No artigo A função característica para o oscilador harmónico simples foi calculada a função característica para o caso particular do oscilador, conhecidas as respectivas soluções. Aí foi observado que as equações de movimento se obtêm de determinado modo se essa função for conhecida. No que se segue, será apresentada a teoria que subjaz as observações feitas.
Se a condição de um sistema mecânico for dado por um conjunto de parâmetros θ1,⋯,θn e as forças envolvidas se possam obter de funções potenciais, o movimento do sistema será descrito pelas equações
ddt(∂L∂θ′i)−∂L∂θi=0
sendo L=T−U, T a energia cinética, função dos θi e dos θ′i e U a função potencial de onde se obtêm as forças intervenientes por derivação, como foi mostrado no artigo Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais. Aqui usa-se a notação θ′i para representar a derivada de θi em ordem ao tempo e que está associada à componente correspondente da velocidade. Note-se que os parâmetros de condição θi devem ser funções das coordenadas rectangulares xi,yi,zi de todas as partículas.
As equações de movimento escritas em termos de L coincidem com as equações que se obtêm do problema variacional de determinar os extremos do funcional dado pela integral
δ∫tt0L(θ1,⋯,θn,θ′1,⋯,θ′n)dt=0
A solução do sistema de equações diferenciais, no instante t1, são habitualmente dadas por
θi=θi(t−t0,θ01,⋯,θ0n,(θ01)′,⋯,(θ0n)′)
Tratam-se de funções de t−t0 porque a transformação t→t−t0 deixa as equações invariantes. Ora, sendo θ1i o valor da função em t=t1, o sistema de equações
θ1i=θi(t1−t0,θ01,⋯,θ0n,(θ′1)0,⋯,(θ′n)0)
permite determinar
θi=θi(t−t0,θ01,⋯,θ0n,θ11,⋯,θ1n)
Define-se a função
V(t1−t0,θ01,⋯,θ0n,θ11,⋯,θ1n)=∫t1t0L(θi,θ′i,t−t0)dt
Note-se que
(θi)′=∂θi∂t
são também função de t−t0, bem como θ0i e θ1i. Segue-se daqui que
∂V∂θ0i=∫t1t0n∑j=1∂L∂θ′j∂θ′j∂θ0i+∂L∂θj∂θj∂θ0idt
Aplica-se o método de integração por partes, notando que
∂θ′j∂θ0i=∂∂t(∂θj∂θ0i)
para obter
∂V∂θ0i=[n∑j=1∂L∂θ′j∂θj∂θ0i]t1t0−∫t1t0∂θj∂θ0i(∂∂t(∂L∂θ′j)−∂L∂θj)
Usa-se a notação de derivada parcial em ordem ao tempo para enfatizar o facto de que se tratam de funções que envolvem outros parâmetros. Lembrando as equações do movimento, facilmente se determina que
∂V∂θ0i=[n∑j=1∂L∂θ′j∂θj∂θ0i]t1t0
Por seu turno, como
θ0j=[θj]t=t0
e as variáveis, sendo independentes,
[∂θj∂θ0i]t=t0=∂θ0j∂θ0i={1,i=j0,i≠j
Por outro lado,
[∂θj∂θ0i]t=t1=0
uma vez que são independentes as variáveis θ0j e θ1j. Conclui-se, portanto, que
∂V∂θ0i=−[∂L∂θ′i]t=t0
Do mesmo modo se determina que
∂V∂θ1i=[∂L∂θ′i]t=t1
Se se designar por momento o vector
→p=→∇θ′iL
de componentes
pi=∂L∂x′i
então
{→∇θ0iV=−→p0→∇θ1iV=→p1
Do ponto de vista geométrico, a função V é tal que a família de superfícies definida pela equação
V(t1−t0,θ01,⋯,θ0n,θ11,⋯,θ1n)=ν(t−t0)
é perpendicular aos vectores momentos nos instantes respectivos. Por seu turno, da definição de V obtém-se
∂V∂t1=[L]t=t1+∫t1t0n∑i=1(∂L∂θ′i∂∂t(∂θi∂t1)+∂L∂θi∂θi∂t1)dt
A integração por partes e subsequente consideração das equações do movimento conduzem à expressão
∂V∂t1=L(t1−t0,θ11,⋯,θ1n,(θ′1)1,⋯,(θ′n)1)−n∑i=1p1i(θ′i)1
onde (θ′i)1=[θ′i]t=t1. Dado que a função L é homogénea de segundo grau relativamente às variáveis x′i, é possível determinar estas variáveis como função dos pi. Se se definir a função
H(t1−t0,θ11,⋯,θ1n,p11,⋯,p1n)=n∑i=1p1i(θ′i)1−L
pode-se escrever
H(t1−t0,θ11,⋯,θ1n,p11,⋯,p1n)=−∂V∂t1
Como
∂V∂θ1i=p1i
deverá valer a equação diferencial às derivadas parciais da forma
H(t1−t0,θ11,⋯,θ1n,∂V∂θ11,⋯,∂V∂θ1n)=−∂V∂t1
Do mesmo modo,
H(0,θ01,⋯,θ0n,∂V∂θ01,⋯,∂V∂θ0n)=∂V∂t0
Conclui-se, portanto, que, conhecidas as soluções das equações às derivadas parciais assim definidas, é possível determinar, por intermédio das quadraturas
∂V∂θ0i=−p0i,∂V∂θ1i=p1i
as soluções das equações do movimento.
