Observou-se no artigo A função característica em mecânica que, conhecida a função
\[V\left(\theta_i^0,\theta_i^1\right)=\int_{t_0}^{t_1}{L\left(\theta_i,\theta_i',t_1-t_0\right)dt}\]
então verificam-se as equações
\[\frac{\partial V}{\partial\theta_i^1}=p_i^1=\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial\theta_i'}\right\rbrack_{t=t_1}\]
Além disso, a função \(V\) definida como acima satisfaz a equação diferencial às derivadas parciais
\[H\left(t_1-t_0,\theta_i^1,\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}\]
onde
\[H\left(t,\theta_i,p_i\right)=\sum_{i}{p_i\theta_i'}-L\left(\theta_i,\theta_i',t\right)\]
É importante lembrar que é possível escrever \(H\) desde que se possa escrever \(\theta_i'\) em função dos \(p_i\), dos \(\theta_i\) e de \(t_1-t_0\).
Uma vez que as equações diferenciais às derivadas parciais possui várias soluções consoante as condições iniciais que são consideradas, a função \(V\) acima definida poderá não ser a única solução. É importante, portanto, averiguar se, determinando uma solução arbitrária da equação diferencial, se possam daí obter as equações do movimento. Seja, portanto, a equação diferencial às derivadas parciais da forma
\[H\left(t,x_i,\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}\]
Pretende-se mostrar que, de facto, as equações
\[\frac{\partial V}{\partial x_i}=p_i=\frac{\partial L}{\partial x_i'}\]
correspondem às que permitem determinar a dinâmica do sistema. Aqui considerou-se \(x_i\) no lugar de \(\theta_i^1\) e \(t\) no lugar de \(t_1-t_0\). Deriva-se a equação diferencial às derivadas parciais em ordem a \(x_i\) para vir
\[\frac{\partial H}{\partial x_i}+\sum_j{\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_j}+\frac{\partial^2V}{\partial t\partial x_i}\right)}=0\]
Como
\[H=\sum_i{p_ix_i'\left(t,x_j,p_j\right)}-L\left(x_i,x_i'\left(t,x_j,x_j'\right),t\right)\]
determina-se que
\[\frac{\partial H}{\partial p_i}=x_i'\]
e a equação anterior pode ser escrita na forma
\[\frac{\partial H}{\partial x_i}+\sum_j{\left(x_j'\frac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_j}+\frac{\partial^2V}{\partial t\partial x_i}\right)}=0\]
isto é,
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)+\frac{\partial H}{\partial x_i}=0\]
ou, de acordo com as equações do movimento obtidas a partir de \(V\),
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)+\frac{\partial H}{\partial x_i}=0\]
No entanto,
\[\frac{\partial H}{\partial x_i}=-\frac{\partial L}{\partial x_i}\]
que, substituído na equação anterior, conduz às equações do movimento
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\]
Mostrou-se, portanto, que qualquer solução da equação diferencial às derivadas parciais conduz às trajectórias de algum sistema.
Observa-se que, em termos de \(H\), as equações do movimento são dadas por
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial x_i}=-p_i\\ \frac{\partial H}{\partial p_i}=x_i'\end{array}\right.\]
A função \(H\) permite, deste modo, prover um sistema de equações diferenciais de primeira ordem para as trajectórias no lugar das equações diferenciais de segunda ordem obtidas a partir de \(L\).
