Partícula num poço de potencial

Por um procedimento em tudo semelhante ao que foi apresentado no texto O oscilador harmónico em mecânica quântica, se a dinâmica do sistema mecânico clássico a uma dimensão for descrito pela função

$$L=T-U$$

então a função de onda pode ser escrita como

$$\varphi(x,t)=\psi(x)e^{\frac{iEt}{h}}$$

em que $\psi(x)$ satisfaz a equação diferencial

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+U\psi=E\psi$$

O caso particular de uma partícula que se encontra num poço de potencial é descrito pela função

$$U(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}\infty, & x<0\\ 0, & 0\le x\le a\\ \infty, & x>a\end{array}\right.$$

Começa-se por considerar o caso particular em que $U=k$ é constante. A equação diferencial assume a forma

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2m(E-k)}{\hbar^2}\psi$$

Trata-se da equação diferencial que descreve o movimento do oscilador harmónico simples clássico. A solução da família de equações diferenciais é dada por

$$\psi=\left\lbrace\begin{array}{ll}Ae^{\frac{\sqrt{2m(k-E)}}{\hbar}x}+BAe^{-\frac{\sqrt{2m(k-E)}}{\hbar}x}, & k<E\\ A+Bx, & k=E\\ A\cos{\frac{\sqrt{2m(E-k)}}{\hbar}x}+B\sin{\frac{\sqrt{2m(E-k)}}{\hbar}x}, & k>E\end{array}\right.$$

A solução do problema inicial deverá ser tal que se verifique $\psi(x)\to  0$ quando $|x|\to \infty$ de modo que seja normalizável. Ora, se $k\to\infty$, $\psi(x)=0$ é a única solução da equação diferencial que satisfaz o requisito e, portanto, fora do intervalo $[0,a]$, a função de onda anula-se. No interior do intervalo, com $k=0$, a condição fronteira obtém-se do facto de que a função de onda deve ser contínua em todo o domínio. Então, anulando-se a função fora do intervalo, $\psi(0)=\psi(a)=0$. Da condição $\psi(0)=0$ observa-se que

$$\psi(x)=B\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x$$

Por seu turno, $\psi(a)=0$ conduz à equação

$$B\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a=0$$

cuja solução é dada por

$$\sqrt{2mE}{\hbar}a=n\pi$$

onde $n$ é um número inteiro positivo na medida em que é positiva a quantidade descrita pelo primeiro membro da equação. Atendendo a que

$$\hbar=\frac{h}{2\pi}$$

tem-se, para os valores da energia,

$$E=\frac{n^2h^2}{8ma^2}$$

e, para solução procurada,

$$\psi(x)=B\sin\frac{n\pi x}{a}$$

A constante $B$ resulta do processo de normalização. Com efeito,

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^2(x)dx=\int_0^a{B^2\sin^2\frac{n\pi x}{a}dx}=1$$

ou

$$B^2=\sqrt{\frac{2}{a}}$$

As soluções estacionárias da equação de onda para o caso do poço de potencial são dadas, portanto, por

$$\varphi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}e^{\frac{in^2ht}{8ma^2}}$$

A equação de onda independente do tempo para o caso tridimensional com $U=0$ pode ser escrita na forma

$$\nabla^2\psi+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0$$

O método da separação das variáveis, escrevendo

$$\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$$

conduz à equações diferenciais ordinárias

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=-k_x\\ \frac{1}{Y}\frac{dY}{dy}=-k_y\\ \frac{1}{Z}\frac{dZ}{dz}=-k_z\end{array}\right.$$

em que

$$k_x+k_y+k_z=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

Se se considerar o caso em que $U=0$ no cubo definido pelos vértices $(0,0,0)$ e $(a,a,a)$, e $\infty$ no exterior, os argumentos usados no caso unidimensional permitem concluir que as funções de onda estacionárias se anulam no seu exterior e, no seu interior, vêm dadas por

$$\varphi(x,y,z,t)=\left(\sqrt{2}{a}\right)^3\sin{\frac{n_x\pi x}{a}}\sin{\frac{n_y\pi y}{a}}\sin{\frac{n_z\pi z}{a}}e^{\frac{ih\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)}{8ma^2}}$$

para valores inteiros não negativos de $n_x$, $n_y$ e $n_z$, já que as condições de continuidade exigem que a energia seja da forma

$$E=\frac{h^2}{8ma^2}\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)$$