Transformação de coordenadas nas equações do electromagnetismo

 Na posta enlinha Uma visão alternativa da transformação que deixa invariante as equações do electromagnetismo considerei as equações electromagnéticas em termos do produto exterior de um operador diferencial por duas formas relacionadas entre si para analisar a transformação linear que as deixa invariante. Esses produtos exteriores, por seu turno, correspondem às derivadas exteriores das formas referidas. No texto Os operadores diferenciais associados à derivada exterior em coordenadas generalizadas apresentei o modo como essas equações se transformam consoante a transformação de coordenadas, o que desenvolverei aqui.

As equações do electromagnetismo escrevem-se como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial F_{12}}{\partial x^3}-\frac{\partial F_{13}}{\partial x^2}+\frac{\partial F_{23}}{\partial x^1}=0\\ \frac{F_{12}}{\partial x^4}-\frac{\partial F_{14}}{\partial x^2}+\frac{\partial F_{24}}{\partial x^1}=0\\ \frac{F_{13}}{\partial x^4}-\frac{\partial F_{14}}{\partial x^3}+\frac{\partial F_{34}}{\partial x^1}=0\\ \frac{F_{23}}{\partial x^4}-\frac{\partial F_{24}}{\partial x^3}+\frac{\partial F_{34}}{\partial x^2}=0\\ \frac{G^{12}}{\partial x^3}-\frac{\partial G^{13}}{\partial x^2}+\frac{\partial G^{14}}{\partial x^1}=\rho=-J^4\\ \frac{G^{12}}{\partial x^4}-\frac{\partial G^{14}}{\partial x^2}+\frac{\partial G^{24}}{\partial x^1}=-J^3\\ \frac{G^{13}}{\partial x^4}-\frac{\partial G^{14}}{\partial x^3}+\frac{\partial G^{34}}{\partial x^1}=-J^2\\ \frac{G^{23}}{\partial x^4}-\frac{\partial G^{24}}{\partial x^3}+\frac{\partial G^{34}}{\partial x^2}=-J^1\end{array}\right.\]

em que \(x^1\), \(x^2\) e \(x^3\) são as coordenadas rectangulares espaciais e \(x^4\) é o tempo \(t\) e

\[G^\alpha=\sum_{\beta\in I_2(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace)}{A^{\alpha\beta} F_\beta}\] 

Em termos dos campos eléctrico e magnético, tem-se

\[\left\lbrace\begin{array}{llllll}F_{12}=B^3 & F_{13}=-B^2 & F_{23}=B^1 & F_{14}=E^1 & F_{24}=E^2 & F_{34}=E^3\\ G^{12}=D^3 & G^{13}=-D^2 & G^{23}=D^1 & G^{14}=-H^1 & G^{24}=H^2 & G^{34}=-H^3 \end{array}\right.\]

Com efeito, a substituição no sistema de equações diferenciais conduz às conhecidas equações. Sejam as transformações de coordenadas definidas por

\[dx^i=\sum_{j=1}^4{p_j^i d\theta^j}\]

 em que

\[p^i_j=\frac{\partial\ x^i}{\partial\theta^j}\]

Os coeficientes da transformação inversa são dados por

\[q^i_j=\frac{\partial \theta^i}{\partial x^j}\]

Dado que os \(F_{\left\lbrace i,j\right\rbrace}\) são componentes de uma \(2-\)forma, então transformam-se como

\[F'_{\left\lbrace i,j\right\rbrace}=\sum_{\alpha\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{p_{\left\lbrace i,j\right\rbrace}^\alpha F_\alpha}\]

em que

\[p_{\left\lbrace i,j\right\rbrace}^{\left\lbrace k,l\right\rbrace}=\left\vert\begin{array}{cc}p_i^k & p_i^l\\ p_j^k & p_j^l\end{array}\right\vert\]

Do mesmo modo,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}G'^\alpha=\sum_{\beta\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{p^\alpha_\beta G^\beta}\\ A'^{\alpha\beta}=\sum_{\gamma,\eta\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{q_\gamma^\alpha q_\eta^\beta A^{\gamma\eta}}\\ J' ^i=\sum_{j=1}^4{q_j^iJ^j}\end{array}\right.\]

e as equações diferenciais irão admitir a forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial F'_{12}}{\partial  \theta^3}-\frac{\partial F'_{13}}{\partial \theta^2}+\frac{\partial F'_{23}}{\partial \theta^1}=0\\ \frac{F'_{12}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial F'_{14}}{\partial \theta^2}+\frac{\partial F'_{24}}{\partial \theta^1}=0\\ \frac{F'_{13}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial F'_{14}}{\partial \theta^3}+\frac{\partial F'_{34}}{\partial \theta^1}=0\\ \frac{F'_{23}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial F_{24}}{\partial \theta^3}+\frac{\partial F'_{34}}{\partial \theta^2}=0\\ \frac{G'^{12}}{\partial \theta^3}-\frac{\partial G'^{13}}{\partial \theta^2}+\frac{\partial G'^{14}}{\partial \theta^1}=\rho'=-J'^4\\ \frac{G'^{12}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial G'^{14}}{\partial \theta^2}+\frac{\partial G'^{24}}{\partial \theta^1}=-J'^3\\ \frac{G'^{13}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial G'^{14}}{\partial \theta^3}+\frac{\partial G'^{34}}{\partial \theta^1}=-J'^2\\ \frac{G'^{23}}{\partial \theta^4}-\frac{\partial G'^{24}}{\partial \theta^3}+\frac{\partial G'^{34}}{\partial \theta^2}=-J'^1\end{array}\right.\]

Se se tratarem de equações no vazio, então, nas coordenadas rectangulares, tem-se

\[\left\lbrack A^{\alpha\beta}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cccccc}0 &0 &0 &0 & 0 & \varepsilon\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\varepsilon & 0\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\mu} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\mu} & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{\mu} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack\]

 A matriz divide-se em dois blocos, nomeadamente,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}A^{\alpha\ N-\beta}=(-1)^{|\alpha|+1}\varepsilon\delta^{\alpha\beta}\\ A^{N-\alpha\ N-\beta}=(-1)^{|\alpha|}\frac{1}{\mu}\delta^{N-\alpha\ \beta}\end{array}\right.\]

onde \(\alpha\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)\). A lei da transformação de coordenadas permite obter

\[A'^{\alpha\ N-\beta}=\sum_{\gamma,\eta\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{q_\gamma^\alpha q_{N-\eta}^{N-\beta}A^{\gamma\ N-\eta}}=\varepsilon\sum_{\gamma,\eta\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)}{(-1)^{|\gamma|+1}q_\gamma^\alpha q_{N-\eta}^{N-\beta}\delta^{\gamma\eta}}\]

Da teoria da expansão dos determinantes sabe-se que

\[q_{N-\eta}^{N-\beta}=\frac{1}{|P|}(-1)^{|\eta|+|\beta|}p_\beta^\eta\]

onde \(|P|\) é o determinante da matriz \(\left\lbrack p_i^j\right\rbrack\) e, portanto,

\[A'^{\alpha\ N-\beta}=(-1)^{|\beta|+1}\frac{\varepsilon}{|P|}\sum_{\gamma\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)}{q_\gamma^\alpha p_\beta^\gamma}\]

Do mesmo modo,

\[A'^{N-\alpha\ N-\beta}=\frac{(-1)^{|\beta|}}{\mu |P|}\sum_{\gamma\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)}{q_\gamma^{N-\alpha} p_\beta^\gamma}\]

Suponha-se que as transformações não involvem o tempo, isto é, são da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x^1=x^1\left(\theta^1,\theta^2,\theta^3\right)\\ x^2=x^2\left(\theta^1,\theta^2,\theta^3\right)\\ x^3=x^3\left(\theta^1,\theta^2,\theta^3\right)\\ x^4=t\end{array}\right.\]

Neste caso, as transformações das \(2-\)formas, \(p_\alpha^\beta\), também são dadas por uma matriz em bloco e

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{\gamma\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)}{q_\gamma^\alpha p_\beta^\gamma}=\delta^\alpha_\beta\\ \sum_{\gamma\in I_2\left(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\right)}{q_\gamma^{N-\alpha} p_\beta^\gamma}=\delta_\beta^{N-\alpha}\end{array}\right.\]

Segue-se daqui que

\[A'^{\alpha\beta}=\frac{1}{|P|}A^{\alpha\beta}\]

e as equações no vazio escrevem-se como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}\cdot\frac{\vec{E}}{|P|}=0\\ \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0\\ \vec{\nabla}\times\vec{E}+\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0\\ \vec{\nabla}\times{\frac{\vec{B}}{\mu |P|}}-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\varepsilon\vec{E}}{|P|}\right)=0\end{array}\right.\] 

notando que as componentes de \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) devem ser obtidas por intermédio da lei de transformação supracitada.

O caso em que as transformações envolvem o tempo é mais complicado, na medida em que será alterada a forma da matriz \(A^{\alpha\beta}\). 

Uma visão alternativa da transformação que deixa invariante as equações do electromagnetismo

 No passado, postei enlinha o texto Transformações em electrodinâmica onde são obtidas as transformações de coordenadas espaciais e temporal que deixam invariantes as equações do electromagnetismo, considerando transformações simples que envolvem apenas duas dessas coordenadas. É claro que a transformação geral constitui um grupo e este é gerado pela composição daquele tipo de transformações. Pretendo aqui expor o tema de um ponto de vista diferente, considerando directamente o caso mais geral.

Denotando por \(i=\sqrt{-1}\) a unidade imaginária, as equações da electrodinâmica no vazio podem ser escritas na forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}\cdot\left(ic\vec{D}\right)=ic\rho\\ \vec{\nabla}\times\vec{H}-\frac{\partial\left(ic\vec{D}\right)}{\partial (ict)}=\vec{J}\\ \vec{\nabla}\cdot\vec{H}=0\\ \vec{\nabla}\times\vec{\left(ic\vec{D}\right)}-\frac{\partial\vec{H}}{\partial (ict)}=0\end{array}\right.\]

onde \(\vec{D}\) é o vector de deslocamento eléctrico, \(\vec{H}\) é o vector da intensidade do campo magnético,

\[c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\]

 sabe-se ser igual à velocidade de propagação de uma onda electromagnética no vazio, \(\rho\) e \(\vec{J}\) são, respectivamente, as densidades de carga e de corrente, e o operador \(\vec{\nabla}\) é escrito como

\[\vec{\nabla}=\vec{e}^1\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}^2\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}^3\frac{\partial}{\partial z}\]

As equações acima apresentadas admitem uma representação mais simples quando consideradas no âmbito dos multivectores. No texto enlinha As transformações de coordenadas no produto exterior apresentei as leis de transformação deste género de entidades, incluindo algumas considerações adicionais.

Faz-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\left(x^1,x^2,x^3,x^4\right)=\left(x,y,z,ict\right)\\ \left(J^1,J^2,J^3,J^4\right)=\left(J_x,J_y,J_z,ic\rho\right)\end{array}\right.\]

e

\[\left\lbrace\begin{array}{ccc}F_{\lbrace 1,4\rbrace}=icD_x, & F_{\lbrace 2,4\rbrace}=icD_y, & F_{\lbrace 3,4\rbrace}=icD_z\\ F_{\lbrace 1,2\rbrace}=H_z, & F_{\lbrace 1,3\rbrace}=-H_y, & F_{\lbrace 2,3\rbrace}=H_x\end{array}\right.\]

Constroem-se os multivectores

\[\left\lbrace\begin{array}{l}F=\sum_{\alpha\in I_2\left(\lbrace 1,2,3,4\rbrace\right)}{F_\alpha\vec{e}^\alpha}\\ F^{*}=\sum_{\alpha\in I_2\left(\lbrace 1,2,3,4\rbrace\right)}{F^\alpha\hat{e}_\alpha}\end{array}\right.\]

onde \(\vec{e}^i\) não dependem do ponto de aplicação, isto é, são vectores do espaço plano descrito por coordenadas rectangulares, notando que as equações da electrodinâmica acima consideradas são válidas nesse âmbito. Além disso, segue-se aqui a notação do artigo supracitado. Pela regra da derivada da função composta, não é difícil concluir que, considerando que as coordenadas \(x^i\) são contravariantes, então são covariantes as quantidades

\[\frac{\partial}{\partial x^i}\]

Então, é invariante o operador

\[\nabla=\sum_{i=1}^4{\vec{e}^i\frac{\partial}{\partial x^i}}\]

e são invariantes as equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\nabla\wedge F=0\\ \nabla\wedge F^{*}=-\sum_{\alpha\in I_{3}\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{J^\alpha}\hat{e}_\alpha\end{array}\right.\]

mediante transformações de coordenadas lineares se se assumir que as quantidades \(F_\alpha\), \(F^\alpha\) e \(J^\alpha\) se transformam segundo a natureza dos multivectores que compõem. Estas são as equações da electrodinâmica se se considerar que \(F_\alpha=F^\alpha\).

Para que não se altere a forma das equações da electrodinâmica, é necessário ainda que se mantenha a identidade \(F'_\alpha=F'^\alpha\) após a transformação. Sendo \(M\) a matriz que lhe é associada, mostrou-se, no artigo supracitado, que essa transformação satisfaz a equação matricial

\[M^TM=I\]

onde \(I\) é a matriz identidade. Note-se que a transformação assim obitda é válida, considerando que a entrada \(x^4=ict\) é um número complexo. Pretende-se, portanto, determinar a transformação, considerando apenas as quantidades reais correspondentes. Ora, tem-se

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r'\\ ict'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ict\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{c}Ar-ibct\\ e^Tr+idct\end{array}\right\rbrack\]

onde \(r\) é o vector coluna dado pelas coordenadas espaciais, \(A\) é uma matriz do tipo \(3\times 3\),  \(b\) e \(c\) são vectores coluna de três entradas e \(d\) é um escalar. De modo que \(r'\) e \(t'\) sejam constituídos por quantidades reais, as entradas dos vectores \(b\) e \(c\) deverão ser imaginários puros. Assim,

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r'\\ ict'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & ib\\ ie^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ict\end{array}\right\rbrack\]

que conduz à transformação para as quantidades reais na forma

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ct\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & -b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ct\end{array}\right\rbrack\]

Ora, a matriz original satisfaz a equação matricial

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}A^T & ie\\ ib^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}A & ib\\ ie^T & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}AA^T-ee^T & i(Ab+de)\\ i(Ab+de)^T & d^2-bb^T\end{array}\right\rbrack=I\]

As relações entre as quantidades reais correspondentes podem ser escritas como

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}A^T & e\\ -b^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}A & -b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\]

Não é um exercício difícil verificar que o conjunto das matrizes \(M\) que satisfazem esta relação, munido com o produto de matrizes habitual, forma um grupo. Denote-se por \(\Lambda\) a matriz

\[\Lambda=\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\]

onde \(I_3\) representa a submatriz \(3\times 3\) da identidade. Da identidade acima obtém-se

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}r  & t\end{array}\right\rbrack M^T\Lambda M\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}r & t\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

isto é,

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}r' & t'\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho'\\ \tau'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}r & t\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

onde

\[\left\lbrack\begin{array}{c}\rho'\\ \tau'\end{array}\right\rbrack=M\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

 O grupo das matrizes \(M\) deixa invariante esta última forma bilinear e é um caso particular de uma família de grupos que pode ser definida pelas matrizes \(M\) que satisfazem uma equação do género

\[M^TJM=J\]

No exemplo a duas coordenadas tem-se, de um modo geral,

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}a & e\\ -b & d\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{cc}a & -b\\ e & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}a^2-e^2 & -(ab+ed)\\ -(ab+ed) & b^2-d^2\end{array}\right\rbrack=\Lambda\]

isto é,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}a^2-e^2=1\\ ab+ed=0\\ b^2-c^2\end{array}\right.\]

A solução geral do sistema que conduz a uma transformação cuja matriz associada tem determinante positivo é dada por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}b=\pm\sqrt{a^2-1}\\ e=\mp\sqrt{a^2-1}\\ d=a\end{array}\right.\]

que corresponde à transformação de coordenadas da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=ax\pm\sqrt{a^2-1}ct\\ ct'=\pm\sqrt{a^2-1}x+act\end{array}\right.\]

A origem do referencial \(R'\) encontra-se no ponto \((vt,t)\) no referencial \(R\) se aquele se mover com velocidade \(v\) relativamente a este e, portanto,

\[0=avt\pm\sqrt{a^2-1}(ct)\]

de onde se obtém

\[a=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Como \(x=x'\) se \(v=0\) então \(a\) assumirá o valor positivo. Se se convencionar que a velocidade \(v\) é positiva se se der na direcção do crescimento do eixo das abcissas então a transformação final será da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}x-\frac{v/c}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}ct}\\ ct'=-\frac{v/c}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}ct\end{array}\right.\]

Trata-se de um caso particular das transformações mais gerais.

Espira que roda num campo magnético

Algumas bicicletas, em particular as pasteleiras, trazem um dínamo que permite gerar uma corrente eléctrica quando lhe é transferido movimento da roda da frente. Um circuíto eléctrico é montado, tendo o dínamo como gerador que alimenta um farol com um selector que permite regular a intensidade da luz. Porém, quanto maior for a intensidade da luz definida no selector, maior será a resistência ao movimento da roda da frente causado pelo dínamo. Este facto pode ser explicado com base na lei da conservação da energia. Com efeito, desprezando outras formas de dissipação, a energia dissipada pela lâmpada advém do trabalho realizado pela força que a roda da bicicleta exerce sobre o dínamo. A força total necessária para manter a bicicleta a uma velocidade constante terá, portanto, de incluir a parte da força responsável por acender a lâmpada.

É interessante averiguar, do ponto de vista do electromagnetismo, qual é a origem dessa força, considerando, como aproximação, uma espira que se encontra a rodar num campo mangético uniforme. Nos exercícios habituais, calcula-se a força electromotriz produzida na espira pela rotação. No entanto, não é tão frequente encontrar uma determinação da força aplicada sobre a espira quando o circuito eléctrico é fechado por uma resistência. Será aqui feito um esboço dessa determinação.

Considere-se a espira circular de raio \(\rho\) definida pelas equações paramétricas

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\\ y=0\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.\]

que se supõe rodar, com velocidade angular constante \(\omega\), em torno do eixo das cotas. Ao fim do tempo \(t\), cada ponto da espira parametrizado pelo parâmetro \(\lambda\), encontrar-se-á na posição dada por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ y=\rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.\]

O vector tangente à espira é dado pela derivada da posição em ordem ao parâmetro \(\lambda\), isto é,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial x}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}=\rho\cos\lambda\end{array}\right.\]

O produto vectorial da posição pelo vector tangente permite determinar a direcção da normal ao círculo definido pelo condutor. Tem-se, portanto,

\[\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\end{array}\right\vert=\rho\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]

onde \(\vec{i}\), \( \vec{j}\) e \(\vec{k}\) são, respectivamente, os versores ao longo do eixo das abcissas, do das ordenadas e do das cotas. O versor normal é dado, portanto, por

\[\vec{n}=\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]

Seja \(\vec{B}=B\vec{j}\) o campo magnético que se supõe uniforme e direccionado ao longo do eixo das ordenadas. O fluxo \(\phi\) do campo sobre o círculo definido pelo condutor é dado por

\[\phi=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}dS=\int_S B\vec{j}\cdot\left(\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\right)dS\]

isto é,

\[\phi=-\pi\rho^2B\cos\left(\omega t\right)\]

A força electromotriz obtém-se a partir da variação temporal do fluxo do campo magnético ao longo da superfície. Esta é dada por

\[\mathcal{E}=-\frac{d\phi}{dt}=-\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)\]

Se a espira constituir um circuito eléctrico fechado através de uma resistência \(R\), a sua intensidade será dada por

\[I=-\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)\]

Ora,

\[d\vec{l}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{j}+\rho\cos\lambda\vec{k}\]

A força de interacção entre a corrente que se desloca sobre a espira e o campo magnético calcula-se como

\[\vec{F}_B=Id\vec{l}\times\vec{B}=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B\omega\sin\left(\omega t\right)\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -\sin\lambda\cos\left(\omega t\right) & -\sin\lambda\sin\left(\omega t\right) & \cos\lambda\end{array}\right\vert\]

isto é,

\[\vec{F}_B=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B^2\omega\sin\left(\omega t\right)\left(\cos\lambda\vec{i}-\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\right)\]

Para que a espira mantenha uma velocidade de rotação constante é necessária a aplicação de uma força \(\vec{F}=-\vec{F}_B\) em cada um dos seus pontos. O trabalho total realizado pela força \(\vec{F}\) durante o intervalo de tempo \(t\) é dado por

\[W=\int_0^{2\pi}\int_0^t\vec{F}\cdot d\vec{r}d\lambda\]

isto é,

\[\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}d\lambda\]

onde, calculando a derivada da posição de cada elemento da espira em ordem ao tempo,

\[\frac{d\vec{r}}{dt}=-\rho\omega\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{i}+\rho\omega\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\]

O trabalho desenvolvido pela força que deverá ser aplicada à espira para que esta mantenha a sua velocidade angular constante por unidade de tempo é dado por

\[\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{R}\pi\rho^4B^2\omega^2\sin^2\left(\omega t\right)\cos^2\lambda d\lambda=\mathcal{E}I\]

Este resultado está de acordo com o princípio da conservação da energia, uma vez que \(\mathcal{E}I\) proporciona a potência dissipada pela resistência.