Resolução de um problema de mecânica (por H. N. Abel)

Seja $BDMA$ uma curva qualquer. Seja a linha $BC$ horizontal e a linha $CA$ vertical. Suponhamos que um ponto colocado em movimento pela acção da gravidade se move sob esta curva sendo $D$ o seu ponto de partida. Seja $\tau$ o tempo que demorou o móvel a atingir o ponto $A$ e seja $a$ a altura $EA$. O tempo $\tau$ é então uma função da altura $a$ que dependerá da forma da curva. Reciprocamente, a forma da curva irá depender desta função. Vamos analisar como, com o auxílio de um integral definido, podemos encontrar a equação da curva para a qual $\tau$ é uma função contínua da altura $a$.

Seja $AM=s$, $AP=x$ e $t$ o tempo que o móvel leva a percorrer o arco $DM$. Com base nas regras da mecânica temos $-\frac{ds}{dt}=\sqrt{a-x}$, donde vem $dt=-\frac{ds}{\sqrt{a-x}}$. Segue-se daqui que, integrando de $x=a$ até $x=0$,

$$\tau=-\int_a^0{\frac{ds}{\sqrt{a-s}}}=+\int_0^a{\frac{ds}{\sqrt{a-s}}}$$

O sinal $\int_\alpha^\beta{}$ indica que os limites de integração são para ser tomados entre $x=\alpha$ e $x=\beta$. Seja entretanto

$$\tau=\varphi(\alpha)$$

a função procurada para termos

$$\varphi(a)=\int_0^a{\frac{ds}{\sqrt{a-x}}}$$

Nesta equação, $s$ deve ser encontrado em $x$. Em vez de considerarmos esta equação, consideraremos uma mais geral,

$$\varphi(a)=\int_0^a{\frac{ds}{\left(a-x \right )^n}}$$

da qual procuraremos $s$ em $x$. Designemos por $\Gamma(\alpha)$ a função

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^1{dx\left(\log{\frac{1}{x}} \right )^{\alpha-1}}$$

e temos, como é já conhecido,

$$\int_0^1{y^{\alpha-2}(1-y)^{\beta-1}dy}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$

onde $\alpha$ e $\beta$ são superiores a zero.

Seja $\beta=1-n$, encontramos

$$\int_0^1{\frac{y^{\alpha-1}}{\left(1-y \right )^n}dy}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}$$

donde tiramos, fazendo $z=ay$

$$\int_0^1{\frac{z^{\alpha-1}}{\left(a-z \right )^n}dz}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}a^{\alpha-n}$$

Multiplicando por $\frac{da}{(x-a)^{1-n}}$ e integrando desde $a=0$ até $a=x$, encontramos:

$$\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-n)}{\Gamma(\alpha+1-n)}\int_0^x{\frac{a^{\alpha-n}da}{(x-a)^{1-n}}}$$

Fazendo $a=xy$, temos

$$\int_0^x{\frac{a^{\alpha-n}da}{(x-a)^{1-n}}}=x^\alpha\int_0^1{\frac{y^{\alpha-n}dy}{(1-y)^{1-n}}}=x^\alpha\frac{\Gamma(\alpha-n+1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+1)}$$

então

$$\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+1)}x^\alpha$$

Ora, da famigerada fórmula da função gama, temos

$$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$$

Temos, então, por substituição

$$\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{z^{\alpha-1}dz}{(a-z)^n}}=\frac{x^\alpha}{\alpha}\Gamma(n)\Gamma(1-n)$$

Multiplicando por $\alpha\varphi(\alpha)d\alpha$ e integrando em ordem a α obtemos

$$\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{\left(\int{\varphi(\alpha)\alpha x^{\alpha-1} d\alpha } \right )dx}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)\int{\varphi\alpha x^\alpha d\alpha}$$

Seja $\int{\varphi(\alpha)x^\alpha d\alpha}=f(x)$, tiramos, por derivação,

$$\int{\varphi(\alpha)\alpha x^{\alpha-1} d\alpha}=f'(x)$$

então

$$\int{\varphi(\alpha)\alpha z^{\alpha-1} d\alpha}=f'(z)$$

Por consequência:

$$\int_0^x{\frac{da}{(1-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}}=\Gamma(n)\Gamma(1-n)f(x)$$

ou porque

$$\Gamma(n)\Gamma(1-n)=\frac{\pi}{\sin n\pi}$$

se tem

$$f(x)=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}}$$

Com o auxílio desta equação será fácil extrair o valor de $s$ da equação

$$\varphi(\alpha)=\int_0^a{\frac{ds}{(a-s)^n}}$$

Pois que, se multiplicarmos esta equação por $\frac{\sin n\pi}{\pi}\frac{da}{(x-a)^{1-n}}$ e tomarmos os limites de integração desde $a=0$ até $a=x$, teremos

$$\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi\alpha d\alpha}{(x-a)^{1-n}}}=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{da}{(x-a)^{1-n}}}\times\int_0^a{\frac{dx}{(a-x)^n}}$$

Com base na equação desenvolvida anteriormente, vemos que

$$s=\frac{\sin n\pi}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi(\alpha)d\alpha}{(x-a)^{1-n}}}$$

Seja entretanto $n=1/2$, obteremos

$$\varphi(a)=\int_0^x{\frac{ds}{\sqrt{a-x}}}$$

e

$$s=\frac{1}{\pi}\int_0^x{\frac{\varphi(\alpha)d\alpha}{\sqrt{x-\alpha}}}$$

Esta equação dá-nos o arco $s$ para a abcissa $x$ e, por conseguinte, a curva fica inteiramente determinada.

[...]

Consultar Résolution d'un problème méchanique.