Tradução e resumo de alguns artigos conhecidos

Alguns dos artigos que tenho vindo a traduzir ao longo do tempo:
Sobre a Teoria Quântica das linhas espectrais por Bohr, no qual o autor estende a sua teoria dos estados estacionários do átomo de hidrogénio aos sistemas condicionalmente periódicos.
A lei da dispersão da teoria de Bohr do espectro e A teoria quântica da dispersão por Krammers desempenharam um papel importante no desenvolvimento da Teoria Quântica anterior à Mecânica das Matrizes e à Teoria Ondulatória.
Como infelizmente ainda não sou capaz de ler alemão, tentei apenas identificar os pontos essenciais até à teoria do último multiplicador, exposta por Jacobi nas suas famosas Lições sobre Dinâmica. Ficou de fora a teoria das transformações canónicas, que espero aqui vir a incluir mais tarde.

As leis da reflexão e refracção em forma vectorial

Aqui há tempos publiquei um texto sobre a dedução da lei da refracção a partir do princípio do menor tempo (ver aqui). Agora, apresentarei uma demonstração semelhante da qual resultam as mesmas leis na forma vectorial.

A lei da reflexão na forma vectorial

Suponhamos que um raio de luz parte do ponto A, é reflectido no ponto P de uma superfície no espaço e chega ao ponto B. Se o raio viajar sempre no mesmo meio, o tempo de viagem entre os pontos A e B é dado por

$$\tau=\frac{1}{c}\left(\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\|+\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\|\right)$$

onde $\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)$ e $\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)$ nos dão respectivamente as coordenadas dos pontos A e B e

$$\vec{r}_P=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)$$

dá-nos as coordenadas do ponto P mapeada pelos parâmetros $u$ e $v$ da superfície. O ponto P que minimiza o tempo percorrido pelo raio de luz é aquele que satisfaz as equações

$$\left\lbrace\begin{matrix}\frac{d\tau}{du}=0\\ \frac{d\tau}{dv}=0\end{matrix}\right.$$

Se definirmos

$$\begin{matrix}\vec{i}=\frac{\vec{r}_P-\vec{r}_A}{\left\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\right\|}, & \vec{r}=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_P}{\left\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\right\|}\end{matrix}$$

o sistema anterior escreve-se na forma equivalente

$$\left\lbrace\begin{matrix}\left(\vec{i}-\vec{r}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial u}=0\\ \left(\vec{i}-\vec{r}\right)\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial v}=0\end{matrix}\right.$$

Este resultado permite-nos concluir que o vector $\vec{i}-\vec{r}$ é colinear com a normal $\vec{n}$ à superfície. Convencionamos que esta normal tem o sentido tal que $\vec{i}\cdot\vec{n}<0$. Sendo $\alpha$ o factor da colinearidade, temos

$$\vec{i}-\vec{r}=\alpha\vec{n}$$

Se multiplicarmos escalarmente a equação por $\vec{i}$ e $\vec{r}$, e somarmos obtemos a conhecida lei da reflexão, nomeadamente,

$$\vec{i}\cdot\vec{n}+\vec{r}\cdot\vec{n}=0$$

e, portanto,

$$\alpha=2\vec{i}\cdot\vec{n}$$

Por fim, a lei da reflexão na forma vectorial vem dada pela expressão

$$\vec{r}=\vec{i}-2\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}$$

A lei da refracção na forma vectorial

Se designarmos por $v_i$ a velocidade da luz no meio $i$ e por $c$ a sua velocidade no vazio, definimos o índice de refracção $\eta_i$ associado ao meio $i$ por intermédio da expressão

$$v_i=\frac{c}{\eta_i}$$

Se um raio partir do ponto A situado no meio $1$, for refractado no ponto P de uma superfície de separação entre os meios e chega ao ponto B situado no meio $2$, o tempo que este demora a realizar o percurso é dado por

$$\tau=\frac{1}{c}\left(\eta_1\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\|+\eta_2\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\|\right)$$

Se definirmos o versor de transferência pela expressão

$$\vec{t}=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_P}{\left\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\right\|}$$

o processo de minimização habitual conduz-nos ao sistema de equações

$$\left\lbrace\begin{matrix}\left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial u}=0\\ \left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial v}=0\end{matrix}\right.$$

isto é,

$$\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=k\vec{n}$$

Se aplicarmos, à equação, o produto externo por $\vec{n}$, obtemos a identidade

$$\eta_1\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)=\eta_2\left(\vec{t}\times\vec{n}\right)$$

Como todos os vectores considerados nos produtos vectoriais possuem norma unitária, a expressão anterior resume-se em

$$\eta_1\sin{\alpha_1}=\eta_2\sin{\alpha_2}$$

onde $\alpha_1$ e $\alpha_2$ são os ângulos formados pelos vectores de incidência e de refracção com a normal à superfície, respectivamente. Esta é a famosa lei da refracção.

Para resolvermos o problema a que nos propusermos, teremos de determinar o valor de $k$. Voltemos então à equação de colinearidade

$$\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=k\vec{n}$$

Multiplicamos escalarmente a equação por $\eta_1\vec{i}$, depois por $\eta_2\vec{t}$, somamos os resultados e reorganizamos os temos para obtermos

$$\eta_2\vec{t}\cdot\vec{n}=\frac{\eta_1^2-\eta_2^2}{k}-\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}$$

Se multiplicarmos escalarmente a mesma equação por $\vec{n}$ obtemos

$$k=\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}-\eta_2\vec{t}\cdot\vec{n}$$

a qual, combinada com a equação anterior, nos proporciona a equação de segundo grau para $k$,

$$k^2-2k\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\eta_1^2-\eta_2^2=0$$

A fórmula resolvente permite-nos escrever

$$k=\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}$$

uma vez que

$$\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2=\left|\begin{matrix}\vec{i}\cdot\vec{i} & \vec{i}\cdot\vec{n}\\ \vec{n}\cdot\vec{i} & \vec{v}\cdot\vec{n}\end{matrix}\right|=1-\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)^2$$

Tendo calculado o valor de $k$, temos então

$$\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)\vec{n}$$

Resta-nos determinar qual das soluções para $k$ nos proporciona a expressão correcta. Para o efeito, multiplicamos escalarmente a equação anterior por $\vec{n}$, surgindo a identidade

$$-\eta_2\vec{n}\cdot\vec{t}=\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}$$

Como estamos a considerar que o raio de luz se move no sentido do meio com índice de refracção $\eta_2$ e o vector normal aponta no sentido do outro meio, concluímos que nos interessa a solução com o sinal positivo, isto é,

$$\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)\vec{n}$$

ou

$$\vec{t}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\vec{i}-\frac{1}{\eta_2}\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)$$

se pretendermos determinar a direcção do raio refractado, conhecendo as direcções dos raios incidente e normal.

Ângulo crítico

A fórmula da refracção atrás apresentada vale apenas no domínio

$$\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)\ge0$$

Ora, se considerarmos um raio que incida na superfície paralelamente à direcção normal, o raio refractado será dado por $\vec{t}=\vec{i}$. À medida que o raio de incidência se afasta da normal, o raio refractado afasta-se da normal até que seja atingido o ângulo de incidência $\theta_i$ tal que

$$\sin\theta_i=\frac{\eta_2}{\eta_1}$$

Nestas condições vale a identidade

$$\vec{t}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\left\lbrack \vec{i}-\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack$$

Para um ângulo $\theta_i$ nestas condições, designado por ângulo crítico, temos $\vec{t}\cdot\vec{n}=0$, isto é, o raio refractado tem a direcção tangente à superfície. Todos os raios que incidam na superfície, fazendo um ângulo com a normal superior ao ângulo crítico, são reflectidos.