Espira que roda num campo magnético

Algumas bicicletas, em particular as pasteleiras, trazem um dínamo que permite gerar uma corrente eléctrica quando lhe é transferido movimento da roda da frente. Um circuíto eléctrico é montado, tendo o dínamo como gerador que alimenta um farol com um selector que permite regular a intensidade da luz. Porém, quanto maior for a intensidade da luz definida no selector, maior será a resistência ao movimento da roda da frente causado pelo dínamo. Este facto pode ser explicado com base na lei da conservação da energia. Com efeito, desprezando outras formas de dissipação, a energia dissipada pela lâmpada advém do trabalho realizado pela força que a roda da bicicleta exerce sobre o dínamo. A força total necessária para manter a bicicleta a uma velocidade constante terá, portanto, de incluir a parte da força responsável por acender a lâmpada.

É interessante averiguar, do ponto de vista do electromagnetismo, qual é a origem dessa força, considerando, como aproximação, uma espira que se encontra a rodar num campo mangético uniforme. Nos exercícios habituais, calcula-se a força electromotriz produzida na espira pela rotação. No entanto, não é tão frequente encontrar uma determinação da força aplicada sobre a espira quando o circuito eléctrico é fechado por uma resistência. Será aqui feito um esboço dessa determinação.

Considere-se a espira circular de raio $\rho$ definida pelas equações paramétricas

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\\ y=0\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.$$

que se supõe rodar, com velocidade angular constante $\omega$, em torno do eixo das cotas. Ao fim do tempo $t$, cada ponto da espira parametrizado pelo parâmetro $\lambda$, encontrar-se-á na posição dada por

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=\rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ y=\rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ z=\rho\sin\lambda\end{array}\right.$$

O vector tangente à espira é dado pela derivada da posição em ordem ao parâmetro $\lambda$, isto é,

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial x}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}=-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}=\rho\cos\lambda\end{array}\right.$$

O produto vectorial da posição pelo vector tangente permite determinar a direcção da normal ao círculo definido pelo condutor. Tem-se, portanto,

$$\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \rho\cos\lambda\cos\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\sin\left(\omega t\right) & \rho\cos\lambda\end{array}\right\vert=\rho\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\cos\left(\omega t\right)\vec{j}$$

onde $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são, respectivamente, os versores ao longo do eixo das abcissas, do das ordenadas e do das cotas. O versor normal é dado, portanto, por

$$\vec{n}=\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}$$

Seja $\vec{B}=B\vec{j}$ o campo magnético que se supõe uniforme e direccionado ao longo do eixo das ordenadas. O fluxo $\phi$ do campo sobre o círculo definido pelo condutor é dado por

$$\phi=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}dS=\int_S B\vec{j}\cdot\left(\sin\left(\omega t\right)\vec{i}-\cos\left(\omega t\right)\vec{j}\right)dS$$

isto é,

$$\phi=-\pi\rho^2B\cos\left(\omega t\right)$$

A força electromotriz obtém-se a partir da variação temporal do fluxo do campo magnético ao longo da superfície. Esta é dada por

$$\mathcal{E}=-\frac{d\phi}{dt}=-\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)$$

Se a espira constituir um circuito eléctrico fechado através de uma resistência $R$, a sua intensidade será dada por

$$I=-\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\pi\rho^2B\omega\sin\left(\omega t\right)$$

Ora,

$$d\vec{l}=-\rho\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{i}-\rho\sin\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{j}+\rho\cos\lambda\vec{k}$$

A força de interacção entre a corrente que se desloca sobre a espira e o campo magnético calcula-se como

$$\vec{F}_B=Id\vec{l}\times\vec{B}=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B\omega\sin\left(\omega t\right)\left\vert\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -\sin\lambda\cos\left(\omega t\right) & -\sin\lambda\sin\left(\omega t\right) & \cos\lambda\end{array}\right\vert$$

isto é,

$$\vec{F}_B=-\frac{1}{R}\pi\rho^3B^2\omega\sin\left(\omega t\right)\left(\cos\lambda\vec{i}-\sin\lambda\cos\left(\omega t\right)\right)$$

Para que a espira mantenha uma velocidade de rotação constante é necessária a aplicação de uma força $\vec{F}=-\vec{F}_B$ em cada um dos seus pontos. O trabalho total realizado pela força $\vec{F}$ durante o intervalo de tempo $t$ é dado por

$$W=\int_0^{2\pi}\int_0^t\vec{F}\cdot d\vec{r}d\lambda$$

isto é,

$$\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}d\lambda$$

onde, calculando a derivada da posição de cada elemento da espira em ordem ao tempo,

$$\frac{d\vec{r}}{dt}=-\rho\omega\cos\lambda\sin\left(\omega t\right)\vec{i}+\rho\omega\cos\lambda\cos\left(\omega t\right)\vec{j}$$

O trabalho desenvolvido pela força que deverá ser aplicada à espira para que esta mantenha a sua velocidade angular constante por unidade de tempo é dado por

$$\frac{dW}{dt}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{R}\pi\rho^4B^2\omega^2\sin^2\left(\omega t\right)\cos^2\lambda d\lambda=\mathcal{E}I$$

Este resultado está de acordo com o princípio da conservação da energia, uma vez que $\mathcal{E}I$ proporciona a potência dissipada pela resistência.