Um problema sobre reflexões e refracções

No texto As leis da reflexão e refracção em forma vectorial apresentei uma dedução das leis da reflexão e refracção a partir do princípio do tempo mínimo. No entanto, considero útil apresentar o tema de um ponto de vista historicamente mais coerente e deduzir o princípio do tempo mínimo a partir das leis empíricas da reflexão e refracção. Fá-lo-ei antes de aplicar as leis à resolução de um problema específico.

Em Óptica Geométrica, a luz é descrita com base no conceito de raios luminosos, os quais constituem abstracções que permitem modelar o seu comportamento. De acordo com a disciplina, valem os seguintes princípios:

• Os raios luminosos são rectilíneos se a luz se propagar no seio de um meio homgéneo;
• Os raios luminosos apresentam uma mudança de direcção na superfície de separação entre dois meios distintos;
• Podem ser reflectidos aquando da sua incidência numa superfície de separação entre dois meios.

No caso da reflexão, um raio, designado por raio incidente, que parta do ponto $P$ e incida no ponto $R$ da superfície $S$, é reflectido em direcção ao ponto $Q$ que se encontra no mesmo lado do ponto $P$ relativamente à superfície. São verificadas duas leis:

1.  Os raios incidente, reflectido e a normal à superfície encontram-se no mesmo plano;
2. O ângulos de incidência e de reflexão são iguais, sendo de incidência o ângulo compreendido entre o raio incidente e a normal à superfície e de reflexão, o ângulo compreendido entre o raio reflectido e a normal à superfície.

Designando por $\vec{n}$ o vector normal à superfície no sentido dos pontos $P$ e $Q$, por $\vec{i}$ o vector de norma unitária com a direcção do raio incidente e sentido do ponto $R$ e por $\vec{r}$ o vector unitário com a direcção do raio reflectido e sentido do ponto $Q$, tem-se

$$\vec{i}=\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}$$

e

$$\vec{r}=\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}$$

onde $\vec{\varepsilon}=R-P$ e $\vec{\rho}=Q-R$. Da primeira lei é possível concluir que existem dois números, $\alpha$ e $\beta$, de tal forma que

$$\vec{r}=\alpha\vec{i}+\beta\vec{n}$$

O produto vectorial da equação anterior por $\vec{n}$ resulta em

$$\vec{n}\times\vec{r}=\alpha\vec{n}\times\vec{i}$$

Como os ângulos de incidência e de reflexão são iguais então $\left\|\vec{n}\times\vec{r}\right\|=\left\|\vec{n}\times\vec{i}\right\|$ e, portanto, $\alpha=\pm 1$. Dado o sentido do vector de reflexão relativamente ao de incidência, conclui-se facilmente que $\alpha=1$. A equação de reflexão escreve-se na forma

$$\vec{r}=\vec{i}+\beta\vec{n}$$

A multiplicação escalar por $\vec{n}$, atendendo a que $\vec{i}\cdot\vec{n}=-\vec{r}\cdot\vec{n}$, proporciona $\beta=-2\vec{i}\cdot\vec{n}$, isto é,

$$\vec{r}=\vec{i}-2\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}$$

Se $R(u,v)$ definir a superfície de incidência então

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\vec{n}\cdot\frac{\partial R}{\partial u}=0\\\vec{n}\cdot\frac{\partial R}{\partial u}=0\end{array}\right.$$

que, atendendo a que $\vec{r}=\vec{i}+\beta\vec{n}$, se reduz a

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\left(\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}-\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial u}=0\\\left(\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}-\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial v}=0\end{array}\right.$$

Ora, verifica-se facilmente que o sistema é equivalente a

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial u}\left(\left\|\vec{\rho}\right\|+\left\|\vec{\varepsilon}\right\|\right)=0\\\frac{\partial}{\partial v}\left(\left\|\vec{\rho}\right\|+\left\|\vec{\varepsilon}\right\|\right)=0\end{array}\right.$$

Segue-se daqui que $\left\|\vec{\rho}\right\|+\left\|\vec{\varepsilon}\right\|=k$ onde $k$ é uma constante. Como consequência imediata desta equação, se qualquer raio que parta do ponto $P$, seja reflectido na superfície $S$ e passe pelo ponto $Q$, então a superfície $S$ constitui um elipsóide de revolução.

As equações da reflexão permitem ainda mostrar um resultado banal do ponto de vista prático. Seja a superfície $S$ um plano cuja normal é $\vec{n}$. A equação da recta que define a reflexão de um raio que parta do ponto $P$, seja reflectido no plano de normal $\vec{n}$ e chegue ao ponto $Q$ é da forma

$$X=P+\vec{\varepsilon}+\lambda\left\lbrack\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}-\frac{2}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack$$

Um raio que parta do ponto $P$ e incida na superfície $S$ sobre o ponto $R'$ é reflectido segundo a direcção da recta de equação

$$X'=P+\vec{\varepsilon}'+\lambda'\left\lbrack\frac{\vec{\varepsilon}'}{\left\|\vec{\varepsilon}'\right\|}-\frac{2}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}'\left(\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack$$

onde $\vec{\varepsilon}'=R'-P$.No ponto de intersecção de ambas as rectas tem-se $X=X'$ e, portanto,

$$0=\vec{\varepsilon}-\vec{\varepsilon}'+\lambda\left\lbrack\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}-\frac{2}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack-\lambda'\left\lbrack\frac{\vec{\varepsilon}'}{\left\|\vec{\varepsilon}'\right\|}-\frac{2}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\left(\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack$$

Como $\vec{\varepsilon}-\vec{\varepsilon'}$ é um vector do plano então $\left(\vec{\varepsilon}-\vec{\varepsilon'}\right)\cdot\vec{n}=0$, isto é,

$$\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}=\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}$$

Segue-se que a multiplicação escalar por $\vec{n}$ da equação vectorial para a intersecção das rectas fica da forma

$$\frac{\lambda}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}=\frac{\lambda'}{\left\|\vec{\varepsilon}'\right\|}\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}$$

A substituição na equação da intersecção das rectas proporciona

$$0=\left(\frac{\lambda}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}+1\right)\vec{\varepsilon}-\left(\frac{\lambda'}{\left\|\vec{\varepsilon}'\right\|}+1\right)\vec{\varepsilon}'$$

Considerando que o ponto $P$ não se encontra no plano, os vectores $\vec{\varepsilon}$ e $\vec{\varepsilon}'$ são linearmente independentes e, portanto, vale o sistema de equações

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda=-\left\|\vec{\varepsilon}\right\|\\\lambda'=\left\|\vec{\varepsilon}'\right\|\end{array}\right.$$

A substituição nas equações das rectas proporciona-nos o ponto de intersecção $Q'$ na forma

$$Q'=P+2\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}=P+2\left(\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}\right)\vec{n}$$

uma vez que $\vec{\varepsilon}\cdot\vec{n}=\vec{\varepsilon}'\cdot\vec{n}$. Como $Q'$ não depende do ponto $R'$ escolhido, conclui-se imediatamente que todas as rectas que definem a direcção da reflexão de raios que partem do ponto $P$ intersectam-se no mesmo ponto $Q'$. Ao ponto $Q'$ dá-se a designação de ponto focal.

Um raio que parta do ponto $P$ localizado num meio com densidade óptica $\eta_1$ e que incida na superfície $S$ de separação com o meio de densidade óptica $\eta_2$ pode penetrá-lo, alterando a sua direcção. A tal fenómeno dá-se a designação de refracção e pode-se descrever com o auxílio das leis:

1. Os raios incidente, refractado e a normal à superfície encontram-se no mesmo plano;
2. O ângulos de incidência, $\theta_i$, e de refracção, ângulo $\theta_r$ definido com a normal à superfície, satisfazem a lei de Snell-Descartes

$$\eta_1\sin{\theta_i}=\eta_2\sin{\theta_r}$$

Considere-se um raio que parte do ponto $P$ localizado no meio com índice óptico $\eta_1$, incida no ponto $R$ da superfície de separação e é refractado no ponto $Q$ localizado no meio com índice óptico $\eta_2$. Definam-se os vectores $\vec{\varepsilon}=R-P$ e $\vec{\rho}=Q-R$ e os vectores unitários que lhes são colineares

$$\vec{i}=\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}$$

e

$$\vec{r}=\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}$$

Da primeira lei, segue-se a identidade

$$\vec{r}=\alpha\vec{i}+\beta\vec{n}$$

Aplicando o produto vectorial de $\vec{n}$ a cada membro da equação anterior fica

$$\vec{n}\times\vec{r}=\alpha\vec{i}\times\vec{n}$$

A segunda lei permite concluir que

$$\alpha=\frac{\eta_1}{\eta_2}$$

isto é,

$$\vec{r}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\vec{i}+\beta\vec{n}$$

No artigo supracitado mostrou-se que

$$\beta=-\frac{1}{\eta_2}\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)$$

Da equação

$$\eta_2\beta\vec{n}=\eta_2\vec{r}-\eta_1\vec{i}$$

segue-se, recorrendo ao mesmo artifício atrás apresentado, o sistema de equações

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{r}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial u}\\\left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{r}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial v}\end{array}\right.$$

ou

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\left(\eta_1\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}-\eta_2\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial u}\\\left(\eta_1\frac{\vec{\varepsilon}}{\left\|\vec{\varepsilon}\right\|}-\eta_2\frac{\vec{\rho}}{\left\|\vec{\rho}\right\|}\right)\cdot\frac{\partial R}{\partial v}\end{array}\right.$$

onde $R(u,v)$ é um ponto da superfície $S$ parametrizado por $u$ e $v$. O sistema é equivalente a

$$\left\lbrace\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial u}\left(\eta_1\left\|\vec{\varepsilon}\right\|-\eta_2\left\|\vec{\rho}\right\|\right)=0\\\frac{\partial}{\partial v}\left(\eta_1\left\|\vec{\varepsilon}\right\|-\eta_2\left\|\vec{\rho}\right\|\right)=0\\\end{array}\right.$$

Conclui-se, portanto, que $\eta_1\left\|\vec{\varepsilon}\right\|-\eta_2\left\|\vec{\rho}\right\|=k$ onde $k$ é uma constante. Deste modo, a família de superfícies dadas por aquela equação permitem refractar todos os raios que partem do ponto $P$ e incidem na superfície $S$ no ponto $Q$. A superfície é conhecida como oval de Descartes.