O princípio dos trabalhos virtuais aplicado à dinâmica

De acordo com o princípio dos trabalhos virutais, se um sistema de pontos $P_i$, cada um sujeito a um sistema de forças $\vec{F}_{ij}$, se encontrar em equilíbrio num determinado instante, então
$$\sum_{ij}{\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0$$
qualquer que seja o deslocamento infinitesimal $\delta\vec{r}_i$, consistente com as condições aplicadas ao sistema nesse instante. Na determinação da variação infinitesimal denotada por $\delta$, o tempo $t$ é considerado como constante, em contraste com a variação infinitesimal total $d$. De facto, quaisquer que sejam as direcções dos movimentos infinitesimais que possam ser aplicados ao sistema, a resultante das forças aplicadas segundo essas direcções deverá anular-se para que o sistema se encontre em equilíbrio estático no intervalo de tempo considerado.
De acordo com a lei da inércia, se a parte de um sistema que se encontre em movimento rectilíneo e uniforme não for actuado por uma causa externa então irá manter esse movimento rectilíneo e uniforme. A intensidade da causa externa determina-se, portanto, considerando a variação da sua quantidade de movimento. Se uma partícula for actuada por uma força externa ao longo de uma mesma direcção, a intensidade da força deverá ser determinada, em parte, pela variação da sua velocidade. Porém, dado que, considerando que tal partícula é divisível em partículas idênticas mais elementares, a quantidade de movimento deverá ser proporcional ao número dessas partículas. A constante de proporcionalidade é designada por massa inercial e é denotada por $m$. Se $\vec{v}$ for a velocidade da partícula ao longo de uma determinada direcção e $m$ a sua massa, então a sua quantidade de movimento será dada por $\vec{p}=m\vec{v}$. Se a partícula for submetida a uma causa externa, a sua intensidade é medida pela variação dessa quantidade de movimento, isto é,
$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$
De acordo com o princípio da sobreposição dos movimentos, o movimento de uma partícula que seja submetida a um conjunto de forças é dado pela soma dos movimentos rectilíneos resultantes da aplicação independente de cada uma das forças. Em partícular, se um conjunto de forças aplicadas a uma partícula se equilibrarem, a soma das variações dos respectivos movimentos anular-se-á e a partícula encontrar-se-á em repouso ou mover-se-á com velocidade constante ao longo de uma linha recta.
Suponha-se que um sistema de forças $F_{ij}$ é aplicado sobre um conjunto de partículas $i$ de massa $m_i$, segundo a direcção dos versores $\vec{u}_{ij}$ durante um instante infinitesimal. Defina-se uma direcção ao longo da qual o sistema se pode mover durante esse instante dada pelos vectores infinitesimais $\delta\vec{r}_i$. Ora, a variação do movimento da partícula $i$ devido à força $\vec{F}_{ij}$ pode ser decomposto na soma de dois movimentos, um segundo a direcção do vector $\delta\vec{r}_i$ e o outro segundo uma direcção que lhe seja perpendicular. A força $\vec{F}_{ij}$ fica determinada, neste caso, pela soma das forças, uma segundo a direcção do vector $\delta\vec{r}_i$ e a outra segundo a direcção perpendicular. Após formulação tem-se
$$\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i=0$$
Aqui $s_{ij}$ representa a distância percorrida pela partícula $i$, segundo a direcção da força, $\vec{u}_{ij}$, considerando apenas o movimento devido à sua acção. A soma sobre todas as forças e partículas resulta na seguinte expressão para o princípio dos trabalhos virtuais no seu caso mais geral, nomeadamente,
$$\sum_{ij}{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)+F_{ij}\right)\vec{u}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_i}=0$$
Como no instante em que é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais o movimento é considerada rectilíneo, $\vec{u}_{ij}$ deverá ser considerado como constante, advindo
$$\sum_j{\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{ds_{ij}}{dt}\right)\vec{u}_{ij}}=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d}{dt}\sum_j{s_{ij}\vec{u}_ij}\right)=\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)$$
onde
$$\vec{r}_i=\sum_j{s_{ij}\vec{u}_{ij}}$$
O princípio dos trabalhos virtuais escreve-se na forma equivalente como
$$\sum_i{\left(-\frac{d}{dt}\left(m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\sum_j{F_{ij}\vec{u}_{ij}}\right)\cdot \delta\vec{r}_i}=0$$
Esta é a forma habitualmente usada na resolução de problemas de Dinâmica. Se se pretender que o o sistema se encontre em equilíbrio, é suficiente observar que se deve ter $\vec{r}_i=0$, reduzindo a expressão anterior ao caso da Estática.
Suponha-se que se pretende determinar a força que está na origem da trajectória de uma partícula de massa $m$ dada por $\vec{r}(t)$, supondo que não são aplicadas quaisquer restrições. Neste caso, $\delta\vec{r}$ será um vector arbitrário advindo, do princípio dos trabalhos virtuais,
$$\left(-\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}_i}{dt}\right)+\vec{F}\right)\cdot\delta\vec{r}=0$$
Como $\delta\vec{r}$ é arbitrário, então
$$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-\vec{F}=0$$
que corresponde à conhecida lei da Dinâmica para o caso de partículas livres. Se se assumir que a partícula de massa constante $m$ se pode mover apenas ao longo de uma linha dada por $\vec{r}(s)$ então
$$\delta\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{ds}ds$$
e o princípio dos trabalhos virtuais advém da forma
$$\left(-m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+\vec{F}\right)\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}ds=0$$
o que conduz à equação
$$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0$$
isto é,
$$m\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}+m\frac{d^2s}{dt^2}\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0$$
que, como $\frac{d\vec{r}}{ds}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=1$ e, consequentemente,
$$\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0$$
se reduz a
$$m\frac{d^2s}{dt^2}-\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{ds}=0$$
Segue-se daqui que a componente da força segundo a tangente à curva sob a qual a partícula está limitada a mover-se é medida pela alteração da quantidade de movimento ao longo dessa tangente.
O mesmo argumento serve para determinar as equações que determinam o movimento de uma partícula que esteja restrita a mover-se sobre a superfície determinada por $\vec{r}\left(u^1,u^2\right)$, onde $u^i$ são parâmetros cujos índices são sobrescritos, em conformidade com as notações de geometria diferencial. Se se definirem os vectores tangentes
$$\left\lbrace\begin{array}{l}\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^1}\\ \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^2}\end{array}\right.$$
então
$$\delta\vec{r}=\vec{e}_1du^1+\vec{e}_2du^2$$
Definem-se os coeficientes $g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ e $\Gamma_{ij}^k$ que satisfazem
$$\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\Gamma_{ij}^1\vec{e}_1+\Gamma_{ij}^2\vec{e}_2+\kappa\vec{n}$$
em que $\vec{n}$ corresponde ao vector normal à superfície.
Dado que
$$\frac{\partial\vec{e}_i}{\partial u^j}=\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial u^i}$$
devido à igualdade das derivadas cruzadas, segue-se que $\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$.
Tem-se, para uma trajectória arbitrária sobre a superfície,
$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{du^1}{dt}\vec{e}_1+\frac{du^2}{dt}\vec{e}_2$$
e, aplicando nova derivação,
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_1+\\ +\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^i\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}\right)\vec{e}_2+\kappa'\vec{n}\end{array}$$
Suponha-se ainda que a força $\vec{F}$ se escreve, na nova base, como
$$\vec{F}=F^1\vec{e}_1+F^2\vec{e}_2+F^N\vec{n}$$
Considerando as expressões anteriores no princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se
$$\left\lbrace\begin{array}{l}\sum_{i=1}^2g_{1i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\\ \sum_{i=1}^2g_{2i}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i\right)=0\end{array}\right.$$
O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como
$$GP=0$$
onde $G=\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack$ é a matriz constituída pelos coeficientes métricos e $P$ é o vector coluna cujas entradas são dadas por
$$\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m\sum_{j=1}^2{\sum_{k=1}^2{\Gamma_{jk}^i\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}}}-F^i$$
Dado que a matriz $G$, sendo as suas entradas dadas pelos produtos escalares dos vectores da base, é invertível, o sistema anterior é equivalente a
$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^1}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^1\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^1=0\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{du^2}{dt}\right)+m\sum_{i=1}^2{\sum_{j=1}^2{\Gamma_{ij}^2\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}}-F^2=0\end{array}\right.$$
Segue-se da equação anterior, fazendo $F^i=0$, que se a projecção da força sobre o plano tangente à superfície for nula, isto é, se a força for normal à superfície, então a partícula, sendo animada de uma velocidade inicial, terá a sua trajectória contida numa geodésica.
A combinação linear das equações anteriores permite escrever
$$\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{2}g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+m^2\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{2}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}-F^i\right)=0$$
Dado que
$$\Gamma_{kl}^i=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^2g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial u^m}+\frac{\partial g_{lm}}{\partial u^k}\right)$$
onde $\left\lbrack g^{ij}\right\rbrack$ é a matriz inversa de $\left\lbrack g_{ij}\right\rbrack$, isto é,
$$\sum_{i=1}^2g_{ij}g^{im}=\left\lbrace\begin{array}{ll}1, & j=m\\ 0, & j\ne m\end{array}\right.$$
segue-se que
$$\sum_{ij,k,l=1}^2g_{ij}\frac{du^j}{dt}\Gamma_{kl}^i\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\frac{1}{2}\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}$$
A troca da ordem da soma em $k$ e$j$ permite concluir que
$$\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}$$
isto é,
$$\sum_{j,k,l=1}^{2}\frac{du^j}{dt}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\frac{du^k}{dt}\frac{du^l}{dt}=\sum_{j,k=1}^{2}\frac{dg_{jk}}{dt}\frac{du^j}{dt}\frac{du^k}{dt}$$
A expressão atrás considerada que resulta da combinação linear das equações das geodésicas adquire a forma
$$\sum_{i,j=1}^{2}\left(g_{ij}m\frac{du^j}{dt}\frac{d}{dt}\left(m\frac{du^i}{dt}\right)+\frac{1}{2}\frac{dg_{ij}}{dt}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}-g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i\right)=0$$
Não é difícil verificar que a equação anterior reduz a
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(g_{ij}m\frac{du^i}{dt}m\frac{du^j}{dt}\right)-\sum_{i,j=1}^2g_{ij}m\frac{du^j}{dt}F^i=0$$
Porém, a expressão compreendida sob o sinal de diferencial corresponde à norma $p$ do momento da quantidade de movimento da partícula. Se a projecção da força sobre a superfície for nula, será constante o módulo do momento da quantidade de movimento. No caso em que a projecção é nula e a massa é constante, a partícula, estando animada de uma velocidade inicial, irá mover-se sobre a geodésica com velocidade constante.
Considerem-se agora duas partículas, $A$ e $B$, de massas $m_A$ e $m_B$. Ambas as partículas movem-se, mantendo constante a distância entre si. A partícula $A$ move-se com aceleração constante ao longo de uma linha horizontal. Ambas as partículas encontram-se sujeitas à força gravítica, considerada constante, segundo a direcção vertical. O princípio dos trabalhos virtuais constitui uma forma simples de determinar as equações que descrevem tal movimento.
Seja $\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)$ e $\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)$ os vectores que determinam a posição das partículas $A$ e $B$ num determinado referencial. Suponha-se que, nesse referencial, a partícula $A$ esteja limitada a mover-se sobre a recta horizontal de equação $y_A=h$. Se se denotar por $a$ a aceleração constante da partícula $A$ ao longo da recta considerada e por $v$ a sua velocidade inicial, então a sua trajectória é dada pelas equações paramétricas, no referencial em que a partícula se encontra em repouso no instante inicial sobre a origem, a uma altura $h$ do plano $xOy$,
$$\left\lbrace\begin{array}{l}x_A=\frac{1}{2}at^2\\ y_A=0\\ z_A=h\end{array}\right.$$
Dado que, no decurso do movimento do sistema, a distância entre as partículas se pretende constante, isto é
$$\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}=l$$
as coordenadas da partícula $B$ poderão ser escritas na forma
$$\left\lbrace\begin{array}{l}x_B=\frac{1}{2}at^2+l\cos\varphi\sin\theta\\ y_B=l\sin\varphi\\ z_B=h-l\cos\varphi\cos\theta\end{array}\right.$$

Denotando por $\vec{r}=\left(x_B,y_B,z_B\right)$, determina-se, por derivação,

$$\begin{array}{l}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=a\vec{i}+\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\vec{e}_\varphi+\\ +\frac{1}{\cos\varphi}\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)\vec{e}_\theta\end{array}$$

onde $\vec{i}$ é o versor alinhado com o eixo das abcissas e

$$\begin{array}{ll}\vec{e}_\varphi=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}, & \vec{e}_\theta=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}\end{array}$$

são os vectores que assumem a direcção das tangentes ao vector de posição quando se varia apenas uma das coordenadas. Os pesos aplicados a cada uma das partículas $A$ e $B$ são, respectivamente, $P_A=-m_Ag\vec{k}$ e $P_B=-m_Bg\vec{k}$, em que $g$ representa a aceleração gravítica considerada constante e $\vec{k}$ é o versor que assume a direcção do eixo das cotas.

Dado ser conhecido o movimento da partícula $A$, esta pode ser removida do princípio dos trabalhos virtuais por já se encontrar em equilíbrio. Assim,

$$\left(m_B\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+m_Bg\vec{j}\right)\cdot\delta\vec{r}=0$$

Considerando, sucessivamente, a variação apenas em ordem a $\varphi$ e depois em ordem a $\theta$, tem-se, em primeiro lugar, $\delta\vec{r}=\vec{e}_\varphi d\varphi$ e, em segundo lugar, $\delta\vec{r}=\vec{e}_\theta d\theta$. A sua consideração no princípio dos trabalhos virtuais permite obter o sistema de equações

$$\left\lbrace\begin{array}{l}l\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\sin\varphi\cos\varphi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)+\left(g\cos\theta-a\sin\theta\right)\sin\varphi=0\\ l\left(\frac{d}{dt}\left(\cos\varphi\frac{d\theta}{dt}\right)-\sin\varphi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\varphi}{dt}\right)+g\sin\theta+a\cos\theta=0\end{array}\right.$$

A massa $B$ ficará, portanto, sujeita a um movimento pendular sobre a qual actuam a força gravítica e a força inercial dada pela sua ligação à massa $A$. O ponto de equilíbrio do pêndulo será dado por $\varphi=0$ e $\theta=\theta_0$ que satisfaz a relação

$$g\sin\theta_0+a\cos\theta_0=0$$

uma vez que, nestas condições, a solução das equações é dada por $\varphi=0$ e $\theta=\theta_0$. Isto deve-se ao facto das projecções da força gravítica e da força inercial devida à aceleração sobre a tangente ao movimento permitido do pêndulo se anularem, como seria de esperar.