Considere-se o sistema mecânico de uma partícula descrito pela função (ver Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica)
L=12m(x′2+y′2)−12m(ω21x2+ω22y2)
Como habitual, determinam-se os momentos como
{px=∂L∂x′=mx′py=∂L∂y′=my′
De acordo com o que foi apresentado em A função característica em mecânica, constrói-se a função
H=x′px+y′py−L=12m(p2x+p2y)+12m(ω21x2+ω22y2)
uma vez que as componentes das velocidades se calculam, em função dos momentos, como
{x′=pxmy′=pym
A equação diferencial às derivadas parciais que permite determinar a equação característica V(x,y,x0,y0,t−t0) é dada, portanto, por
12m((∂V∂x)2+(∂V∂y)2)+12(ω21x2+ω22y2)=−∂V∂t
Observa-se que
H(x,y,x′,y′)=H(x,x′)+H(y,y′)
onde
{H(x,x′)=12mp2x+12mω21x2H(y,y′)=12mp2y+12mω22y2
Considera-se, portanto, a solução da equação diferencial às derivadas parciais da forma
V(x,y,x0,y0,t−t0)=W1(x,x0,E1)+W2(y,y0,E2)−(E1+E2)(t−t0)
Como V(x,y,x0,y0,t−t0) não depende explicitamente de E1 ou E2, isto é, como
∂V∂E1=∂V∂E2=0
segue-se uma das equação do movimento
∂W1∂E1=∂W2∂E2=t−t0
A substituição da solução proposta na equação diferencial às derivadas parciais conduz ao sistema de equações diferenciais independentes
{12m(∂W1∂x)2−12mω21x2=E112m(∂W1∂y)2−12mω22y2=E2
A solução de cada uma das equações pode ser encontrada por simples quadratura e, portanto,
V(x,y,x0,y0,t−t0)=W(x,y,x0,y0,E1,E2)−(E1+E2)(t−t0)
onde
W=∫xx0√2mE1−m2ω21x2dx+∫yy0√2mE2−m2ω22y2dx
As equações do movimento do sistema obtêm-se desta função na forma
{∂W∂E1=∫xx0m√2mE1−m2ω21x2dx=t−t0∂W∂E2=∫yy0m√2mE2−m2ω22y2dx=t−t0∂W∂x=√2mE1−m2ω21x2=mx′∂W∂y=√2mE2−m2ω22y2=my′∂W∂x0=√2mE1−m2ω21x20=mx′0∂W∂y0=√2mE1−m2ω21y20=my′0
As quatro últimas equações discriminam a conservação da energia. As duas últimas, em particular, permitem determinar E1 e E2 como função das posições e velicidades iniciais, isto é,
{E1=12mx′20+12mω21x20E2=12my′20+12mω22y20
A resolução da primeira equação resulta numa que pode ser colocada na forma
ω1(t−t0)=arcsin√mω212E1x−arcsin√mω212E1x0
A equação assim obtida permite determinar a dependência temporal da coordenada x. Uma forma mais simples é determinada, aplicando as funções trignonométricas a cada um dos seus membros, vindo
{cosω1(t−t0)=√1−mω212E1x2√1−mω212E1x20+mω212E1x0xsinω1(t−t0)=√1−mω212E1x20√mω212E1x−√1−mω212E1x2√mω212E1x0
Se se eliminar o termo
√1−mω212E1x2
de ambas as equações, obtém-se
√mω212E1x0cosω1(t−t0)+√1−mω212E1x20sinω1(t−t0)=√mω212E1x
isto é,
x=x0cosω1(t−t0)+√2E1−mω21x20mω21sinω1(t−t0)
que, atendendo à equação que permite escrever E1 como função de x0 e x′0, fica
x=x0cosω1(t−t0)+x′0ω1sinω1(t−t0)
O mesmo procedimento conduz à solução para y na forma
y=y0cosω2(t−t0)+y′0ω2sinω2(t−t0)
O método apresentado neste exemplo vale para qualquer sistema que seja descrito pela função H que pode ser decomposta numa soma de funções, cada uma, dependendo de um subconjunto independente de variáveis.
