Partícula num poço de potencial

Por um procedimento em tudo semelhante ao que foi apresentado no texto O oscilador harmónico em mecânica quântica, se a dinâmica do sistema mecânico clássico a uma dimensão for descrito pela função

\[L=T-U\]

então a função de onda pode ser escrita como

\[\varphi(x,t)=\psi(x)e^{\frac{iEt}{h}}\]

em que \(\psi(x)\) satisfaz a equação diferencial

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+U\psi=E\psi\]

O caso particular de uma partícula que se encontra num poço de potencial é descrito pela função

\[U(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}\infty, & x<0\\ 0, & 0\le x\le a\\ \infty, & x>a\end{array}\right.\]

Começa-se por considerar o caso particular em que \(U=k\) é constante. A equação diferencial assume a forma

\[\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2m(E-k)}{\hbar^2}\psi\]

Trata-se da equação diferencial que descreve o movimento do oscilador harmónico simples clássico. A solução da família de equações diferenciais é dada por

\[\psi=\left\lbrace\begin{array}{ll}Ae^{\frac{\sqrt{2m(k-E)}}{\hbar}x}+BAe^{-\frac{\sqrt{2m(k-E)}}{\hbar}x}, & k<E\\ A+Bx, & k=E\\ A\cos{\frac{\sqrt{2m(E-k)}}{\hbar}x}+B\sin{\frac{\sqrt{2m(E-k)}}{\hbar}x}, & k>E\end{array}\right.\]

A solução do problema inicial deverá ser tal que se verifique \(\psi(x)\to  0\) quando \(|x|\to \infty\) de modo que seja normalizável. Ora, se \(k\to\infty\), \(\psi(x)=0\) é a única solução da equação diferencial que satisfaz o requisito e, portanto, fora do intervalo \([0,a]\), a função de onda anula-se. No interior do intervalo, com \(k=0\), a condição fronteira obtém-se do facto de que a função de onda deve ser contínua em todo o domínio. Então, anulando-se a função fora do intervalo, \(\psi(0)=\psi(a)=0\). Da condição \(\psi(0)=0\) observa-se que

\[\psi(x)=B\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\]

Por seu turno, \(\psi(a)=0\) conduz à equação

\[B\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a=0\]

cuja solução é dada por

\[\sqrt{2mE}{\hbar}a=n\pi\]

onde \(n\) é um número inteiro positivo na medida em que é positiva a quantidade descrita pelo primeiro membro da equação. Atendendo a que

\[\hbar=\frac{h}{2\pi}\]

tem-se, para os valores da energia,

\[E=\frac{n^2h^2}{8ma^2}\]

e, para solução procurada,

\[\psi(x)=B\sin\frac{n\pi x}{a}\]

A constante \(B\) resulta do processo de normalização. Com efeito,

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^2(x)dx=\int_0^a{B^2\sin^2\frac{n\pi x}{a}dx}=1\]

ou

\[B^2=\sqrt{\frac{2}{a}}\]

As soluções estacionárias da equação de onda para o caso do poço de potencial são dadas, portanto, por

\[\varphi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}e^{\frac{in^2ht}{8ma^2}}\]

A equação de onda independente do tempo para o caso tridimensional com \(U=0\) pode ser escrita na forma

\[\nabla^2\psi+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0\]

O método da separação das variáveis, escrevendo

\[\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\]

conduz à equações diferenciais ordinárias

\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=-k_x\\ \frac{1}{Y}\frac{dY}{dy}=-k_y\\ \frac{1}{Z}\frac{dZ}{dz}=-k_z\end{array}\right.\]

em que

\[k_x+k_y+k_z=\frac{2mE}{\hbar^2}\]

Se se considerar o caso em que \(U=0\) no cubo definido pelos vértices \((0,0,0)\) e \((a,a,a)\), e \(\infty\) no exterior, os argumentos usados no caso unidimensional permitem concluir que as funções de onda estacionárias se anulam no seu exterior e, no seu interior, vêm dadas por

\[\varphi(x,y,z,t)=\left(\sqrt{2}{a}\right)^3\sin{\frac{n_x\pi x}{a}}\sin{\frac{n_y\pi y}{a}}\sin{\frac{n_z\pi z}{a}}e^{\frac{ih\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)}{8ma^2}}\]

para valores inteiros não negativos de \(n_x\), \(n_y\) e \(n_z\), já que as condições de continuidade exigem que a energia seja da forma

\[E=\frac{h^2}{8ma^2}\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)\]