Sobre a composição química das células de pus

Traduzi o texto Über ddie chemische Zusammensetzung der Eiterzellen em Sobre a composição química das células de pus. No decurso da investigação da química das células de pus que deveria fazer, porventura, alguma luz sobre os processos inerentes ao combate das doenças, surgira uma substância com propriedades diferentes das proteínas. Caracterizava-se fundamentalmente pelo seu conteúdo fosfórico bem como pela sua resistência às substâncias estomacais responsáveis pela digestão de substâncias proteicas. Foi assim obtida a primeira purificação daquilo que hoje recebe o nome de ácido desoxirribonucleico, abreviado por ADN, que se encontra no núcleo das células e é responsável por definir as suas características.

Não posso dizer que se trata de um texto com a qualidade desejada, já que a sua tradução foi realizada directamente a partir do alemão com o auxílio de tradutores. Porém, considero que é possível obter uma descrição em português dos métodos de depuração e análise químicas que conduziram pela primeira vez à obtenção de ADN.

Sobre a projecção da sombra de um gnómon

É indiscutível a importância do Almagesto tanto na história da astronomia como da trigonometria. Neste tratado é apresentado, pela primeira vez, um método para o cálculo de uma tabela com os valores do seno com uma precisão considerável. Esse importante resultado matemático serve aí como ferramenta imprescindível na resolução de problemas relacionados com a descrição dos movimentos dos astros na Esfera Celeste observados a partir de lugares com diferentes latitudes.

O Almagesto descreve a posição dos corpos celestes com base no modelo geocêntrico onde se considera que os movimentos se realizam sobre esferas centradas na Terra imóvel, cuja dimensão se considera desprezável relativamente à dimensão do Cosmos. Assim, as estrelas estão sujeitas a dois tipos de movimento. O movimento diário cujas trajectórias são círculos menores paralelos ao equador e um movimento com periodicidade anual que é reconhecido relativamente a determinadas configurações estelares ou constelações. De acordo com este modelo, por exemplo, o Sol move-se sobre um círculo menor paralelo ao plano do equador. O seu movimento anual, considerado relativamente ao pano de fundo definido pelas constelações é realizado ao longo de um círculo máximo, inclinado de cerca de 23º relativamente ao plano do equador e que recebe a designação específica de eclíptica. É quando o Sol se encontra nos pontos de intersecção da eclíptica com o círculo máximo do equador que ocorrem os equinócios. Os solstícios, por seu turno, ocorrem quando o Sol se encontra nos dois outros quadrantes da eclíptica.

O primeiro problema astronómico a ser resolvido no tratado supracitado consiste na descrição de um método para a determinação da inclinação da eclíptica. Para determinar a inclinação da eclíptica, utiliza-se um astrolábio para determinar a altura do Sol ao meio-dia, isto é, o menor ângulo medido a partir do zénite ao longo do dia. Os dois valores extremos dos ângulos medidos durante um ano ocorrerão nos solstícios e o valor intermédio nos equinócios. A inclinação da eclíptica será, portanto, metade do ângulo medido entre os valores extremos. O ângulo médio proporcionará a latitude do lugar onde se realiza a observação dado que, ocorrendo durante os equinócios, o ponto associado se encontra no plano do equador.

É claro que a medição do ângulo sobre a superfície esférica não está livre de complicações técnicas. De facto, o dispositivo deverá ser colocado sobre uma base perfeitamente horizontal, o que se consegue facilmente mediante recurso a um fio de prumo. Além disso, deverá estar alinhado segundo o meridiano que contém a sua posição, isto é, ao longo da direcção norte-sul. Nos dias de hoje, essa direcção é facilmente determinada com o auxílio do GPS. Num passado não muito distante recorria-se à bússola para a determinação do norte magnético e aplicavam-se as correcções necessárias de acordo com o lugar para obter a direcção pretendida. Porém, na antiguidade clássica apenas a luz do sol servia como instrumento nessa determinação e é assumido como conhecido de quem lê o Almagesto.

Um pouco de investigação conduz ao Corpus Agrimensorum Romanorum como fonte de informação sobre o método que era comum na antiguidade clássica para a determinação da direcção este-oeste e, por intermédio da determinação de perpendiculares, da direcção norte-sul. Aí é apresentado um método alternativo substancialmente mais simples.  No sítio Cartography Unchained encontra-se uma descrição ilustrada e detalhada de ambos os métodos.

Como achei curioso o método clássico para a determinação da direcção do meridiano, procurei por uma demonstração. No sítio de cartografia supracitado é feita uma referência ao facto de que o ponto construído sobre a direcção este-oeste se encontra simultaneamente no plano do horizonte e num plano paralelo ao plano do equador. No entanto, a justificação apresentada afigura-se-me deveras vaga. Fui então levado a analisar com algum cuidado o problema sobre a projecção das sombras durante um ano, tendo por pano de fundo o modelo actualmente aceite sobre o movimento de rotação e translação da Terra em torno do centro de massa que se encontra muito próximo do centro do Sol. Compilei as conclusões no texto Sobre a projecção da sombra de um gnómon. Aí, apresento uma justificação mais sólida sobre o método clássico na determinação da direcção do meridiano que passa pelo lugar onde é realizada a medição.

O universo em expansão

Umas das teorias cosmológicas mais conhecidas é, sem dúvida, aquela que descreve um universo em expansão. De acordo com tal teoria, tal expansão ter-se-á originado a partir de um estado de alta densidade e alta temperatura. Evidências, tais como o desvio para o vermelho de galáxias distantes e a radiação cósmica de fundo abonam a favor de uma teoria do género.

Friedman considerou um modelo cosmológico concordante com as equações da relatividade geral onde é assumida a possibilidade de um espaço com curvatura não constante. O seu artigo, Über die Krümmung des Raumes data de 1922. Em 1927, Lemaître, no seu artigo Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques e cuja tradução pode ser entendida como Um universo de masa contante e raio crescente, tendo em conta a velocidade radial das nebulosas extragalácticas, assume que o universo, além de se expandir, a sua velocidade de expansão é proporcional à distância e apoiou as suas conclusões sobre provas observacionais.

Decidi traduzir o artigo O universo em expansão no qual o autor expõe algumas das suas ideias. Apesar de não ser o artigo onde é apresentada a conclusão sobre a dependência na distância da velocidade de expansão, escolhi-o por enveredar uma série de estudos sobre a estrutura do espaço-tempo.

Sobre a quantificação do gás monoatómico ideal

Os modelos aplicados às estrelas para explicar a sua evolução têm sido baseados na consideração de que estas são consideradas como sendo esferas de gás cujas partículas, ao contrário do que é assumido em teorias clássicas, são indistinguíveis entre si. Traduzi o texto Sobre a quantificação do gás monoatómico ideal onde a questão terá sido tratada pela primeira vez. Trata-se de um artigo basilar na história da fundamentação dos buracos negros.

Uma teoria ondulatória da mecânica dos átomos e das moléculas

É bem conhecida a proposta aventada na sua tese por De Broglie de que, à semelhança do que se passa com a radiação, também a matéria apresenta comportamentos ondulatórios. Tais comportamentos poderiam ser descritos por uma espécie de onda de fase. Schrödinger, partindo desta ideia e da relação intrínseca existente entre a mecânica e a óptica, determinou uma equação diferencial parcial que permite descrever as ondas de matéria para os vários sistemas. Podemos ver, no seu artigo Uma teoria ondulatória da mecânica dos átomos e das moléculas como foi determinada a equação.

A densidade limite nas estrelas anãs brancas

No texto Alguns artigos interessantes na história do estudo dos buracos negros comecei por colocar algumas traduções de artigos que marcaram a história da teoria dos buracos negros. Aponho agora uma tradução do artigo de Stoner, A densidade limite nas estrelas anãs brancas que teve um papel preponderante na teoria da evolução estelar, tendo inspirado o posterior trabalho de Chandrasekhar sobre a mesma temática.

A lei da gravitação e as séries trigonométricas

No texto As coordenadas esféricas e a lei da gravitação expus a utilização das coordenadas esféricas na resolução de um dos mais importantes problemas da mecânica celeste. Se considerarmos \(\phi\) constante e ignorarmos a força \(F_\phi\), vemos que o problema geral da dinâmica de uma partícula em coordenadas polares é descrito pela equação

\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r\\
r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=F_\theta
\end{array}
\right.
\]

Consideramos aqui que o sistema de unidades de massa é tal que a massa da partícula é unitária. Se multiplicarmos por \(r\) a segunda equação obtemos

\[
\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)=rF_\theta
\]

cujo integral é dado por

\[
r^2\frac{d\theta}{dt}=f+\int{rF_\theta dt}
\]

onde \(f\) é a constante de integração. Multiplicamos a equação anterior por \(rF_\theta\) para ficarmos com

\[
r^3F_\theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\left\lbrack f\int{rF_\theta dt}+\frac{1}{2}\left(\int{rF_\theta dt}\right)^2\right\rbrack
\]

cujo integral se pode reduzir a

\[
f+\int{rF_\theta dt}=\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}
\]

A consideração do primeiro integral obtido permite concluir a identidade

\[
\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}}{r^2}
\]

Vemos que é possível determinar o valor do ângulo \(\theta\) como função do parâmetro \(t\), resolvendo esta equação diferencial. Se fizermos, para abreviar, \(\rho=\int{r^3F_\theta d\theta}\), segue-se que

\[
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{f\sqrt{1+2\rho}}{r^2}\frac{dr}{d\theta}
\]

Derivamos a equação anterior em ordem ao tempo e introduzimos na equação radial, nomeadamente,

\[
\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r
\]

para obtermos

\[
\frac{f^2}{r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{2f^2}{r^5}\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2-\frac{f^2}{r^3}=\frac{F_r-\frac{F_\theta}{r}\frac{dr}{d\theta}}{\sqrt{1+2\rho}}
\]

após algumas simplificações e de notar que \(\frac{d\rho}{d\theta}=\frac{r^3F_\theta}{f^2}\). Multiplicamos ambos os membros da equação por \(r^2\) e aplicamos a regra do produto para escrevermos

\[
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{f^2}{r^2}\frac{dr}{d\theta}\right)-\frac{f^2}{r}=\frac{r^2F_r-F_\theta r\frac{dr}{d\theta}}{1+2\rho}
\]

A transformação

\[
u=\frac{f^2}{r}
\]

reduz a equação anterior a

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}-\frac{f^2F_\theta}{1+2\rho}\frac{du}{d\theta}+u=-\frac{r^2F_r}{1+2\rho}
\]

É útil notar que, se fizermos \(F_\theta=0\) e \(F_r=-\frac{\psi}{r^2}\) obtemos a equação do movimento harmónico simples

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\psi
\]

cuja solução se pode escrever na forma

\[
u=\psi+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)
\]

isto é,

\[
r=\frac{\frac{f^2}{\psi}}{1+\frac{A}{\psi\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}
\]

que constitui a equação da elipse, como seria de esperar.

A resolução do problema tal como aqui se encontra apresentada foi exposta por Clairaut na sua Théorie de la Lune deduite du seul principe de l'attraction reciproquement proportionelle aux carrés des distances. O mesmo autor voltou ao assunto uns anos mais tarde, na sua Mémoire sur l'orbite apparent du Soleil onde considerou a equação da órbita na forma

\[
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\Omega
\]

sendo \(\Omega\) dada pela série

\[
\Omega(\theta)=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k\cos(n\theta)}
\]

Nesse trabalho surgiu, pela primeira vez, um método geral para determinar o valor das constantes \(a_k\), conhecidos os valores da função \(\Omega\) em pontos equidistantes no intervalo \(\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack\). A consideração de séries semelhantes tinha sido anteriormente levada a cabo por Euler e por D'Alembert. O autor considerou que, sendo infinito o número \(n\) de subdivisões do intervalo \(\left\lbrack 0,2\pi\right\rbrack\), então os coeficientes são dados pelas famosas expressões integrais conhecidas da teoria das séries trigonométricas para o caso dos co-senos. Resta notar que as séries discretas para os senos foram estudadas por Lagrange no decurso da apresentação da sua teoria do som e as séries mais gerais, por Gauss. Mais tarde, Fourier desenvolveu a teoria para o caso de um número infinito de subdivisões do intervalo, considerando simultaneamente as séries de senos e co-senos.