Duração dos dias e das noites

O dia solar é definido como o tempo decorrido entre duas transições consecutivas do Sol sobre o mesmo lado do meridiano do lugar relativamente ao horizonte. Define-se o início do dia quando o Sol passa sobre o meridiano perto do nadir. O meio-dia é atingido, portanto, quando a passagem pelo meridiano se verifica perto do zénite.

O dia natural corresponde ao período em que o Sol se encontra acima do horizonte. Durante a noite, por seu turno, o Sol encontra-se abaixo do horizonte e não pode ser observado a partir do lugar. Já foi atrás referido que, na esfera recta, a duração dos dias iguala a duração das noites. No caso da esfera oblíqua, tal acontece apenas quando o Sol se encontra em um dos equinócios. Pretende-se, portando, dada a declinação $\delta$ do Sol, de onde se pode obter a sua posição na eclíptica, determinar a duração do dia e da noite.

Para o efeito, considere-se um referencial no centro da esfera celeste cujo eixo das abcissas toma a direcção da intersecção  do equador com o meridiano. A direcção das ordenadas é definida pelos pontos $A$ e $B$ da intersecção do horizonte com o equador. O eixo das cotas tem a direcção dos polos celestes.

O círculo $FCD$ representa a órbita solar aparente onde a declinação  é dada pelo ângulo $EOF$. Note-se que este ângulo não varia quando se considera uma rotação do referencial em torno do eixo das cotas. A equação do plano da órbita é dada por

$$z=\sin\delta$$

considerando que a esfera celeste tem raio unitário. A equação do plano do horizonte é da forma

$$x\cos\varphi+z\sin\varphi=0$$

onde $\varphi$ é a latitude do lugar. A intersecção do plano do horizonte com o plano da órbita aparente resulta na recta

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\z=\sin\delta\end{array}\right.$$

A intersecção da recta com a esfera celeste $x^2+y^2+z^2=1$, considerada como tendo raio unitário, proporciona, em geral, dois pontos $C$ e $D$ com coordenadas

$$\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\ y=\pm\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta}\\ z=\sin\delta\end{array}\right.$$

Resta determinar o valor do arco $FC$. Ora, o ponto $F$ tem coordenadas $\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)$ e o centro da órbita aparente é o ponto de coordenadas $\left(0,0,\sin\delta\right)$. Pretende-se, portanto, determinar o ângulo compreendido entre os vectores

$$\left(-\tan\varphi\sin\delta,\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta},0\right)$$

e

$$\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)$$

Denotando esse ângulo por $\psi$, a fórmula do produto escalar permite obter

$$\cos\psi=-\tan\varphi\tan\delta$$

O ângulo total que o Sol se encontra acima do horizonte calcula-se como

$$\left\lbrace\begin{array}{ll}2\arccos\left(-\tan\varphi\tan\delta\right), & \left\vert \frac{\pi}{2}-\vert\delta\vert\right\vert\le\left\vert\varphi\right\vert\le\left\vert \frac{\pi}{2}+\vert\delta\vert\right\vert\\ 0, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}+\delta\\ 2\pi, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}-\delta\end{array}\right.$$

É claro da fórmula que o ângulo correspondente ao arco da órbita solar visível é sempre igual a $\pi$ no equador independentemente do valor da declinação $\delta$. Por outro lado, como $\vert\delta\vert\le\varepsilon$, torna-se evidente que o arco da órbita solar corresponde à volta completa ou é nulo se o lugar em questão se encontrar no interior dos círculos polares. Sendo a velocidade de transição igual a $\pi/12$ radianos por hora, a duração do dia vale

$$t=\frac{12}{\pi}\psi$$

dado em horas equinociais.