Sobre o princípio do último multiplicador e sobre o seu uso como novo princípio geral da dinâmica (por Jacobi)

No texto Sobre a Teoria dos Quanta apresentei um dos dois únicos artigos de Poincaré sobre a teoria quântica onde o autor demonstra que, para se verificar a lei de Planck para a radiação do corpo negro é necessário abandonar a descrição dos fenómenos mecânicos e electromagnéticos com base na aplicação de equações diferenciais - demonstrou-o, tendo em conta possíveis desvios à lei dentro dos parâmetros da tolerância experimental.

Contudo, construiu todo o seu edifício em torno daquilo que se designa por princípio do último multiplicador de Jacobi. Depois de algumas pesquisas, descobri um artigo de Jacobi no Journal des mathématiques pures et appliquées no qual este apresenta o seu método sobre equações diferenciais aplicável aos problemas da dinâmica genialmente utilizado por Poincaré.

Deixo uma tradução em Sobre o princípio do último multiplicador e sobre o seu uso como princípio geral da mecânica.

Electromagnetismo - de Mileto a Poisson

Antes do conhecimento da electricidade, o homem estava ciente dos choques causados pelos peixes eléctricos. Estes fenómenos foram estudados mais tarde na antiguidade grega, romana e árabe.

Nas culturas mediterrânicas antigas era conhecido o facto de que, esfregando uma rodela de âmbar com pêlos ou lã, esta adquiria a propriedade de atrair objectos ligeiros como penas. O grego Thales de Miletos realizou uma série de observações em electricidade estática das quais concluiu que a fricção tornava o âmbar magnético em contraste com a magnetite que não carecia de tal fricção. Apesar do seu pressuposto estar incorrecto, hoje é conhecida a estreita relação entre as duas manifestações, a electricidade e o magnetismo. Estes fenómenos não passaram de meras curiosidades até ao início do século XVII, altura em que se dava uma revolução profunda nos modos de pensamento.

Ainda na era medieval, destaca-se o trabalho de Petrus Peregrinus sobre o magnetismo o qual se tornou deveras popular nos meios escolásticos. Este autor descreveu o procedimento do seguinte modo:

A magnetite tem uma propriedade semelhante aos céus. Aí sobressaem dois pontos relativamente a todos os outros sobre os quais revolvem as esferas celestes. Tais pontos recebem a designação de pólos norte e sul. Também na magnetite sobressaem dois pontos como é possível observar, seguindo um conjunto simples de preceitos. Recorrendo aos instrumentos usados para arredondar cristais, talha-se, numa pedra de magnetite, uma forma globular, a qual é polida. Coloca-se uma agulha sobre a pedra numa qualquer posição e deixa-se girar livremente. Traça-se uma linha ao longo da direcção da agulha. Repete-se o processo em outro ponto da pedra, resultando, do mesmo, uma outra linha. O processo é repetido tantas vezes quantas aprouver. Todas as linhas geradas intersectam-se em dois pontos do mesmo modo que os meridianos azimutais se encontram nos pólos. Para determinar qual dos pólos da pedra é o norte ou o sul, coloca-se a pedra num prato de madeira, flutuando num recipiente com água. Se deixarmos o prato girar livremente, ao fim de algum tempo, o pólo norte da pedra aponta no sentido do norte celeste, acontecendo o mesmo ao pólo sul.

Uma vez identificados os pólos, conseguiu determinar a famigerada lei:

Pólos de nomes contrários atraem-se e pólos do mesmo nome repelem-se.

A bússola é o instrumento que se baseia na orientação dos pólos magnéticos de uma pedra do género e já era conhecida muito anteriormente pelos chineses ou ainda antes pelos olmecas.

Historicamente, considera-se o início do estudo detalhado da electricidade e do magnetismo com William Gilbert que introduziu o termo “eléctrico”. Este autor é o primeiro a propor a hipótese de que a Terra se comporta como um grande magnete. Desenvolve os resultados de Pedrus, os quais são enquadrados numa descrição filosófica por Descartes, de acordo com a sua teoria dos vórtices de matéria. Nesta descrição, um vórtice de matéria sai de um dos pólos e reentra no outro. Este vórtice age sobre o ferro ou o aço, uma vez que estas substâncias possuem a capacidade de lhe oferecer uma enorme resistência. Curiosamente, esta teoria, não desvaneceu durante muitos anos e, tanto Euler como os Bernoulli, explicaram as suas teorias do magnetismo com base nesta simples ideia.

Por seu turno, Niccolo Cabeo parece ter sido o primeiro a observar que os corpos electrizados tanto se repelem como se atraem em conformidade com o magnetismo, apesar da sua diferente natureza ser já conhecida na altura. De facto, a magnetite atrai os corpos ferrosos quando interpomos uma folha de papel ou quando se encontra submergida em água. Ao contrário, os corpos electrizados cessam tais propriedades nas mesmas condições. A explicação física de Gilbert para o fenómeno baseava-se na emanação de um eflúvio que, apesar de não causar a diminuição de massa do corpo electrizado, era suficientemente potente para levitar os vários materiais. Esta explicação estava tão arraigada nas mentes da altura que a teoria da atracção universal de Newton não inspirou qualquer hipótese alternativa. Uma teoria bizarra mas interessante foi aventada por Gravesand segundo a qual o vidro contém no seu seio e em seu torno uma certa atmosfera que é excitada pela fricção e posta em movimento vibratório de modo a atrair e a repelir corpos pequenos. As ínfimas partes do vidro são agitadas pela fricção e, dada a sua natureza elástica, o seu movimento é vibratório que é comunicada à atmosfera supracitada.

Um pouco mais tarde, Gray e Desaguliers desenvolvem experiências que permitem concluir a existência de materiais capazes de transportar as propriedades eléctricas dos materiais entre dois pontos distintos bastante separados. Este último autor denominou-os de condutores. O resultado permitiu refutar a hipótese de que o eflúvio eléctrico estava condicionado aos objectos que seriam friccionados e poderia mover-se livremente entre os diferentes corpos. Foi Du Fay quem descobriu a natureza bivalente da electricidade, isto é, descobriu que existem dois tipos de electricidade. Este realizou experiências de contacto entre tubos de vidro e vários materiais. Folhas de ouro e o vidro tinham um comportamento oposto face aos materiais resinosos. A uns, designou por vítreos e a outros deu-lhes a designação de resinosos.

No seguimento destas experiências surge uma que merece alguma reflexão. O físico Pieter Van Musschenbroek, com o intuito de preservar as propriedades eléctricas, elabora uma experiência que viria permitir tanto amplificar a força eléctrica como armazená-la.

O aparato consistia numa garrafa de água arrolhada, onde era mergulhado um condutor. À extremidade exterior do condutor era aplicada fricção através de um globo giratório de vidro. De facto, na extremidade do condutor eram colocadas pequenas franjas metálicas para facilitar a carga. A ideia do autor consistia em carregar a massa de água, mantendo a carga com o auxílio do vidro. O seu colaborador, enquanto lavava a garrafa, toca por acidente na extremidade do condutor, apanhando um violento choque eléctrico. Tinha sido descoberto um método para armazenar e amplificar a propriedade eléctrica. Verificou-se que era possível aumentar o efeito se se revestisse parcialmente o exterior da garrafa com uma folha metálica.

As subsequentes experiências de Watson e Franklin recorriam a tal engenho e permitiram-lhes concluir que a electricidade é parte integrante dos corpos e conserva-se durante qualquer processo. A fricção dos corpos eléctricos apenas permite transferir, com maior ou menor dificuldade, electricidade entre eles. Ficava, assim assente o princípio da conservação da carga eléctrica. Outras experiências permitiram concluir que, quando um corpo electrizado se aproximava de um condutor, este adquiria, na vizinhança do corpo, características eléctricas opostas. Por exemplo, se se aproximasse um corpo electrizado resinoso de uma das extremidades de um condutor, este adquiria propriedades eléctricas vítreas.

O físico francês Coulomb recorreu à balança de torção para determinar, com a exactidão necessária, a relação entre as propriedades eléctricas, as distâncias e as forças originadas entre elas. Actualmente a lei de Coulomb escreve-se

Trata-se de uma forma semelhante à lei da atracção gravítica. É interessante notar que este autor era adepto da versão afim à teoria dos dois fluxos eléctricos. A constante de proporcionalidade e conceito de carga eléctrica surgiu mais tarde.

Pela mesma altura, Galvani descobriu acidentalmente que o músculo da coxa de uma rã previamente dissecada se contraía quando era submetida a uma descarga da garrafa de Leyden. Tal facto levou-o a indagar se seria possível obter as mesmas contracções de uma atmosfera eléctrica. Para o verificar, suspendeu de uma barra de ferro, por um gancho, uma coxa de rã. Quando tocava com o músculo da coxa na mesma barra, este contraía-se. Explicou o fenómeno considerando que o músculo da rã formava algo semelhante a uma garrafa de Leyden. O físico italiano Volta, na sequência das suas experiências com condutores, conclui que estes se classificam electricamente em dois tipos. Os de primeira espécie nos quais se contam o carbono e os metais e os de segunda espécie aos quais designou por electrólitos. Descobriu a possibilidade da produção de uma corrente eléctrica semelhante àquela produzida durante a descarga de uma garrafa de Leyden. Para o efeito, era suficiente interpor dois condutores da primeira espécie com um condutor electrolítico. Com este resultado em vista, foi imediata a criação da primeira pilha eléctrica, a qual é constituída por pares de discos de cobre (ou prata) e zinco (ou estanho) separados por um material húmido com uma solução salina.

Este autor viveu o tempo suficiente para ver os desenvolvimentos matemáticos desta área, os quais começaram a ser desenvolvidos por Poisson.

Sobre a aplicação â dinâmica de um método matemático previamente aplicado à óptica

Lagrange introduziu a noção da função potencial com o intuito de simplificar a dedução de algumas propriedades afins ao problema matemático da dinâmica do movimento de corpos que se atraem mutuamente (ver A Teoria do Potencial de Lagrange). Na sua obra Méchanique Analytique elabora as ideias fundamentais de modo a reduzir a determinação das equações diferenciais do movimento à aplicação de operações diferenciais bem definidas sobre um única função - por intermédio das equações que receberam o nome de equações de Euler-Lagrange.

No entanto, apesar da generalidade do método no que concerne à obtenção das equações válidas, não fornece qualquer pista intuitiva sobre os seus integrais intermédios e integrais finais. Com isto em mente, Hamilton estendeu a teoria de modo a contemplar, com o auxílio de uma função que designou por característica (previamente aplicada à óptica), obter os integrais intermédios e finais das equações diferenciais do movimento. Esta função é solução de um sistema de duas equações quadráticas diferenciais parciais nas variáveis iniciais e variáveis finais de primeira ordem.

Os seus resultados aplicados à dinâmica foram apresentados numa série de dois artigos cuja extensão é considerável. Apresento a tradução dum texto que serviu como resumo das suas ideias em Aplicação à dinâmica de um método previamente aplicado à óptica Sobre a aplicação à dinâmica de um método matemático geral privaiamente aplicado à óptica.

O Méchanique Analytique está disponível no Google Books:

Rudimentos duma Teoria Geral da Relatividade e duma Teoria da Gravitação

No texto Os Fundamentos da Física - Primeira Comunicação apresentei a ligação para a tradução da primeira comunicação de Hilbert onde este expõe, pela primeira vez, as equações gravitacionais correctas. Contudo, como é do conhecimento geral, foi Einstein quem dera maior impulso para a sua formulação em artigos anteriores ao de Hilbert, baseando-se na sua Hipótese da Equivalência entre as massas gravítica e inercial justificada pelas experiências de Eötvös. Neste contexto, é frequente existir referências a uma colaboração entre Einstein e o seu colega de turma, Grossman, com quem aprendeu os fundamentos matemáticos (geometria diferencial) necessários ao desenvolvimento duma teoria do género.

Traduzi um extracto da parte física dum artigo que ambos escreveram em conjunto sobre o tema, o qual coloquei, como é habitual, no skydrive: Rudimentos dum Teoria Geral da Relatividade e duma Teoria da Gravitação.

Os primórdios da Teoria Quântica

É bem conhecido que as origens da Teoria Quântica se traçam até aos artigos de Max Planck nos quais este introduziu a sua hipótese dos quanta (ou elementos) de energia para explicar a fórmula que obteve, a partir do ajuste com dados experimentais para a distribuição da energia na radiação do corpo negro, como alternativa à expressão de Wien.

A fórmula que hoje tem o nome de lei de Planck da radiação do corpo negro foi introduzida numa comunicação que o autor fez em 1900 intitulada Sobre um melhoramento da Equação de Wien para o Espectro. Nesta comunicação reconhece o carácter probabilístico da mesma e propõe-se enveredar por uma explicação que apresenta no artigo de 1901, Sobre a lei da distribuição da energia no espectro normal. É neste artigo que se começa a enveredar por uma separação das ideias clássicas, as quais assumem a continuidade nas transições físicas como sendo um facto fundamental.

Acordo entre as leis da Natureza que até hoje pareciam incompatíveis

Apresento uma tradução da maior parte do texto de Maupertuis (1744) onde o autor expõe o princípio da acção mínima.

Não devemos exigir que os diferentes meios que temos ao nosso dispor para aumentar o conhecimento nos conduzam às mesmas verdades; mas será devastador verificar que o que a Filosofia nos proporciona como verdades fundamentais é desmentido pelos métodos da Geometria ou pelos cálculos da Álgebra.

Um excelente exemplo desta contradição recai sobre um tema dos mais importantes em Física.

Após a renovação das Ciências, mesmo depois da sua primeira origem, não foi feita nenhuma descoberta mais bela do que as leis que descrevem a luz; seja quando se move num meio uniforme, seja quando encontra corpos opacos e é reflectida pelas suas superfícies, seja quando encontra corpos diáfanos e altera a direcção do seu movimento quando os atravessa. Estas leis constituem todos os fundamentos da ciência da luz e das cores.

Mas talvez faça melhor sentir a importância se, em vez de apresentar um tema tão vasto, me concentre apenas em uma parte e apresentar aqui temas mais restritos e bem conhecidos, quando digo que estas leis constituem os princípios sobre os quais se encontra fundamentada esta arte tão admirável que, quando na velhice todos os órgãos se debilitam, aplica ao seu olho a primeira força, lhe aplica uma força que não tenha recebido da Natureza; esta arte que nos estende a vista aos últimos lugares do espaço, que a transporta até sobre as pequenas partes da matéria; e nos faz descobrir objectos onde a vista parece interdita aos homens.

As leis verificadas pela luz, quando se move num meio uniforme, ou quando encontra corpos que não consegue atravessar já eram conhecidas pelos antigos: aquilo que delineia o caminho que segue, quando passa dum meio para outro, é conhecido apenas desde o século passado; foi Snellius quem o descobriu; foi Descartes quem o tentou explicar; foi Fermat quem atacou a sua explicação. De aí até agora esta matéria tem sido objecto das pesquisas dos grandes Geómetras sem que tenhamos concordado esta lei com uma outra que é verificada pela Natureza ainda mais inviolavelmente.

Vejamos que leis são verificadas pela luz.

A primeira é, que num meio uniforme, se move em linha recta.

A segunda, que sempre que a luz encontre um corpo que não possa penetrar é reflectida; e o seu ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência: isto é o mesmo que dizer que, após a reflexão, esta faz com a superfície do corpo um ângulo igual àquele com que o encontrou.

A terceira é, que sempre que a luz passa de um meio diáfano para outro, o seu trajecto, após o contacto com o novo meio, faz um ângulo com o que tinha no primeiro, e o seno do ângulo de refracção está sempre na mesma razão com o seno do ângulo de incidência.

Se, por exemplo, um raio de luz que passa do ar para a água é quebrado de tal modo que o seno do ângulo de refracção seja três quartos do seno do seu ângulo de incidência; em qualquer outra obliquidade que encontre a superfície da água o seno da sua refracção será sempre três quartos do seno da nova incidência.

A primeira destas leis é comum à luz e a todos os corpos: estes movem-se em linha recta, a menos que uma força estranha os desvie.

A segunda é a mesma que segue uma bala elástica lançada contra uma superfície impenetrável. A Mecânica permite demonstrar que uma bala que encontre uma tal superfície é reflectida segundo um ângulo igual àquele segundo o qual a encontrou; e é isto que é feito pela luz.

Mas é necessário que a terceira lei se explique assim tão facilmente. Quando a luz passa dum meio para outro, os fenómenos são todos diferentes daqueles correspondentes a uma bala que atravessa diferentes meios; e qualquer que seja a maneira que escolhemos para explicar a refracção, deparamo-nos com dificuldades que ainda não foram ultrapassadas. Escuso-me de listar todos os grandes homens que trabalharam neste assunto; os seus nomes constituem uma lista numerosa que corresponderá a um ornamento inútil a esta Memória, e a exposição dos seus sistemas formaria uma obra imensa: mas reduzirei a três classes todas as explicações que estes Autores no deram para a reflexão e refracção da luz.

A primeira classe compreende as explicações daqueles que quiseram deduzir as leis da refracção a partir de simples princípios da Mecânica. A segunda compreende as explicações que, além dos princípios da Mecânica, supõem que existe uma tendência da luz para os corpos, seja por uma atracção da matéria, seja por uma outra causa que possamos imaginar. Por fim, a terceira classe compreende as explicações que tiramos apenas de princípios metafísicos; daquelas leis segundo as quais a Natureza parece estar sujeita por uma Inteligência superior que, aquando da produção dos seus efeitos, fá-los, procedendo da maneira mais simples possível.

Descartes e os que o seguiram enquadram-se na primeira classe: consideraram o movimento da luz à semelhança do movimento duma bola que ricocheteia numa superfície que nunca cede; ou que, quando encontra uma superfície que cede, continua a avançar alterando apenas a direcção do seu movimento. Apesar da maneira como este grande filósofo tentou explicar estes fenómenos ser imperfeita, ele conseguiu o mérito de os tentar deduzir a partir de princípios simples da Mecânica. Inúmeros Matemáticos revelaram algum paralogismo que escapou a Descartes e fizeram ver o seu defeito.

Newton, desesperado por deduzir os fenómenos da refracção daquilo que chega a um corpo que se move contra os obstáculos ou que é empurrado no seio dos meios que lhe resistem de diferentes maneiras, recorreu-se da sua atracção. Esta força generalizada a todos os corpos proporcional à quantidade de matéria, além de expor a insuficiência da explicação cartesiana mas, admitindo uma tendência da luz sobre os corpos diáfanos e considerando-a como sendo causada por uma atmosfera producente dos mesmos efeitos da atracção, deduziu os princípios da refracção com a claridade característica em todos os temas que se debruçou.

Fermat foi o primeiro a notar o defeito na explicação de Descartes. Ele tentou desesperadamente deduzir os fenómenos da refracção a partir duma bola que é impulsionada contra obstáculos ou meios resistentes mas não recorreu às atmosferas em torno dos corpos nem à atracção; tanto quanto saiba, este último princípio não lhe era desconhecido nem desagradável: procurou explicar estes fenómenos sobre um princípio diferente e puramente metafísico.

Toda a gente sabe que quando a luz ou qualquer outro corpo vai dum ponto a outro por uma linha recta, escolhe o caminho e o tempo de percurso o mais curtos possível.

Sabemos também, ou podemos saber, que quando a luz é reflectida, segue então o caminho mais curto e leva o menor tempo. Demonstramos que uma bola que vai de um ponto até outro após ser reflectida num plano deve, para percorrer o caminho mais curto no tempo mais curto possível, fazer sobre este plano um ângulo de reflexão igual ao de incidência: pois se estes dois ângulos forem iguais, o comprimento das duas linhas que a bola segue é o mais curto e aquele que é percorrido em menos tempo que qualquer comprimento de outras duas linhas que fazem ângulos diferentes.

Eis o movimento directo e o movimento reflectido da luz, o qual parece depender duma lei metafísica, que indica que a Natureza, no decurso da produção dos seus efeitos, actua sempre da forma mais simples. Se um corpo vai dum ponto ao outro sem encontrar um obstáculo ou se atinge o ponto após ter embatido num obstáculo intransponível, a Natureza o conduzirá pelo caminho mais curto e pelo tempo mais imediato.

Para aplicar este princípio à refracção, consideramos dois meios penetráveis à luz, separados por um plano que constitui as suas faces comuns: suponhamos que um ponto donde parte um raio de luz esteja num desses meios e aquele que deverá chegar se encontra no outro; mas a linha que une estes dois pontos não seja perpendicular à superfície dos meios: admitimos ainda que, por qualquer que seja a causa, que a luz se move em cada um dos meios com diferentes velocidades. É claro que a linha recta que une os dois pontos é sempre aquela que corresponde ao caminho mais curto para ir de um ao outro mas não corresponderá ao caminho que leva ao tempo mais curto: este tempo depende das velocidades que a luz tem nos diferentes meios, é necessário, se o raio enveredar pelo caminho correspondente ao tempo mais curto possível que, quando encontra a face comum, parte-se de modo que a maior parte do seu trajecto seja percorrida no meio onde a sua velocidade é maior e a menor parte seja percorrida no meio onde se move mais lentamente.

É o que parece ser feito pela luz quando passa do ar para a água: o raio é partido de maneira que a maior parte do seu trajecto é percorrida no ar e a menor parte é percorrida na água. Se então, como é razoável de supor, a luz se move com maior rapidez no seio dos meios mais rarefeitos do que nos mais densos, se se move mais rapidamente no ar do que na água, irá seguir o trajecto que deveria seguir para chegar o mais imediatamente possível do seu ponto de partida ao respectivo ponto de chegada.

Foi com este princípio que Fermat resolveu o problema; por este princípio fidedigno de que a luz, durante a sua propagação e reflexão, percorra o caminho que leve o tempo mais curto possível, seguindo esta mesma lei durante a refracção: não hesitou em crer que a luz se move com maior facilidade e rapidez nos meios mais rarefeitos do que naqueles onde, para o mesmo espaço, encontre uma maior quantidade de matéria. Com efeito, é pertinente crermos à primeira vista que a luz atravessa com maior facilidade e rapidez o cristal e a água do que o ar e o vácuo?

Mas é o que acontece.

Descartes aventou primeiro que a luz se move mais rapidamente sobre os meios mais densos: e embora a explicação da refracção, que ele deduziu, fosse insuficiente, o seu defeito não adveio da suposição que fez. Todos os sistemas que fornecem uma explicação plausível dos fenómenos da refracção pressupõem o paradoxo ou o confirmam. Leibnitz quis conciliar o sentimento de Descartes com as causas finais: mas fê-lo através de suposições insustentáveis que não se enquadram com os outros fenómenos da Natureza.

Posto isto, que a luz se move mais rapidamente sobre os meios mais densos, todo o edifício que Fermat construiu se encontra destruído: a luz, enquanto atravessa diferentes meios não segue, nem o caminho mais curto nem aquele que corresponde ao tempo mais imediato; o raio que passa do ar para a água percorrendo a maior parte do trajecto no ar chega mais tarde do que se tivesse percorrido a menor parte. Podemos ver na Memória que Mayran deu sobre a reflexão e a refracção, a história da disputa entre Fermat e Descartes, o constrangimento e a impotência que tivemos até ora para concordar a refracção com o princípio metafísico. Meditando profundamente sobre esta matéria, pensei que a luz, quando passa dum meio para o outro, abandonando o caminho mais curto que corresponde à linha recta, poderá também não seguir aquele que leva o tempo mais imediato. Com efeito, que preferência deverá ter do tempo sobre o espaço? A luz não poderá seguir simultaneamente pelo caminho mais curto e por aquele que leva ao tempo mais imediato, porque segue um destes caminhos e não o outro? Também pode seguir nenhum dos dois; escolhe um trajecto que tem uma vantagem real: o caminho que toma é aquele para o qual a quantidade de acção é a menor.

É necessário agora explicar o que entendo por quantidade de acção. Quando um corpo é transportado dum ponto para o outro, é necessário para tal uma acção: esta acção depende da velocidade que animou o corpo e do espaço que o corpo percorreu; mas não se trata nem da velocidade nem do espaço escolhidos em separado. A quantidade de acção é tanto maior quanto maior for a velocidade do corpo e o trajecto percorrido; é proporcional ao comprimento dos espaços multiplicados pela velocidade segundo a qual os percorre. É esta quantidade que representa a verdadeira despesa da Natureza; é o que é poupado tanto quanto possível no movimento da luz.

Sejam dois meios diferentes separados por uma superfície representada pela linha CD de modo que a velocidade da luz no meio que se encontra sobre a superfície seja m e a velocidade da luz no meio que se encontra sob a superfície seja n.

Seja um raio de luz que parte do ponto A e que deverá chegar ao ponto B: para encontrar o ponto R onde este se deve quebrar, procuro o ponto onde o raio ao ser partido, a quantidade de acção seja a menor: e tenho mAR+nRB que deverá corresponder a um mínimo.

Ora, tirando sobre a superfície comum aos dois meios, as perpendiculares AC, BD; \(m\sqrt{AC^2+CR^2}+n\sqrt{BD^2+DR^2}=min\). Ora, AC e BD sendo constantes,

\[\frac{mCRdCR}{\sqrt{AC^2+CR^2}}+\frac{mDRdDR}{\sqrt{BD^2+DR^2}}\]

Mas, sendo CD constante temos dCR=-dDR. Temos então mCR/AR-nDR/BR=0 e CR/AR:DR/BR∷n:m que é o mesmo que dizer que o seno de incidência está para o seno de refracção na razão inversa da velocidade que a luz toma nos diferentes meios.

Todos os fenómenos da refracção estão agora de acordo com o grande princípio de que a Natureza, durante a produção dos seus efeitos, age sempre pelos trâmites mais simples. Deste princípio segue-se que quando a luz passa dum meio para outro, o seno do seu ângulo de refracção está para o seno do seu ângulo de incidência na razão inversa das velocidades que a luz porta em cada um dos meios.

Mas estes fundos, esta quantidade de acção que a Natureza economiza no movimento da luz ao longo de diferentes meios, também a poupa quando é reflectida pelos corpos opacos e durante a sua simples propagação? Sim, esta quantidade é sempre a mais pequena possível.

Em ambos os casos da reflexão e da propagação, a velocidade da luz mantém-se a mesma, a menor quantidade de acção corresponde ao caminho mais curto e ao tempo mais imediato. Mas este caminho mais curto e o mais percorrido é apenas uma consequência da menor acção: foi esta consequência que Fermat escolheu para princípio.

Uma vez descoberto o verdadeiro princípio, deduzo todas as leis que segue a luz seja durante a sua propagação, a sua reflexão ou a sua refracção.

Estou ciente da repugnância que muitos Matemáticos têm pelas causas finais aplicadas à Física e concordo mesmo com um certo ponto; admito o perigo que existe ao introduzi-las: o erro cometido pelos homens que sucederam Fermat prova o quanto o seu uso é perigoso. Podemos contudo dizer que não foi o princípio que os enganou, foi a precipitação de escolher as consequências para o princípio.

Sobre a constituição dos átomos e moléculas - Primeira comunicação

No texto Sobre a constituição dos átomos e moléculas apresento a primeira parte do famoso artigo de Bohr de 1913 onde este aplica a teoria quântica ao modelo atómico de Rutherford, obtendo os tão usuais níveis de energia do átomo de hidrogénio sem qualquer tipo de justificação nas disciplinas de Físico-Química do ensino (outrora designado por secundário).

A introdução lê-se:

De modo a explicar os resultados das experiências de espalhamento de raios pela matéria, o Prof. Rutherford proporcionou uma teoria sobre a estrutura dos átomos. De acordo com esta teoria, o átomo é constituído por um núcleo positivamente carregado rodeado por um sistema de electrões unidos por forças atractivas do núcleo; a carga negativa total dos electrões iguala a carga positiva do núcleo. Além disso, assume-se que o núcleo constitui o lugar onde se concentra a maior parte da massa do átomo e possuir uma dimensão linear excessivamente pequena quando comparada com a dimensão linear de todo o átomo. O número de electrões num átomo é deduzido como sendo aproximadamente igual a metade do peso atómico. Um grande interesse é atribuído a este modelo do átomo; pois, como o mostrou Rutherford, o pressuposto da existência do núcleo, como aqueles em questão, parece ser necessário de modo a ter em conta os resultados das experiências no espalhamento de grande ângulo dos raios .

Numa tentativa de explicar algumas das propriedades da matéria com base neste modelo atómico encontramo-nos, contudo, com dificuldades de certa natureza que surgem da aparente instabilidade do sistema de electrões: dificuldades propositadamente evitadas em modelos atómicos previamente considerados, por exemplo, naquele que foi considerado por J. J. Thompson. De acordo com a teoria deste último, o átomo é constituído por uma esfera com electrização positiva uniforme dentro da qual os electrões se movem em órbitas circulares. A principal diferença entre o modelo atómico proposto por Thompson e aquele de Rutherford consiste na circunstância de que as forças que actuam nos electrões no átomo de Thompson permitem certas configurações e movimento dos electrões para o qual o sistema se mantém em equilíbrio estável; tais configurações, contudo, aparentemente não existem para o segundo modelo atómico. A natureza da diferença em questão será talvez encarada com maior clareza notando que entre as quantidades que caracterizam o primeiro átomo surge uma quantidade – o raio da esfera positiva – com dimensões dum comprimento e da mesma ordem de magnitude da extensão linear do átomo, enquanto um comprimento não surge entre as quantidades que caracterizam o segundo átomo, viz. as cargas e massas dos electrões e do núcleo positivo; nem este pode ser completamente determinado com base nestas últimas quantidades.

A maneira de considerar um problema deste género sofreu, contudo, alterações essenciais nos últimos anos devidas ao desenvolvimento da teoria da radiação e a afirmação directa dos novos pressupostos introduzidos nesta teoria, fundamentados por experiências sobre fenómenos muito diferentes como os calores específicos, efeitos fotoeléctricos, raios de Röntgen, etc. O resultado da discussão destas questões parece ser do conhecimento geral da inadequação da electrodinâmica clássica para descrever o comportamento à escala atómica.

Qualquer que seja a alteração nas leis do movimento dos electrões, parece ser necessário introduzir nas leis em questão uma quantidade alheia à electrodinâmica clássica, isto é, a constante de Planck, ou como é também é designada, o quantum elementar de acção. Com a introdução desta quantidade a questão da configuração estável dos electrões nos átomos é essencialmente alterada, uma vez que esta constante tem as dimensões e magnitude de que, juntamente com a massa e carga das partículas pode determinar um comprimento da ordem de magnitude requerida.

Este artigo constitui uma tentativa de mostrar que a aplicação das ideias mencionadas ao modelo atómico de Rutherford suporta uma base para a teoria da constituição dos átomos. Será ainda mostrado que desta teoria somos conduzidos a uma teoria da constituição das moléculas.

Na presente primeira parte do artigo o mecanismo da ligação dos electrões por um núcleo positivo é discutido em relação à teoria de Planck. Será mostrado que é possível deste ponto de vista ter um lugar de forma simples para a lei do espectro de linhas do átomo de hidrogénio. Além disso, serão dadas razões para a hipótese principal sobre a qual as considerações das partes seguintes são baseadas.

Desejo aqui expressar os meus pensamentos ao Prof. Rutherford pelo seu cândido e encorajador interesse neste trabalho.