A lei da gravitação e as séries trigonométricas

No texto As coordenadas esféricas e a lei da gravitação expus a utilização das coordenadas esféricas na resolução de um dos mais importantes problemas da mecânica celeste. Se considerarmos $\phi$ constante e ignorarmos a força $F_\phi$, vemos que o problema geral da dinâmica de uma partícula em coordenadas polares é descrito pela equação

$$\left\lbrace \begin{array}{l} \frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r\\ r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=F_\theta \end{array} \right.$$

Consideramos aqui que o sistema de unidades de massa é tal que a massa da partícula é unitária. Se multiplicarmos por $r$ a segunda equação obtemos

$$\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)=rF_\theta$$

cujo integral é dado por

$$r^2\frac{d\theta}{dt}=f+\int{rF_\theta dt}$$

onde $f$ é a constante de integração. Multiplicamos a equação anterior por $rF_\theta$ para ficarmos com

$$r^3F_\theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\left\lbrack f\int{rF_\theta dt}+\frac{1}{2}\left(\int{rF_\theta dt}\right)^2\right\rbrack$$

cujo integral se pode reduzir a

$$f+\int{rF_\theta dt}=\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}$$

A consideração do primeiro integral obtido permite concluir a identidade

$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{f^2+2\int{r^3F_\theta d\theta}}}{r^2}$$

Vemos que é possível determinar o valor do ângulo $\theta$ como função do parâmetro $t$, resolvendo esta equação diferencial. Se fizermos, para abreviar, $\rho=\int{r^3F_\theta d\theta}$, segue-se que

$$\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{f\sqrt{1+2\rho}}{r^2}\frac{dr}{d\theta}$$

Derivamos a equação anterior em ordem ao tempo e introduzimos na equação radial, nomeadamente,

$$\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=F_r$$

para obtermos

$$\frac{f^2}{r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{2f^2}{r^5}\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2-\frac{f^2}{r^3}=\frac{F_r-\frac{F_\theta}{r}\frac{dr}{d\theta}}{\sqrt{1+2\rho}}$$

após algumas simplificações e de notar que $\frac{d\rho}{d\theta}=\frac{r^3F_\theta}{f^2}$. Multiplicamos ambos os membros da equação por $r^2$ e aplicamos a regra do produto para escrevermos

$$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{f^2}{r^2}\frac{dr}{d\theta}\right)-\frac{f^2}{r}=\frac{r^2F_r-F_\theta r\frac{dr}{d\theta}}{1+2\rho}$$

A transformação

$$u=\frac{f^2}{r}$$

reduz a equação anterior a

$$\frac{d^2u}{d\theta^2}-\frac{f^2F_\theta}{1+2\rho}\frac{du}{d\theta}+u=-\frac{r^2F_r}{1+2\rho}$$

É útil notar que, se fizermos $F_\theta=0$ e $F_r=-\frac{\psi}{r^2}$ obtemos a equação do movimento harmónico simples

$$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\psi$$

cuja solução se pode escrever na forma

$$u=\psi+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)$$

isto é,

$$r=\frac{\frac{f^2}{\psi}}{1+\frac{A}{\psi\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}$$

que constitui a equação da elipse, como seria de esperar.

A resolução do problema tal como aqui se encontra apresentada foi exposta por Clairaut na sua Théorie de la Lune deduite du seul principe de l'attraction reciproquement proportionelle aux carrés des distances. O mesmo autor voltou ao assunto uns anos mais tarde, na sua Mémoire sur l'orbite apparent du Soleil onde considerou a equação da órbita na forma

$$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\Omega$$

sendo $\Omega$ dada pela série

$$\Omega(\theta)=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k\cos(n\theta)}$$

Nesse trabalho surgiu, pela primeira vez, um método geral para determinar o valor das constantes $a_k$, conhecidos os valores da função $\Omega$ em pontos equidistantes no intervalo $\left\lbrack0,2\pi\right\rbrack$. A consideração de séries semelhantes tinha sido anteriormente levada a cabo por Euler e por D'Alembert. O autor considerou que, sendo infinito o número $n$ de subdivisões do intervalo $\left\lbrack 0,2\pi\right\rbrack$, então os coeficientes são dados pelas famosas expressões integrais conhecidas da teoria das séries trigonométricas para o caso dos co-senos. Resta notar que as séries discretas para os senos foram estudadas por Lagrange no decurso da apresentação da sua teoria do som e as séries mais gerais, por Gauss. Mais tarde, Fourier desenvolveu a teoria para o caso de um número infinito de subdivisões do intervalo, considerando simultaneamente as séries de senos e co-senos.

A função característica

Em óptica, um sistema de raios de segunda ordem consiste num conjunto de linhas cuja parametrização é dada por dois parâmetros. Se designarmos por $\vec{n}$ os vectores de norma unitária que definem as direcções das linhas de um sistema então este é de segunda ordem se, a cada ponto do espaço $(x,y,z)$, corresponder apenas uma direcção $\vec{n}(x,y,z)$. De facto, a equação vectorial de uma recta geral pode ser escrita na forma

$$(x,y,z)=(a,b,c)+\lambda\left(u_1,u_2,u_3\right)$$

Vemos tratar-se de uma família parametrizda por seis parâmetros. No entanto, diferentes parâmetros representam a mesma recta. Em primeiro lugar, tanto $\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ como $\alpha\vec{u}$ para algum $\alpha$ constante parametrizam a mesma recta. Podemos considerar portanto que o vector $\vec{u}$ possui norma unitária. A mesma equação pode descrever a mesma recta para diferentes pontos. Com efeito, considerando um novo ponto $\left(a_1,b_1,c_1\right)$ na recta, temos

$$(x,y,z)=\left(a_1,b_1,c_1\right)+\lambda_1\left(u_1,u_2,u_3\right)$$

Como o ponto pertence à recta então verifica a equação

$$\left(a_1,b_1,c_1\right)=(a,b,c)+\lambda\left(u_1,u_2,u_3\right)$$

para algum $\lambda$. Se considerarmos a representação

$$\left(a_1-a,b_1-b,c_1-c\right)=\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\lambda{u}$$

onde $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ e $\vec{v}_3$ são linearmente independentes, verificarmos imediatamente que ambas as equações representam a mesma recta se e só se $\alpha=\beta=0$. O conjunto de todas as rectas pode, portanto, ser representado pela família de equações

$$(x,y,z)=(a,b,c)+\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\lambda\left(u_1,u_2,u_3\right)$$

onde $(a,b,c)$ é um ponto escolhido arbitrariamente que consideramos ser a origem. Assim, todas as rectas podem ser representadas pela família de equações

$$(x,y,z)=\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\lambda\left(u_1,u_2,u_3\right)$$

onde os vectores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ são escolhidos em função de $\vec{u}$. A família de todas as rectas é, portanto, definida por quatro parâmetros onde dois deles definem a direcção e os outros dois, a posição. Se a direcção for dada em função da posição, apenas os dois parâmetros que lhe estão associados são considerados, tratando-se de um sistema de segunda ordem.

Um sistema de segunda ordem diz-se ter congruência normal se for possível encontrar uma superfície que seja normal a todos os seus raios. A importância desta definição reside no teorema de Mauls-Dupin onde é afirmado que a congruência normal se mantém após uma sequência finita de reflexões e refracções. Se essa superfície possuir equação $f(x,y,z)=k$ com $k$ contante, sabemos que a condição para que esta seja normal a todos os raios é

$$\vec{\nabla}f=\lambda\vec{n}$$

onde $\vec{n}$ constitui a direcção do raio associado ao ponto de incidência. A função característica $U$ foi definida por Hamilton de tal forma que

$$\vec{n}=\vec{\nabla}U$$

É interessante mostrar que esta definição não é desprovida de sentido. Ora, de $\vec{\nabla}f=\lambda\vec{n}$ concluímos

$$\vec{\nabla}\times\left(\lambda\vec{n}\right)=0=\vec{\nabla}\lambda\times\vec{n}+\lambda\vec{\nabla}\times\vec{n}$$

Como $\vec{n}\cdot\vec{n}=1$ segue-se que $\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{n}=0$ e, da identidade

$$\frac{1}{2}\vec{\nabla}\left(\vec{n}\cdot\vec{n}\right)=\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{n}+\vec{n}\times\vec{\nabla}\times\vec{n}$$

obtemos $\vec{n}\times\vec{\nabla}\times\vec{n}=0$. A mesma identidade, como $\lambda\vec{n}$ no lugar de $\vec{n}$ fica na forma

$$\frac{1}{2}\vec{\nabla}\lambda^2=\lambda\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\left(\lambda\vec{n}\right)+\lambda^2\vec{n}\times\vec{\nabla}\times\vec{n}$$

Segue-se que

$$\vec{\nabla}\lambda=\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\left(\lambda\vec{n}\right)$$

Mas como

$$\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\left(\lambda\vec{n}\right)=\lambda\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{n}+\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\lambda\right)\vec{n}$$

então, porque $\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{n}=0$ ficamos com

$$\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\right)\left(\lambda\vec{n}\right)=\left(\vec{n}\cdot\vec{\nabla}\lambda\right)\vec{n}$$

Concluímos que $\vec{\nabla}\lambda\times\vec{n}=0$ e, como $\vec{\nabla}\lambda\times\vec{n}+\lambda\vec{\nabla}\times\vec{n}=0$, também

$$\vec{\nabla}\times\vec{n}=0$$

Segue-se daqui que é possível encontrar uma função $U$ tal que $\vec{\nabla}U=\vec{n}$, como pretendido.

As coordenadas esféricas e a lei da gravitação

Um ponto definido pelo vector $\vec{\rho}=(x,y,z)$ é representado, em coordenadas esféricas, pelos parâmetros $\left(r,\theta,\phi\right)$ de acordo com a transformação
$$\left\lbrace \begin{array}{l} x=r\cos\theta\sin\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\phi \end{array} \right.$$
O conjunto de equações $\theta=const.$, $\phi=const$ define uma curva. Definimos $\vec{e}_r$ como sendo o vector unitário com a direcção da tangente à curva. Concluímos, portanto, que
$$\vec{e}_r=\left(\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi\right)$$
Do mesmo modo, construímos os vectores unitários cuja direcção se encontra ao longo da tagente das curvas sobre as quais variam apenas $\theta$ e $\phi$, isto é,
$$\begin{array} \vec{e}_\theta=\left(-\sin\theta,\cos\theta,0\right)\\ \left(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi\right) \end{array}$$
Se a posição de um corpo for representada pelo vector $\vec{\rho}=(x,y,z)$, no novo sistema de coordenadas será representada por $\vec{\rho}=r\vec{e}_r$. A sua velocidade será dada por
$$\frac{d\vec{\rho}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec{e}_r+r\frac{d\theta}{dt}\sin\phi\vec{e}_\theta+r\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi$$
e a sua aceleração será, portanto,
$$\begin{array}{l} \frac{d^2\vec{\rho}}{dt^2} & = & \left\lbrack \frac{d^2r}{dt^2}-r\sin\phi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2+r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\right\rbrack\vec{e}_r+\\  & & + \left\lbrack \frac{d}{dt}\left(r\frac{d\theta}{dt}\sin\phi\right)+r\sin\phi\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\cos\phi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\phi}{dt}\right\rbrack\vec{e}_\theta+\\  & & + \left\lbrack \frac{d}{dt}\left(r\frac{d\phi}{dt}\right)+\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\sin\phi\cos\phi\right\rbrack\vec{e}_\phi \end{array}$$
Se $\vec{F}_r$, $\vec{F}_\theta$ e $\vec{F}_\phi$ forem as componentes da resultante das forças que actuam na partícula segundo as direcções dos vectores $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\theta$ e $\vec{e}_\phi$ então as equações do movimento baseadas na segunda lei de Newton escrevem-se como
$$\left\lbrace \begin{array}{l} \frac{d^2r}{dt^2}-r\sin\phi\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2+r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2=\frac{\vec{F}_r}{m}\\ \frac{d}{dt}\left(r\frac{d\theta}{dt}\sin\phi\right)+r\sin\phi\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\cos\phi\frac{d\theta}{dt}\frac{d\phi}{dt}=\frac{\vec{F}_\theta}{m}\\ \frac{d}{dt}\left(r\frac{d\phi}{dt}\right)+\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\sin\phi\cos\phi=\frac{\vec{F}_\phi}{m} \end{array} \right.$$
Iremos agora determinar a forma da resultante das forças que actuam num corpo que se move de acordo com as leis de Kepler. Estas são:
1) O corpo move-se ao longo de uma elipse.
2) O raio vector definido por um dos focos da elipse e o corpo varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
3) O quadrado do período de revolução do movimento é directamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse.


Começamos por observar que, sendo $\phi=\frac{\pi}{2}$ constante, então o sistema de equações diferenciais reduz-se a
$$\left\lbrace \begin{array}{l} \frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=\frac{\vec{F}_r}{m}\\ r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=\frac{\vec{F}_\theta}{m}\\ 0=\frac{\vec{F}_\phi}{m} \end{array} \right.$$
Analisemos agora a segunda lei. Ora, a área de uma superfície $S$ é dada pelo integral
$$A=\iint\limits_{S}dxdy=\iint\limits_{S}rdrd\theta$$
Quando superfície $S$ é dada por uma equação da forma $r=r(\theta)$, o integral duplo reduz-se a
$$A=\frac{1}{2}\int_{\theta_0}^{\theta}{r^2d\theta}$$
seguindo-se
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}=const.$$
e, consequentemente,
$$\frac{d^2A}{dt^2}=r\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\frac{r^2}{2}\frac{d^2\theta}{dt^2}=0$$
Vimos imediatamente que
$$\left\lbrace \begin{array}{l} \frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=\frac{\vec{F}_r}{m}\\ 0=\frac{\vec{F}_\theta}{m}\\ 0=\frac{\vec{F}_\phi}{m} \end{array} \right.$$
A segunda lei só pode ser satisfeita se a força exercida no corpo for central, isto é, possuir a direcção do raio vector. Para obtermos a forma da força radial, começamos por determinar a equação da elipse que possui o foco na origem em coordenadas esféricas, supondo que esta se encontra no plano horizontal $\phi=\frac{\pi}{2}$. A distância do foco que se encontra na origem ao corpo é igual a $r$. O teorema de Carnot aplicado ao triângulo formado pelos focos e o corpo permite-nos concluir que a distância do segundo corpo ao foco é igual a
$$\sqrt{r^2+4f^2+4fr\cos\theta}$$
sendo $2f$ a distância interfocal. Como a elipse é o lugar geométrico de todos os pontos cuja soma das distâncias destes a ambos os focos é igual ao comprimento do eixo maior, temos
$$r+\sqrt{r^2+4f^2+4fr\cos\theta}=2a$$
onde $a$ corresponde ao comprimento do semi-eixo maior. Se subtrairmos $r$ a cada um dos membros, quadrarmos e simplificarmos, obtemos
$$r\left(a+f\cos\theta\right)=a^2-f^2$$
Se $e=\frac{f}{a}$ for a excentricidade, temos
$$r=\frac{a\left(1-e^2\right)}{1+e\cos\theta}$$
Se utilizarmos a abreviação $\psi=a\left(1-e^2\right)$, a equação da elipse escreve-se como
$$r=\frac{\psi}{1+e\cos\theta}$$
ou
$$e\cos\theta=\frac{\psi}{r}-1$$
Derivamos a equação em ordem ao parâmetro $t$, vindo
$$\frac{dr}{dt}=\frac{\psi e\sin\theta}{\left(1+e\cos\theta\right)^2}=\frac{r^2}{\psi}e\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$$
A segunda derivada fica, por seu turno, na forma
$$\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{r}{\psi}e\sin\theta\left(r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\right)+r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2-\frac{r^2}{\psi}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2$$
Como, de acordo com a segunda lei temos $\frac{d\theta}{dt}=\frac{k}{r^2}$, com $k$ constante, então
$$\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=-\frac{k^2}{\psi}\frac{1}{r^2}$$
isto é,
$$\vec{F}_r=-\frac{k^2}{\psi}\frac{1}{r^2}$$
Trata-se da famosa lei da gravitação.
A consequência da terceira lei, apesar de subtil, é deveras interessante. Segue-se a seguinte equação diferencial da lei das áreas:
$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{k}{r^2}=\frac{k}{\psi^2}\left(1+e\cos\theta\right)^2$$
Sendo uma equação separável, podemos escrever
$$\int_0^{2\pi}{\frac{1}{2}\frac{\psi^2}{\left(1+e\cos\theta\right)^2}d\theta}=\frac{kT}{2}$$
onde $T$ representa o período da órbita. O integrando na equação anterior constitui uma função racional de funções trigonométricas e pode ser resolvido com o auxílio dos métodos habituais. No entanto, representando a área de uma elipse, o seu valor é dado por $\pi ab$ e a equação reduz-se a
$$\pi ab=\frac{kT}{2}$$
ou
$$\pi a\sqrt{a^2-f^2}=\frac{kT}{2}$$
Se quadrarmos, ficamos com
$$\pi^2a^2\left(1-e^2\right)=\frac{k^2T^2}{4}$$
isto é,
$$\pi^2a^3\psi=\frac{k^2T^2}{4}$$
Concluímos desta forma que
$$\psi=\frac{k^2}{4\pi^2}\frac{T^2}{a^3}$$
e, portanto, a constante $\psi$ que figura na forma da força central não depende dos parâmetros da órbita.

Dois artigos em metafísica

Encontrei dois artigos de Euler sobre metafísica que achei interessantes:

1. Ensaio sobre uma demonstração metafísica do princípio geral do equilíbrio
2. Reflexões sobre o espaço e o tempo

É interessante comparar as conclusões deste segundo artigo com as ideias modernas da teoria da relatividade.

Digressões em óptica geométrica

Nestes últimos tempos tenho escrito aqui alguns artigos sobre óptica geométrica. Decidi, portanto, à semelhança do que já tenho feito em textos no âmbito da matemática, compilar as ideias em ficheiros e actualizá-los ao longo do tempo ao invés de as individualizar.

Coloquei no OneDrive um documento que intitulei por Digressões em óptica geométrica e que serve esse propósito.