0}\]

Conclui-se, portanto, que, conhecidas as soluções das equações às derivadas parciais assim definidas, é possível determinar, por intermédio das quadraturas

\[\begin{array}{cc}\frac{\partial V}{\partial \theta_i^0}=-p_i^0, & \frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}=p_i^1\end{array}\]

as soluções das equações do movimento.

Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica

Pretende-se aqui dar uma forma simplificada das equações que resultam da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais a problemas de Dinâmica sujeitos a restrições. De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais,

\[\int_V\left\lbrack \left(\frac{d}{dt}\left(\rho(V)\frac{d\vec{r}(V,t)}{dt}\right)-\vec{F}(V,t)\right)\cdot\delta\vec{r}(V,t)\right\rbrack=0\]

onde o volume \(V\) se estende a todos os pontos que contenham massa.

No que se segue, não será mais denotada a dependência de \(\vec{r}\) no volume \(V\) e tempo \(t\) de modo a tornar a exposição mais simples. Ora,

\[\varphi=\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{d\vec{r}}{dt}\right)\cdot\delta\vec{r}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}+\rho\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)\]

Em coordenadas generalizadas tem-se

\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\sum_i{\frac{dx^i}{dt}\vec{e}_i}\]

e

\[\delta\vec{r}=\sum_i{\delta x^i\vec{e}_i}\]

de onde se obtém

\[\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}=\sum_{ij}{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\delta x^j}\]

bem como

\[\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\sum_{ij}{g_{ij}dx^idx^j}\]

Daqui seguem-se as expressões

\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)=\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}dx^i\right)\delta x^j+g_{ij}dx^i\frac{d\delta x^j}{dt}}\\ \frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{\left\lbrack \delta g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}\delta\left(dx^i\right)dx^j+g_{ij}dx^i\delta\left(dx^j\right)\right\rbrack}\end{array}\]

Tem-se, portanto, para

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\]

a complicada expressão

\[\begin{array}{l}\sum_{ij}\left\lbrack \frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)\delta x^j+g_{ij}v^i\delta v^j-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j-\frac{1}{2}g_{ij}\delta v^i v^j-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}g_{ij}v^i\delta v^j\right\rbrack\end{array}\]

onde \(v^i=\frac{dx^i}{dt}\). A expressão anterior simplifica-se em

\[\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j}\]

ou

\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}\]

Se se fizer

\[L=\frac{1}{2}s^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{g_{ij}v^iv^j}\]

tem-se

\[\frac{\partial L}{\partial v^j}=\sum_i{g_{ij}v^i}\]

e

\[\frac{\partial L}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\sum_{ik}{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^iv^k}\]

Segue-se que

\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}=\sum_j\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial\frac{s^2}{2}}{\partial v^j}-\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}\right)\delta x^j\]

de onde se conclui o princípio dos trabalhos virtuais na forma

\[\int{\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)\delta x^j dV}=0\]

Seguem-se as equações do movimento na forma

\[\int\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)dV=0\]

Se a densidade \(\rho\) não depender to tempo e a \(\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi\) então as equações do movimento assumem a forma

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^j}-\frac{\partial L}{\partial x^j}=0\]

onde \(L=\int\left(\frac{1}{2}\rho s^2-\phi\right)dV\).

O princípio dos trabalhos virtuais aplicado à dinâmica

De acordo com o princípio dos trabalhos virutais, se um sistema de pontos \(P_i\), cada um sujeito a um sistema de forças \(\vec{F}_{ij}\), se encontrar em equilíbrio num determinado instante, então
\[\sum_{ij}{\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
qualquer que seja o deslocamento infinitesimal \(\delta\vec{r}_i\), consistente com as condições aplicadas ao sistema nesse instante. Na determinação da variação infinitesimal denotada por \(\delta\), o tempo \(t\) é considerado como constante, em contraste com a variação infinitesimal total \(d\). De facto, quaisquer que sejam as direcções dos movimentos infinitesimais que possam ser aplicados ao sistema, a resultante das forças aplicadas segundo essas direcções deverá anular-se para que o sistema se encontre em equilíbrio estático no intervalo de tempo considerado.
De acordo com a lei da inércia, se a parte de um sistema que se encontre em movimento rectilíneo e uniforme não for actuado por uma causa externa então irá manter esse movimento rectilíneo e uniforme. A intensidade da causa externa determina-se, portanto, considerando a variação da sua quantidade de movimento. Se uma partícula for actuada por uma força externa ao longo de uma mesma direcção, a intensidade da força deverá ser determinada, em parte, pela variação da sua velocidade. Porém, dado que, considerando que tal partícula é divisível em partículas idênticas mais elementares, a quantidade de movimento deverá ser proporcional ao número dessas partículas. A constante de proporcionalidade é designada por massa inercial e é denotada por \(m\). Se \(\vec{v}\) for a velocidade da partícula ao longo de uma determinada direcção e \(m\) a sua massa, então a sua quantidade de movimento será dada por \(\vec{p}=m\vec{v}\). Se a partícula for submetida a uma causa externa, a sua intensidade é medida pela variação dessa quantidade de movimento, isto é,
\[\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}\]
De acordo com o princípio da sobreposição dos movimentos, o movimento de uma partícula que seja submetida a um conjunto de forças é dado pela soma dos movimentos rectilíneos resultantes da aplicação independente de cada uma das forças. Em partícular, se um conjunto de forças aplicadas a uma partícula se equilibrarem, a soma das variações dos respectivos movimentos anular-se-á e a partícula encontrar-se-á em repouso ou mover-se-á com velocidade constante ao longo de uma linha recta.
Suponha-se que um sistema de forças \(F_{ij}\) é aplicado sobre um conjunto de partículas \(i\) de massa \(m_i\), segundo a direcção dos versores \(\vec{u}_{ij}\) durante um instante infinitesimal. Defina-se uma direcção ao longo da qual o sistema se pode mover durante esse instante dada pelos vectores infinitesimais \(\delta\vec{r}_i\). Ora, a variação do movimento da partícula \(i\) devido à força \(\vec{F}_{ij}\) pode ser decomposto na soma de dois movimentos, um segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e o outro segundo uma direcção que lhe seja perpendicular. A força \(\vec{F}_{ij}\) fica determinada, neste caso, pela soma das forças, uma segundo a direcção do vector \(\delta\vec{r}_i\) e a outra segundo a direcção perpendicular. Após formulação tem-se
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i=0\]
Aqui \(s_{ij}\) representa a distância percorrida pela partícula \(i\), segundo a direcção da força, \(\vec{u}_{ij}\), considerando apenas o movimento devido à sua acção. A soma sobre todas as forças e partículas resulta na seguinte expressão para o princípio dos trabalhos virtuais no seu caso mais geral, nomeadamente,
\[\sum_{ij}{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Como no instante em que é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais o movimento é considerada rectilíneo, \(\vec{u}_{ij}\) deverá ser considerado como constante, advindo
\[\sum_j{\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)\vec{u}_{ij}}=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d}{dt}\sum_j{s_{ij}\vec{u}_ij}\right)=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)\]
onde
\[\vec{r}_i=\sum_j{s_{ij}\vec{u}_{ij}}\]
O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se na forma equivalente como
\[\sum_i{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\sum_j{F_{ij}\vec{u}_{ij}}\right)\cdot \delta\vec{r}_i}=0\]
Esta é a forma habitualmente usada na resolução de problemas de Dinâmica. Se se pretender que o o sistema se encontre em equilíbrio, é suficiente observar que se deve ter \(\vec{r}_i=0\), reduzindo a expressão anterior ao caso da Estática.
Suponha-se que se pretende determinar a força que está na origem da trajectória de uma partícula de massa \(m\) dada por \(\vec{r}(t)\), supondo que não são aplicadas quaisquer restrições. Neste caso, \(\delta\vec{r}\) será um vector arbitrário advindo, do princípio dos trabalhos virtuais,
\[\left(-\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\vec{F}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]
Como \(\delta\vec{r}\) é arbitrário, então
\[m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-\vec{F}=0\]
que corresponde à conhecida lei da Dinâmica para o caso de partículas livres. Se se assumir que a partícula de massa constante \(m\) se pode mover apenas ao longo de uma linha dada por \(\vec{r}(s)\) então
\[\delta\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{ds}ds\]
e o princípio dos trabalhos virtuais advém da forma
\[\left(-m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\vec{F}\right)\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}ds=0\]
o que conduz à equação
\[\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
isto é,
\[m\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}+m\frac{d^2s}{dt^2}\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
que, como \(\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=1\) e, consequentemente,
\[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
se reduz a
\[m\frac{d^2s}{dt^2}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0\]
Segue-se daqui que a componente da força segundo a tangente à curva sob a qual a partícula está limitada a mover-se é medida pela alteração da quantidade de movimento ao longo dessa tangente.
O mesmo argumento serve para determinar as equações que determinam o movimento de uma partícula que esteja restrita a mover-se sobre a superfície determinada por \(\vec{r}\left(u^1,u^2\right)\), onde \(u^i\) são parâmetros cujos índices são sobrescritos, em conformidade com as notações de geometria diferencial. Se se definirem os vectores tangentes
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^1}\\ \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^2}\end{array}\right.\]
então
\[\delta\vec{r}=\vec{e}_1du^1+\vec{e}_2du^2\]
Definem-se os coeficientes \(g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j\) e \(\Gamma_{ij}^k\) que satisfazem
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\Gamma_{ij}^1\vec{e}_1+\Gamma_{ij}^2\vec{e}_2+\kappa\vec{n}\]
em que \(\vec{n}\) corresponde ao vector normal à superfície.
Dado que
\[\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial u^i}\]
devido à igualdade das derivadas cruzadas, segue-se que \(\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k\).
Tem-se, para uma trajectória arbitrária sobre a superfície,
\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{du^1}{dt}\vec{e}_1+\frac{du^2}{dt}\vec{e}_2\]
e, aplicando nova derivação,
\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_1+\\ +\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_2+\kappa'\vec{n}\end{array}\]
Suponha-se ainda que a força \(\vec{F}\) se escreve, na nova base, como
\[\vec{F}=F^1\vec{e}_1+F^2\vec{e}_2+F^N\vec{n}\]
Considerando as expressões anteriores no princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{i=1}^2g_{1i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\\ \sum_{i=1}^2g_{2i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\end{array}\right.\]
O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como
\[GP=0\]
onde \(G=\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\) é a matriz constituída pelos coeficientes métricos e \(P\) é o vector coluna cujas entradas são dadas por
\[\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\]
Dado que a matriz \(G\), sendo as suas entradas dadas pelos produtos escalares dos vectores da base, é invertível, o sistema anterior é equivalente a
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^1\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^1=0\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^2\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^2=0\end{array}\right.\]
Segue-se da equação anterior, fazendo \(F^i=0\), que se a projecção da força sobre o plano tangente à superfície for nula, isto é, se a força for normal à superfície, então a partícula, sendo animada de uma velocidade inicial, terá a sua trajectória contida numa geodésica.
A combinação linear das equações anteriores permite escrever
\[\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{2}g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m^2\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{2}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}-F^i\right)=0\]
Dado que
\[\Gamma_{kl}^i=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^2g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial u^m}+\frac{\partial g_{lm}}{\partial u^k}\right)\]
onde \(\left\lbrack g^{ij}\right\rbrack\) é a matriz inversa de \(\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack\), isto é,
\[\sum_{i=1}^2g_{ij}g^{im}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & j=m\\ 0, & j\ne m\end{array}\right.\]
segue-se que
\[\sum_{ij,k,l=1}^2g_{ij}\frac{du^j}{dt}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\frac{1}{2}\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
A troca da ordem da soma em \(k\) e\(j\) permite concluir que
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}\]
isto é,
\[\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k=1}^{2}\frac{dg_{jk}}{dt}\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}\]
A expressão atrás considerada que resulta da combinação linear das equações das geodésicas adquire a forma
\[\sum_{i,j=1}^{2}\left(g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+\frac{1}{2}\frac{dg_{ij}}{dt}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}-g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i\right)=0\]
Não é difícil verificar que a equação anterior reduz a
\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(g_{ij}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}\right)-\sum_{i,j=1}^2g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i=0\]
Porém, a expressão compreendida sob o sinal de diferencial corresponde à norma \(p\) do momento da quantidade de movimento da partícula. Se a projecção da força sobre a superfície for nula, será constante o módulo do momento da quantidade de movimento. No caso em que a projecção é nula e a massa é constante, a partícula, estando animada de uma velocidade inicial, irá mover-se sobre a geodésica com velocidade constante.
Considerem-se agora duas partículas, \(A\) e \(B\), de massas \(m_A\) e \(m_B\). Ambas as partículas movem-se, mantendo constante a distância entre si. A partícula \(A\) move-se com aceleração constante ao longo de uma linha horizontal. Ambas as partículas encontram-se sujeitas à força gravítica, considerada constante, segundo a direcção vertical. O princípio dos trabalhos virtuais constitui uma forma simples de determinar as equações que descrevem tal movimento.
Seja \(\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)\) e \(\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)\) os vectores que determinam a posição das partículas \(A\) e \(B\) num determinado referencial. Suponha-se que, nesse referencial, a partícula \(A\) esteja limitada a mover-se sobre a recta horizontal de equação \(y_A=h\). Se se denotar por \(a\) a aceleração constante da partícula \(A\) ao longo da recta considerada e por \(v\) a sua velocidade inicial, então a sua trajectória é dada pelas equações paramétricas, no referencial em que a partícula se encontra em repouso no instante inicial sobre a origem, a uma altura \(h\) do plano \(xOy\),
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_A=\frac{1}{2}at^2\\ y_A=0\\ z_A=h\end{array}\right.\]
Dado que, no decurso do movimento do sistema, a distância entre as partículas se pretende constante, isto é
\[\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}=l\]
as coordenadas da partícula \(B\) poderão ser escritas na forma
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x_B=\frac{1}{2}at^2+l\cos\varphi\sin\theta\\ y_B=l\sin\varphi\\ z_B=h-l\cos\varphi\cos\theta\end{array}\right.\]

Denotando por \(\vec{r}=\left(x_B,y_B,z_B\right)\), determina-se, por derivação,

\[\begin{array}{l}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=a\vec{i}+\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\vec{e}_\varphi+\\ +\frac{1}{\cos\varphi}\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)\vec{e}_\theta\end{array}\]

onde \(\vec{i}\) é o versor alinhado com o eixo das abcissas e

\[\begin{array}{ll}\vec{e}_\varphi=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}, & \vec{e}_\theta=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}\end{array}\]

são os vectores que assumem a direcção das tangentes ao vector de posição quando se varia apenas uma das coordenadas. Os pesos aplicados a cada uma das partículas \(A\) e \(B\) são, respectivamente, \(P_A=-m_Ag\vec{k}\) e \(P_B=-m_Bg\vec{k}\), em que \(g\) representa a aceleração gravítica considerada constante e \(\vec{k}\) é o versor que assume a direcção do eixo das cotas.

Dado ser conhecido o movimento da partícula \(A\), esta pode ser removida do princípio dos trabalhos virtuais por já se encontrar em equilíbrio. Assim,

\[\left(m_B\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+m_Bg\vec{j}\right)\cdot\delta\vec{r}=0\]

Considerando, sucessivamente, a variação apenas em ordem a \(\varphi\) e depois em ordem a \(\theta\), tem-se, em primeiro lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\varphi d\varphi\) e, em segundo lugar, \(\delta\vec{r}=\vec{e}_\theta d\theta\). A sua consideração no princípio dos trabalhos virtuais permite obter o sistema de equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}l\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)+\left(g\cos\theta-a\sin\theta\right)\sin\varphi=0\\ l\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)+g\sin\theta+a\cos\theta=0\end{array}\right.\]

A massa \(B\) ficará, portanto, sujeita a um movimento pendular sobre a qual actuam a força gravítica e a força inercial dada pela sua ligação à massa \(A\). O ponto de equilíbrio do pêndulo será dado por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\) que satisfaz a relação

\[g\sin\theta_0+a\cos\theta_0=0\]

uma vez que, nestas condições, a solução das equações é dada por \(\varphi=0\) e \(\theta=\theta_0\). Isto deve-se ao facto das projecções da força gravítica e da força inercial devida à aceleração sobre a tangente ao movimento permitido do pêndulo se anularem, como seria de esperar.