Paralaxe

Os sistemas de coordenadas são considerados relativamente ao centro da Terra. Porém, as medições são apenas possíveis à sua superfície. A aproximação do horizonte por um plano paralelo sobre o centro é apenas válida no caso de estrelas muito distantes. Alguns dos astros, a Lua em particular, estão suficientemente próximos da Terra para que o erro cometido na aproximação não seja negligenciável.

Seja $A$ o ponto à superfície onde é realizada a medição, $Z$ o zénite, $C$ o centro, $H$ o ponto onde a estrela cruza o horizonte à altura zero e $I$ um ponto genérico onde a estrela se pode encontrar num outro instante. Como $ZAI+IAC=\pi$ por se tratar de ângulos suplementares e

$$AIC+ICA+CAI=\pi$$

segue-se que$AIC=ZAI-CAI$. O erro cometido por paralaxe é dado pelo ângulo $AIC$. Do mesmo modo,

$$AHC=ZAH-CAH=\frac{\pi}{2}-CAH$$

De modo a simplificar a notação, denota-se por $\zeta_I$ e $\zeta_H$ os ângulos $ZAI$ e $ZAH$ respectivamente, isto é, as distâncias ao zénite das posições dadas por $I$ e $H$ medidas à superfície. Denota-se por $\sigma_I$ e $\sigma_H$ os ângulos de paralaxe $AIC$ e $AHC$. Da lei dos senos aplicada ao triângulo $AIC$ obtém-se

$$\frac{\sin\left(\pi-\zeta_I\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_I}{AC}$$

Do mesmo modo, também vale a identidade

$$\frac{\sin\left(\pi-\zeta_H\right)}{IC}=\frac{\sin\sigma_H}{AC}$$

Segue-se daqui que

$$\frac{\sin\sigma_H}{\sin\zeta_H}=\frac{\sin\sigma_I}{\sin\zeta_I}$$

Como $\zeta_H=\pi/2$, tem-se

$$\sin\sigma_I=\sin\zeta_I\sin\sigma_H$$

Assim, sendo conhecida a paralaxe horizontal $\sigma_H$ e a distância ao zénite $\zeta_I$ do astro medida à superfície, calcula-se o erro de paralaxe $\sigma_I$ cometido. É interessante observar que, sendo $R$ o raio da Terra e $D$ a distância ao astro, se tem

$$\sin\sigma_H=\frac{R}{D}$$

Resta, portanto, medir o valor da paralaxe horizontal. Para o efeito, sejam realizadas medições da distância ao zénite de um mesmo astro no ponto $I$ em duas localizações $A$ e $A'$ situadas no mesmo meridiano afastados entre si de um ângulo de latitude igual a $\varphi$.

Denota-se por $\zeta_A$ e $\zeta_{A'}$ as distâncias aos zénites $Z$ e $Z'$ medidas nas posições $A$ e $A'$. Como  e a soma dos ângulos internos do quadrilátero $ACA'I$ é igual a $2\pi$, segue que

$$AIA'=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi$$

Utilizando a notação $\psi=AIA'$, tem-se, portanto, $\psi=\zeta_A+\zeta_{A'}-\varphi$ obtido por medição. Por outro lado, sabe-se que $\psi=\sigma_A+\sigma_{A'}$ é igual à soma dos erros de paralaxe. A fórmula para a soma dos senos permite escrever

$$\sin\psi=\sin\sigma_A\cos\sigma_{A'}+\sin\sigma_{A'}\cos\sigma_A$$

que, atendendo às relações entre os erros de paralaxe num ponto arbitrário e a paralaxe horizontal, se reduz a

$$\sin\psi=\sin\sigma_H\left(\sin\zeta_A\cos\sigma_{A'}+\sin\zeta_{A'}\cos\sigma_A\right)$$

Como os erros de paralaxe são muito pequenos, tem-se $\cos\sigma_{A'}\approx 1$ e $\cos\sigma_A\approx 1$ e, portanto,

$$\sin\sigma_H=\frac{\sin\psi}{\sin\zeta_A+\sin\zeta_{A'}}$$

de onde se pode extrair o valor da paralaxe horizontal. O método apresentado para a determinação da paralaxe requer a determinação da diferença de latitude de dois lugares situados no mesmo meridiano, isto é, à mesma longitude e a utilização de instrumentos diferentes. É claro que, na determinação da diferença de latitudes é importante considerar a altura de uma estrela que se possa considerar situada no infinito, ao invés do método expostos atrás sujeito ao erro inerente à paralaxe solar.

Um método alternativo para a determinação da paralaxe que recorre à utilização do mesmo telescópio descreve-se do seguinte modo. Seja $A$ o astro, situado à distância $D$ do qual se pretende obter o valor da paralaxe horizontal, isto é, do ângulo $\sigma_H$ tal que

$$\sin\sigma_H=\frac{R}{D}$$

Trace-se, sobre uma lâmina de vidro situada no foco comum da objectiva e ocular de um telescópio, duas linhas perpendiculares entre si e alinhe-se a imagem de uma delas com a trajectória definida pelo astro $A$ no seu movimento diário. O mesmo efeito pode ser obtido com um micrómetro filar. Num determinado instante, dispõe-se o telescópio de modo a que a intersecção das duas linhas traçadas na ocular esteja sobre o astro $A$. Encontre-se uma estrela $E$ que poderá ser considerada a uma distância infinita e que se encontre sobre a linha vertical, alinhada com $A$. No final de aproximadamente seis horas, alinhe-se novamente o telescópio com o astro $A$. Devido à paralaxe, a estrela $E$ encontrar-se-á agora desalinhada com $A$. Mede-se o tempo que $E$ leva até se encontrar alinhada com a recta vertical traçada na ocular. A fracção do tempo de alinhamento de $E$ relativamente ao tempo medido entre duas passagens de $E$ sobre o meridiano proporciona o ângulo $\alpha$ como fracção equivalente da volta completa.

Suponha-se que o astro é observado no plano do equador em $K$ a $\pi/2$ radianos medidos a partir do meridiano.

Suponha-se que a estrela que pode ser considerada à distância infinita é observada sobre a linha traçada na lâmina do telescópio, perpendicular à direcção do seu movimento, no instante em que o astro se encontra em $K$. A projecção da posição da estrela no plano do equador é dada pelo ponto $E$ na mesma direcção em que o ponto $K$ é observado a partir do ponto $B$.

Ao fim de um determinado intervalo de tempo $t$, a posição do astro é determinada pelo observador em $B$ no ponto $T$ situado no meridiano. A estrela será, portanto, observada em  $F$de modo a que sejam iguais os ângulos $KPT$ e $EPF$. Ao fim do instante adicional $\delta t$ a estrela encontrar-se-á sobre o meridiano. Se $T$ for o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas da estrela pelo meridiano, tem-se

$$FBZ=2\pi\frac{\delta t}{T}$$

Mas como $ZPF=KPE$ e, dado que a estrela é considerada a uma distância infinita, $PE$ é paralelo a $BE$, seguindo-se que $KPE=BKP$. A medição do tempo de transição  permite determinar o ângulo

$$\sigma_H=BKP$$

que proporciona a paralaxe horizontal, uma vez que

$$\sin\sigma_H=\frac{R}{D}$$

Se o alinhamento do astro com a estrela se desse quando este se encontrasse no ponto $Y$, o mesmo mecanismo permitiria determinar o ângulo $\sigma_Y=BYP$, de onde se obteria a paralaxe horizontal por intermédio da relação

$$\sin\sigma_Y=\sin\sigma_H\sin\alpha$$

onde $\alpha=TBY$, que resulta da aplicação da lei dos senos ao triângulo $BYP$.

Supondo que o observador se encontra em $A$ num lugar à superfície da Terra com latitude $\varphi$ e observa o astro em $G$, situado sobre o equador, de modo que $PAG$ seja um ângulo recto.

Suponha-se que, apontando o telescópio para o astro em $G$, se observa a estrela sobre a linha horária traçada no foco comum do telescópio. A estrela encontra-se, portanto, no plano $EBF$. O astro encontrar-se-á em $H$, sobre o meridiano, ao fim do tempo $t$. Após um intervalo de tempo $\delta t$, a estrela estará a cruzar a linha horária do telescópio quando este se encontra apontado para $H$, isto é, a estrela estará alinhada com a posição do zénite em termos de ascensão recta. O valor do arco percorrido durante o interval $\delta t$ proporciona o ângulo $FPG$ onde $F$ corresponde à projecção do ponto $E$ sobre o plano do equador. Porém, $FPG=PGB$ dado que a estrela se encontra a uma distância infinita, sendo paralelas as rectas $BF$ e $PF$. Aqui, $B$ corresponde à projecção de $A$ sobre o plano do equador.

Fazendo $\sigma_0=PGB$, tem-se

$$\sin\sigma_0=\frac{PB}{PG}=\frac{R\cos\varphi}{D}=\sin\varphi_H\cos\varphi$$

Se o astro se encontrar a uma declinação $\delta$, então o mesmo mecanismo permite determinar

$$\sin\sigma_0=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}$$

já que $PG=D\cos\delta$ neste caso.

Na prática, convém usar uma forma mais geral do método descrito para a determinação da paralaxe horizontal. Suponha-se que o astro é observado em $K$ e, no mesmo instante, a estrela é observada em $E$ cujas projecções no equador são dadas respectivamente pelos pontos $M$ e $F$.

Se $R$ for a projecção do lugar $Q$ à superfície da Terra no plano do equador, a estrela será observada na linha horária associada ao astro em $K$ quando a sua projecção sobre o equador se encontrar em $A$, alinhada com $M$ quando vista do ponto $R$.

O tempo $\delta t_1$ que a estrela leva até cruzar a linha horária do telescópio associada à posição de $K$ permite determinar o ângulo $FPA$. Ao fim de um intervalo de tempo $t_1$, o astro encontra-se em $L$ e a sua projecção sobre o equador, em $N$. A projecção da estrela sobre o equador, partindo de $A$ leva o mesmo intervalo de tempo $t_1$ até chegar a $G$. O intervalo de tempo que a estrela leva até se encontrar alinhada com a linha horária associada ao astro em $L$ permite determinar o valor do ângulo $GPB$ que corresponde à paralaxe.

Assim, alinhando o telescópio com o astro em $L$, mede-se o intervalo de tempo $\delta t_2$ que leva até à estrela cruzar a linha horária que lhe está associada. O intervalo de tempo $\delta t_2$ permite determinar o ângulo

$$\frac{2\pi}{T}\delta t_2=FPA+GPB$$

onde $T$ é o tempo que leva entre duas passagens consecutivas da estrela sobre o meridiano. A paralaxe $\sigma$ assim determinada vem dada por

$$\sigma=GPB=\frac{2\pi}{T}\left(\delta t_2-\delta t_1\right)$$

Note-se que poderá ser necessária a determinação da variação do ângulo horário entre a estrela e o planeta ao longo de um intervalo de tempo suficientemente grande de modo a determinar a correcção média a ser aplicada à paralaxe determinada de modo a contemplar o seu movimento de translação.

Determinam-se os ângulos $\alpha_1=API$ e $\alpha_2=BPI$, medindo o tempo de transição da estrela entre os instantes em que cruza as respectivas linhas horárias e a sua passagem pelo meridiano. Ora, $APM=GPN$ uma vez que os lados de um dos ângulos se obtêm dos lados do outro por intermédio da mesma rotação. Por seu turno, $APM=PMR$ já que os lados $PA$ e $RA$ podem ser considerados como sendo paralelos entre si. Do mesmo modo, $BPN=PNR$. Usando a notação $\sigma_1=PMR$ e $\sigma_2=PNR$, tem-se

$$\sigma=\sigma_1-\sigma_2$$

Por outro lado, como os lados $RA$ e $PA$ podem ser considerados como sendo paralelos, pode-se concluir que $\alpha_1=ARI$. Do mesmo modo, $\alpha_2=BRI$. A lei dos senos aplicada aos triângulos $PMR$ e $PNR$ resulta nas equações

$$\frac{\sin\sigma_1}{\sin\alpha_1}=\frac{\sin\sigma_2}{\sin\alpha_2}=\frac{R\cos\varphi}{D\cos\delta}=\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}$$

Também

$$\sin\sigma=\sin\sigma_1\cos\sigma_2-\sin\sigma_2\cos\sigma_1\approx\sin\sigma_H\frac{\cos\varphi}{\cos\delta}\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)$$

dado que os valores das paralaxes são ínfimos. Tem-se, finalmente, para a paralaxe horizontal,

$$\sigma_H=\frac{\cos\delta}{\cos\varphi\left(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2\right)}$$