Pretende-se aqui dar uma forma simplificada das equações que resultam da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais a problemas de Dinâmica sujeitos a restrições. De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais,
\[\int_V\left\lbrack \left(\frac{d}{dt}\left(\rho(V)\frac{d\vec{r}(V,t)}{dt}\right)-\vec{F}(V,t)\right)\cdot\delta\vec{r}(V,t)\right\rbrack=0\]
onde o volume \(V\) se estende a todos os pontos que contenham massa.
No que se segue, não será mais denotada a dependência de \(\vec{r}\) no volume \(V\) e tempo \(t\) de modo a tornar a exposição mais simples. Ora,
\[\varphi=\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{d\vec{r}}{dt}\right)\cdot\delta\vec{r}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}+\rho\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)\]
Em coordenadas generalizadas tem-se
\[\frac{d\vec{r}}{dt}=\sum_i{\frac{dx^i}{dt}\vec{e}_i}\]
e
\[\delta\vec{r}=\sum_i{\delta x^i\vec{e}_i}\]
de onde se obtém
\[\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}=\sum_{ij}{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\delta x^j}\]
bem como
\[\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\sum_{ij}{g_{ij}dx^idx^j}\]
Daqui seguem-se as expressões
\[\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)=\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}dx^i\right)\delta x^j+g_{ij}dx^i\frac{d\delta x^j}{dt}}\\ \frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{\left\lbrack \delta g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}\delta\left(dx^i\right)dx^j+g_{ij}dx^i\delta\left(dx^j\right)\right\rbrack}\end{array}\]
Tem-se, portanto, para
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\delta\vec{r}\right)-\frac{1}{2}\delta\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\]
a complicada expressão
\[\begin{array}{l}\sum_{ij}\left\lbrack \frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)\delta x^j+g_{ij}v^i\delta v^j-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j-\frac{1}{2}g_{ij}\delta v^i v^j-\right.\\ \left.-\frac{1}{2}g_{ij}v^i\delta v^j\right\rbrack\end{array}\]
onde \(v^i=\frac{dx^i}{dt}\). A expressão anterior simplifica-se em
\[\sum_{ij}{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)-\frac{1}{2}\delta g_{ij}v^iv^j}\]
ou
\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}\]
Se se fizer
\[L=\frac{1}{2}s^2=\frac{1}{2}\sum_{ij}{g_{ij}v^iv^j}\]
tem-se
\[\frac{\partial L}{\partial v^j}=\sum_i{g_{ij}v^i}\]
e
\[\frac{\partial L}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\sum_{ik}{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^iv^k}\]
Segue-se que
\[\sum_j{\delta x^j\left\lbrack \sum_i{\frac{d}{dt}\left(g_{ij}v^i\right)}-\frac{1}{2}v^i\sum_k{\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^k}\right\rbrack}=\sum_j\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial\frac{s^2}{2}}{\partial v^j}-\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}\right)\delta x^j\]
de onde se conclui o princípio dos trabalhos virtuais na forma
\[\int{\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)\delta x^j dV}=0\]
Seguem-se as equações do movimento na forma
\[\int\left(\frac{d}{dt}\left(\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial v^j}\right)-\rho\frac{\partial\left(\frac{s^2}{2}\right)}{\partial x^j}-F^j\right)dV=0\]
Se a densidade \(\rho\) não depender to tempo e a \(\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi\) então as equações do movimento assumem a forma
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^j}-\frac{\partial L}{\partial x^j}=0\]
onde \(L=\int\left(\frac{1}{2}\rho s^2-\phi\right)dV\).
