Evolução do integral de volume no espaço de fase

Seja o sistema de equações de primeira ordem da forma

\[\begin{array}{ll}x_i'=\phi_i\left(x_1\cdots x_n\right), & i=1,\cdots,n\end{array}\]

cuja solução geral se sabe escrever na forma

\[x_i=x_i\left(a_1,\cdots,a_n,t\right)\]

em que \(a_i\) são as constantes de integração tais que

\[x_i\left(a_1,\cdots,a_n,0\right)=a_i\]

O sistema de equações diferenciais define em \(t\), para cada ponto dado pelos \(a_i\), uma curva que passa por esse ponto. Considere-se a curva \(C\) definida por

\[\alpha\to\left(a_1(\alpha),\cdots,a_n(\alpha)\right)\]

Essa curva transformar-se-á na curva \(C_t\)

\[\alpha\to\left(x_1(\alpha,t),\cdots,x_n(\alpha,t)\right)\]

para valores de \(t\ne 0\). Seja agora

\[I_t=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n{F_i dx_i}}\]

que vem dado por

\[I_t=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{F_i \frac{\partial x_i}{\partial\alpha}}d\alpha}\]

Assim, a derivada de \(I_t\) em ordem a \(t\) calcula-se como

\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{dF_i}{dt} \frac{\partial x_i}{\partial\alpha}+F_i\frac{\partial \phi_i}{\partial\alpha}\right)}d\alpha}\]

Mas

\[\frac{\partial\phi_i}{\partial\alpha}=\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\phi_i}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial\alpha}}\]

 Segue-se que

 \[\frac{dI_t}{dt}=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{dF_i}{dt}+\sum_{j=1}^n{F_j\frac{\partial\phi_j}{\partial x_i}}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\alpha}}d\alpha}\]

isto é,

\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}\sum_{i=1}^n\left(\frac{dF_i}{dt}+\sum_{j=1}^n{F_j\frac{\partial\phi_j}{\partial x_i}}\right)dx_i\]

Como

\[\frac{dF_i}{dt}=\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\phi_j\]

segue-se que 

\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\left(\phi_jF_j\right)}{\partial x_i}}+\sum_{j=1}^n{\phi_j\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\right)}\right)dx_i\]

que assume a representação

\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}d\sum_{i=1}^n F_i\phi_i+\int_{C_t}{\left(\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\phi_j\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\right)}\right)dx_i}\]

O cálculo da derivada torna-se mais fácil, notando que se pode abreviar a transformação para \(\alpha\). Com efeito,

\[\frac{dI}{dt}=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n\left(F_i'dx_i+F_idx_i'\right)}\]

onde a plica representa a derivação em ordem a \(t\), considerando que os limites do integral dependem de \(\alpha\) apenas. A expressão anterior é dada por

\[\frac{dI}{dt}=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n\left(F_i'dx_i+F_i d\phi_i\right)}\]

que, atendendo ao facto de que

\[d\phi_i=\sum_{j=1}^n{\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}dx_j}\]

obtém-se a mesma expressão.

Considere-se agora o volume inicial \(V\) dado pelos \(a_i\) que, à medida que os respectivos pontos se movem ao longo das suas curvas de acordo com \(t\), se distorce no volume \(V_t\). Considere-se o integral de volume

\[I=\int_{V_t}\rho dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n\]

Neste caso, os próprios parâmetros \(a_i\) servirão como sistema de coordenadas. Recorrendo à abreviação considerada, obtém-se

\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\rho' dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n+\rho\sum_{j=1}^n{dx_1\wedge\cdots\wedge dx_i'\wedge\cdots\wedge dx_n}}\]

considerando que vale a regra do produto

\[\left(dx\wedge dy\right)'=dx'\wedge dy+dx\wedge dy'\]

Em termos de coordenadas, tal é válido já que

\[\frac{d}{dt}\left\lvert\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right\rvert=\left\lvert\begin{array}{cc}a' & b' \\ c & d\end{array}\right\rvert+\left\lvert\begin{array}{cc}a & b\\ c' & d'\end{array}\right\rvert\]

Então

\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\rho' dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n+\rho\sum_{j=1}^n{dx_1\wedge\cdots\wedge d\phi\wedge\cdots\wedge dx_n}}\]

que, atendendo à expressão para \(d\phi_i\), se escreve como

\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\left(\rho'+\sum_{j=1}^n{\rho\frac{\partial\phi_j}{\partial x_j}}\right) dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n}\]

 que se reduz a

\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\left(\rho\phi_j\right)}{\partial x_j}}\right) dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n}\]

Se se considerar que se trata de um sistema mecânico no qual o número de estados não varia e \(\rho\) representar a densidade de estados, tem-se

\[\frac{dI}{dt}=0\]

qualquer que seja o volume considerado e, portanto,

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n{\frac{\partial\left(\rho\phi_i\right)}{\partial x_j}}=0\]

As equações da mecânica, escrevendo-se como

\[\left\lbrace\begin{array}{l}q_i'=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ p_i'=\frac{\partial H}{\partial q_i}\end{array}\right.\]

conduzem ao resultado

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(q'_i\frac{\partial\rho}{\partial q_i}+p_i' \frac{\partial\rho}{\partial p_i}\right)=0\]

Esta equação tem um significado especial em mecânica estatística. 

Uma visão alternativa da transformação que deixa invariante as equações do electromagnetismo

 No passado, postei enlinha o texto Transformações em electrodinâmica onde são obtidas as transformações de coordenadas espaciais e temporal que deixam invariantes as equações do electromagnetismo, considerando transformações simples que envolvem apenas duas dessas coordenadas. É claro que a transformação geral constitui um grupo e este é gerado pela composição daquele tipo de transformações. Pretendo aqui expor o tema de um ponto de vista diferente, considerando directamente o caso mais geral.

Denotando por \(i=\sqrt{-1}\) a unidade imaginária, as equações da electrodinâmica no vazio podem ser escritas na forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{\nabla}\cdot\left(ic\vec{D}\right)=ic\rho\\ \vec{\nabla}\times\vec{H}-\frac{\partial\left(ic\vec{D}\right)}{\partial (ict)}=\vec{J}\\ \vec{\nabla}\cdot\vec{H}=0\\ \vec{\nabla}\times\vec{\left(ic\vec{D}\right)}-\frac{\partial\vec{H}}{\partial (ict)}=0\end{array}\right.\]

onde \(\vec{D}\) é o vector de deslocamento eléctrico, \(\vec{H}\) é o vector da intensidade do campo magnético,

\[c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\]

 sabe-se ser igual à velocidade de propagação de uma onda electromagnética no vazio, \(\rho\) e \(\vec{J}\) são, respectivamente, as densidades de carga e de corrente, e o operador \(\vec{\nabla}\) é escrito como

\[\vec{\nabla}=\vec{e}^1\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}^2\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}^3\frac{\partial}{\partial z}\]

As equações acima apresentadas admitem uma representação mais simples quando consideradas no âmbito dos multivectores. No texto enlinha As transformações de coordenadas no produto exterior apresentei as leis de transformação deste género de entidades, incluindo algumas considerações adicionais.

Faz-se

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\left(x^1,x^2,x^3,x^4\right)=\left(x,y,z,ict\right)\\ \left(J^1,J^2,J^3,J^4\right)=\left(J_x,J_y,J_z,ic\rho\right)\end{array}\right.\]

e

\[\left\lbrace\begin{array}{ccc}F_{\lbrace 1,4\rbrace}=icD_x, & F_{\lbrace 2,4\rbrace}=icD_y, & F_{\lbrace 3,4\rbrace}=icD_z\\ F_{\lbrace 1,2\rbrace}=H_z, & F_{\lbrace 1,3\rbrace}=-H_y, & F_{\lbrace 2,3\rbrace}=H_x\end{array}\right.\]

Constroem-se os multivectores

\[\left\lbrace\begin{array}{l}F=\sum_{\alpha\in I_2\left(\lbrace 1,2,3,4\rbrace\right)}{F_\alpha\vec{e}^\alpha}\\ F^{*}=\sum_{\alpha\in I_2\left(\lbrace 1,2,3,4\rbrace\right)}{F^\alpha\hat{e}_\alpha}\end{array}\right.\]

onde \(\vec{e}^i\) não dependem do ponto de aplicação, isto é, são vectores do espaço plano descrito por coordenadas rectangulares, notando que as equações da electrodinâmica acima consideradas são válidas nesse âmbito. Além disso, segue-se aqui a notação do artigo supracitado. Pela regra da derivada da função composta, não é difícil concluir que, considerando que as coordenadas \(x^i\) são contravariantes, então são covariantes as quantidades

\[\frac{\partial}{\partial x^i}\]

Então, é invariante o operador

\[\nabla=\sum_{i=1}^4{\vec{e}^i\frac{\partial}{\partial x^i}}\]

e são invariantes as equações

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\nabla\wedge F=0\\ \nabla\wedge F^{*}=-\sum_{\alpha\in I_{3}\left(\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\right)}{J^\alpha}\hat{e}_\alpha\end{array}\right.\]

mediante transformações de coordenadas lineares se se assumir que as quantidades \(F_\alpha\), \(F^\alpha\) e \(J^\alpha\) se transformam segundo a natureza dos multivectores que compõem. Estas são as equações da electrodinâmica se se considerar que \(F_\alpha=F^\alpha\).

Para que não se altere a forma das equações da electrodinâmica, é necessário ainda que se mantenha a identidade \(F'_\alpha=F'^\alpha\) após a transformação. Sendo \(M\) a matriz que lhe é associada, mostrou-se, no artigo supracitado, que essa transformação satisfaz a equação matricial

\[M^TM=I\]

onde \(I\) é a matriz identidade. Note-se que a transformação assim obitda é válida, considerando que a entrada \(x^4=ict\) é um número complexo. Pretende-se, portanto, determinar a transformação, considerando apenas as quantidades reais correspondentes. Ora, tem-se

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r'\\ ict'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ict\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{c}Ar-ibct\\ e^Tr+idct\end{array}\right\rbrack\]

onde \(r\) é o vector coluna dado pelas coordenadas espaciais, \(A\) é uma matriz do tipo \(3\times 3\),  \(b\) e \(c\) são vectores coluna de três entradas e \(d\) é um escalar. De modo que \(r'\) e \(t'\) sejam constituídos por quantidades reais, as entradas dos vectores \(b\) e \(c\) deverão ser imaginários puros. Assim,

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r'\\ ict'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & ib\\ ie^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ict\end{array}\right\rbrack\]

que conduz à transformação para as quantidades reais na forma

\[\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ct\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}A & -b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{c}r\\ ct\end{array}\right\rbrack\]

Ora, a matriz original satisfaz a equação matricial

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}A^T & ie\\ ib^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}A & ib\\ ie^T & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}AA^T-ee^T & i(Ab+de)\\ i(Ab+de)^T & d^2-bb^T\end{array}\right\rbrack=I\]

As relações entre as quantidades reais correspondentes podem ser escritas como

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}A^T & e\\ -b^T & d\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\left\lbrack\begin{array}{cc}A & -b\\ e^T & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\]

Não é um exercício difícil verificar que o conjunto das matrizes \(M\) que satisfazem esta relação, munido com o produto de matrizes habitual, forma um grupo. Denote-se por \(\Lambda\) a matriz

\[\Lambda=\left\lbrack\begin{array}{cc}I_3 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right\rbrack\]

onde \(I_3\) representa a submatriz \(3\times 3\) da identidade. Da identidade acima obtém-se

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}r  & t\end{array}\right\rbrack M^T\Lambda M\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}r & t\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

isto é,

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}r' & t'\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho'\\ \tau'\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}r & t\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

onde

\[\left\lbrack\begin{array}{c}\rho'\\ \tau'\end{array}\right\rbrack=M\left\lbrack\begin{array}{c}\rho\\ \tau\end{array}\right\rbrack\]

 O grupo das matrizes \(M\) deixa invariante esta última forma bilinear e é um caso particular de uma família de grupos que pode ser definida pelas matrizes \(M\) que satisfazem uma equação do género

\[M^TJM=J\]

No exemplo a duas coordenadas tem-se, de um modo geral,

\[\left\lbrack\begin{array}{cc}a & e\\ -b & d\end{array}\right\rbrack\Lambda\left\lbrack\begin{array}{cc}a & -b\\ e & d\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack\begin{array}{cc}a^2-e^2 & -(ab+ed)\\ -(ab+ed) & b^2-d^2\end{array}\right\rbrack=\Lambda\]

isto é,

\[\left\lbrace\begin{array}{l}a^2-e^2=1\\ ab+ed=0\\ b^2-c^2\end{array}\right.\]

A solução geral do sistema que conduz a uma transformação cuja matriz associada tem determinante positivo é dada por

\[\left\lbrace\begin{array}{l}b=\pm\sqrt{a^2-1}\\ e=\mp\sqrt{a^2-1}\\ d=a\end{array}\right.\]

que corresponde à transformação de coordenadas da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=ax\pm\sqrt{a^2-1}ct\\ ct'=\pm\sqrt{a^2-1}x+act\end{array}\right.\]

A origem do referencial \(R'\) encontra-se no ponto \((vt,t)\) no referencial \(R\) se aquele se mover com velocidade \(v\) relativamente a este e, portanto,

\[0=avt\pm\sqrt{a^2-1}(ct)\]

de onde se obtém

\[a=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Como \(x=x'\) se \(v=0\) então \(a\) assumirá o valor positivo. Se se convencionar que a velocidade \(v\) é positiva se se der na direcção do crescimento do eixo das abcissas então a transformação final será da forma

\[\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}x-\frac{v/c}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}ct}\\ ct'=-\frac{v/c}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}ct\end{array}\right.\]

Trata-se de um caso particular das transformações mais gerais.