Uma simplificação do princípio dos trabalhos virtuais aplicados à Dinâmica

Pretende-se aqui dar uma forma simplificada das equações que resultam da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais a problemas de Dinâmica sujeitos a restrições. De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais,

$$\int_V\left\lbrack \left(\frac{d}{dt}\left(\rho(V)\frac{d\vec{r}(V,t)}{dt}\right)-\vec{F}(V,t)\right)\cdot\delta\vec{r}(V,t)\right\rbrack=0$$

onde o volume $V$ se estende a todos os pontos que contenham massa.

No que se segue, não será mais denotada a dependência de $\vec{r}$ no volume $V$ e tempo $t$ de modo a tornar a exposição mais simples. Ora,

$$\varphi=\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{d\vec{r}}{dt}\right)\cdot\delta\vec{r}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}+\rho\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)$$

Em coordenadas generalizadas tem-se

$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\sum_i{\frac{dx^i}{dt}\vec{e}_i}$$

e

$$\delta\vec{r}=\sum_i{\delta x^i\vec{e}_i}$$

de onde se obtém

$$\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}=\sum_{ij}{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\delta x^j}$$

bem como

$$\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\sum_{ij}{g_{ij}dx^idx^j}$$

Daqui seguem-se as expressões

$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)=\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}dx^i\right)\delta x^j+g_{ij}dx^i\frac{d\delta x^j}{dt}}\\ \frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{\left\lbrack \delta g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}\delta\left(dx^i\right)dx^j+g_{ij}dx^i\delta\left(dx^j\right)\right\rbrack}\end{array}$$

Tem-se, portanto, para

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2$$

a complicada expressão

$$\begin{array}{l}\sum_{ij}\left\lbrack \frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)\delta x^j+g_{ij}v^i\delta v^j-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j-\frac{1}{2}g_{ij}\delta v^i v^j-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}g_{ij}v^i\delta v^j\right\rbrack\end{array}$$

onde $v^i=\frac{dx^i}{dt}$. A expressão anterior simplifica-se em

$$\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j}$$

ou

$$\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}$$

Se se fizer

$$L=\frac{1}{2}s^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{g_{ij}v^iv^j}$$

tem-se

$$\frac{\partial L}{\partial v^j}=\sum_i{g_{ij}v^i}$$

e

$$\frac{\partial L}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\sum_{ik}{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^iv^k}$$

Segue-se que

$$\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}=\sum_j\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial\frac{s^2}{2}}{\partial v^j}-\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}\right)\delta x^j$$

de onde se conclui o princípio dos trabalhos virtuais na forma

$$\int{\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)\delta x^j dV}=0$$

Seguem-se as equações do movimento na forma

$$\int\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)dV=0$$

Se a densidade $\rho$ não depender to tempo e a $\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi$ então as equações do movimento assumem a forma

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^j}-\frac{\partial L}{\partial x^j}=0$$

onde $L=\int\left(\frac{1}{2}\rho s^2-\phi\right)dV$.