Descoberta de um novo princípio de Mecânica

O título Descoberta de um novo princípio de Mecânica foi dado por Euler ao seu trabalho sobre o movimento geral dos corpos sólidos com dimensões finitas. O autor defende neste interessante texto que os princípios da Mecânica dos corpos, anteriormente enunciados, encontram apenas aplicações nos casos simples dos movimentos compostos por uma translação e um movimento de rotação em torno de um eixo imóvel. De modo a poder descrever o movimento geral de um corpo sólido enuncia o seguinte princípio:

A descrição do movimento geral de um corpo obtém-se através da aplicação dos princípios de Mecânica a todos os elementos infinitesimais constituintes os quais admitem apenas movimentos de translação.

Além de resolver o problema dos corpos sólidos, defende que o princípio enunciado, apesar da sua simplicidade, encontra aplicações tanto nos domínios da Hidráulica bem como em campos da Física ainda por conhecer.

O método dos elementos finitos

Publiquei o texto O método dos elementos finitos onde apresento uma brevíssima introdução ao método dos elementos finitos cujo propósito se prende com a resolução numérica de problemas em equações diferenciais com condições fornteira. O artigo constitui um extracto de um texto nos domínios da computação paralela.

Partícula num campo uniforme cujo movimento é limitado a uma curva

Num texto anterior apresentei uma solução geral do problema do lançamento de projécteis, no qual é investigada a natureza do movimento de uma partícula que se encontra sujeita a uma força constante na direcção vertical e sentido de cima para baixo. Nesse problema, a partícula pode mover-se livremente. Neste artigo é apresentado o caso no qual a partícula se encontra cingida a mover-se ao longo de uma curva. Fisicamente, este modelo poderá descrever um objecto que se mova sobre uma calha. Suponhamos que a equação da curva se pode escrever na forma

$$\left\{\begin{matrix} x= x(\lambda) \\ y=y(\lambda) \end{matrix}\right.$$

É óbvio que o movimento da partícula pode ser descrito pela função $t\to\lambda(t)$. Num instante $t$ fixo, o deslocamento virtual da partícula tem a direcção da tangente à curva na configuração que esta assume nesse instante. Assim, os deslocamentos virtuais ao longo de cada eixo coordenado estão relacionados pelas equações

$$\left\{\begin{matrix}\delta x= \frac{dx}{d\lambda}\delta\lambda \\ \delta y=\frac{dy}{d\lambda}\delta\lambda \end{matrix}\right.$$

Designando por $\delta\vec{r}=(\delta x,\delta y)$ o deslocamento virtual, sabemos que o movimento da partícula satisfaz o princípio dos trabalhos virtuais cuja equação é, para este caso,

$$\left(m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-m\vec{g} \right )\cdot\delta\vec{r}=0$$

onde $\vec{g}=(0,-g)$. Substituindo os deslocamentos virtuais coordenados, vem

$$\left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{d\lambda}+\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dy}{d\lambda}+g \frac{dy}{d\lambda} \right)\delta\lambda=0$$

e, como $\delta\lambda$ é arbitrário, a equação torna-se equivalente a

$$\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{d\lambda}+\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dy}{d\lambda}+g \frac{dy}{d\lambda}=0$$

Se multiplicarmos a equação anterior por $\frac{d\lambda}{dt}$ e tivermos em atenção que $\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{\partial\lambda}\frac{d\lambda}{dt}$ e $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt}$, esta poder-se-á escrever como

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+gy\right]=0$$

Se integrarmos a equação obtemos imediatamente a equação da conservação da energia, nomeadamente,

$$\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+gy=E$$

Se substituirmos aqui as funções $x$ e $y$ pelas respectivas expressões em $\lambda$, obtemos

$$\left(\frac{d\lambda}{dt}\right)^2\frac{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}{2}+gy=E$$

Uma vez que $y=y(\lambda)$, estamos na presença de uma equação separável que se pode escrever na forma

$$\frac{\sqrt{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}}{\sqrt{2E-2gy}}d\lambda=dt$$

Tendo em conta que o arco de curva assume a forma

$$ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}d\lambda$$

a equação anterior escreve-se numa forma mais simples como

$$\frac{ds}{\sqrt{2E-2gy}}=dt$$

Esta expressão permite-nos averiguar o movimento de uma partícula que se move ao longo de uma linha recta partindo de um dado ponto com uma velocidade tangencial de módulo $v$. Suponhamos que a equação dessa linha é da forma

$$\left\{\begin{matrix} x=\alpha\lambda\\ y=h-\beta\lambda \end{matrix}\right.$$

Segue-se que $ds=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}d\lambda$ ficando a equação do movimento na forma

$$\frac{d\lambda}{\sqrt{v^2+2g\beta\lambda}}=\frac{dt}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$

Integrando o primeiro membro da equação entre $0$ e $\lambda$ e o segundo entre $0$ e $t$, obtemos

$$\frac{\sqrt{v^2+2g\beta\lambda}}{g\beta}-\frac{v}{g\beta}=\frac{t}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$

Resolvendo em ordem a $\lambda$ fica finalmente

$$\lambda=\frac{1}{2}\frac{g\beta}{\alpha^2+\beta^2}t^2+\frac{v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t$$

Em coordenadas temos

$$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\frac{g\alpha\beta}{\alpha^2+\beta^2}t^2+\frac{\alpha v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t\\ y=h-\frac{\beta v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t-\frac{1}{2}\frac{g\beta^2}{\alpha^2+\beta^2}t^2 \end{matrix}\right.$$

Claro que, fazendo $\alpha=0$, forçamos a partícula a assumir a trajectória vertical que corresponde à trajectória da partícula livre que é atirada com uma velocidade vertical $v$ da altura $h$. Neste caso, a equação reduz-se a

$$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=h-vt-\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}\right.$$

como seria de esperar.

Suponhamos agora que estamos na presença de dois pontos, $A$ e $B$ com coordenadas $\left(x_1,y_1\right)$ e $\left(x_2,y_2\right)$ respectivamente e pretendemos determinar a forma da trajectória que torna o tempo de deslocamento entre ambos o menor possível. Este é conhecido como o problema da braquistócrona. Seja a trajectória procurada definida pelas equação $y=y(x)$. A integração da expressão relativa à conservação da energia dá-nos

$$\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}{\sqrt{2E-2gy}}dx}=t$$

A função que minimiza o integral satisfaz a equação diferencial

$$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial p}-\frac{\partial L}{\partial y}=0$$

onde $p=\frac{dy}{dx}$ e

$$L\left(p,y\right)=\frac{\sqrt{1+p^2}}{\sqrt{2E-2gy}}$$

Se multiplicarmos a equação diferencial por $p$ e aplicarmos a regra da derivada do produto, podemos escrevê-la como

$$\frac{d}{dx}\left(p\frac{\partial L}{\partial p}\right)-\frac{dp}{dx}\frac{\partial L}{\partial p}-p\frac{\partial L}{\partial y}=0$$

A regra da derivação da função composta proporciona-nos a expressão

$$\frac{dL}{dx}=\frac{\partial L}{\partial p}\frac{dp}{dx}+\frac{\partial L}{\partial y}p$$

a qual, substituída na equação anterior, transforma-a na seguinte

$$\frac{d}{dx}\left(p\frac{\partial L}{\partial p}-L\right)=0$$

que admite o integral imediato

$$p\frac{\partial L}{\partial p}-L=H$$

sendo $H$ uma constante. Substituindo a função $L$ e resolvendo, facilmente vemos que vale a expressão

$$(E-gy)\left(1+p^2\right)=\frac{1}{2H^2}$$

Trata-se de uma equação diferencial separável de primeira ordem. Se fizermos $w=y-\frac{E}{g}$ transformamo-la em

$$(-gw)\left(1+q^2\right)=\frac{1}{2H^2}$$

onde $q=\frac{dw}{dx}$. Procedendo da forma habitual no csao deste tipo de equações, escrevemos

$$dx=\sqrt{\frac{-gw}{K+gw}}dw$$

onde $K=\frac{1}{2H^2}$. Resta-nos, pois, integrar as expressões em cada um dos membros, isto é,

$$x=\int{\sqrt{\frac{-gw}{K+gw}}dw}$$

Fazemos a substituição

$$\varphi^2=\frac{-gw}{K+gw}$$

ou, equivalentemente,

$$w=-K\frac{\varphi^2}{1+\varphi^2}$$

Esta transformação permite reduzir o integral de uma função algébrica ao integral da função racional

$$x=-K\int{\frac{2\varphi^2}{\left(1+\varphi^2\right)^2}d\varphi}$$

Se fizermos $u=\varphi$, $\frac{dv}{dw}=\frac{2\varphi}{\left(1+\varphi^2\right)^2}$ e aplicarmos a fórmula de integração por partes $\int{u\frac{dv}{dw}dw}=uv-\int{\frac{du}{dw}vdw}$ obtemos

$$x=K\frac{\varphi}{\varphi^2+1}-K\int{\frac{d\varphi}{1+\varphi^2}}$$

A substituição típica $\varphi=\tan{\frac{\theta}{2}}$ permite-nos escrever finalmente

$$x=\frac{K}{2}\left(\sin\theta-\theta+A\right)$$

sendo $A$ a constante de integração. Se fizermos $\theta=0$ quando $x=0$, temos $A=0$, $\varphi=0$, $w=0$ e, consequentemente, $y=\frac{E}{g}$. Neste caso, $\theta_1$ será o ângulo que, substituído na expressão para $x$, proporciona $x_1$. Convém notar que as várias transformações que aplicámos nos permitem escrever $y$ como função de $\theta$. Temos, portanto, as equações paramétricas

$$\left\{\begin{matrix} x=-\frac{K}{2}\left(\sin\theta-\theta \right )\\ y=\frac{E}{g}-\frac{K}{2}\left(1-\cos\theta \right ) \end{matrix}\right.$$

O sistema de equações

$$\left\{\begin{matrix} x_2=-\frac{K}{2}\left(\sin\theta_2-\theta_2 \right )\\ y_2=\frac{E}{g}-\frac{K}{2}\left(1-\cos\theta_2 \right ) \end{matrix}\right.$$

permite determinar o valor de $K$ e $\theta_2$ de modo que a curva procurada contenha os pontos enunciados no problema. Resta mencionar que a curva procurada recebe o nome de ciclóide. É interessante notar que a introdução da velocidade tangencial inicial $v$ não nos conduz a um problema mais geral. De facto, Se a partícula partir do ponto $A$ com velocidade tangencial $v$ e chega ao ponto $B$ no menor tempo possível ao longo de uma ciclóide então se esta for largada sem velocidade inicial do ponto $C$ que fica no prolongamento dessa ciclóide e que tenha uma altura tal que a sua velocidade em $A$ seja $v$, reduzimos o problema com velocidade tangencial a um em que esta velocidade é nula.

Uma curiosidade sobre a história da rádio

Em 1909 foi atribuído o prémio Nobel da Física como reconhecimento pelos contributos concernentes ao desenvolvimento da telegrafia sem fios. Um dos contemplados foi Braun cujos maiores contributos se centraram na introdução do circuíto fechado de afinação acoplado à antena por intermédio de indutores no transmissor e o recurso a cristais no circuito receptor. No seu discurso de recepção do prémio supracitado descreveu como conseguiu configurar cuidadosamente três antenas de modo a enviar um sinal direccional, invenção que foi fulcral no desenvolvimento do radar e da tecnologia de "antenas inteligentes". Entre os seus trabalhos encontra-se a invenção do díodo de cristais muitos anos antes do desenvolvimento da rádio. O outro contemplado foi Marconi cuja principal realização foi a transmissão de um sinal através do Oceano Atlântico. Porém, os esquemas que utilizou basearam-se essencialmente no aperfeiçoamento das descobertas de outros inventores tais como Branly, Lodge, Popov e especialmente Tesla segundo o qual teriam sido violadas dezassete das suas patentes. O seu principal contributo tecnológico para o desenvolvimento da rádio talvez tenha sido a invenção do detector magnético.

Entre os grandes feitos pioneiros da história da rádio encontra-se a apresentação pública de Bose onde este demonstrou a possibilidade de incendiar pólvora e tocar um sino por intermédio do envio de um sinal electromagnético. Este cientista foi o primeiro a recorrer ao uso de junções de cristais semicondutores em receptores de radiofrequência no seguimento das ideias de Braun sobre a condução unilateral dos cristais. O detector que desenvolveu com esse propósito foi o percursor dos componentes electrónicos actuais.
No interessante tema que é a história da rádio é possível encontrar um exemplo onde o mérito das descobertas científicas se imiscui com as suas aplicações comerciais, envolvendo instituições de patentes, tribunais e até mesmo a atribuição de prémios científicos. Sem delongar mais neste tema fica aqui uma carta (ou parte dela) de Bose para o seu amigo Tagore onde este, referindo-se a Marconi, lamentava a conjuntura do país onde se encontrava.

Um pouco antes da minha palestra, um proprietário multimilionário de uma companhia telegráfica muito famosa telegrafou-me um pedido urgente para se encontrar comigo. Respondi-lhe que não podia disponibilizar-lhe o meu tempo para essa reunião. Como resposta, disse que viria ter comigo pessoalmente e que iria chegar com formulários para requisição de patentes. Fez-me uma proposta cuidadosa para que não divulgasse os resultados das minhas valiosas pesquisas na palestra de hoje: “Está aí envolvido muito dinheiro – deixa-me tratar da patente por ti. Não fazes ideia do dinheiro que estás a deitar fora” etc. Claro, “terei apenas metade dos lucros – financiá-lo-ei” etc.

Este multimilionário abordou-me como um pedinte para envidar mais lucros. Amigo, devias ter visto a ganância e a ânsia por dinheiro neste país – dinheiro, dinheiro – que terrível e entranhada ganância! Se alguma vez ficasse encalacrado nesta terrível armadilha, não teria mais saída! Sabes, a pesquisa que me dediquei a realizar está acima dos lucros comerciais. Estou a ficar velho – não tenho tido tempo suficiente para fazer o que me propus fazer – recuseio-o.

Escrever expressões matemáticas no blogger tendo em conta o problema do lançamento dos projécteis

Uma forma de adicionar fórmulas no blogger e a qual tenho vindo a utilizar centra-se no recurso ao editor do codcogs. A introdução de código LaTeX permite gerar imagens com as fórmulas que representam. Além disso, é possível encontrar ao fundo da página uma pequena secção onde surge o código html pronto a ser directamente imbuído na página.
Numa pesquisa que realizei há pouco tempo, encontrei aqui um método diferente baseado no motor desenvolvido por uma parceria entre a AMS e a SIAM designado por MathJax. Para o instalar é suficiente, no esquema da página do blogue, escolher a opção Adicionar uma miniaplicação, indicando o tipo html/javascript e depois introduzir o código

 <script type="text/x-mathjax-config;executed=true">  
 MathJax.Hub.Config({  
  TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }  
 });  
 </script>  
 <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">  
 </script>  

O que se segue trata-se de um pequeno texto onde apresento algumas fórmulas matemáticas no âmbito do simples problema do lançamento de projécteis.

O problema do lançamento dos projécteis

O problema do lançamento dos projécteis resume-se à determinação do movimento de translação de uma partícula que se encontra sujeita a uma força constante com direcção vertical e sentido de cima para baixo. Esta força consiste no peso, a qual é representada por $\vec{P}$. Desta força aplicada à partícula resulta uma aceleração constante $\vec{g}$. Se definirmos os versores $\vec{i}$ horizontal (abcissas) e $\vec{j}$ vertical (ordenadas), podemos escrever
$$\vec{g}=-g\vec{j}$$
uma vez que esta assume a direcção da força que lhe dá origem. Integrando a equação
$$\vec{g}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$
onde $\vec{r}=(x,y)$ representa a posição ocupada pela partícula em cada instante $t$ obtemos o sistema de equações para cada uma das coordenadas,
$$\left\{\begin{matrix} x=x_0+v_{0x}t\\ y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}\right.$$
onde $v_{0x}=\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}$ e $v_{0y}=\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}$ são as velocidades iniciais ao longo do eixo das abcissas e o eixo das ordenadas respectivamente. As quantidades $x_0$ e $y_0$ definem a posição da partícula no instante $t=0$ e, juntamente com as velocidades iniciais, constituem o conjunto de constantes de integração.
Ora, resolvendo a primeira equação em ordem a $t$, vem
$$t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}$$
Da sua substituição na segunda equação advém
$$y-y_0=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\left(x-x_0\right)-\frac{1}{2}g\frac{\left(x-x_0\right)^2}{v_{0x}^2}$$
Vemos imediatamente que se trata de uma equação quadrática em $x$ e descreve, portanto, uma parábola sempre que $v_{0x}\ne 0$. Quando $v_{0x}=0$, a parábola degenera numa recta vertical. Construindo o caso notável, podemos escrever a equação anterior como
$$y=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2}\left(x-x_0-\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}\right)^2+\frac{v_{0y}^2}{2g}+y_0$$
Verificamos imediatamente que a parábola tem a concavidade voltada para baixo e o vértice é dado pelas coordenadas
$$V=\left(x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g},y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\right )$$
Vemos imediatamente que a altura máxima é dada por
$$y_m=y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}$$
a qual é atingida quando
$$x=x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g}$$
Mas como $x-x_0=v_{0x}t$, vemos que a altura máxima se atinge no instante $t_m=\frac{v_{0y}}{g}$, sendo $t_m\gt0$ quando a velocidade vertical no instante inicial é positiva. A mesma equação permite-nos determinar os zeros como
$$x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}\pm\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)$$
Concluímos que o projéctil atinge o solo no ponto com abcissa
$$x=x_0+\frac{v_{0x}}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)$$
e, como $t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}$, o seu tempo de vôo é igual a
$$t_v=\frac{1}{g}\left(v_{0y}+\sqrt{2gy_0+v_{0y}^2}\right)$$
O método analítico relacionado com os máximos e mínimos permite-nos chegar aos mesmos resultados. Como a abordagem geométrica me parece ser a menos abordada, decidi apresentar este tema simples nesta forma.