Seja o sistema de equações de primeira ordem da forma
\[\begin{array}{ll}x_i'=\phi_i\left(x_1\cdots x_n\right), & i=1,\cdots,n\end{array}\]
cuja solução geral se sabe escrever na forma
\[x_i=x_i\left(a_1,\cdots,a_n,t\right)\]
em que \(a_i\) são as constantes de integração tais que
\[x_i\left(a_1,\cdots,a_n,0\right)=a_i\]
O sistema de equações diferenciais define em \(t\), para cada ponto dado pelos \(a_i\), uma curva que passa por esse ponto. Considere-se a curva \(C\) definida por
\[\alpha\to\left(a_1(\alpha),\cdots,a_n(\alpha)\right)\]
Essa curva transformar-se-á na curva \(C_t\)
\[\alpha\to\left(x_1(\alpha,t),\cdots,x_n(\alpha,t)\right)\]
para valores de \(t\ne 0\). Seja agora
\[I_t=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n{F_i dx_i}}\]
que vem dado por
\[I_t=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{F_i \frac{\partial x_i}{\partial\alpha}}d\alpha}\]
Assim, a derivada de \(I_t\) em ordem a \(t\) calcula-se como
\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{dF_i}{dt} \frac{\partial x_i}{\partial\alpha}+F_i\frac{\partial \phi_i}{\partial\alpha}\right)}d\alpha}\]
Mas
\[\frac{\partial\phi_i}{\partial\alpha}=\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\phi_i}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial\alpha}}\]
Segue-se que
\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}{\sum_{i=1}^n{\left(\frac{dF_i}{dt}+\sum_{j=1}^n{F_j\frac{\partial\phi_j}{\partial x_i}}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\alpha}}d\alpha}\]
isto é,
\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}\sum_{i=1}^n\left(\frac{dF_i}{dt}+\sum_{j=1}^n{F_j\frac{\partial\phi_j}{\partial x_i}}\right)dx_i\]
Como
\[\frac{dF_i}{dt}=\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\phi_j\]
segue-se que
\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\left(\phi_jF_j\right)}{\partial x_i}}+\sum_{j=1}^n{\phi_j\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\right)}\right)dx_i\]
que assume a representação
\[\frac{dI_t}{dt}=\int_{C_t}d\sum_{i=1}^n F_i\phi_i+\int_{C_t}{\left(\frac{\partial F_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\phi_j\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\right)}\right)dx_i}\]
O cálculo da derivada torna-se mais fácil, notando que se pode abreviar a transformação para \(\alpha\). Com efeito,
\[\frac{dI}{dt}=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n\left(F_i'dx_i+F_idx_i'\right)}\]
onde a plica representa a derivação em ordem a \(t\), considerando que os limites do integral dependem de \(\alpha\) apenas. A expressão anterior é dada por
\[\frac{dI}{dt}=\int_{C_t}{\sum_{i=1}^n\left(F_i'dx_i+F_i d\phi_i\right)}\]
que, atendendo ao facto de que
\[d\phi_i=\sum_{j=1}^n{\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}dx_j}\]
obtém-se a mesma expressão.
Considere-se agora o volume inicial \(V\) dado pelos \(a_i\) que, à medida que os respectivos pontos se movem ao longo das suas curvas de acordo com \(t\), se distorce no volume \(V_t\). Considere-se o integral de volume
\[I=\int_{V_t}\rho dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n\]
Neste caso, os próprios parâmetros \(a_i\) servirão como sistema de coordenadas. Recorrendo à abreviação considerada, obtém-se
\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\rho' dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n+\rho\sum_{j=1}^n{dx_1\wedge\cdots\wedge dx_i'\wedge\cdots\wedge dx_n}}\]
considerando que vale a regra do produto
\[\left(dx\wedge dy\right)'=dx'\wedge dy+dx\wedge dy'\]
Em termos de coordenadas, tal é válido já que
\[\frac{d}{dt}\left\lvert\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right\rvert=\left\lvert\begin{array}{cc}a' & b' \\ c & d\end{array}\right\rvert+\left\lvert\begin{array}{cc}a & b\\ c' & d'\end{array}\right\rvert\]
Então
\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\rho' dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n+\rho\sum_{j=1}^n{dx_1\wedge\cdots\wedge d\phi\wedge\cdots\wedge dx_n}}\]
que, atendendo à expressão para \(d\phi_i\), se escreve como
\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\left(\rho'+\sum_{j=1}^n{\rho\frac{\partial\phi_j}{\partial x_j}}\right) dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n}\]
que se reduz a
\[\frac{dI}{dt}=\int_{V_t}{\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{j=1}^n{\frac{\partial\left(\rho\phi_j\right)}{\partial x_j}}\right) dx^1\wedge\cdots\wedge dx_n}\]
Se se considerar que se trata de um sistema mecânico no qual o número de estados não varia e \(\rho\) representar a densidade de estados, tem-se
\[\frac{dI}{dt}=0\]
qualquer que seja o volume considerado e, portanto,
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n{\frac{\partial\left(\rho\phi_i\right)}{\partial x_j}}=0\]
As equações da mecânica, escrevendo-se como
\[\left\lbrace\begin{array}{l}q_i'=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ p_i'=\frac{\partial H}{\partial q_i}\end{array}\right.\]
conduzem ao resultado
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\left(q'_i\frac{\partial\rho}{\partial q_i}+p_i' \frac{\partial\rho}{\partial p_i}\right)=0\]
Esta equação tem um significado especial em mecânica estatística.
