Invarintes nas equações do movimento

 As equações do movimento em mecânica obtêm-se da função $L=T-U$ onde $T$ é a energia cinética e $U$ é a  função potencial de onde se podem obter, por derivação, as forças. Estas escrevem-se na forma

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$$

em que

$$x_i'=\frac{dx_i}{dt}$$

Por exemplo, a função $L$ para o caso de um conjunto de $N$ partículas livres é dada por

$$L=\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{2}m_j\left(x_{3j-2}'^2+x_{3j-1}'^2+x_{3j}'^2\right)}$$

em que as coordenadas rectangulares da partícula $j$ de massa $m_j$ são dadas por $\left(x_{3j-2},x_{3j-1},x_{3j}\right)$ de onde resultam as equações

$$m_j\frac{d^2x_j}{dt^2}=0$$

cujas soluções indicam que as partículas percorrem linhas rectas com velocidades constantes.

Considere-se um sistema mecânico descrito por $n$ coordenadas $x_1,\cdots,x_n$ e seja a função

$$F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\frac{df\left(x_1,\cdots,x_n\right)}{dt}$$

A regra da derivação permite escrever

$$F\left(x_1,\cdots,x_n,x_1',\cdots,x_n'\right)=\sum_i^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}x_i'}$$

e, portanto,

$$\frac{\partial F}{\partial x_i'}=\frac{\partial f}{\partial x_i}$$

Se se derivar a equação anterior em ordem ao tempo obtém-se

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{j=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_j}x_j'}=\frac{\partial F}{\partial x_i}$$

isto é,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial F}{\partial x_i}=0$$

Observa-se que o sistema definido pelas equações

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0$$

descreve o mesmo sistema mecânico. Multiplicando as equações anteriores por $x_i'$ e somando obtém-se

$$\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}=0}$$

A regra da derivada do produto permite determinar a equação equivalente

$$\sum_{i=1}^n{\frac{d}{dt}\left(x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}\right)-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i'}-x_i''\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=0$$

Porém,

$$\sum_{i=1}^n{x''_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x'_i}+x'_i\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=\frac{d(L+F)}{dt}-\frac{\partial L}{\partial t}$$

A substituição na fórmula anterior permite obter

$$\frac{d}{dt}\left\lbrack-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}\right\rbrack=-\frac{\partial L}{\partial t}$$

Se $L$ não depender explicitamente do tempo então conserva-se a quantidade

$$E=-(L+F)+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial(L+F)}{\partial x_i}}=-L+\sum_{i=1}^n{x_i'\frac{\partial L}{\partial x_i'}}$$

No caso do oscilador harmónico simples a uma dimensão, por exemplo, tem-se

$$L=\frac{1}{2}mx'^2-\frac{1}{2}kx^2$$

cuja equação do movimento se escreve como

$$m\frac{d^2x}{dt^2}-kx=0$$

De acordo com o que foi atrás determinado, dado que $L$ não depende explicitamente do tempo, conserva-se a quantidade

$$E=\frac{1}{2}mx'^2+\frac{1}{2}kx$$

Considere-se a família de tranformações invertíveis definidas pelas expressões

$$x_i=x_i\left(\chi_1,\cdots,\chi_n,\theta\right)$$

onde $\theta$ é o parâmetro da família de tal modo que

$$\chi_i\left(x_1,\cdots,x_n,0\right)=x_i$$

Suponha-se ainda que, após a transformação na função $L$, esta não dependa desse parâmetro, isto é,

$$\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$$

Ora,

$$\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial x'_i}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial \theta}\right)}=\sum_{i=1}^n{\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial x'_i}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\theta}\right)}$$

onde se consideraram as equações do movimento. A derivada em ordem a $t$ foi aqui considerada como parcial relativamente ao parâmetro $\theta$. A regra do produto permite determinar que

$$\frac{\partial L}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}=0$$

É, portanto, conservada a quantidade

$$\sum_{i=1}^n{\frac{\partial L}{\partial x_i'}\frac{\partial x_i}{\partial\theta}}$$

que é função dos $\chi_i$ e respectivas derivadas temporais. Quando $\theta=0$ tem-se $\chi_i=x_i$ e, neste caso, a quantidade depende dos $x_i$ e suas derivadas temporais. Se a função $L$ mantiver a mesma forma após as transformações, as equações em $\chi_i$, nomeadamente

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \chi_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial\chi_i}=0$$

terão a mesma forma que as equações correspondentes em $x_i$, podendo variar as constantes de integração e a quantidade que se conserva no tempo não depende do parâmetro $\theta$. Designando a quantidade por $k$, resulta que, sendo a solução do sistema nas coordenadas originais dado pelas funções

$$x_i\left(x_1^0,\cdots,x_n^0,\left(x_1'\right)^0,\cdots,\left(x_n'\right)^0,t-t_0\right)$$

A constante $k$ dependerá dos $x_i^0$ bem como dos $\left(x_i'\right)^0$. Sem perda de generalidade, pode-se assumir que se pode escrever $\left(x_n'\right)^0$ como função das restantes constantes e de $k$. Segue-se que

$$\chi_i=x_i\left(\chi_1^0,\cdots,\chi_n^0,\left(\chi_1'\right)^0,\cdots,k,t-t_0\right)$$

em que as constantes $\chi_i^0$ e $\left(\chi_i'\right)^0$ se obtêm das suas congéneres a partir das transformações.

De modo a ilustrar o que foi apresentado, considere-se a função $L$ para o caso de uma partícula livre que se move a uma dimensão,

$$L=\frac{1}{2}mx'^2$$

A função mantém a mesma forma se se considerar a família de transformações

$$x=\chi+\theta$$

das quais resulta

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x_0=\chi_0+\theta\\ x_0'=\chi_0'\end{array}\right.$$

isto é,

$$L=\frac{1}{2}m\chi'^2$$

De acordo com o que foi atrás exposto, conservar-se a quantidade

$$k=mx'=m\chi'$$

A solução do problema é dada, em cada sistema de coordenadas, por

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x\left(x_0,k\right)=x_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\\ \chi\left(\chi_0,k\right)=\chi_0+\frac{k}{m}\left(t-t_0\right)\end{array}\right.$$

Observa-e que, de facto,

$$\chi=x\left(\chi^0,k,t-t_0\right)$$

Considere-se agora o movimento de uma partícula num campo central de forças descrito pela função

$$L=\frac{1}{2}m\left(x'^2+y'^2+z'^2\right)-U\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)$$

A transformação de coordenadas da forma

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=\chi\cos\theta+\eta\sin\theta\\ y=-\chi\sin\theta+\eta\cos\theta\\ z=\zeta\end{array}\right.$$

considerando que

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x'=\chi'\cos\theta+\eta'\sin\theta\\ y'=-\chi'\sin\theta+\eta'\cos\theta\\ z'=\zeta'\end{array}\right.$$

reduz $L$ à mesma forma, nomeadamente,

$$L=\frac{1}{2}m\left(\chi'^2+\eta'^2+\zeta'^2\right)-U\left(\sqrt{\chi^2+\eta^2+\zeta^2}\right)$$

De acordo com o que foi atrás discutido, conserva-se a quantidade

$$l_3=\frac{\partial L}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial y'}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial L}{\partial z'}\frac{\partial z}{\partial\theta}$$

onde se faz $\theta=0$, advindo, neste caso, $\chi=x$ e $\eta=y$ após a derivação. Conserva-se a quantidade

$$l_3=x'y-y'x=\chi'\eta-\eta'\chi$$

Observa-se que a transformação considerada corresponde a uma rotação em torno do eixo das quotas. Se se considerarem as rotações em torno dos eixos das ordenadas e das abcissas, dado que a forma de $L$ se mantém nesses casos, verifica-se que são invariantes as quantidades

$$\left\lbrace\begin{array}{l}l_1=y'z-z'y\\ l_2=z'x-x'z\\ l_3=x'y-y'x\end{array}\right.$$

Trata-se das componentes do vector momento angular que se conservam no caso de uma partícula que se move num campo central de forças. Uma solução geral do problema mecânico é dada por

$$\vec{r}=\vec{r}\left(\vec{r}_0,\vec{l}_0,t-t_0\right)$$

onde $\vec{r}=(x,y,z)$ e $\vec{l}=\left(l_1,l_2,l_3\right)$, uma vez que as velocidades iniciais podem ser escritas como função dos invariantes e das posições iniciais. Da invariância de $L$ mediante uma rotação segue-se que, sendo $R$ o operador rotação então, se $\vec{r}$ for uma solução do problema, $R\vec{r}$ é outra solução do problema e, portanto,

$$R\vec{r}=\vec{r}\left(R\vec{r}_0,R\vec{l},t-t_0\right)$$

uma vez que uma rotação de $\vec{r}$ corresponde a uma rotação de $\vec{l}$. Se se determinar as soluções gerais para o caso em que $l_1=l_2=0$ então as demais soluções constroem-se a partir destas por intermédio da aplicação de uma rotação. As condições consideradas implicam, em particular, que $z=0$ e as soluções a determinar são aquelas que se dão sobre o plano horizontal.