O oscilador harmónico em mecânica quântica

 As equações do oscilador harmónico simples são dadas por

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]

onde

\[L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2\]

De modo a obter a equação de onda, faz-se

\[p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'\]

e determina-se a quantidade \(H(x,p)=px'-L\) em função de \(x\) e \(p\), nomeadamente,

\[H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2\]

As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema

\[\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.\]

isto é, as já conhecidas equações da mola

\[\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.\]

A equação de onda é escrita na forma

\[H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]

isto é,

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}\]

Aplica-se o método da separação, fazendo \(\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)\). Daqui segue-se que

\[\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}\]

onde \(E\) é uma constante. A função \(\psi(x)\) satisfaz a equação diferencial

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi\]

que pode ser colocada na forma

\[\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0\]

 onde

\[\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}\]

Faz-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.\]

obtendo-se a equação diferencial

\[\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0\]

Considera-se a solução \(\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}\). A equação de \(u\) fica

\[\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0\]

A equação possui soluções polinomiais \(H_n(y)\) quando \(\varepsilon\alpha-1=2n\) onde \(n\) é um número inteiro. As restantes soluções, quando \(n\) não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando \(y\to\infty\) e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem

\[\alpha\varepsilon=2n+1\]

que corresponde aos valores para a energia

\[E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\]

em que

\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma

\[\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}\]

onde

\[(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}\]

são polinómios.