A função característica para o oscliador harmónico simples

 A função característica é dada por

$$V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\int_{t_0}^{t_1}{Ldt}$$

Trata-se de uma função das variáveis $x_0$ e $x_1$ que correspondem aos pontos inicial e final da situação do sistema. Com efeito, no caso do oscilador harmónico simples,

$$L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2$$

Considera-se aqui $x'$ como constituindo a derivada da função $x$ em ordem ao tempo. As equações do movimento do sistema descrito por esta função são dadas por

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

isto é,

$$\frac{d}{dt}\left(mx'\right)+kx=0$$

Se se fizer

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

a solução da equação diferencial é dada por (trata-se de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes)

$$x=x_0\cos\omega\left(t-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t-t_0\right)$$

Se se denotar por $x_1$ a posição que a partícula ocupará no instante $t_1$, tem-se

$$x_1=x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)+\frac{x'_0}{\omega}\sin\omega\left(t_1-t_0\right)$$

de onde se segue

$$x'_0=\omega\frac{x_1-x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}$$

A substituição permite escrever a solução na forma

$$x=-\frac{\sin\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\frac{\sin\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1$$

A sua derivada permite obter

$$x'=-\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_1\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_0+\omega\frac{\cos\omega\left(t-t_0\right)}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}x_1$$

A substituição na expressão para $L$ conduz a

$$L=\frac{k\left(x_0^2\cos 2\omega\left(t-t_1\right)-2x_0x_1\cos\omega\left(2t-t_0t_1\right)+x_1^2\cos 2\omega\left(t-t_0\right)\right)}{2\sin^2\omega\left(t_1-t_0\right)}$$

Se se integrar em ordem ao tempo entre os instantes $t_0$ e $t_1$ obtém-se finalmente

$$V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=\frac{m\omega\left(x_0^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1+x_1^2\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\right)}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}$$

Pode-se efectivamente verificar que

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x_0}=m\omega\frac{x_0\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_1}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=-mx_0'\\ \frac{\partial V}{\partial x_1}=m\omega\frac{x_1\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-x_0}{\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}=mx_1'\end{array}\right.$$

Tratam-se das equações do movimento quando é conhecida a função característica $V$. Por seu turno, não é tarefa árdua verificar que a função $V$ assim determinada satisfaz as equações diferenciais às derivadas parciais da forma

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\\ \frac{1}{2m}\left(\frac{-\partial V}{\partial x_0}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_0^2=\frac{\partial V}{\partial t_0}\end{array}\right.$$

Uma forma de determinar a função $V$ a partir da equação diferencial parcial

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=-\frac{\partial V}{\partial t_1}$$

pode ser realizada do seguinte modo. Começa-se por considerar

$$V\left(x_0,x_1,t_1-t_0\right)=W\left(x_0,x_1,E\right)-E\left(t_1-t_0\right)$$

onde $E$ é uma constante. A substituição na equação às derivadas parciais permite obter a equação diferencial ordinária em $W$ na forma

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{d W}{d x_1}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x_1^2=E$$

Observa-se que $E$ deverá ser função de $x_0$, $x_1$ e $t_1-t_0$. Uma vez que $V$ não depende explicitamente de $E$, tem-se

$$\frac{\partial W}{\partial E}=t_1-t_0$$

A solução da equação diferencial para $W$ é dada pela integral

$$W=\int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}$$

A derivada parcial de $W$ em ordem a $E$ é, portanto, dada por

$$\frac{\partial W}{\partial E}=\int_{x_0}^{x_1}{\frac{m}{2mE-m^2\omega^2x^2}dx}$$

que proporciona a quadratura

$$\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}=\omega\left(t_1-t_0\right)$$

da qual resulta

$$\left\lbrace\begin{array}{l}X_0X_1+\chi_0\chi_1=\cos\omega\left(t_1-t_0\right)\\ \chi_1X_0-\chi_0X_1=\sin\omega\left(t_0-t_1\right)\end{array}\right.$$

onde se fez

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\chi_0=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_0\\ \chi_1=\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}x_1\\ X_0=\sqrt{1-\chi_0^2}\\ X_1=\sqrt{1-\chi_1^2}\end{array}\right.$$

As expressões assim obtidas permitem escrever $E$ como função de $t_1-t_0$. Por seu turno, se se calcular a integral que permite determinar $W$, obtém-se

$$W=\frac{E}{\omega}\left(\arcsin{\chi_1}-\arcsin{\chi_0}+X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)$$

Uma das expressões anteriores permite ainda escrever

$$W=E\left(t_1-t_0\right)+\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)$$

e, portanto,

$$V=\frac{E}{\omega}\left(X_1\chi_1-X_0\chi_0\right)$$

Então

$$V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)X_1X_0-\chi_0\chi_1\left(X_1^2+X_0^2\right)\right)$$

ou, simplificando $X_0^2$ e $X_1^2$,

$$V\sin\omega\left(t_1-t_0\right)=\frac{E}{\omega}\left(\left(\chi_0^2+\chi_1^2\right)\left(X_0X_1+\chi_0\chi_1\right)-2x_0x_1\right)$$

isto é,

$$V=\frac{m\omega}{2\sin\omega\left(t_1-t_0\right)}\left(\left(x_0^2+x_1^2\right)\cos\omega\left(t_1-t_0\right)-2x_0x_1\right)$$

que corresponde à função característica determinada a partir da integral de $L$ e que se mostrou ser solução da equação diferencial parcial. Do ponto de vista das soluções do problema mecânico, não é muito importante determinar a função $V$, na medida em que as equações do movimento se seguem directamente da função $W$, considerando a equação adicional que permite relacionar $E$ com $t_1-t_0$.