O dia solar é definido como o tempo decorrido entre duas
transições consecutivas do Sol sobre o mesmo lado do meridiano do lugar relativamente ao horizonte.
Define-se o início do dia quando o Sol passa sobre o meridiano perto do nadir.
O meio-dia é atingido, portanto, quando a passagem pelo meridiano se verifica
perto do zénite.
O dia natural corresponde ao período em que o Sol se encontra acima do
horizonte. Durante a noite, por seu turno, o Sol encontra-se abaixo do
horizonte e não pode ser observado a partir do lugar. Já foi atrás referido
que, na esfera recta, a duração dos dias iguala a duração das noites. No caso
da esfera oblíqua, tal acontece apenas quando o Sol se encontra em um dos
equinócios. Pretende-se, portando, dada a declinação \(\delta\) do Sol, de onde se pode
obter a sua posição na eclíptica, determinar a duração do dia e da noite.
Para o efeito, considere-se um referencial no centro
da esfera celeste cujo eixo das abcissas toma a direcção da intersecção
do equador com o meridiano. A direcção das
ordenadas é definida pelos pontos \(A\) e \(B\) da intersecção do horizonte com o equador. O
eixo das cotas tem a direcção dos polos celestes.
O
círculo \(FCD\) representa a órbita solar aparente onde a
declinação
é dada pelo ângulo \(EOF\).
Note-se que este ângulo não varia quando se considera uma rotação do
referencial em torno do eixo das cotas. A equação do plano da órbita é dada por
\[z=\sin\delta\]
considerando
que a esfera celeste tem raio unitário. A equação do plano do horizonte é da
forma
\[x\cos\varphi+z\sin\varphi=0\]
onde \(\varphi\) é a latitude do lugar. A intersecção do plano
do horizonte com o plano da órbita aparente resulta na recta
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\z=\sin\delta\end{array}\right.\]
A intersecção da recta com a esfera celeste \(x^2+y^2+z^2=1\), considerada como tendo raio unitário, proporciona, em geral, dois pontos \(C\) e \(D\) com coordenadas
\[\left\lbrace\begin{array}{l}x=-\tan\varphi\sin\delta\\ y=\pm\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta}\\ z=\sin\delta\end{array}\right.\]
Resta determinar o valor do arco \(FC\). Ora, o ponto \(F\) tem coordenadas \(\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\) e o centro da órbita aparente é o ponto de coordenadas \(\left(0,0,\sin\delta\right)\). Pretende-se, portanto, determinar o ângulo compreendido entre os vectores
\[\left(-\tan\varphi\sin\delta,\cos\delta\sqrt{1-\tan^2\varphi\tan^2\delta},0\right)\]
e
\[\left(\cos\delta,0,\sin\delta\right)\]
Denotando esse ângulo por \(\psi\), a fórmula do produto escalar permite obter
\[\cos\psi=-\tan\varphi\tan\delta\]
O
ângulo total que o Sol se encontra acima do horizonte calcula-se como
\[\left\lbrace\begin{array}{ll}2\arccos\left(-\tan\varphi\tan\delta\right), & \left\vert \frac{\pi}{2}-\vert\delta\vert\right\vert\le\left\vert\varphi\right\vert\le\left\vert \frac{\pi}{2}+\vert\delta\vert\right\vert\\ 0, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}+\delta\\ 2\pi, & \left\vert\varphi\right\vert>\frac{\pi}{2}-\delta\end{array}\right.\]
É claro da fórmula que o ângulo correspondente ao arco da órbita solar
visível é sempre igual a \(\pi\) no equador independentemente do valor da declinação \(\delta\) . Por outro lado,
como \(\vert\delta\vert\le\varepsilon\) , torna-se evidente
que o arco da órbita solar corresponde à volta completa ou é nulo se o lugar em
questão se encontrar no interior dos círculos polares. Sendo a velocidade de
transição igual a \(\pi/12\) radianos por hora, a duração do dia vale
\[t=\frac{12}{\pi}\psi\]
dado
em horas equinociais.
Sem comentários:
Enviar um comentário