O oscilador harmónico em mecânica quântica

 As equações do oscilador harmónico simples são dadas por

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

onde

$$L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2$$

De modo a obter a equação de onda, faz-se

$$p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'$$

e determina-se a quantidade $H(x,p)=px'-L$ em função de $x$ e $p$, nomeadamente,

$$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$$

As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema

$$\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.$$

isto é, as já conhecidas equações da mola

$$\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.$$

A equação de onda é escrita na forma

$$H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}$$

isto é,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}$$

Aplica-se o método da separação, fazendo $\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$. Daqui segue-se que

$$\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}$$

onde $E$ é uma constante. A função $\psi(x)$ satisfaz a equação diferencial

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi$$

que pode ser colocada na forma

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0$$

 onde

$$\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

Faz-se

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.$$

obtendo-se a equação diferencial

$$\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0$$

Considera-se a solução $\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}$. A equação de $u$ fica

$$\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0$$

A equação possui soluções polinomiais $H_n(y)$ quando $\varepsilon\alpha-1=2n$ onde $n$ é um número inteiro. As restantes soluções, quando $n$ não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando $y\to\infty$ e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem

$$\alpha\varepsilon=2n+1$$

que corresponde aos valores para a energia

$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

em que

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma

$$\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}$$

onde

$$(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}$$

são polinómios.

Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica

Pretende-se aqui dar uma forma simplificada das equações que resultam da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais a problemas de Dinâmica sujeitos a restrições. De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais,

$$\int_V\left\lbrack \left(\frac{d}{dt}\left(\rho(V)\frac{d\vec{r}(V,t)}{dt}\right)-\vec{F}(V,t)\right)\cdot\delta\vec{r}(V,t)\right\rbrack=0$$

onde o volume $V$ se estende a todos os pontos que contenham massa.

No que se segue, não será mais denotada a dependência de $\vec{r}$ no volume $V$ e tempo $t$ de modo a tornar a exposição mais simples. Ora,

$$\varphi=\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{d\vec{r}}{dt}\right)\cdot\delta\vec{r}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}+\rho\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)$$

Em coordenadas generalizadas tem-se

$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\sum_i{\frac{dx^i}{dt}\vec{e}_i}$$

e

$$\delta\vec{r}=\sum_i{\delta x^i\vec{e}_i}$$

de onde se obtém

$$\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}=\sum_{ij}{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\delta x^j}$$

bem como

$$\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\sum_{ij}{g_{ij}dx^idx^j}$$

Daqui seguem-se as expressões

$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)=\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}dx^i\right)\delta x^j+g_{ij}dx^i\frac{d\delta x^j}{dt}}\\ \frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{\left\lbrack \delta g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}\delta\left(dx^i\right)dx^j+g_{ij}dx^i\delta\left(dx^j\right)\right\rbrack}\end{array}$$

Tem-se, portanto, para

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2$$

a complicada expressão

$$\begin{array}{l}\sum_{ij}\left\lbrack \frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)\delta x^j+g_{ij}v^i\delta v^j-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j-\frac{1}{2}g_{ij}\delta v^i v^j-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}g_{ij}v^i\delta v^j\right\rbrack\end{array}$$

onde $v^i=\frac{dx^i}{dt}$. A expressão anterior simplifica-se em

$$\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j}$$

ou

$$\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}$$

Se se fizer

$$L=\frac{1}{2}s^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{g_{ij}v^iv^j}$$

tem-se

$$\frac{\partial L}{\partial v^j}=\sum_i{g_{ij}v^i}$$

e

$$\frac{\partial L}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\sum_{ik}{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^iv^k}$$

Segue-se que

$$\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}=\sum_j\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial\frac{s^2}{2}}{\partial v^j}-\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}\right)\delta x^j$$

de onde se conclui o princípio dos trabalhos virtuais na forma

$$\int{\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)\delta x^j dV}=0$$

Seguem-se as equações do movimento na forma

$$\int\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)dV=0$$

Se a densidade $\rho$ não depender to tempo e a $\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi$ então as equações do movimento assumem a forma

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^j}-\frac{\partial L}{\partial x^j}=0$$

onde $L=\int\left(\frac{1}{2}\rho s^2-\phi\right)dV$.

Determinação do potencial gravítico causado por um paralelepípedo

No que se segue, serão dadas as linhas gerais para o cálculo do potencial gravítico causado por um paralelepípedo de densidade $\rho$. Este método seguirá de perto aquele apresentado no artigo Exterior gravitation of a polyhedron derived an compared with harmonic and mascon gravitation representations of Asteroid 4769 Castalia. Não é difícil concluir que o pontencial gravítico externo causado por um paralelepípedo de matéria é dado pelo integral triplo

$$V=G\rho\int_{-l_1}^{l_1}\int_{-l_2}^{l_2}\int_{-l_3}^{l_3}\frac{dz'dy'dx'}{\sqrt{\left(x-x'\right)^2+\left(y-y'\right)^2+\left(z-z'\right)^2}}$$

Aqui $G$ representa a constante de gravitação e $\rho$, a densidade de matéria, assumida como constante ao longo do paralelepípedo. Aplica-se a substituição

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x-x'=\xi\\ y-y'=\eta\\ z-z'=\zeta\end{array}\right.$$

de modo a que o integral anterior possa ser colocado na forma

$$\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{d\zeta d\eta d\xi }{\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}}$$

Denota-se por $r=\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}$ e define-se o vector

$$\vec{r}=\frac{1}{r}\left(\xi,\eta,\zeta\right)$$

Não é difícil verificar que

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\xi^2}{r^3}\\ \frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\eta^2}{r^3}\\ \frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{\zeta^2}{r^3}\end{array}\right.$$

e, portanto,

$$\nabla\vec{r}=\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{2}{r}$$

O integral escreve-se como

$$V=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left(\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)\right)$$

Poder-se-ia aqui recorrer ao teorema da divergência para reduzir o integral de volume a um integral de superfície. No entanto, será aqui seguida uma abordagem diferente. O integral divide-se em três parcelas, nomeadamente,

$$I=I_1+I_2+I_3$$

onde

$$\begin{array}{l}I_1=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\xi}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\\ I_2=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\\ I_3=\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)d\xi d\eta d\zeta\end{array}$$

Trocando a ordem de integração e aplicando o teorema fundamental do cálculo, vem

$$\begin{array}{l}I_1=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi}{r}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1} d\zeta d\eta\\ I_2=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{z+l_1}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\eta}{r}\right\rbrack_{\eta=y-l_2}^{\eta=y+l_2} d\zeta d\xi\\ I_3=\frac{1}{2}G\rho\int_{x-l_1}^{x+l_1}\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack \frac{\zeta}{r}\right\rbrack_{\zeta=z-l_3}^{\zeta=z+l_3} d\zeta d\eta\end{array}$$

Observando que

$$\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)=\frac{2}{r}-\frac{\eta^2+\zeta^2}{r}=\frac{1}{r}-\frac{\xi^2}{r^3}$$

o integral $I_1$ assume a forma

$$\begin{array}{l}I_1=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\xi\left(\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{\eta}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(\frac{\zeta}{r}\right)\right)\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta+\\ +\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\frac{\xi^3}{r^3}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta\end{array}$$

o qual, após aplicação do teorema fundamental do cálculo, se pode reduzir à soma de três parcelas

$$I_1=I_{11}+I_{12}+I_{13}$$

onde

$$\begin{array}{l}I_{11}=\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack\frac{\eta}{r}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\eta=y-l_2\\ \xi=x-l_1\end{array}}^{\begin{array}{l}\eta=y+l_2\\ \xi=x+l_1\end{array}}d\zeta\\ I_{12}=\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\zeta}{r}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\zeta=z-l_3\\ \xi=x-l_1\end{array}}^{\begin{array}{l}\zeta=z+l_3\\ \xi=x+l_1\end{array}}d\eta\\ I_{13}=G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi^3}{r^3}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta\end{array}$$

Os integrais $I_{11}$ e $I_{12}$ são fáceis de determinar. Por exemplo,

$$I_{11}=\frac{1}{2}G\rho=\left\lbrack\frac{1}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\arctan{\left(\frac{\zeta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\right)}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \eta=y-l_2\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \eta=y+l_2\\ \zeta=z+l_3\end{array}}$$

O integral $I_{12}$ é, em tudo, semelhante. Resta determinar o integral de superfície

$$I_{13}=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{\xi^3}{\left(\xi^2+\eta^2+\zeta^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta$$

Efectua-se a transformação

$$\lambda=\zeta+\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}$$

de onde,

$$\lambda^2-2\lambda\zeta-\xi^2-\eta^2=0$$

ou

$$\zeta=\frac{\lambda^2-\xi^2-\eta^2}{2\lambda}$$

e também

$$d\zeta=\frac{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}{2\lambda^2}d\lambda$$

bem como

$$\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}=\lambda-\zeta=\frac{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}{2\lambda}$$

A substituição no integral permite obter

$$\begin{array}{l}I_{13}=\frac{1}{2}G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\int_{z-l_3}^{z+l_3}\left\lbrack \frac{4\xi^3\lambda}{\left(\lambda^2+\xi^2+\eta^2\right)^2}\right\rbrack_{\xi=x-l_1}^{\xi=x+l_1}d\zeta d\eta=\\ =-G\rho\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\xi^3}{\lambda^2+\xi^2+\eta^2}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \lambda=l_3'\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \lambda=l_3''\end{array}}d\eta\end{array}$$

A aplicação da transformação inversa permite obter o integral

$$I_{13}=\int_{y-l_2}^{y+l_2}\left\lbrack\frac{\xi^3\zeta}{\left(\xi^2+\eta^2\right)\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \zeta=z+l_3\end{array}}d\eta$$

O mesmo método acima aplicado permite determinar

$$I_{13}=\left\lbrack\xi^2\arctan{\frac{\eta\sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}+\xi^2+\eta^2}{\xi\zeta}}\right\rbrack_{\begin{array}{l}\xi=x-l_1\\ \eta=y-l_2\\ \zeta=z-l_3\end{array}}^{\begin{array}{l}\xi=x+l_1\\ \eta=y+l_2\\ \zeta=z+l_3\end{array}}$$

Os demais integrais são em tudo semelhantes, obtendo-se uma expressão algo elaborada para o valor do potencial do cubo.

Rudimentos de biologia molecular

Todos os organismos vivos são compostos por compartimentos individuais denominados por células. Células, não sendo visíveis a olho nú, foi necessária a utilização de um microsocópio para a sua observação. O termo foi cunhado em 1665 e resultou da observação ao microscópio de uma fina lâmina cortada de um pedaço de cortiça. Estas lâminas pareciam consistir em poros delimitados por paredes, à semelhança dos favos de mel. Em 1675 foram descobertos pequenos animais, na água da chuva colectada num pote de terra. Tratar-se-iam de protozoários, organismos unicelulares.

Com os avanços em microscopia advieram novas descobertas até que em 1830 foi proposta a teoria celular dos tecidos vivos. De acordo com esta teoria, todas as criaturas vivas são constituídas por uma ou mais células e que novas células se originam em células existentes. Esta teoria tornou a biologia numa ciência para além do limite do olho nú e, em muitos casos, o estudo da vida passou a ser sinónimo do estudo das células.

Existe na natureza uma grande variedade de células que partilham entre si um núcleo de características. Todas elas têm um ciclo de vida semelhante, são originárias de células pré-existentes, consomem nutrientes do exterior, reproduzem-se e morrem. Os nutrientes, grande moléculas, são quebrados no interior da célula, na presença da água e do oxigénio, de modo a produzir adenosina trifosfato (ATP), libertando dióxido de carbono no processo. A ATP consiste numa molécula composta por uma adenosina e três fosfatos. Quando um fosfato é libertado na presença da água, produz-se adenosina difosfato (ADP), um fosfato livre e uma quantidade adicional de energia que poderá ser utilizada nos vários processos celulares. A quebra das moléculas nutrientes é realizada por um conjunto de proteínas designadas por enzimas. No caso das células que constituem os animais, esta actividade é mormente realizada no seio de pequenos organelos designados por mitocôndrias e o ATP resultante é difundido pelo corpo da celula. Quando o corpo da célula atinge um tamanho crítico, a difusão de energia começa a perder eficiência. Neste ponto, a célula replica-se, dando origem a duas novas células idênticas. Todo este processo é controlado por reacções químicas que assinalam quando deverá ser efectuada a absorção dos nutrientes, como devem estes serem quebrados e quando chega à altura da célula se dividir. O complexo algoritmo do funcionamento de uma célula está longe de ser compreendido.

A célula pode ser comparada a uma complexa máquina molecular. Não só contém a informação que permite criar uma réplica de si própria, como contém a maquinaria necessária á produção dos seus componentes, levar a cabo os processos de cópia e criar a sua prole.
Toda a estrutura e funcionamento interno das células depende essencialmente de três tipos de moléculas, nomeadamente, o ácido desoxirribonucleico (AND), o ácido ribonucleico (ARN) e as proteínas. De um modo simplificado, o ADN contém uma vasta biblioteca de como a célula deve funcionar. O ARN permite transportar porções dessa informação para as várias partes da célula onde esses pequenos volumes de informação servem de molde para a criação de proteínas. As proteínas são responsáveis por enviar sinais a outras células, são parte integrante da estrutura das células, e realizam o trabalho necessário à manutenção celular.

Foram obtidos alguns avanços na teoria das células com a descoberta dos cromossomas no interior dos seus núcleos. Como diferentes organismos possuem quantidades diferentes de cromossomas, foi aventado que estas estruturas seriam as responsáveis por transportar os traços característicos de cada espécie. Experiências com cruzamento de moscas da fruta, permitiram determinar que a cor dos olhos dependia do cromossoma X, mais predominante nos machos. Esta descoberta permitiu concluir que os genes que determinam as características dos indivíduos dever-se-iam encontrar no interior dos cromossomas. Experiências mais sofisticadas permitiram concluir que quanto mais ligados entre si forem os genes mais perto se deverão encontrar no mesmo cromossoma.

Uma experiência realizada por volta de 1941, utilizando bolor do pão, ou Neurospora, permitiu determinar a função dos genes. Este organismo é capaz de sobreviver com nutrientes muito simples tais como a sacarose e o sal. Após irradiar a Neuropsora como raios X, observou-se que alguns dos organismos irradiados cessaram de sobreviver quando mantidos naquele tipo de dieta. No entanto, floresciam quando eram supridos com vitamina $B_6$. Conclui-se que o gene destruído seria responsável pela produção daquela proteína. O papel dos genes seria, portanto, o de produzir ou controlar a produção de proteínas.

O ADN foi isolado pela primeira vez em 1891 a partir de células de pus. Em 1900 já era conhecido o facto das moléculas de ADN serem compostas por cadeias de quatro tipos de bases, nomeadamente, a adeninia (A), a timina (T), a guanina (G) e a citosina (C), suportadas por uma espécie de esqueleto de desoxirriboses unidos por grupos fosfato. Em 1920 já se fazia a distinção entre os ácidos nucleicos ADN e ARN. O ARN compõe-se de moléculas de adenina (A), guaninga (G), citosina (C) e, no lugar da timinta, tem-se uracilo (U). Estas cadeias são unidas por um esqueleto de riboses ligadas por um grupo fosfato. Em 1944 foi provado que os genes residem precisamente nas cadeias de ADN.

Em 1950 foi feita a descoberta de que o ADN apresentava um valor semelhante da proporção entre a adenina e a timina, e a proporção entre a guanina e a citosina. A igualdade entre as proporções anteriores aliada à projecção helicoidal em dispersão por raios X, permitiu concluir, em 1953, que o ADN é estruturalmente constituído por uma dupla-hélice unida por pontes entre pares de bases. Esta união é realizada entre os pares adeninia e timina, e entre a guanina e a citosina.

A dupla hélice proporciona a chave para a replicação de ADN. Além disso, contendo em si os genes, cada sequência dessa molécula codifica, de algum modo, as proteínas a serem produzidas. Dado que o ADN reside no núcleo das células eucariontes e a síntese de proteínas se dá em outra parte qualquer, fica claro que as proteínas não podem ser geradas directamente a partir do ADN. Em 1950 foi descoberto o facto de que a síntese de proteínas se dão na presença de moléculas que recebem a designação de ribossomas, os quais contêm ARN. Ficou no ar a supeita de que o ARN fosse o intermediário entre o ADN e a produção de proteínas. Em 1960 foi provado que o ARN forma duplos com fileiras únicas de ADN, provando que o ARN é complementar a um determinado segumento de ADN que codifica a proteína. Assim, é realizada uma cópia da porção de ADN para o ARN mensageiro que leva a informação genética para os ribossomas de modo a ser produzida a proteína particular. O processo de cópia de porções de ADN para o ARN é conhecido pela designação de transcrição e os recursos moleculares responáveis recebem a designação de polimerase de ADN. Um dos grandes problemas em biologia consiste em determinar como a polimerase de ADN identifica as regiões de início e de fim no processo de transcrição. A transcrição de genes para ARN mensageiro é controlada de modo que nem todos os genes produzam proteínas a qualquer momento. Algumas proteínas, tais como factores de transcição, permitem influenciar esse controlo. Determinadas proteínas advindas do exterior podem-se ligar à ADN polimerase, inibindo ou intensificando a produção de proteínas associadas a determinados genes.

Em 1820 foi identificado o primeiro aminoácido, a glicina. No início de 1900 já se conheciam os $20$ aminoácidos que constituem os blocos de construção das proteínas. De modo a determinar o código de transcrição entre ADN e as proteínas, foi conjecturado que cada grupo de três bases de ADN codificam um aminoácido. Existem $4^3=64$ grupos possíveis de bases que excede largamente os $20$ aminoácidos que compõem as proteínas. Torna-se claro da conjectura que vários grupos diferentes podem codificar o mesmo aminoácido. Além disso, poderão existir grupos que não codifiquem qualquer aminoácido. Em 1960 já era conhecido o mapeamento entre o gene e a respectiva proteína.

	U	C	A	G
U	UUU Fenilalanina UUC Fenilalanina UUA Leucina UUG Leucina	UCU Seratonina UCC Seratonina UCA Seratonina UCG Seratonina	UAU Tirosina UAC Tirosina UAA Pára UAG Pára	UGU Cistina UGC Cistina UGA Pára UGG Triptofano
C	CUU Leucina CUC Leucina CUA Leucina CUG Leucina	CCU Prolina CCC Prolina CCA Prolina CCG Prolina	CAU Histidina CAC Histidina CAA Glutamina CAG Glutamina	CGU Arginina CGC Arginina CGA Arginina CGG Arginina
A	AUU Isoleucina AUC Isoleucina AUA Isoleucina AUG Metionina	ACU Treonina ACC Treonina ACA Treonina ACG Treonina	AAU Asparagina AAC Asparagina AAA Lisina AAG Lisina	AGU Seratonina AGC Seratonina AGA Arginina AGG Arginina
G	GUU Valina GUC Valina GUA Valina GUG Valina	GCU Alanina GCC Alanina GCA Alanina GCG Alanina	GAU Aspargina GAC Aspargina GAA Glutamato GAG Glutamato	GGU Glicina GGC Glicina GGA Glicina GGG Glicina

As proteínas podem-se agregar em estruturas funcionais mais complexas. Um exemplo disso encontra-se na polimerase de ARN que permite copiar um gene do ADN para uma pequena sequência de bases ARN, designado por ARN mensageiro. O ARN mensageiro é tratado pelos ribossomas que constituem outros complexos moleculares que efectuam a leitura dos codões e procuram o aminoácido por ele codificado para incluí-lo na cadeia proteica em construção. De modo a localizar o aminoácido correspondente é usado um tipo especial de ARN, o ARN de transferência. Existem vinte tipos de ARN de transferência que corresponde aos vinte tipos de aminoácidos. Cada aminoácido une-se a um tipo despecífico de ARN de transferência, onde cada molécula de ARN possui um segmento de três bases que se unem a uma porçao do ARN mensageiro. O segmento de três bases do ARN de transferência é, portanto, complementar às três bases associadas do ARN mensageiro. Este processo possibilita ao ribossoma, a adição do aminoácido à proteína. Quando o processo de adição é concluído, o ribossoma efectua uma deslocação lateral para o próximo codão e o processo repete-se. Este processo geral recebe a designação de tradução.