O oscilador harmónico em mecânica quântica

 As equações do oscilador harmónico simples são dadas por

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

onde

$$L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2$$

De modo a obter a equação de onda, faz-se

$$p=\frac{\partial L}{\partial x'}=mx'$$

e determina-se a quantidade $H(x,p)=px'-L$ em função de $x$ e $p$, nomeadamente,

$$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$$

As equações clássicas do movimento são dadas pelo sistema

$$\left\lbrace\begin{array}{l} \frac{\partial H}{\partial p}=x'\\ \frac{\partial H}{\partial x}=-p'\end{array}\right.$$

isto é, as já conhecidas equações da mola

$$\left\lbrace\begin{array}{l}p=mx'\\ p'=-kx\end{array}\right.$$

A equação de onda é escrita na forma

$$H\left(x,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\varphi=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}$$

isto é,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{1}{2}kx^2=i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}$$

Aplica-se o método da separação, fazendo $\varphi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$. Daqui segue-se que

$$\phi(t)=e^{\frac{iEt}{\hbar}}$$

onde $E$ é uma constante. A função $\psi(x)$ satisfaz a equação diferencial

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2=E\psi$$

que pode ser colocada na forma

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\left(\varepsilon-\frac{km}{\hbar}x^2\right)\psi=0$$

 onde

$$\varepsilon=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

Faz-se

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\alpha^2=\frac{\hbar^2}{km}\\ x=\sqrt{\alpha}y\end{array}\right.$$

obtendo-se a equação diferencial

$$\frac{d^2\psi}{dy^2}+\left(\varepsilon\alpha-y^2\right)\psi=0$$

Considera-se a solução $\psi=ue^{-\frac{y^2}{2}}$. A equação de $u$ fica

$$\frac{d^2u}{dy^2}-2y\frac{du}{dy}+\left(\varepsilon\alpha-1\right)u=0$$

A equação possui soluções polinomiais $H_n(y)$ quando $\varepsilon\alpha-1=2n$ onde $n$ é um número inteiro. As restantes soluções, quando $n$ não é inteiro, comportam-se assimptoticamente de modo que a função de onda resultante seja infinita quando $y\to\infty$ e não são admissíveis. As soluções admissíveis satisfazem

$$\alpha\varepsilon=2n+1$$

que corresponde aos valores para a energia

$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

em que

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

As funções de onda associadas a cada nível de energia são da forma

$$\psi_n(y)=\left(\pi\alpha\right)^{-\frac{1}{4}}\left(2^nn!\right)^{-\frac{1}{2}}H_n(y)e^{-\frac{y^2}{2}}$$

onde

$$(-1)^nH_n(y)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{(-1)^i\frac{n!}{i!(n-2i)!}(2x)^{n-2i}}$$

são polinómios.