domingo, 27 de março de 2011

A Teoria do Potencial de Lagrange

De modo a expor os teorema de D'Alembert sobre o movimento de muitos corpos sob a acção de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado das distâncias, no seu artigo "Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps qui s'attirent mutuellement en raison inverse des carrées des distances", Lagrange introduz uma função Ω, da qual obtém as equações dinâmicas do sistema por intermédio de processos de derivação. Esta função receberá mais tarde, por intermédio de Green, a designação de potencial.
Elaborei uma tradução com o título Observações gerais sobre o movimento de muitos corpos que se atraem mutuamente na razão inversa dos quadrados das distâncias. Neste artigo, o autor demonstra, com base na função que introduz, que tanto as coordenadas do centro de massa como a energia (forças vivas) são integrais de movimento. Também mostra que se verifica a lei das áreas para o caso em que o número de corpos é superior a dois. De facto, o integral de movimento associado ao centro de massa deve-se à invariância do potencial aquando de uma translação. Por seu turno, a lei das áreas resulta da invariância do potencial após uma rotação. O seu método, de certo modo, antecipa o Teorema de Noether.
Para resolver, numa aproximação de primeira ordem, o problema de vários grupos de corpos afastados entre si de grandes distâncias, faz uso da desigualdade triangular, nomeadamente,
\[a\alpha+b\beta+c\gamma\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}\]
para mostrar que, nesta aproximação, os grupos de corpos se movem como um único ponto colocado no centro de massa e cuja massa seja igual à soma das massas desses corpos. Esta igualdade viria a ser posteriormente conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz e trata-se de uma das desigualdades mais importantes em matemática.
No entanto, foi Laplace quem observou que esta função satisfaz uma equação diferencial em derivadas parciais de segunda ordem, iniciando-se aí o estudo das funções harmónicas.

quarta-feira, 9 de março de 2011

Os fundamentos da física - primeira comunicação

As equações correctas do campo gravítico na Teoria de Relatividade Geral foram publicadas em 1915. Entre as publicações orientadas para o tema, encontra-se a abordagem axiomática do matemático Hilbert. Neste artigo, o autor parte de dois simples pressupostos como a existência de uma função-mundo H que descreve a evolução dos sistemas físicos e que se trata de uma função invariante mediante qualquer transformação dos parâmetros-mundo. A evolução dos sistemas determina-se a partir das equações variacionais (Euler-Lagrange) obtidas a partir da variação do integral sobre o espaço-tempo:
\[\int{H\sqrt{g}dw_1w_2dw_3dw_4}\]
onde g representa o tensor dos potenciais gravitacionais, intimamente relacionada com a métrica desse espaço. Os parâmetros w representam as três coordenadas do espaço e uma do tempo.
Neste artigo, o autor verifica que quatro das equações lagrangianas ou variacionais são combinações lineares das restantes. De facto, trata-se de uma consequência das identidades de Bianchi que desconhecia. Neste ponto, comete o erro de assumir que a electrodinâmica se trata de uma consequência directa da gravitação.
Para mais detalhes, apresento a tradução da primeira comunicação intitulada Os Fundamentos da Física. Contudo, a compreensão de tal leitura requer conhecimentos relativamente sólidos de cálculo tensorial.