A função característica que permite descrever o movimento do sistema mecânico

 Observou-se no artigo A função característica em mecânica que, conhecida a função

$$V\left(\theta_i^0,\theta_i^1\right)=\int_{t_0}^{t_1}{L\left(\theta_i,\theta_i',t_1-t_0\right)dt}$$

então verificam-se as equações

$$\frac{\partial V}{\partial\theta_i^1}=p_i^1=\left\lbrack\frac{\partial L}{\partial\theta_i'}\right\rbrack_{t=t_1}$$

Além disso, a função $V$ definida como acima satisfaz a equação diferencial às derivadas parciais

$$H\left(t_1-t_0,\theta_i^1,\frac{\partial V}{\partial \theta_i^1}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t_1}$$

onde

$$H\left(t,\theta_i,p_i\right)=\sum_{i}{p_i\theta_i'}-L\left(\theta_i,\theta_i',t\right)$$

É importante lembrar que é possível escrever $H$ desde que se possa escrever $\theta_i'$ em função dos $p_i$, dos $\theta_i$ e de $t_1-t_0$.

Uma vez que as equações diferenciais às derivadas parciais possui várias soluções consoante as condições iniciais que são consideradas, a função $V$ acima definida poderá não ser a única solução. É importante, portanto, averiguar se, determinando uma solução arbitrária da equação diferencial, se possam daí obter as equações do movimento. Seja, portanto, a equação diferencial às derivadas parciais da forma

$$H\left(t,x_i,\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t}$$

Pretende-se mostrar que, de facto, as equações

$$\frac{\partial V}{\partial x_i}=p_i=\frac{\partial L}{\partial x_i'}$$

correspondem às que permitem determinar a dinâmica do sistema. Aqui considerou-se $x_i$ no lugar de $\theta_i^1$ e $t$ no lugar de $t_1-t_0$. Deriva-se a equação diferencial às derivadas parciais em ordem a $x_i$ para vir

$$\frac{\partial H}{\partial x_i}+\sum_j{\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_j}+\frac{\partial^2V}{\partial t\partial x_i}\right)}=0$$

Como

$$H=\sum_i{p_ix_i'\left(t,x_j,p_j\right)}-L\left(x_i,x_i'\left(t,x_j,x_j'\right),t\right)$$

determina-se que

$$\frac{\partial H}{\partial p_i}=x_i'$$

e a equação anterior pode ser escrita na forma

$$\frac{\partial H}{\partial x_i}+\sum_j{\left(x_j'\frac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_j}+\frac{\partial^2V}{\partial t\partial x_i}\right)}=0$$

isto é,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)+\frac{\partial H}{\partial x_i}=0$$

ou, de acordo com as equações do movimento obtidas a partir de $V$,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)+\frac{\partial H}{\partial x_i}=0$$

No entanto,

$$\frac{\partial H}{\partial x_i}=-\frac{\partial L}{\partial x_i}$$

que, substituído na equação anterior, conduz às equações do movimento

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$$

Mostrou-se, portanto, que qualquer solução da equação diferencial às derivadas parciais conduz às trajectórias de algum sistema.

Observa-se que, em termos de $H$, as equações do movimento são dadas por

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial x_i}=-p_i\\ \frac{\partial H}{\partial p_i}=x_i'\end{array}\right.$$

A função $H$ permite, deste modo, prover um sistema de equações diferenciais de primeira ordem para as trajectórias no lugar das equações diferenciais de segunda ordem obtidas a partir de $L$.